análisis clásico - series de tiempo

20 Anlisis clsico de las Series de TiempoAnlisis clsico de las Series de Tiempo 21

Cpitulo 1ANALISIS CLASICO DE LAS SERIES DE TIEMPO1.1. Concepto de una serie de tiempoEn los anlisis estadsticos, usualmente se dispone de dos series de datos: la serie de datos de corte transversal o la serie de datos de corte longitudinal o serie de tiempo.

Una serie estadstica de datos de corte transversal, es el conjunto de datos de una variable que fueron observados en un momento de tiempo para un conjunto de individuos o unidades de anlisis, as por ejemplo, las edades de 9 pacientes atendidos en un consultorio el da 10/04/2015, es una serie de corte transversal.

Una serie de tiempo, es el conjunto de datos para una variable de inters observados en periodos de tiempo diferentes, generalmente secuenciales y a intervalos equidistantes que reflejan los cambios que ocurrieron en un mismo acontecimiento o para un determinado caso. Tambin pueden ser los datos para una misma unidad de estudio en tiempos secuenciales. Por tanto, una serie puede ser mensual, bimestral, trimestral o para otro perodo de tiempo. Los datos mensuales para el nmero de casos IRA producidos en los aos de 2007 al 2011 es una serie de tiempo.

En el anlisis de una serie de tiempo para una variable, el comportamiento de los datos pasados permitirn proyectar el comportamiento de los datos futuros, por esta razn, se dice que los datos pasados son la memoria para realizar el anlisis de una serie de tiempo.

Los datos para una serie de tiempo son registrados de la manera que se muestra a continuacin,

si se dice que la serie ser discreta en caso contrario ser continua.

donde

es el tiempo para el primer dato de la serie,

es el tiempo para el segundo dato de la serie

es el tiempo para el ltimo dato de la serie

Si la serie es equispaciada o a intervalos iguales.

En adelante se tratarn series de tiempo discretas y en ese caso los tiempos y la series sern representadas como,

o

y de manera compacta como,

donde es el tamao de la serie.

En el eje X la serie de tiempo puede ser graficada como sigue,

1.2. Disposicin de una serie de tiempo en tablas

Los datos de una serie de tiempo son presentados en tablas, de forma cruzada para presentacin o para comparacin entre aos y de forma vertical para el ploteo o para el anlisis.

En la tabla No 01 se da una serie dispuesta en forma cruzada.

Tabla No 01Nmero mensual de servicios de limpieza realizados por la empresa de limpieza CLEAR Perodo 2006-2011

Mes \ Ao200620072008200920102011

Enero132715456544

Febrero416828344565

Marzo112517324727

Abril185163313360

Mayo101925633568

Junio651847125135

Julio414924604163

Agosto462938575428

Setiembre182618262754

Octubre333667401539

Noviembre634332305565

Diciembre524866375443

Los datos de la tabla No 01 dispuestos en forma de tabla vertical se dan en la tabla No 02.

Tabla No 02Nmero mensual de servicios de limpieza realizados por la empresa de limpieza CLEAR Perodo 2006-2011

Mes \Ao

Mes \Ao

Mes \Ao

Enero_200613Enero_200827Enero_200844

Febrero41Febrero68Febrero65

Marzo11Marzo25Marzo27

Abril18Abril51Abril60

Mayo10Mayo19Mayo68

Junio65Junio18Junio35

Julio41Julio49Julio63

Agosto46Agosto29Agosto28

Setiembre18Setiembre26Setiembre54

Octubre33Octubre36Octubre39

Noviembre63Noviembre43Noviembre65

Diciembre52Diciembre66Diciembre54

Enero_200727Enero_200927Enero_200944

Febrero68Febrero68Febrero65

Marzo25Marzo25Marzo27

Abril51Abril51Abril60

Mayo19Mayo19Mayo68

Junio18Junio18Junio35

Julio49Julio49Julio63

Agosto29Agosto29Agosto28

Setiembre26Setiembre26Setiembre54

Octubre36Octubre36Octubre39

Noviembre43Noviembre43Noviembre65

Diciembre48Diciembre37Diciembre43

1.3. Ploteo de una serie de tiempoPrevio al anlisis de una serie de tiempo hay que graficarla ya que as se podr determinar los movimientos o patrones que est siguiendo: la estacionariedad de la serie, los datos outliers, los cambios bruscos de direccin, etc. El grfico para los datos de la serie de la tabla No 03 se da abajo de esta:

