analisis vectorial, longitud de arco
TRANSCRIPT
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
1/21
Curvas en el espacio
Sea!
f t ( ) una función vectorial de una variable escalar t :!
f t ( ) = f 1
t ( ) î + f 2
t ( ) ˆ j + f 3
t ( ) k̂
Entonces para cada valor de t existe un vector de posición dado por:!r = xî + yˆ j + z ̂k
Cuyo punto inicial está en el origen de coordenadas dado y cuyo punto final especificaun punto p del espacio. Cuando t varía, se dice que P se mueve en una trayectoria
curva. Así por la definición de igualdad de vectores:
x =
f 1 t ( ) ;
y =
f 2 t ( ) ;
z =
f 3 t ( )Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la curva C en el espaciocon t como parámetro.
Sea P un punto de una curva C para el cual!
f =!
f t ( ) y Q el punto que corresponde a!
f t + !t ( ), entonces: lim!t "0
!
R
!t =
!
f ' t
( )donde
!
R =!
f t + !t ( )"!
f t ( ) es decir!
R
resultante de PQ. Así
es el vector
!
f ' t ( ) es un vector tangente a la curva espacial C en P .
Q
P
Una regla práctica para hallar la dirección de la resultante,solamente para el caso de vectores de posición, es que
esta resultante siempre estará dirigida hacia el vector de
posición positivo.
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
2/21
Un punto t i en una curva en el espacio C se llama punto singular de C si!
f ' t ( ) = 0de otro modo, se llama punto no singular.
La dirección de la curva en el espacio C en un punto P , es la del vector tangente a C en P . Una función vectorial suave es una función vectorial que tiene una derivada
continua y no tiene puntos singulares.
Diferenciación de vectores
Las reglas de diferenciación de funciones vectoriales son similares a lascorrespondientes, para funciones escalares, con una excepción, para diferenciar el
producto vectorial (cruz) de funciones vectoriales debe conservarse el orden de los
factores, porque el producto cruz no es una operación conmutativa.
Si!
A t ( ),!
B t ( ) y!
C t ( ) son funciones vectoriales diferenciables, además se tiene que! t ( ) y " t ( ) son funciones escalares diferenciables, entonces las reglas dediferenciación que cumplen estas funciones son:
1.-d
dt
!
A t ( )+!
B t ( )!" #$ =!
A't ( )+
!
B't ( ) 2.-
d
dt ! t ( )
!
A t ( )"# $% =! 't ( )
!
A t ( )+! t ( ) !
A't ( )
3.-d
dt
!
A t ( ) ! !
B t ( )"# $% =!
A' t ( ) ! !
B t ( )+!
A t ( ) ! !
B ' t ( )
4.-d
dt
!
A t ( )! !
B t ( )"# $% =!
A't ( )!
!
B t ( )+!
A t ( )! !
B't ( )
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
3/21
Regla de la cadena para funciones vectoriales
Si t es una variable de una función!
A t ( ) pero se tiene también que t es una funciónde una variable s por tanto t = g s( ), así la regla de la cadena se aplica de la siguiente
manera:d !
A t ( )ds
=
d !
A g s( )!" #$ds
=
d !
A t ( )dt
dt
ds=
d !
A t ( )dt
dg s( )ds
Derivadas de funciones vectoriales de mas de una variable
Una función vectorial!
f de dos variables u y v asigna a cada punto u,v( )región un vector único
de alguna!
f u,v( )
En un sistema coordenado rectangular que sea dependiente de tres variables u,v y w
la función!
f u,v,w( ) se representa como:!
f u,v,w( ) = f 1 u,v,w( ) î + f 2 u,v,w( ) ˆ j + f 3 u,v,w( ) k̂ Donde las componentes f
1, f
2, f
3son funciones escalares dependientes de las variables
u,v y w. La derivada parcial!
f u del vector
!
f se define por:
!
f u =
!!
f
!u
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
4/21
De modo similar, definimos las derivadas parciales de!
f v y wcon respecto a , así:
!
f v =
!!
f
!v
!
f w =
!!
f
!w;
Las derivadas parciales de orden superior se pueden definir también de esta manera.
!
f uu
=
!2!
f
!u2; ;
!
f uv
=
!!v
!!
f
!u"
# $%
& '
!
f vw
=
!!w
!!
f
!v"
# $%
& '
Longitud de una curva
La longitud de arco L t
( )de una curva es una función de la variable escalar t desde
algún punto fijo hasta t .
