series tiempo

Valeria del Rosario Moscoso Carpio UNSA | INGENIERIA DE SISTEMAS

SERIES DE TIEMPO PROCECOS ESTOCASTICOS

PROCESOS ESTOCASTICOS

TEMA: SERIES DE TIEMPO

GUIA PARA TRABAJAR SERIES DE TIEMPO

PREGUNTA 1: ELECCION DEL MODELO QUE DESCRIBE A LA SERIE TEMPORAL

Los siguientes datos corresponden al nmero de bolsas de cemento vendidas

trimestralmente por cierta fbrica

Se llama diferencia estacional dij a la diferencia entre dos datos de la misma estacin j

correspondiente a dos aos consecutivos i-1 e i:

= 1 ,

Donde yij es el valor de la serie en el ao i y estacin j.

De manera similar, se define los cocientes estacionales kij como los cocientes entre dos datos de la

misma estacin correspondientes a dos aos consecutivos:

= / 1 ,

Una vez calculados los valores dij y kij, se calculan los coeficientes de variacin sobre cada uno de

ellos, cv(d) y cv(k). Si cv(d) < cv(k) se elegir esquema aditivo, en caso contrario se optara por el

multiplicativo.

MODELO ADITIVO = T+S+C+R

MODELO MULTIPLICATIVO = T*S*C*R

Fecha t Bolsas

mar-99 1 213.831

jun-99 2 231.682

sep-99 3 205.904

dic-99 4 197.817

mar-00 5 252.445

jun-00 6 249.015

sep-00 7 220.373

dic-00 8 239.846

mar-01 9 271.026

jun-01 10 271.922

sep-01 11 231.696

dic-01 12 269.232

mar-02 13 311.13

jun-02 14 309.742

sep-02 15 240.937

dic-02 16 248.5

mar-03 17 264.408

jun-03 18 322.819

sep-03 19 254.99

dic-03 20 218.562

mar-04 21 194.56

jun-04 22 285.707



sep-04 23 248.664

dic-04 24 271.553

mar-05 25 279.705

jun-05 26 322.256

sep-05 27 271.391

dic-05 28 326.649

mar-06 29 378.126

jun-06 30 391.593

sep-06 31 315.817

dic-06 32 394.482

mar-07 33 449.777

jun-07 34 447.015

sep-07 35 376.372

dic-07 36 421.067

mar-08 37 446.748

jun-08 38 460.553

sep-08 39 377.197

dic-08 40 427.247

mar-09 41 448.989

jun-09 42 488.183

sep-09 43 403.402

dic-09 44 452.817

mar-10 45 513.582

jun-10 46 509.548

sep-10 47 437.249

dic-10 48 543.437

mar-11 49 566.815

jun-11 50 535.833

sep-11 51 440.147

dic-11 52 565.609

mar-12 53 632.318

jun-12 54 646.656

sep-12 55 547.793

dic-12 56 601.651

mar-13 57 660.525

jun-13 58 653.024



Paso 1: Como se deben compara los datos de la misma estacin correspondientes dos aos consecutivos hay que reordenar la tabla

AO MARZO JUNIO SEPTIEMBRE DICIEMBRE

1999 213.831 231.682 205.904 197.817

2000 252.445 249.015 220.373 239.846

2001 271.026 271.922 231.696 269.232

2002 311.13 309.742 240.937 248.5

2003 264.408 322.819 254.99 218.562

2004 194.56 285.707 248.664 271.553

2005 279.705 322.256 271.391 326.649

2006 378.126 391.593 315.817 394.482

2007 449.777 447.015 376.372 421.067

2008 446.748 460.553 377.197 427.247

2009 448.989 488.183 403.402 452.817

2010 513.582 509.548 437.249 543.437

2011 566.815 535.833 440.147 565.609

2012 632.318 646.656 547.793 601.651

2013 660.525 653.024 0 0

Reordenamos los datos como se muestra en la tabla

Paso 2: Calcular los dij (se facilita usando la misma estructura de tabla)


1999 - 2000 38.614 17.333 14.469 42.029

2000 - 2001 22.581 22.907 11.323 29.386

2001 - 2002 40.104 37.82 9.241 -20.732

2002 - 2003 -46.722 13.077 14.053 -29.938

2003 - 2004 -69.848 -37.112 -6.326 52.991

2004 - 2005 85.145 36.549 22.727 55.096

2005 - 2006 98.421 69.337 44.426 67.833

2006 - 2007 71.651 55.422 60.555 26.585

2007 - 2008 -3.029 13.538 0.825 6.18

2008 - 2009 2.241 27.63 26.205 25.57

2009 - 2010 64.593 21.365 33.847 90.62

2010 - 2011 53.233 26.285 2.898 22.172

2011 - 2012 65.503 110.823 107.646 36.042

2012 - 2013 28.207 6.368 -547.793 -601.651



Paso 3: Calcular el coeficiente de variacin de los dij

MEDIA 8.291339286

DESV. ESTANDAR 118.8106638

COEF. DE VARIACION 14.32949005

Paso 4: Calcular los Kij (se facilita usando la misma estructura de tabla)


