INSTITUTO TECNOLOGICO DE PIEDRAS NEGRAS

Calculo vectorialclculo de reas de regiones polares y longitud de arco en coordenadas polares.

Alumno: Oscar Prez Rocha Carrera: Ingeniera en Mecatronica Maestro: Ing. Jorge Nagay Aguirre

Piedras Negras, Coah

COORDENADAS POLARES El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas que define la posicin de un punto en funcin de los ngulos directores y de la distancia al origen de referencia.

En la figura, se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia, punto O y la lnea OL sobre la que se miden los ngulos, en las referencias a los puntos se indicando la distancia al centro de coordenadas y el ngulo sobre el eje OL. El punto (3, 60), indica que est a una distancia de 3 unidades de O, medidas con un ngulo de 60 sobre OL. El punto (4, 210) est a una distancia de 4 unidades de O y un ngulo de 210 sobre OL. GRAFICAS ESPECIALES DE COORDENADAS POLARES Varios tipos importantes de grficas tienen ecuaciones que son ms simples en forma polar que en forma rectangular. Por ejemplo, la ecuacin polar de un crculo de radio a y centro en el origen es simplemente r = a. Ms adelante se vern las ventajas que esto tiene. Por ahora, se muestran abajo algunos tipos de grficas cuyas ecuaciones son ms simples en forma polar. ROSA DE CUATRO HOJAS/PTALOS Este tipo de grfico se conoce como Rosa de cuatro ptalos. Es fcil ver cmo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro ptalos. La funcin para este grfico es:

ROSA DE TRES HOJAS/PTALOS Presentamos ahora el grfico llamado Rosa de tres ptalos. Analgicamente al grfico de la rosa de cuatro ptalos, este grfico es parecido pero tiene slo tres hojas o ptalos en su forma grfica. Un ejemplo es el siguiente:

ROSA DE OCHO HOJAS/PTALOS El siguiente grfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o ptalos, tal como lo vemos en la siguiente funcin graficada:

UNA ROSA DENTRO DE OTRA Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la grfica que vemos a continuacin, donde se aprecia una rosa de tres ptalos precisamente dentro de otra rosa de tres ptalos u hojas. Veamos:

CARDIOIDES A continuacin se presenta el tipo de grfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simtrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazn, razn por la cual se llama este grfico cardioide. La funcin que lo ha generado es:

Habiendo visto el primer grfico de una cardiode, se presenta otro grfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el grfico de la siguiente funcin:

LIMACONES O CARACOLES Limacon viene del latn limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubri Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la us como ejemplo para mostrar su mtodo para trazar tangentes. Un limaon o las grficas polares que generan limacones son las funciones en coordenadas polares con la forma: r = 1 + b cos Ahora veamos un ejemplo concreto de un grfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La funcin para este grfico es la siguiente:

Veamos otro grfico de una funcin que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del grfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:

Continuando con la grfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y est dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuacin el grfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:

Ahora se muestra un grfico igual al anterior con la diferencia que ahora est dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaon o caracol con hendidura o concavidad que est dirigido hacia la derecha:

Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro grfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual est apuntando hacia arriba, como lo vemos en el grfico siguiente:

CIRCUNFERENCIA Esta nueva funcin nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la cual ser formada en el grfico polar mediante la siguiente funcin:

Ahora veamos una nueva grfica que resulta en una circunferencia, con la nica diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del grfico anterior, que la circunferencia apareca abajo del radio inicial. La funcin con su grfico es esta:

LEMNISCATA En matemticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuacin en coordenadas polares:

La representacin grfica de esta ecuacin genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el smbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemticas. El smbolo en s mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta funcin con su respectivo grfico lo apreciamos a continuacin:

Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:

Finalmente se muestra un grfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la nica diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:

LA NEFROIDE DE FREETH Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las dems. Hay curvas polares que tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemtico ingls T.J. Freeth, quien descubri esta curva en 1879. Un ejemplo se aprecia en este grfico:

CONCOIDES DE NICMENES Nicmenes naci sobre el ao 280 antes de Cristo en Grecia y muri en el ao 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las lneas de la Concoide". Veamos un grfico en coordenadas polares de la concoide de Nicmenes:

Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicmenes. La grfica anterior est hacia la derecha, mientras que la que se presenta a continuacin tiene una direccin hacia arriba. Veamos:

Un tercer ejemplo de Concoide de Nocmenes lo tenemos en el grfico que se muestra a continuacin, donde su forma se ve diferente a los dos grficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le est restando un nmero uno a la funcin. El mismo grfico veramos si se le estuviera sumando uno a la funcin. El grfico quedar as:

CISOIDE DE DIOCLES

Esta es una curva muy famosa y til en el clculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para resolver el problema de la duplicacin del cubo. El grfico aparece de esta forma:

PARBOLA Esta figura es muy conocida en el mundo del Clculo. Tal como podemos generar funciones de parbolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer tambin en coordenadas polares. Veamos el ejemplo:

ESPIRAL Este grfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral ms simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre s misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo. El grfico que se presenta a continuacin es tambin conocido como Espiral de Arqumedes, precisamente en honor Arqumedes, quien fue un notable fsico y matemtico griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realiz un estudio profundo sobre sus propiedades matemticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo. Para mostrar el grfico que se forma, presentamos la siguiente funcin en coordenadas polares que formar la espiral polar siguiente:

Veamos ahora otra grfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936. Su ecuacin es r = a + . En el siguiente ejemplo se muestra una funcin y su respectiva grfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat:

Un segundo grfico espiral lo tenemos en la funcin que veremos ahora, que podramos encontrarla con dos nombres refirindose al mismo grfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral son: espiral recproca o espiral hiperbolica. Tendremos entonces:

Otro caso que se puede dar es la espiral logartmica, que se ilustra mediante la siguiente funcin y su respectivo grfico:

TABLA RESUMEN GRFICAS CONOCIDAS Ecuacin Curva Crculo de radio a, con centro en el polo. Cardioide Espiral de Arqumedes Rosa de tres ptalos (con un lazo simtrico en torno a , impar , , impar , Rosa de n-ptalos par Rosa de 2n-ptalos Rosa de n-ptalos (con un lazo simtrico en torno a par Rosa de 2n-ptalos Recta Recta , Crculo de radio lemniscata a travs del polo y )

,

Longitud de arco En matemtica, la longitud de arco, tambin llamada rectificacin de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensin lineal. Histricamente, ha sido difcil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios mtodos para curvas especficas, la llegada del clculo trajo consigo la frmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. Mtodos modernos Al considerar una curva definida por una funcin y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuacin: (1) En el caso de una curva definida paramtricamente mediante dos funciones dependientes de t como e , la longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante: (2) Si la funcin esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ngulo polar estn relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo , toma la forma: (3) En la mayora de los casos, no hay una solucin cerrada disponible y ser necesario usar mtodos de integracin numrica. Por ejemplo, aplicar esta frmula a la circunferencia de una elipse llevar a una integral elptica de segunda especie. Entre las curvas con soluciones cerradas estn la catenaria, el crculo, la cicloide, la espiral logartmica, la parbola, la parbola semicbica y la lnea recta. Deduccin de la frmula para funciones de una variable

Aproximacin por mltiples segmentos lineales.

Para un pequeo segmento de curva, s se puede aproximar con el teorema de Pitgoras. Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una funcin , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva s que va desde un punto a a uno b. Con este propsito es posible disear una serie de tringulos rectngulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el

arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este mtodo "ms funcional" tambin se puede exigir que las bases de todos aquellos tringulos sean iguales a x, de manera que para cada uno existir un cateto y asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa, , al aplicarse el teorema de Pitgoras. As, una aproximacin de s estara dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso se tiene que:

Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se calcula cada hipotenusa para llegar a una nueva expresin;

Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:

Ahora bien, mientras ms pequeos sean estos n segmentos, mejor ser la aproximacin buscada; sern tan pequeos como se desee, de modo que x tienda a cero. As, x se convierte en dx, y cada cociente incremental yi / xi se transforma en un dy / dx general, que es por definicin . Dados estos cambios, la aproximacin anterior se convierte en una sumatoria ms fina y ahora exacta, una integracin de infinitos segmentos infinitesimales;