L t ( ) =!
f ' t ( ) dt a
t
! Problema.- Aplique la formula de longitud de arco para hallar la longitud de la curva
y = 2 x +1; con x definida en el rango !1" x " 3. Compruebe su resultado observando
que la curva es un segmento rectilíneo y calculando su longitud con la formula dedistancia.
Solución.- Para esta curva el vector!
f x( ) es:!
f x( ) = xî + 2 x +1( ) ˆ jLa derivada de esta función es:
!
f ' x( ) = î + 2 ˆ j!!
f ' x( ) = 5 , por tanto L x( ) es:
L x( ) =!
f ' x( ) dxa
x
! = 5 dx
"1
3
! = 5 x( ) "1
3
= 5 3" "1( )#$ %& = 4 5
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
5/21
Para comprobar el resultado calculemos la distancia entre dos puntos con los límitespara x dados en el problema. Así para x = !1" y = 2 !1( )+1= !1, para x = 3! y = 7
La distancia entre estos dos puntos es L x( ) : L x( ) = 3+1( )
2
+ 7 +1( )2
= 4 5
Otra forma de hallar esto es:
!
f x = !1
( )= ! ˆ
i ! ˆ
j "
!
f x = 3
( )= 3ˆ
i + 7 ˆ
j
PQ =!
f x = !1( )! !
f x = 3( ) = 3+1( )2
+ 7 +1( )2
= 4 5
Problema.- Trace la gráfica de la curva
y encuentre su longitud exacta.
x = et cos t ( ), y = et sin t ( ) 0 ! t ! 2"
Solución: La función del vector de posición es:!
f t ( ) = et cos t ( ) î + et sin t ( ) ˆ j
La derivada de esta función respecto del parámetro t esta dada por:!
f ' t ( ) = et cos t ( )! et sin t ( )"# $% î + et sin t ( )+ et cos t ( )"# $% ˆ j
La magnitud es el valor absoluto de esta derivada:!
f ' t ( ) = et cos t ( )! et sin t ( )"# $%2
+ et sin t ( )+ et cos t ( )"# $%2
= 2et
Por tanto la longitud de arco es:
L t ( ) =!
f ' t ( )a
x
! dt = 2et dt
0
2"
! = 2 et #$ %&0
2"
= 2 e2" '1( )
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
6/21
Vector Tangente y Curvatura
Para efectos de notación haremos una precisión acerca de la longitud de arco L y lafunción de longitud de arco, que llamaremos s(t). Así llamaremos L a la longitud de
arco escalar en el cual el parámetro t esté definido entre los extremos a y b.
L =!
f ' t ( ) dt a
b
! ; a " t " b
Por lo que la función de longitud de arco s(t) tiene la misma definición de L, pero unode sus extremos (el superior) no está definido.
s t ( ) =!
r ' t ( ) dt a
t
!
ds t ( )dt
=
!
r ' t ( )
con!
f t ( ) =!
r t ( ) ! !
f ' t ( ) =!
r ' t ( )
Si C es una curva suave definida por la función vectorialparamétrica del vector de posición , en donde!
r t ( )
!
r ' t ( ) ! 0.
Se tiene que el vector es tangente a la curva enun punto P generalizado. Se define al vector unitario
tangente con la misma dirección de como:
!
r ' t ( )
!
r ' t ( )
!
T t
( )=
!
r ' t ( )!
r ' t ( )
!
T t
( ) =1
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
7/21
Cada uno de los vectores en la curva mostrada representaal vector , por lo que puede decirse que indica la
dirección de la curva.
!
T t ( )
!
T t ( )
La curvatura de C en un punto dado es una medida de que tan rápido la curva cambiasu dirección en un punto. Así, se define la curvatura (k ) como la variación del vector
tangente unitario respecto de la longitud de arco.
k =d !
T t ( )
ds
d !
T t ( )
dt
=
d !
T t ( )
ds
ds
dt
d !
T t ( )ds
=
d !
T t ( )dt
ds
dt
=
!
T ' t ( )!
r ' t
( )
k =
!
T ' t ( )!
r ' t
( )
con ! !
Los vectores Normal y Binormal
En un punto dado de una curva suave definida en forma paramétrica por el vector deposición , hay muchos vectores que son ortogonales al vector unitario tangente,
pero tengamos en cuenta que la magnitud de es constante, es decir
!
r t ( )
!
T t ( )
!
T t ( ) = 1
!
T t ( )2
=1
!
T t ( ) ! !
T t ( ) = 1
d
dt
!