1999 1.18058186 1.07481375 1.07027061 1.21246405

2000 1.08944919 1.09199044 1.05138107 1.12252028

2001 1.13127486 1.139084 1.03988416 0.92299578

2002 0.84983126 1.04221901 1.05832645 0.87952515

2003 0.7358325 0.88503775 0.97519118 1.24245294

2004 1.4376285 1.12792476 1.09139642 1.20289225

2005 1.3518743 1.21516124 1.1636974 1.20766327

2006 1.18948975 1.1415296 1.19174079 1.06739218

2007 0.99326555 1.03028534 1.00219198 1.014677

2008 1.00501625 1.0599931 1.06947298 1.05984828

2009 1.14386321 1.04376433 1.0839039 1.200125

2010 1.10365044 1.05158493 1.0066278 1.04079958

2011 1.11556328 1.20682377 1.24456829 1.06372247

2012 1.04460888 1.00984759 0 0

Paso 5: Calcular el coeficiente de variacin de los Kij

MEDIA 1.04961735

DESV. ESTANDAR 0.23472068

COEF. DE VARIACION 0.223625

Paso 6: Comparar los coeficientes de variacin y elegir el modelo que explica el

comportamiento de la serie temporal

CV (dit ) < CV (cit )Esquema multiplicativo

0.223625 < 14.32949005

Luego de comparar los coeficientes de variacin, podemos notar que el coef. De variacin de los es menor

al de los . Por lo que el modelo que explica el comportamiento de la serie temporal es el ESQUEMA

MULTIPLICATIVO =


TEMA: SERIES DE TIEMPO PREGUNTA 2: ANALISIS DE LA TENDENCIA MEDIANTE ENFOQUE GLOBAL Consiste en el ajuste de las observaciones a una funcin matemtica (usualmente por el mtodo de

mnimos cuadrados) para la obtencin de la tendencia

Este procedimiento adems de ser el ms exacto, tiene la ventaja de disponer de una medida de la

bondad del ajuste, que viene dada por el coeficiente de determinacin.

Para eliminar las oscilaciones propias de factores estacionales, calcularemos valores medios anuales

y sobre estos realizaremos el ajuste, evitndose as que se recoja en la tendencia movimientos de la

serie de tipo estacional si el esquema de la serie resulta ser aditivo, se ajusta a una recta, y si resulta

multiplicativo a una exponencial.

Paso 1: Construir una nueva tabla donde se consignen las ventas promedio por ao

AO PROMEDIO VENTAS

1999 212.3085

2000 240.41975

2001 260.969

2002 277.57725

2003 265.19475

2004 250.121

2005 300.00025

2006 370.0045

2007 423.55775

2008 427.93625

2009 448.34775

2010 500.954

2011 527.101

Paso 2: Sobre los datos del paso 1 hacer el anlisis de correlacin y regresin correspondiente

Estadsticas de la regresin

Coeficiente de correlacin mltiple 0.829663634

Coeficiente de determinacin R^2 0.688341745

R^2 ajustado 0.664368033

Error tpico 2.590876172

Observaciones 15



ANLISIS DE VARIANZA

Grados de

libertad Suma de

cuadrados Promedio de los

cuadrados F

Valor crtico de F

Regresin 1 192.7356886 192.7356886 28.7123557

2 0.000130104

Residuos 13 87.26431142 6.71263934

Total 14 280

Coeficientes Error tpico Estadstico t Probabilidad Inferior 95% Superior

95% Inferior 95.0%

Superior 95.0%

Intercepcin 1994.84385 2.186828128 912.2087946 1.24735E-32 1990.119495 1999.568205 1990.119495 1999.568205

PROMEDIO VENTAS

0.030761538 0.005740816 5.358391151 0.000130104 0.018359259 0.043163818 0.018359259 0.043163818

Paso 3: Elegir el modelo que mejor ajuste los datos. Esta funcin seria la tendencia de la serie temporal.