Tabla No 03

Nmero de artculos vendidos trimestralmente durante 3 aos.

TrimestreAo

200920102011

I5090120

II160220290

III11090230

IV87130180

1.4. Movimientos o patrones de una serie de tiempoUna serie de tiempo est regida por cuatro patrones o movimientos que rigen su evolucin futura, ellos son: el movimiento tendencial, el movimiento estacional, el movimiento cclico y el movimiento irregular.

El movimiento tendencial, muestra el comportamiento de la serie cuando la variable por la influencia de ciertos factores tiende a crecer o decrecer lineal o no linealmente en el tiempo. Por ejemplo, el nmero de ventas de cajas de cerveza que realiza una distribuidora tendr una tendencia que estar sujeta a como funcione la estrategia del marketing que para la distribuidora se realice.

El grfico No 01 muestra una tendencia lineal creciente para una serie trimestral.

El movimiento estacional, es un patrn que manifiesta en la serie en el mismo mes, trimestre, etc. un dato con alto valor para todos los aos de la serie en estudio que puede ser debido a la estacin climtica, a alguna festividad u otra causa. El valor de un dato estacional sobresale en magnitud muy por encima de los restantes valores de la serie en el mismo ao de observacin. En algunos casos presenta aproximadamente la misma magnitud y en otros conforme se avanza en los perodos de observacin su valor puede ser creciente o decreciente. Por ejemplo, en la festividad de la navidad de todos los aos hay muchas variables que alcanzan sus datos ms altos para todos los aos de estudio, tales como por ejemplo, la venta de televisores, la venta de ropa, la venta de dulces, etc.

El grfico No 02 corresponde a una serie con puntos estacionales.

Utilizando el grfico de lnea con marcadores de Excel se podr determinar si la serie presenta puntos estacionales. Aprecie en el grfico No 03 que los datos estacionales siempre deben presentar valores ms altos respecto de los datos no estacionales para el ao que se est observando.

El movimiento cclico, es un movimiento que presenta en la serie datos que se repiten aproximadamente despus de transcurrir un ciclo, por ejemplo, la serie de datos de los volmenes de lluvia.

El movimiento irregular, se manifiesta para periodos cortos menores al perodo de tiempo con el cual se est analizando la serie. La irregularidad es producida por factores que suceden inesperadamente tales como cambios climticos inesperados, cambios en el costo de la materia prima, etc. Los valores de esta irregularidad son conocidos como los errores aleatorios de la serie.1.5. Modelo clsico de una serie de tiempoComo se mostr en 1.2, en una serie de tiempo, los cambios en los datos pueden estar afectados por factores que hacen que la serie resultante pueda tener por lo menos uno de los cuatro patrones o movimientos subyacentes siguientes: El movimiento tendencial , el movimiento estacional , el movimiento cclico o el movimiento irregular .

En forma matemtica, si cada dato de la serie est afectado por los cuatro patrones, el modelo que le corresponda podr ser alguno de las dos formas siguientes segn si la serie tenga o no una fuerte volatilidad en la varianza.Modelo aditivo: Si la varianza anual es estable para todos los aos de observacin.

Modelo Multiplicativo: Si la varianza anual no es estable (voltil o creciente) para todos los aos de observacin.

Otros modelos que se pueden derivar para los datos son:

Si la serie est afectada solo por la tendencia y la irregularidad.

Si la serie est afectada por la estacionalidad, la tendencia y la irregularidad.