T t ( ) ! !
T t ( )"# $% = 2!
T t ( ) ! !
T ' t ( ) = 0
Puede verse entonces que son ortogonales, así se define un vectorunitario que llamaremos normal, de la siguiente manera:
!
T t ( ) y!
T ' t ( )
!
N t
( )=
!
T ' t ( )!
T ' t ( )
!
N t
( ) = 1
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
8/21
Con los dos vectores se puede construir una base de tres vectoresortonormales, en donde el tercer vector se denomina binormal, se define como:
!
T t ( ) y!
N t ( )
!
B t ( ) =!
T t ( )!!
N t ( )
!
B ' t
( ) = 1
Así, estos tres vectores forman una tríada que se desplaza punto a punto sobre lacurva C, como se muestra en la figura de arriba. En función de estos vectores se
definen planos sobre la curva que se conocen como: a) Plano Normal.- es el planoformado por los vectores . b) Plano Osculante.- es el plano formado por
los vectores . c) Plano Tangente.- es el plano formado por los vectores
!
B t ( ) y!
N t ( )
!
T t ( ) y!
N t ( )
!
B t ( ) y!
T t ( ).
Problema.- Encuentre los vectores unitarios Tangente, Normal y Binormal para:
a)!
r t ( ) = t 2 , 23 t 3,t P(1,2/3,1) b)
!
r t ( ) = et ,et sent ,et cost P(1,0,1)
Solución.- Para el inciso a) se tiene:
!T t ( ) =
!r ' t ( )!r ' t ( )
=2ti
"+ 2t 2 j
"+ k "
4t 2 + 4t 4 +1=
2i"+ 2 j
"+ k "
3
N
!"!
t
( )=
T '
!"!
t ( )T '
!"!
t ( )
!T t
( )=2ti
"+ 2t 2 j
"+ k "
4t 2 + 4t 4 +1= 2ti
"+ 2t 2 j
"+ k "
( )4t 2 + 4t 4 +1
( )
!
1
2
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
9/21
!T ' t ( ) = 2i"+ 4t j"( ) 4t 2 + 4t 4 +1( )
! 12
+ ! 1
2
" # $
% & ' 4t 2 + 4t 4 +1( )
! 32
8t +16t 3( ) 2ti"+ 2t 2 j" + k "( )
!
T ' t ( ) =6
27
! " #
$ % &
2
+12
27
! " #
$ % &
2
+12
27
! " #
$ % &
2
=1
2736+144 +144 =
324
27=18
27
N !"!
t ( ) = T '!"!
t ( )T '!"!
t ( )= !6i#
+12 j#
!12k #
27
27
18" # $
% & ' = ! 1
3,2
3,! 2
3" # $
% & '
!
T ' t ( ) =2i"+ 4 j
"( )3 !
12
27 2i"+ 2 j
"+ k "
( ) =9 2i
"+ 4 j
"( )!12 2i"+ 2 j" + k "( )27
=
!6i"+12 j
"!12k
"
27
Al ser estos vectores ortonormales su producto punto es cero:
T
!"
t ( ) ! N
!"!
t ( )=
2i#+ 2 j
#+ k #
3
"
# $
%
& ' !
(i#+ 2 j# ( 2k #
3
"
# $
%
& ' =
(2+ 4( 29
= 0
B!"
t ( ) = T !"
t ( )! N !"!
t ( ) =i#
j#
k #
2 2 1
"1 2 "2
=1
9i# "4" 2( )" j# "4+1( )+ k # 4+ 2( )#$
%& =
1
9"6i#+ 3 j# + 6k #( )
B
!"
t ( ) =1
9 !6i#+ 3 j
#+ 6k
#
( ) = !2
3i#+
2
3 j#+
2
3k #
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
10/21
Para el inciso b) se tiene:
!T t ( ) =
!r ' t ( )!r ' t ( )
=
et i"+ et sent + et cost ( ) j" + et cost ! et sent ( )k "
e2t + et sent + et cost ( )2
+ et cost ! et sent ( )2
!r t ( ) = et i"+ et sent j" + et costk "
!T t ( ) =
!r ' t ( )!r ' t ( )
=
et i"+ sent + cost ( ) j" + cost ! sent ( )k ""#
$%
et 1+ sent + cost ( )2
+ cost ! sent ( )2
!T t ( ) =
i"+ sent + cost ( ) j" + cost ! sent ( )k "
1+ sen
2
t + 2sent cost + cos2
t ( )+ cos2
t !2sent cost + sen
2
t ( )
!T t ( ) =
i"+ sent + cost ( ) j" + cost ! sent ( )k "
3
!