TENDENCIA LINEAL = +

y = 22.377x - 44525R = 0.6883

0

100

200

300

400

500

600

700

1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014

Tendencia Lineal



TENDENCIA EXPONENCIAL

Segn las grficas podemos observar que la que mejor ajusta a los datos es la tendencia lineal

PREGUNTA 3: ANALISIS DE LA TENDENCIA MEDIANTE ENFOQUE LOCAL

Este mtodo es ms flexible y no exige la suposicin de una forma funcional para la tendencia al

contrario que el anterior.

Este mtodo se usa bien para la obtencin de la tendencia secular o bien como una tcnica de

transformar las observaciones en otras ms suavizadas (la tpica representacin grfica con dientes

de sierra presentara altibajos menos pronunciados) para posteriormente ajustar una curva a estos

valores.

Generalmente entenderemos por suavizamiento de la serie la obtencin de unos valores

transformados con menos fluctuacin.

y = 1E-52e0.0624x

R = 0.7344

0

100

200

300

400

500

600

700

1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014

Tendencia Exponencial


TEMA: SERIES DE TIEMPO ESTACIONALIDAD

Tomamos estaciones sobre 3 aos por lo tanto la tabla previa quedara as

DATOS SUAVIZADOS

AO PROMEDIO VENTAS PROMEDIOS MOVILES (3)

1999 212.3085 150.9094167

2000 240.41975 237.8990833

2001 260.969 259.6553333

2002 277.57725 267.9136667

2003 265.19475 264.2976667

2004 250.121 271.772

2005 300.00025 306.7085833

2006 370.0045 364.5208333

2007 423.55775 407.1661667

2008 427.93625 433.2805833

2009 448.34775 459.0793333

2010 500.954 492.13425

2011 527.101 545.0531667

2012 607.1045 487.5309167

2013 328.38725 311.8305833

La serie formada por las medias de Yt, nos indica la lnea amortiguada de la tendencia

Series 1 : Promedio de ventas

Series 2 Datos suavizados

0

100

200

300

400

500

600

700

1995 2000 2005 2010 2015

Aos

Grafico Suavizado

Series1

Series2


TEMA: SERIES DE TIEMPO PREGUNTA 4: ANALISIS DE ESTACIONALIDAD

La variacin estacional nos indica el incremento o disminucin que se ha experimentado en un

periodo estacional dado respecto del valor medio referido a todo el ao.

En el modelo multiplicativo, la componente estacional se una serie temporal, se mide con un ndice

(adimensional) denominado ndice de variacin estacional, expresado en porcentaje y que significa

la fluctuacin del valor de la serie respecto al valor de la tendencia media del ao. Por ejemplo un

ndice de variacin estacional del 86% significa una disminucin del 14% respecto del valor de la

tendencia.

En el modelo aditivo, para cada estacin, la componente estacional indica en trminos absolutos la

cantidad en que se ha superado o no se ha alcanzado el valor de la tendencia media anual. En este

caso la componente estacional se expresa en las mismas unidades que las observaciones.

La determinacin de la variacin estacional, es un aspecto fundamental en el anlisis de una serie,

principalmente para estudios comparativos y efectuar predicciones.

Se usar el Mtodo de la razn(o diferencia) a la media mvil para trabajar la estacionalidad

Dado que en el rea econmica la mayor parte de las series siguen un esquema multiplicativo,

estudiaremos el mtodo de la razn a la media mvil, si el esquema fuera aditivo operaramos de

modo anlogo pero en lugar de con cocientes (razones) con diferencias (mtodo de la diferencia a

la media mvil).

Este procedimiento, utiliza el suavizamiento de la serie proporcionado por las medias mviles

Paso 1: Reordenar las medias mviles de orden 3 bajo la siguiente estructura cuadro de medias mviles


1999 155.4253333 160.2323333 142.092333 145.8876667

2000 245.7673333 276.893 219.324333 235.6316667

2001 278.2003333 301.4943333 231.002 252.526

2002 282.188 306.0893333 242.541 245.4313333

2003 256.6993333 310.2606667 248.197 246.205

2004 246.2243333 333.1853333 258.348333 272.2546667

2005 284.1303333 386.9546667 278.624 330.8946667

2006 369.2026667 433.0536667 321.193333 380.7326667

2007 424.8836667 465.2503333 356.462 414.2653333

2008 448.5046667 486.0946667 385.657 433.7103333

2009 469.773 511.188 405.949333 474.5003333

2010 509.7953333 564.0123333 426.932667 520.621

2011 570.905 611.8376667 475.063 570.2323333

2012 619.886 649.84 329.313333 389.0866667

2013 646.4215 653.024 273.8965 300.8255



Paso 2: Se dividen los valores originales de la serie por las medias mviles obtenidas (razones a las medias

mviles) y se calculan las medias sobre dichos cocientes (razones) para cada una de las estaciones:

las medias de cada columna representan la variacin estacional (st)


