longitud de arco de la gráfica de una función

7/21/2019 Longitud de Arco de La Gráfica de Una Función

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Longitud de arco de la gráfica de una función



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Ejercicios resueltos

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S o l u c i o n e s

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Enunciados

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Enunciados





Enunciados

Enunciados







Componentes tangencial y normal de la aceleración

Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo

tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por

la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado

instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.



•

Se dibujan los ejes horiontal ! y vertical ".

• Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en

dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho

sistema de referencia.

• Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma #ue la dirección

de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

• $on la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección

tangencial y sobre la dirección normal.

• Se determina el %ngulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se

calcula el valor num&rico de dichas componentes' at =a cosθ y an=a sinθ

Ejemplo:

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v()*t+-i)/t+0- j

m1s. $alcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t ( s.

2ibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y

normal en dicho instante.

3. 2adas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la

aceleración

v x (*t + m1s, a x(* m1s

v y(/t +0 m1s, a y(3t m1s

. Los valores de dichas componentes en el instante t ( s son

v x (4 m1s, a x(* m1s

v y(35 m1s, a y(4 m1s

*. 2ibujamos el vector velocidad y el vector aceleración



4. $alculamos el módulo de la aceleración a y el %ngulo θ #ue forman el vector

velocidad y el vector aceleración.

θ=arctanayax−arctanvyvx=4.76ºa=a2x+a2y−−−−−−√ =24.2

0. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración

at =a6cosθ (4.3 m1s

an=a6sinθ (.7 m1s

8odemos hallar la aceleración tangencial en cual#uier instante, a partir del producto

escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.

v⋅a=vacosθ=vatat=v⋅av=vxax+vyayv2x+v2y√

La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la

aceleración tangencial at

a2n=a2−a2t=a2x+a2y−(vxax+vyay)2v2x+v2yan=axvy−ayvxv2x+v2y√

Radio de curvatura

En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoriacuales#uiera en el instante t . Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante



t , la dirección del vector velocidad vdv en el instante t+dt . Se traan rectas

perpendiculares a ambas direcciones, #ue se encuentran en el punto $ denominado

centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t , y el

centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ.

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la

dirección del vector velocidad cambia un %ngulo dθ . #ue es el %ngulo entre las tangentes

o entre las normales. El móvil se desplaa en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ,

tal como se aprecia en la figura.

9tra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de

escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario #ue

tenga su misma dirección y sentido ut(v1v. La derivada de un producto se compone de

la suma de dos t&rminos

a=dvdt=d(v⋅ut)dt=dvdtut+vdutdt

El primer t&rmino, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut, es la

componente tangencial de la aceleración

El segundo t&rmino, vamos a demostrar #ue tiene

la dirección normal un. $omo vemos en la figura las componentes del vector unitario ut

son

ut(cosθ ·isinθ ·j

Su derivada es



dutdt=(−sinθi+cosθ j)dθdt=dθdtun=1ρdsdtun=vρun

El vector aceleración es

a=dvdt=dvdtut+v2ρun

Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente

at=dvdt an=v2ρ

Esta :ltima fórmula, la obtendremos de una forma m%s simple para una partícula #ue

describe un movimiento circular uniforme.

$omo la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. E;istir%

aceleración siempre #ue cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, ladirección de la velocidad o ambas cosas a la ve.

• Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un

movimiento rectilíneo, tenemos :nicamente aceleración tangencial.

• Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo

permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos

:nicamente aceleración normal.

• Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un

tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal..

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/circular/circular1/circular1.html#Aceleraci%C3%B3n%20normal

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/circular/circular1/circular1.html#Aceleraci%C3%B3n%20normal

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