T ' t
( )=
cost ! sent ( ) j" ! sent + cost ( )k "
3
!
T ' t
( ) =
cost ! sent ( )2
+ sent + cost ( )2
3
!
T ' t ( ) =cos
2t ! 2sent cost + sen
2t ( )+ sen2t + 2sent cost + cos2t ( )
3=
2
3
N !"!
t ( ) =T '!"!
t ( )
T '
!"!
t ( )=
cost ! sent ( ) j# ! sent + cost ( )k #
3
"
#
$
$
%
&
'
'
3
2
(
) *
+
, -
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
11/21
Comprobemos el producto punto entre los vectores Tangente y Normal
T !"
t ( ) ! N !"!
t ( ) =i#+ sent + cost ( ) j# + cost " sent ( )k #
3
#
$
%%
&
'
((! cost " sent ( ) j# + "sent " cost ( )k #
2
#
$
%%
&
'
((
T
!"
t ( ) ! N !"!
t ( ) =sent + cost
( ) cost " sent
( )+ cost " sent
( ) "sent " cost
( )6
T
!"
t ( ) ! N !"!
t ( ) =sent cost " sen
2t + cos
2t " sent cost ( )+ "sent cost " cos2t + sen2t + sent cost ( )
6
= 0
B!" t ( ) = T !" t ( )! N !"! t ( ) = 16
i#
j#
k #
1 sent + cost ( ) cost " sent ( )0 cost " sent ( ) "sent " cost ( )
B!"
t ( ) =1
6
i#
sent + cost ( )2
! cost ! sent ( )2"
#$ %
&' ! j# ! cost + sent ( )! 0"# %& + k
#cost ! sent ( )! 0"# %&{ }
B!"
t ( ) =1
6
4sent costi#+ j
#cost + sent ( )+ cost ! sent ( )k #"#
$%
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
12/21
Problema.- Encuentre los vectores unitarios Tangente, Normal y Binormal, y lacurvatura k para:
!
r t ( ) = t ! 13 t 3,t
2,t + 1
3t 3
Solución.- El vector de posición en su forma vectorial es:
!T t ( ) =
!r ' t ( )!r ' t ( )
=
1! t 2( ) i"+ 2t j" + 1+ t 2( )k "
1! t 2( )2
+ 4t 2 + 1+ t 2( )2
=
1! t 2( ) i"+ 2t j" + 1+ t 2( )k "
1! 2t 2 + t 4( )+ 4t 2 + 1+ 2t 2 + t 4( )
!
r t ( ) = t ! 13t 3( ) î + t 2 ˆ j + t + 13 t 3( ) k̂
!T t ( ) =
!r ' t ( )!r ' t ( )
=
1!
t 2( ) i"+ 2t j"+ 1+ t 2( )k
"
2+ 4t 2 + 2t 4=
1!
t 2( ) i"+ 2t j"+ 1+ t 2( )k
"
2 1+ 2t 2 + t 4( )=
1!
t 2( ) i"+ 2t j"+ 1+ t 2( )k
"
2 1+ t 2( )2
!T t ( ) =
!r ' t ( )!r ' t
( )
=
1! t 2( ) i"+ 2t j" + 1+ t 2( )k "
2 1+ t 2
( )
!
N t ( ) =!
T ' t ( )!
T ' t
( )
!T ' t ( ) =
!2ti"+ 2 j" + 2tk "( ) 2 1+ t 2( )! 1! t 2( ) i"+ 2t j" + 1+ t 2( )k ""# $%2t 22 1+ t 2( )
2
!
T 't ( )= 2
!ti"+ j" + tk "( ) 1+ t 2( )! 1! t 2( ) i"+ 2t j" + 1+ t 2( )k ""# $% t 1+ t 2( )
2
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
13/21
N !"!
t ( ) =T '!"!
t ( )T '!"!
t
( )
=
2
1+ t 2( )
2 !2ti#+ 1! t 2( ) j#"#
$%
2
1+ t 2( )
!T ' t ( ) = 2
!t 1+ t 2( )! 1! t 2( )t "# $% i"+ 1+ t 2( )! 2t 2"# $% j
"+ 1+ t 2( )t ! 1+ t 2( )t "# $% k
"
1+ t 2( )2
!T ' t ( ) = 2
!2ti
"+ 1!
t
2
( ) j"
1+ t 2( )
2
"
#
$$$
%
&
'''
!