Si la serie est afectada de forma multiplicativa por la estacionalidad y la tendencia y de forma aditiva por la irregularidad.

A fin de estabilizar la varianza en el modelo multiplicativo este puede ser transformado a la forma de modelo logartmico.

donde:

Componente tendencial

Componente estacional

Componente cclica

Componente irregular1.6. UNA SERIE DE TIEMPO NO AFECTADA POR LOS MOVIMIENTOS

Una serie de datos supuesta que no est afectada por los movimientos a travs del tiempo tendr la forma del grfico siguiente:

En una serie de este tipo, los datos a travs del tiempo son constantes y no estn afectos a ningn factor. La variabilidad en la variable ser cero. As por ejemplo, si la variable en observacin es el nmero de casos IRA producidos en los aos de 2006 al 2011, esto implicar que, durante los aos dados, el nmero de casos fue el mismo en todos los meses de todos los aos observados.1.7. SERIE ESTACIONARIA EN MEDIA PERO NO EN VARIANZAUna serie ser estacionaria en media pero no en varianza, cuando las medias anuales son estadsticamente iguales y las varianzas anuales muestran variabilidad creciente o decreciente (estabilidad no constante). La serie siguiente muestra este comportamiento.

Tabla No 04

Ganancia promedio diaria obtenida por un comerciante ambulante

Mes/Ao2008200920102011

152.7950.1039.9534.95

249.8446.7063.4230.73

340.9937.3629.2118.86

461.1965.6963.4637.45

538.4754.9951.1333.23

653.5956.9040.6748.31

760.4050.7655.3845.34

847.3650.1232.9366.95

972.2162.6951.4642.23

1050.8244.3548.4756.66

1150.8250.1048.2840.85

1238.0133.6061.0440.14

Promedio51.3750.2848.7841.31

Varianza99.1886.46128.61154.34

1.8. ESTABILIDAD DE LA VARIANZALa inestabilidad de la varianza en una serie de tiempo puede ser corregida mediante la transformacin logaritmo. La tabla de datos y el grfico para esta transformacin se dan a continuacin:

Tabla No 05

Logaritmo de la ganancia promedio diaria obtenida por un comerciante ambulante

Mes/Ao2008200920102011

13.973.913.693.55

23.913.844.153.43

33.713.623.372.94

44.114.184.153.62

53.654.013.933.50

63.984.043.713.88

74.103.934.013.81

83.863.913.494.20

94.284.143.943.74

103.933.793.884.04

113.933.913.883.71

123.643.514.113.69

Promedio3.923.903.863.68

Varianza0.03680.03750.06280.1029

Tabla No 06

Media y varianza para el ln yt de la ganancia promedio diaria obtenida por un comerciante ambulante

AoPromedioVarianza

20083.920.0368

20093.900.0375

20103.860.0628

20113.680.1029

1.9. DESCOMPOSICIN DE UNA SERIE DE TIEMPOEl efecto de los patrones de tendencia, estacionalidad, ciclicidad e irregularidad en los datos de una serie de tiempo pueden ser retirados mediante el proceso de descomposicin de la serie basndose para ello en el modelo clsico de una serie de tiempo.

Por ejemplo, dada una serie de tiempo cuyo modelo es el modelo multiplicativo,

los valores de los efectos de estacionalidad, tendencia e irregularidad de la serie pueden ser retirados realizando primero el proceso de desestacionalizacin y luego el proceso de destendenciado. A continuacin se explican ambos procesos.

Desestacionalizacin de una serie de tiempo

Para retirar el efecto de la estacionalidad deben hallarse los ndices estacionales mensuales y luego cada dato de la serie debe ser dividido respecto de estos ndices estacionales. Los datos que resulten de esta operacin formaran la serie de datos desestacionalizados. La expresin siguiente explica este proceso.

los son los ndices estacionales

Indice Estacional, es un valor relativo que se calcula dividiendo el ndice para un determinado mes y ao de observacin respecto del promedio de los ndices para dicho mes durante todos los aos de observacin. Se usa como un indicador del cambio relativo o variacin mensual a travs de los aos de observacin.Uno de los varios procedimientos que existen se explica a continuacin para una serie mensual.

