series tiempo inei

Resumen Aplicativo sobre

Econometría de Series de

Tiempo

DIRECCION NACIONAL DE CUENTAS NACIONALES

Unidad de Metodología

Elaborado por: B. Econ. Johann Paúl Lastra Chacón

1

Lima, Octubre del 2001

2

Presentación

La Dirección Nacional de Cuentas Nacionales (DNCN) del Instituto Nacional de Estadística

e Informática (INEI) a través de la Unidad de Metodología pone a disposición, el documento

"Resumen Aplicativo sobre Econometría de Series de Tiempo" , el cual constituye un documento

que resume y aplica el temario de Econometría de Series de Tiempo incluidos en el libro

“Econometría” de Damodar-Gujarati, con importantes agregados provenientes de anotaciones de

las clases dictadas por profesores de la Universidad del Pacífico en el curso de post-grado

La Unidad de Metodología de la DNCN preparo este documento con la finalidad de

implementar las Cuentas Nacionales Trimestrales que inicialmente estaba como función de esta

Dirección Nacional, sin embargo es oportuno presentarlo para contribuir al conocimiento de la

Institución y de otros usuarios externos.

Es importante resaltar que este documento no abunda en detalles teóricos, sino que en

forma práctica e intuitiva invita al lector a que repase sus conocimientos básicos de la

Econometría moderna de Series de Tiempo, como son el modelo ARIMA, VAR, la cointegración y

el modelo de corrección de errores. Se usa datos económicos de los Estados Unidos y datos del PBI

peruano.

En cada acápite se señala el concepto de cada tópico, se explica brevemente la metodología

operativa y se obtienen resultados, los cuales van acompañados de gráficos y cuadros estadísticos

que ayudan a comprender la intuición detrás de cada concepto .

El primer capítulo trata sobre la forma en que se operan las diversas pruebas de

estacionariedad / raíz unitaria para saber si una serie tiene un comportamiento en media y

varianza estables, que ayuden a la predicción usando modelos univariantes con las pruebas

gráficas, correlogramas y la Prueba de Dickey-Fuller ADF principalmente. De otro lado, se presenta

el caso de cointegración entre dos variables, Gasto de Consumo Personal e Ingreso Personal

Disponible usando la metodología de Engle-Granger, para la estimación de la relación de Largo

Plazo y del vector de corrección de errores de Corto Plazo en pos de la convergencia a Largo Plazo

El segundo capítulo trata sobre la aplicación de la metodología de Box-Jenkins con

modelos ARIMA (sin considerar filtros de tendencia ni de estacionalidad) y Vectores

Autoregresivos para realizar predicciones ex-ante coherentes. Para el primer caso se visualizan las

3

etapas de Identificación del orden p,d,q de la serie , Estimación de los Parámetros y la

Comprobación del Diagnóstico para obtener un modelo ARIMA que se ajuste razonablemente bien

a los datos. Para el caso VAR se manejan conceptos como el Test LR de selección de rezagos ,

criterio de causalidad estadístico a lo Granger vs Teoría Económica Monetarista, Funciones

impulso-respuesta para predecir el periodo donde una economía se reactiva ,y la descomposición de

varianza .

En el ANEXO y a modo de tercer capítulo se aplica la metodología de Box-Jenkins para

usar un modelo ARIMA básico que se ajuste bien a los datos del PBI peruano anual 1950-2000,

para realizar predicción al año 2001. Aquí de nuevo, se detalla la metodología desarrollada en forma

didáctica e intuitiva .

Finalmente , la DNCN del INEI agradece al Ph.D. Eduardo Morón Pastor y al Ma. Luis

Mesías Changa , catedráticos distinguidos de la Universidad del Pacífico y UNI respectivamente

que ayudaron con sus valiosas sugerencias a mejorar el contenido de este documento de trabajo. Así

como agradecemos el interés de los usuarios que deseen refrescar estos temas, esperando que este

Resumen Aplicativo sobre Econometría de Series de Tiempo contribuya al conocimiento científico

de la institución1 .

1 Se encuentra en revisión y saldrá proximamente la “Guía Metodológica para el Cálculo de los Multiplicadoresde la Economía peruana año 1994” .