T ' t ( ) = 21+ t
2( )2
!
"
###
$
%
&&&
4t 2+ 1' t 2( )
2
!
T ' t ( ) =2
1+ t 2( )2
!
"
#
##
$
%
&
&&
4t 2+ 1' 2t 2 + t 4( ) =
2
1+ t 2( )2
!
"
#
##
$
%
&
&&
1+ t 2( )
2
=2
1+ t
2
( )
N !"!
t ( ) =T '!"!
t ( )T '!"!
t
( )
=
!2ti#+ 1! t
2( ) j#
1+ t 2
( )
k =
!
T ' t ( )!
r ' t ( )
k =
2
1+ t 2( )
1+ t 2( ) 2
=1
1+ t 2( )
2
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
14/21
B!"
t ( ) = T !"
t ( )! N !"!
t ( ) =1
2 1+ t 2( )
2
i#
j#
k̂
1" t 2( ) 2t 1+ t 2( )"2t 1" t 2( ) 0
B!"
t ( ) = T !"
t ( )! N !"!
t ( ) =1
2 1+ t 2( )2 " 1" t 2( ) 1+ t 2( )#$ %& i
#" j# 2t 1+ t 2( )#$ %& + k̂ 1" t 2( )
2
+ 2t ( )2#
$'%&({ }
B!"
t ( ) = T !"
t ( )! N !"!
t ( ) =1
2 1+ t 2
( )2 " 1" t 2( ) 1+ t 2( )#$ %& i
#" j# 2t 1+ t 2( )#$ %& + k̂ 1+ t 2( )
2
{ }
B!"
t ( ) = T !"
t ( )! N !"!
t ( ) =t 2 "1( ) i#" 2t j# + 1+ t 2( ) k̂
2 1+ t 2( )
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
15/21
Formulas de Frenet-Serret
!
T t ( ) =!
r ' t ( )!
r ' t ( )
!
N t ( ) =!
T ' t ( )!
T ' t ( )
k =d !
T
ds
d !
T t ( )dt
=
!
T t ( )ds
ds
dt
! k =
!
T ' t ( )!
r ' t ( )con
!
B t ( ) =!
T t ( )!!
N t ( )
! d !
T
ds=
d
!
T
dt
ds
dt
=
!
T '!
r '
d !
T
ds
=
!
T '!
r '
!
T '!
T '
!
" #
$
% & =
!
T '
!
r '
!
" #
$
% &
!
T '!
T '
d !
B t ( )
ds
=
d !
T t ( )
ds
! !
N t ( )+!
T t ( )! d
!
N t ( )
ds
= k !
N t ( )"# $% ! !
N t ( )+!
T t ( )! d
!
N t ( )
ds
ds
dt =
!
r 'con
Derivando el vector Binormal respecto a la longitud de arco
Se puede ver que es perpendicular a y a , por el producto cruz.
d !
B t ( )ds
!
T t ( )
d !
N t ( )ds
! d !
T
ds
= k !
N t
( ) !!!!
(A)
d !
B t ( )ds
=
!
T t ( )!d !
N t ( )ds
!!!!(B)
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
16/21
Es decir que es colineal a , por lo que se establece que:d !
B t ( )ds
!
N t ( )
Realizando el producto punto de la ecuación (C) con el vector normal
!
N t
( )!
d !
B t ( )ds
= "# s
( )
!
N t
( )!
!
N t
( ) ! " s
( )= #
!
N t
( )$
d !
B t ( )ds
d !
B t ( )ds
=
!
T t ( )!d !
N t ( )ds
! "# s( ) !
N t ( ) =!
T t ( )$d
!
N t ( )ds
!
T t ( ) ! "# s( ) !
N t ( )$% &' =!
T t ( ) ! !
T t ( ) !d
!
N t ( )ds
$
%
(&
'
)
Sustitutyendo el resultado de la ecuación (C) en (B),
También se tiene que es perpendicular a , porque proviene de una derivadad !
B t ( )ds
!
B t ( )
d
!
B t ( )ds
= !" s( ) !
N t ( ) !!!!(C)
Realizando el producto cruz con el vector Tangente unitario en ambos lados de laigualdad
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
17/21
d
ds
!
T t ( ) ! !
N t ( )"# $% =d
!
T t ( )ds !
!
N t ( )+!
T t ( ) ! d
!
N t ( )ds
0 =d
!
T t ( )ds
!
!
