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UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Solución Ayudantía Nº4 CIV-242 Hidráulica Teórica Departamento de Obras Civiles 1er Semestre 2011

P.C./M.C./a.o./j.p.a/p.c./r.a./s.e 1

Antes de comenzar a resolver cualquier ejercicio en particular es coneveniente definir:

Altura critica de escurrimiento ch : Se utiliza la condicion para que la energia especifica(H) sea minima, y como es

sabido esto ocurre cuandoch h , de este modo altura critica se obtiene mediante:

22

3Fr 1 1s

Qb

g

Donde:

: Area de seccion transversal.

:sb Ancho superficial.

Altura normal de escurrimiento nh : esta altura de escurrimiento se logra, cuando existe enquilibrio entre las fuerzas de

gravedad y friccion. Es muy importante porque indica el valor teorico al cual debiera tender la altura de escurrimiento.

Asumiendo i J , es posible usar maning para calcular la altura normal. 2/3 5/3

2/3

2/3h

Q nR

i

Donde:

: Area de seccion transversal.

:hR Radio hidraulico.

: Perimetro mojado.

Clasificacion del escurrimiento

Para clasificar el escurrimiento es necesario conocer la altura de escurrimiento (h) o pendiente de este (i), la altura

normal(hn) y la altura critica(hc). la clsificacion del escurrimiento se detalla a continuacion:

i. /c

c

c

h h rioh v s h

h h torrente

ii. /

n c

c

n c c

n c

c

h h

i i Pendiente fuerteh i v s h i

h h Pendiente suave

i i

iii. /n

n

n

h h Escurrimiento peraltadoh v s h

h h Escurrimiento deprimido

El escurrimiento se analiza mediante la siguiente ecuacion:

21

dh i j

dx Fr

En la siguiente figura se detallan los posibles tipos de escurrimiento.



Figura 1 – Tipos de escurrimiento.

1. Un canal de sección variable que se encuentra condicionado aguas arriba por la presencia de una compuerta de

apertura 0.4 [m], está conformado por tres tramos suficientemente largos para alcanzar escurrimiento normal. Las

características de los tramos son las siguientes:

Figura 2

Nota: considere a la salida de la compuerta ch C a , con Cc=0.611, además para todos los tramos considere n=0.019.

(a) Determinar el caudal que circula por el canal.

(b) Determinar Z para que nI nIIh h .

(c) Determinar b para que nI nII nIIIh h h .

1

2

3

0

0

0

n

n c

n c

c

dhh h Rio peraltado M

dxPendiente Suave dh

h h h Riodeprimido Mh h dx

dhh h Torrente deprimido M

dx

1

2

3

0

0

0

c

c n

c n

n

dhh h Rio peraltado S

dxPendiente Fuerte dh

h h h Torrente peraltado Sh h dx

dhh h Torrente deprimido S

dx



Solución

(a) Primero definamos las secciones necesarias para le resolución del ejercicio, estos se detallan en la figura 3.

Para poder determinar el caudal, se realiza balance de energía específica entre las secciones (0) y (1), de esta forma se

tiene:

0 1

2

0 1 2

12

E E

Qh h

g

Donde:

1

2

2 1 1 1

0.611 0.4[ ] 0.244[ ]

0.244 1.5 1.5 0.244 0.455[ ]

ch C a m m

h b k h m

23

23 0.244 3.34

2 9.8 (0.455)

QQ m s

(b) Primero se debe determinar la altura normal (hn) del tramo I, de esta forma tenemos,

hn tramo I: escurrimiento uniforme i=j, utilizando la formula de Manning:

5/3

2/3

Q n

i

Donde:

2

2 2

0.0025; 0.019

1.5 1.5

2 1 1.5 2 1 1.5

nI nI

nI nI

i n

h h

b h k h

Remplazando dichos términos en la ecuación de Manning, se obtiene:

(0) (1)

Figura 3



5/32

2/32

1.5 1.53.34 0.0190.776[ ]

0.0025 1.5 2 1 1.5

nI nI

nI

nI

h hh m

h

Luego, para el tramo II se impone hnII = hnI =0.776[m], de esta forma para dicho tramo se tiene:

2

2 2

0.005; 0.019

1.5 1.164 0.3012

1 2.276 0.776 1

nII

nII

nII nI

i n

Z hh Z

b h h Z Z

Luego remplazando lo anterior en la ecuación de Manning, se obtiene:

5/3

2/32

1.164 0.3013.34 0.0191.3

0.005 2.276 0.776 1

ZZ

Z

(c) Para determinar b del tramo III, se impone hnIII = hnII = hnI = 0.776[m], por lo tanto evaluando en la formula de

Manning.