1999 1.375779581 1.44591291 1.44908592 1.35595424

2000 1.027170684 0.89931851 1.00478135 1.01788526

2001 0.974211629 0.90191413 1.0030043 1.06615556

2002 1.10256283 1.01193334 0.99338669 1.01250316

2003 1.030029944 1.04047672 1.02736939 0.88772364

2004 0.79017373 0.85750173 0.96251443 0.99742276

2005 0.984424988 0.8328004 0.97404028 0.98716913

2006 1.024169201 0.90425975 0.98326138 1.03611283

2007 1.058588586 0.96080533 1.05585448 1.01641862

2008 0.996083281 0.94745537 0.97806341 0.98509758

2009 0.955757355 0.95499699 0.993725 0.95430281

2010 1.007427817 0.90343414 1.02416384 1.04382459

2011 0.992835936 0.87577642 0.92650238 0.99189219

2012 1.0200553 0.99510033 1.66344009 1.54631616

2013 1.021817808 1 0 0

MEDIAS (ST) 1.024072578 0.96877907 1.00261286 0.9932519

Paso 3: Se promedian las variaciones estacionales st

MEDIAS (ST) 1.024072578 0.96877907 1.00261286 0.9932519

PROMEDIO (ST)

1.01227913

Paso 4: Obtener los ndices de variacin estacional

(. . ): . . . = ( / () ) 100

Esto dar un i.v.e. para cada periodo (marzo, junio, etc)

I1 1.01165039

I2 1.01669504

I3 0.99045099

I4 0.98120358



Paso 5: A los cocientes de las observaciones por el ndice de variacin estacional se le denomina

componente extra estacional y recogen los valores que presentara La serie si esta no se viera

afectada por los periodos estacionales. Haga un anlisis de la componente extra estacional.


1999 211.368474 227.8775749 207.8891357 201.606481

2000 249.537787 244.9259515 222.4976324 244.440609

2001 267.904804 267.4567982 233.9297983 274.389542

2002 307.546957 304.65576 243.2598915 253.260389

2003 261.363018 317.518024 257.4483775 222.748882

2004 192.319403 281.0154362 251.061388 276.755004

2005 276.483854 316.964269 274.0075007 332.90645

2006 373.771416 385.1626936 318.8618151 402.038893

2007 444.597267 439.6746149 380.0006303 429.133168

2008 441.603149 452.9903088 380.8335842 435.431555

2009 443.818342 480.1665996 407.2912285 461.491387

2010 507.667474 501.1807672 441.46455 553.847349

2011 560.287431 527.0341441 444.3904898 576.444086

2012 625.036083 636.0373315 553.0743129 613.176525

2013 652.918245 642.3007633 0 0

PREGUNTA 5: PREDICCION

Conociendo las cuatro componentes de una serie, as como el modelo segn el cual se relacionan,

podramos conocer el valor de la serie en cualquier momento. La componente irregular (residuos) es

desconocida por naturaleza, del resto de las componentes tenemos a lo sumo una estimacin, y el

modelo es un tipo de esquema que imponemos artificialmente para facilitar la aproximacin al estudio

de la serie. Por lo tanto no se podr conocer exactamente el valor de la serie en un momento futuro

y nos conformaremos con poder hacer una prediccin lo mejor posible. Dado que la componente

cclica es la menos estudiada la prediccin se har en base al tipo de modelo (aditivo o multiplicativo)

y a las componentes tendencia y variacin estacional.

En un esquema aditivo () = () + () + () + (), la estimacin de valor de la serie en un

momento futuro estar dada por:

() = () + ()

En un esquema multiplicativo () = () () () (), la estimacin de valor de la

serie en un momento futuro estar dada por:

() = () ()



Paso 1: Usar la funcin de regresin (tendencia ajustada) obtenida en la pregunta 2 para obtener el

comportamiento medio de los trimestres correspondientes al ao 2013

Ao 2013 = .

= . () = ,

Paso 2: El comportamiento de la serie para el tercer y cuarto trimestre del 2013 diferirn del valor medio,

segn la variacin estacional para dicho trimestre Por tanto, multiplicar Y(t) del paso anterior por el

i.v.e. respectivo

Marzo Junio Septiembre Diciembre

ive MEDIAS (ST) 0.98866687 0.927355411 0.960379832 0.959255324

AO 2013 660.525 653.024 499302.4352 498717.8023

series tiempo

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