N t ( )+!
T t ( ) !d
!
N t ( )ds
!
!
T t ( ) "d !
N t ( )ds
= #
!
N t ( ) "d !
T t ( )ds
d !
T
ds= k
!
N t ( )
!
!
N t ( ) "d !
T
ds= k
!
N t ( ) "!
N t ( )
! k =!
N t ( ) "d !
T
ds
!
" s( ) !
B t ( ) = !k !
T t ( )!d
!
N t ( )ds
!" s( ) !
T t ( )# !
N t ( )$% &' =!
T t ( ) ( d
!
N t ( )ds
$
%)
&
'*
!
T t ( )! !
T t ( ) ( !
T t ( )$% &'d
!
N t ( )ds
Teniendo en cuenta el resultado del triple producto vectorial o cruz
Por otro lado calculemos la derivada del producto punto de los vectores T y N
Realizando el producto punto de la ecuación (A) con el vector normal
!" s( ) !
B t ( ) =!
T t ( ) #d
!
N t ( )ds
$
%&
'
()
!
T t ( )!d
!
N t ( )ds
!!!!(D)
Sustitutyendo este resultado en la ecuación (D)
!
d !
N t ( )ds
= "k
!
T t ( )+# s( ) !
B t ( ) !!!!(E)
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
18/21
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Sabemos que el vector tangente se escribe como:
!
T t
( )=
!
r ' t ( )!
r ' t ( ) =
!
v t ( )!
v t ( ) =
!
v t ( )v
! !
v t
( )= v
!
T t
( )
Si diferenciamos el vector velocidad con respecto a t nos queda:
!
a =!
v ' t ( ) = v '!
T t ( )+ v!
T ' t ( )
También se tiene que la curvatura se calcula como:
k =
!
T ' t ( )!
r ' t ( ) =
!
T ' t ( )v
! !
T ' t ( ) = kv
Y la normal es:!
N t
( )=
!
T ' t ( )!
T ' t ( ) =
!
T ' t ( )
kv
! !
T ' t
( )= kv
!
N t
( )
!
a =!
v ' t ( ) = v '!
T t ( )+ kv2 !
N t ( ) = aT
!
T t ( )+ a N
!
N t ( ) con aT = v ' y a
N = kv
2
Así, el vector aceleración se puede escribir como:
donde,aT y
a N son las componentes tangencial y normal de la aceleración.
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
19/21
Si multiplicamos en producto punto la velocidad y la aceleración nos queda:
!
v ! !
a = v!
T t ( ) ! v '!
T t ( )+ kv2 !
N t ( )"# $% = vv '!
T t ( ) ! !
T t ( )"# $%+ kv3
!
T t ( ) ! !
N t ( )"# $% = vv '
v ' =
!
v ! !
a
v= aT =
!
r ' t ( ) ! !
r '' t ( )!
r ' t ( )
a N
= kv2=
!
r ' t ( )! !
r '' t ( )
v3
"
#
$
$
%
&
'
'
v2 ( a
N =
!
r ' t ( )! !
r '' t ( )!
r ' t ( )
Para la componente normal de la aceleración se tienen las siguientes igualdades:
!
T t ( ) =!
r ' t ( )v
! !
r ' t ( ) = v!
T t ( ) ! !
r '' t ( ) = v '!
T t ( )+ v!
T ' t ( )
!
r ' t ( )! !
r '' t ( ) = v!
T t ( )! v '!
T t ( )+ v!
T ' t ( )"# $% & !
r ' t ( )! !
r '' t ( ) = vv '!
T t ( )! !
T t ( )"# $%+ v2
!
T t ( )! !
T ' t ( )"# $%
!
r ' t ( )! !
r '' t ( ) = v2 !
T t ( )! !
T ' t ( )"# $% & !
r ' t ( )! !
r '' t ( ) = v2 !
T t ( )! !
T ' t ( ) = v2 !
T t ( ) !
T ' t ( ) sin' êu
"#
$%
!
r ' t ( )! !
r '' t ( ) = v2 !
T ' t ( ) êu
"#
$% &
!
r ' t ( )! !
r '' t ( ) = v2 !
T ' t ( ) êu = v
2 !
T ' t ( )
!
T ' t ( ) =!
r ' t ( )!!
r '' t ( )v
2 " k =
!
T ' t ( )!
r ' t ( ) =
!
r ' t ( )!!
r '' t ( )v
3
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
20/21
-
8/19/2019 Analisis Vectorial, longitud de arco
21/21