5/3

2/3

5/3

2/3

2

0.7763.34 0.0191.87[ ]

0.006 2 0.776

nIII

III nIII

b hQ n

i b h

bb m

b

De esta forma se tiene, que los tramos de escurrimiento del canal resultan:

khI

1.5 [m] b = 1.87 [m]

khI

ZhII

Figura 4 – Vista en Planta.



2. Para el canal de sección de escurrimiento triangular , se pide:

(a) Obtener una expresión para la altura critica ( )ch en función de y Q .

(b) Obtenga la pendiente critica ( )ci para 45 y 33[ / ]Q m s y 0.022.n

Figura 5

Solución:

(a) Condición para determinar ch

22

3Fr 1 1s

Qb

g

Por otro lado, se tiene

Figura 6

De este modo: 1/52 2

2

2 3 2

2 ( ) 2Fr 1 1

( ( )) ( )

c

c

c

Q h tg Qh

g h tg g tg

(b) Si 45 y 33[ / ]Q m s , evaluando se tiene:

1/52

2

2/3

5/3

2 (3)1.13[ ]

9.8 (45 )

:

c

c

h mtg

Q npendiente critica maning i

2( ) 2 ( )c

c

b

tg b h tgh

2

22 ( )( )

2 2

c c

c

b h h tgh tg



Se tiene que,

22 2 2; ( ); 0.022(45 )

c

c c

hh h tg n

sen

Evaluando lo anterior

2/3

2 5/3

3 0.022 (2 1.13 2)0.009

((1.13) (45 ))ci

tg

3. Un canal debe cubrir un desnivel de 3[ ]z m , para lo cual se ha diseñado un ducto de sección cuadrada de lado

a=1.5 [m] con una inclinación 30 , como se muestra en la figura 3, aguas arriba del ducto el canal es de sección

rectangular de ancho b=2[m] y aguas abajo este es de sección trapezoidal de ancho basal b=2[m] y taludes 1:1.5 (V:H).

suponga que las pendientes de los tramos A y C son pequeñas o despreciables, y que el tramo B siempre existe

escurrimiento con superficie libre.

Figura 7

Solución:

(a) Encontrar una expresión que permita determinar la altura crítica en un canal rectangular inclinado en un ángulo

grande.

La expresión para la energía específica (medida con respecto al fondo de la sección) en el tramo inclinado queda: 2 2 2

2 2

cos( )cos( )

2 2 2

fondop v h q qE h

g gh gh

Donde

:q Caudal por unidad de ancho.

Luego se busca el nivel de mínima energía que corresponde a h=hc

2

1/32 2

30 cos( )

cos( )2c

c

Fr

dE dE q qh

dh dh ggh

c

c

i i pendiente fuertesi

i i pendiente suave



(b) Dibuje esquemáticamente la curva h vs. H para el caso de un canal rectangular inclinado en un ángulo grande y

compárela con la de un canal de idénticas características con un ángulo de inclinación pequeño. 2 2

3

2cos( )

cos( )2c c c

c

q qE h pero h

ggh

22

3 2

cos( ) 3cos( ) cos( ) cos( )

2 22

cc

c c c c

c

q h gq hE h h h

ggh q

Para el caso de 0

3

2c cE h

De este modo la grafica queda:

Figura 8

(c) Calcule las alturas críticas en los tramos A, B y C de la figura para 32[ / ]Q m s .

Tramo A: tramo rectangular de ancho b=2[m] 31[ / / ]Aq m s m

2

cos( )

A

cA

qh

g

1/31/3

2

1

10.47[ ]

9.8m

Tramo B: tramo cuadrado de lado a=1.5[m], inclinado en 30º 1/3 1/3

2 22

1.50.594[ ]

cos( ) 9.8cos(30 )cB

Q

ah m

g

Tramo C: tramo trapezoidal de ancho basal b=2[m]. 22

3

2

2 3

2 1.5: 1

2 2 1.5

2 (2 2 1.5 )1 0.418[ ]

9.8 (2 1.5 )

cc cc

s

s cc

cc

cc

cc cc

h hQCrisis b

g b h

hh m

h h



(d) Calcular las alturas y velocidades de escurrimiento en las secciones 1, 2, 3 y 4, despreciando pérdidas de energía.