Tabla No 07

Nmero de comerciantes ambulantes en las calles en una ciudad

Mes/Ao2005200620072008200920102011

Enero3673106103129186165

Febrero606287130184143173

Marzo2369131105155199213

Abril566187113133159209

Mayo90150160190230255270

Junio37106112130189194212

Julio3496118164192180185

Agosto4589116160177162205

Septiembre61100151106164169246

Octubre80121135164180179237

Noviembre7195120121188158217

Diciembre74114148126167208245

Segn el grfico No 10 de medias y varianzas anuales se puede determinar que la serie sigue el modelo multiplicativo ya que tanto la media y la varianza crecen en el tiempo.

El proceso de desestacionalizacin se explica a continuacin:

1) Se hallan los promedios anuales para la serie. Para el ao 2005 es,

los promedios restantes pueden calcularse de la misma manera.2) Para cada uno de los aos del perodo considerado, se calculan los ndices mensuales los cuales deben ser divididos respecto de su respectivo promedio anual. As tenemos, para el ao 2005 los ndices mensuales son,

, ,,

Observe que para este ao se ha tomado como denominador el promedio anual que es de 55.58 el cual represent al 100% del comportamiento promedio para el ao 2005. Las variaciones mensuales respecto del promedio anual fueron, para Enero del 35% menos, para Febrero del 23% menos y as sucesivamente. El 35% representar un equivalente de 55.58-36=19.5820 comerciantes menos. que el promedio anual.

Para los aos siguientes se razona de la misma manera.

3) Se calculan los ndices estacionales, los cuales son, el promedio de los ndices mensuales para el nmero de aos considerado en el perodo de estudio de la serie.

.

Tabla No 08

Indices estacionales para el nmero de comerciantes ambulantes en las calles en una ciudad

Mes/Ao2005200620072008200920102011Indices Estacionales

Enero0.650.770.860.770.741.020.770.80

Febrero1.080.650.710.971.060.780.810.87

Marzo0.410.731.070.780.891.090.990.85

Abril1.010.640.710.840.760.870.970.83

Mayo1.621.581.311.411.321.401.261.41

Junio0.671.120.910.971.091.060.990.97

Julio0.611.010.961.221.100.990.860.97

Agosto0.810.940.951.191.020.890.950.96

Setiembre1.101.061.230.790.940.931.151.03

Octubre1.441.281.101.221.030.981.101.17

Noviembre1.281.000.980.901.080.861.011.02

Diciembre1.331.201.210.940.961.141.141.13

Promedio12.0012.0012.0012.0012.0012.0012.0012.00

Los ndices estacionales se utilizarn para comparar la variacin mensual tomando como referencia todos los aos de observacin de la serie. As, desde el ao 2005 al 2011 la variacin para Enero fue un 20% menos que el comportamiento promedio en dicho perodo.

4) Finalmente, cada uno de los datos de la serie es dividido sobre el ndice mensual correspondiente. La serie obtenida de esta operacin ser la serie desestacionalizada que tendr los patrones de tendencia e irregularidad. Es decir se obtendr la serie,

Tabla No 09

Nmero de comerciantes ambulantes en las calles en una ciudad sin el efecto de la estacionalidad.

Mes/Ao2005200620072008200920102011

Enero45.1891.61133.02129.25161.88233.41207.05

Febrero69.3371.64100.53150.22212.62165.24199.91

Marzo26.9980.97153.73123.22181.89233.53249.96

Abril67.4673.48104.80136.13160.22191.54251.77

Mayo63.65106.08113.15134.36162.65180.33190.94

Junio38.08109.08115.26133.78194.49199.64218.16

Julio35.2199.41122.20169.83198.83186.40191.58

Agosto46.7092.35120.37166.03183.67168.10212.72

Septiembre59.4197.39147.05103.23159.71164.58239.57

Octubre68.65103.83115.84140.73154.46153.60203.37

Noviembre69.8493.45118.04119.02184.92155.41213.45

Diciembre65.40100.76130.81111.36147.60183.83216.54

Mediante los datos de la serie desestacionalizada y los datos originales de la serie se podr estimar la cantidad del efecto estacional. Los dos casos siguientes explican este caso:

Enero:

Febrero:

En el mes de Enero el factor estacional hizo que en las calles de la ciudad disminuyeran en aproximadamente 9 comerciantes y en el mes de Febrero este efecto hizo que aumentara en aproximadamente 15 comerciantes. En el grfico No 11 se aprecian la serie original y la serie desestacionalizada.

Destendenciado de una serie de tiempoDada una serie que est afectada por la tendencia cuyo modelo podra ser,

se puede retirar el efecto de la tendencia procediendo como sigue:

1) En primer lugar, se debe ajustar a la serie un modelo de regresin en funcin al tiempo, escogiendo el modelo segn el patrn que muestre la nube de dispersin.Uno de los modelos utilizados para estos casos es el modelo polinomial cuya frmula es la siguiente:

Tres de grficos derivados de esta funcin se dan a continuacin:

Grfico No 12. Modelo polinomial para k=1,2,3 ajustados a una serie de tiempo

2) A continuacin se determinan los valores ajustados.

3) Por ltimo, cada uno de los datos de la serie deben ser divididos sobre los valores ajustados a fin de quitar el efecto de la tendencia, tal como sigue,

donde ser una serie que ya no tendr el efecto de la tendencia pero si el de la irregularidad, es decir, ser una serie con movimiento irregular.

Se utilizarn los datos de la tabla No 09 que fueron desestacionalizados pero que conservan el efecto de la tendencia y de la irregularidad. En el grfico No 13 se aprecia que un modelo de ajuste adecuado, es el modelo polinomial de grado k=6 con un de ajuste donde los coeficientes del modelo fueron determinados mediante el programa estadstico Statgraphics Centurion Versin 15. El modelo es:

realizando el clculo se obtuvo la nueva serie de datos destendenciados los cuales se dan en la tabla No 10.Tabla No 10

Serie destendenciada para el nmero de comerciantes ambulantes en las calles en una ciudad

Mes/Ao2005200620072008200920102011

Enero0.91531.22471.19900.97161.03581.28081.0427

Febrero1.43260.91440.88851.11491.34150.89771.0012

Marzo0.55800.98911.33380.90281.13161.25681.2444

Abril1.37250.86150.89370.98460.98301.02181.2453

Mayo1.25771.19660.94930.95930.98430.95410.9374

Junio0.72371.18710.95220.94261.16121.04821.0618

Julio0.63931.04640.99481.18081.17140.97180.9230

Agosto0.80660.94240.96621.13881.06820.87061.0126

Setiembre0.97410.96561.16440.69840.91730.84721.1242

Octubre1.06781.00250.90520.93910.87640.78610.9383

Noviembre1.03120.88030.91040.78321.03710.79110.9653

Diciembre0.91800.92770.99590.72260.81860.93070.9566

El grfico sin tendencia para los datos de la tabla No 10 es,

Se puede determinar el valor del efecto de la tendencia como se muestra a continuacin,

En el mes de Enero el efecto de la tendencia hizo que en las calles de la ciudad aumentaran en aproximadamente 44 comerciantes y en el mes de Febrero este efecto hizo que aumentara en aproximadamente 68 comerciantes.Ejercicios

1) Para la serie que se da en la siguiente tabla:

Trimestre/Ao2005200620072008200920102011

I45.0446.9450.9457.0665.2875.6288.08

II37.4439.4243.1348.5755.7364.6275.24

III53.6857.1663.1471.6282.5996.06112.02

IV30.1732.3835.9440.8447.0854.6763.60

a) Determinar qu patrones o movimientos estn afectando a la serie.

b) Escriba el modelo clsico que corresponde y descomponga la serie.

c) Calcule los valores de los efectos de los patrones para cada trimestre.

d) Interprete por lo menos dos valores para los efectos de cada patrn.