Suponga que el escurrimiento en 4 está controlado sólo por condiciones de aguas arriba.

Con

3

2c cE h

Así, se tiene:

0.701[ ]; 0.771[ ]; 0.588[ ];cA cB cCE m E m E m

Luego realizando Bernoulli con respecto al nivel bajo.

Figura 9

El punto (2) constituye una caída, por lo general en una caída se impone crisis, por lo tanto

2

2

1 2 1 1 12

1

2

3 2 3 3 32

3

4 3

(2) 0.594[ ]

0.528[ ]2(1) : 0.771 0.528[ ]

0.416[ ]2

4.279[ ]1.5(3) : 3.771 cos( ) 0.159[ ]

0.159[ ]2

(4) :

cBCrisis en h h m

Qm rio

En E E h h h mm torrentegh

Qm rio

En E E z h h h mm torrentegh

En E E

2

4 4 42

4

3.71[ ]3.771 0.11[ ]

0.11[ ]2

m rioQh h h m

m torrenteg

1

2

3

4

Velocidades : 1) 1.89[ / ]

2) 2.24[ / ]

3) 8.39[ / ]

4) 8.398[ / ]

v m s

v m s

v m s

v m s

1

1 1

2

2 2

2 3

4

0.701[ ]

(0.701 3)[ ] 3.701[ ]

0.771[ ]

(0.771 3)[ ] 3.771[ ]

0.771[ ]

0.588[ ]

c cA

c c

c cB

c c

c cB c

c cC

E E m

H E z m m

E E m

H E z m m

E E H m

H E m



4. Para el canal de sección de escurrimiento variable de la figura 1 por el que circula un caudal de 3[m3/s], se pide:

(a) Clasificar la pendiente hidráulica en cada tramo.

(b) Dibujar el eje hidráulico.

Figura 10

Solución:

(a)

Tramo I:

Altura critica 1c

h :

1

2

31

c

Qb

g b h

1

1/3 1/32 2

2 2

(3)0.612[ ]

9.8 (2)c

Qh m

g b

Altura normal 1nh :

Se tiene

1 1

1 1

2

2 2 2

n n

n n

b h h

b h h

5/3

1

12/3

1

(2 )3 0.0110.417[ ]

(2 2 )0.008

n

n

n

hh m

h

1 1c nh h Pendiente fuerte

Tramo II:

Altura critica 2ch :

2

2 2

2

2.5 1.5

2.5 2 1.5

c c

s c

h h

b h

2

2

232

2 2

(3) (2.5 2 1.5 )1 0.477[ ]

9.8 2.5 1.5

c

c

c c

hh m

h h

Dado que 2 0i , 2nh no esta definida, por lo tanto en tramo II la pendiente es horizontal

1 1

2 2

3 3

0.011 0.008

0.015 0

0.026 0.01

n i

n i

n i

L

L



Tramo III:

Altura critica 3ch :

3 1 ( , )c c ch h dado que h f Q geometria

3 0.612[ ]ch m

Altura normal 3nh :

Se tiene

3 3

3 3

2

2 2 2

n n

n n

b h h

b h h

5/3

3

32/3

3

(2 )3 0.0260.703[ ]

(2 2 )0.01

n

n

n

hh m

h

3 3n ch h Pendiente suave

(b) Existen tres posibles casos de eje hdraulico debido al cmabio de pendiente fuerte a suave, lo que provoca que se

produzca un resalto hidraulico.

Caso 1: resalto hidraulico se produce en el tramo 1.

Por lo tanto, se tiene 2

1 0

0

c c

c

n

vsi h h v v

v

si h h i J i J

20

1c

dh i J dh

ds dsv

v

c

dhsi h i

ds

dhsi h h

ds

Figura 12 - Resalto hidráulico se produce en el tramo 1.

Realizando un análisis similar se obtienen los otros casos, cuyos ejes hidráulicos quedan:

Figura 11

dh

ds



Figura 13 - Resalto hidráulico ocurre en el tramo 2.

Figura 14 - Resalto hidráulico ocurre en el tramo 3.

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