2) La serie de la siguiente tabla tiene el movimiento de tendencia. Realice la descomposicin de este movimiento y determine los valores para el efecto mensual del movimiento de tendencia.

Mes/Ao20072008200920102011

Enero32.8247.7340.8674.5586.06

Febrero48.9557.4849.3881.16120.15

Marzo39.3545.9737.6472.83102.31

Abril52.6127.2364.2363.40103.94

Mayo34.4237.0975.1777.2799.17

Junio38.0525.5456.6376.50105.01

Julio40.2446.9162.3575.32101.00

Agosto41.9154.1749.9191.74128.69

Setiembre33.3541.9755.1773.54124.99

Octubre39.7161.3957.92107.55115.44

Noviembre37.4124.0572.0389.15118.49

Diciembre33.3358.3775.3982.30109.87

3) Para la serie de la siguiente tabla determine mediante el modelo clsico aditivo la descomposicin en sus patrones.

Mes/Ao20072008200920102011

Enero33.7948.7041.8375.5287.03

Febrero50.0758.6050.5082.28121.27

Marzo40.2946.9138.5873.77103.25

Abril53.4928.1165.1164.28104.82

Mayo35.6738.3476.4278.52100.42

Junio39.4126.9057.9977.86106.37

Julio41.3948.0663.5076.47102.15

Agosto42.5854.8450.5892.41129.36

Setiembre34.2842.9056.1074.47125.92

Octubre40.5062.1858.71108.34116.23

Noviembre38.3925.0373.0190.13119.47

Diciembre34.2959.3376.3583.26110.83

4) Para la serie de la siguiente tabla determine mediante el modelo clsico multiplicativo la descomposicin en sus patrones.

Mes/Ao20072008200920102011

Enero31.8346.2939.6472.3283.48

Febrero54.8264.3855.3190.90134.57

Marzo36.9943.2135.3868.4696.17

Abril46.2923.9756.5355.7991.46

Mayo43.0246.3693.9696.58123.96

Junio51.7534.7477.01104.04142.81

Julio46.2853.9571.7186.62116.15

Agosto28.0836.2933.4461.4686.22

Setiembre31.0239.0351.3168.40116.24

Octubre31.3748.4945.7584.9791.20

Noviembre36.6623.5770.5987.36116.13

Diciembre32.0056.0372.3879.00105.47

5) Establezca la o las diferencias del porqu la serie del ejercicio 3) sigue el modelo clsico aditivo y la serie de 4) sigue el modelo clsico multiplicativo.

6) La serie de la siguiente tabla sigue el patrn estacional.Mes/Ao20072008200920102011

Enero51.0047.5641.4655.1933.95

Febrero58.4226.1951.3645.9448.25

Marzo51.6049.8333.6739.5643.23

Abril48.3044.2648.4135.5352.64

Mayo68.2367.1464.5371.0369.36

Junio46.7752.6848.9358.4145.73

Julio37.9347.0347.7947.5243.54

Agosto48.8734.0035.0450.9753.04

Setiembre44.5250.9855.0034.0637.12

Octubre54.2641.6034.2657.7963.04

Noviembre49.5042.1757.0342.1844.37

Diciembre60.5545.6851.3442.6056.50

a) Determine los ndices estacionales e interprtelos.

b) Calcule los efectos estacionales para cada mes.Edad

Fecha

10/04/2015

Serie de Tiempo

Serie pronosticada

EMBED Equation.DSMT4


















C. A .Llun V. C. A. Llun V. C. Llun V.

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_1400036965.unknown

_1400036979.unknown

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_1404777061.unknown

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análisis clásico - series de tiempo

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