4

“RESUMEN APLICATIVO SOBRE

ECONOMETRIA DE SERIES DE TIEMPO ”

INDICE

PRESENTACION ...................................................................................................................................2

CAPITULO IESTACIONARIEDAD, RAÍCES UNITARIAS Y COINTEGRACIÓN .........................................6

1. Pruebas de Estacionariedad de Series de Tiempo .............................................................81.1.Correlograma del PBI........................................................................................81.2. Prueba Q de Box-Pierce de Hipótesis Conjunta y LB de Ljung-Box.................91.3. Prueba de Raíz Unitaria sobre Estacionariedad .............................................10 1.3.1. Prueba simple .........................................................................................10 1.3.2. Prueba DF y ADF de Dickey Fuller ......................................................10 1.3.3. Aplicación del ADF secuencial .............................................................13

2. Pruebas de Cointegración ............................................................................................142.1. La Regresión Espurea.......................................................................................142.2. Prueba de Cointegración ..................................................................................15 2.2.1. Probando que ambas series son I(1) .......................................................15 2.2.2. Prueba Engle-Granger EG y el MCE .....................................................17 2.2.3. Prueba DWRC de Durbin-Watson ........................................................21

CAPITULO II :PRONOSTICO CON LOS MODELOS ARIMA Y VAR ................................................................22

1. Pasos según Metodología de Box-Jenkins...................................................................231.1. Identificación....................................................................................................231.2. Estimación ........................................................................................................241.3. Verificación del diagnostico.............................................................................24

a) Significancia individual ...............................................................................25b).Estadístico LB de Ljung-Box ......................................................................25

1.4. Pronostico.........................................................................................................26

2. Técnica de Vectores Autoregresivos (VAR) .................................................................272.1. Estimación VAR...............................................................................................27

A. Discusión de la elección de variables usando Teoría Macroeconómica .....35B. Test LR de selección de rezagos .................................................................36

*. Orden de exogeneidad Económico vs Granger...............................37C. Comentario técnico acerca de cuando se debiera esperar la reactivacióneconómica (Funciones Impulso-Respuesta, Descomposición de Varianza.......... 38

2.2. Predicción VAR ...............................................................................................39CONCLUSIONES .................................................................................................42

5

ANEXOS

1. APLICACIÓN AL PBI PERUANO (1950-2000) ..........................................................................431.1 Modelación de la serie como un ARMA.....................................................................44

* Aplicación de Metodología Box-Jenkins .............................................................45Etapa 1: Identificación.....................................................................................45Etapa 2: Estimación de los coeficientes ARMA(p,q) ......................................46Etapa 3 : Comprobación del diagnóstico .........................................................47

1.2 ¿ Raíz Unitaria o Estacionariedad con Quiebre Estructural ? ...................................48A) Test de Dickey-Fuller.........................................................................................48B) Test de Zivot-Andrews .......................................................................................49* Conclusión parcial ................................................................................................50

1.3. Pronóstico ARIMA para el PBI del año 2001 ............................................................51Conclusión acerca de la modelación ARIMA .........................................................52

ApéndicePrograma para la aplicación recursiva del Test de Zivot-Andrews.........................53

6

RESUMEN APLICATIVO SOBRE ECONOMETRIA

DE SERIES DE TIEMPO

CAP I. ESTACIONARIEDAD, RAICES UNITARIAS Y COINTEGRACION

A continuación se hará un resumen de los capítulos 21 y 22 del libro “Econometría” de Damodar

Gujarati (con algunos agregados) sobre Econometría de Series de Tiempo a modo de introducción. Se definirá

cada concepto , se mencionan los pasos a seguir, y al mismo tiempo se aplicarán las diversas pruebas y

modelos econométricos a la economía estadounidense respecto a las variables PBI , Ingreso Personal

Disponible y Gasto de Consumo Personal reales para el periodo 1970-I a 1991-IV.

DATOS EMPLEADOS :

Trimestre PBI GCP IPD1970:01 2872.8 1800.5 1990.61970:02 2860.3 1807.5 2020.11970:03 2896.6 1824.7 2045.31970:04 2873.7 1821.2 2045.21971:01 2942.9 1849.9 2073.91971:02 2947.4 1863.5 20981971:03 2966.0 1876.9 2106.61971:04 2980.8 1904.6 2121.11972:01 3037.3 1929.3 2129.71972:02 3089.7 1963.3 2149.11972:03 3125.8 1989.1 2193.91972:04 3175.5 2032.1 22721973:01 3253.3 2063.9 2300.71973:02 3267.6 2062 2315.21973:03 3264.3 2073.7 2337.91973:04 3289.1 2067.4 2382.71974:01 3259.4 2050.8 2334.71974:02 3267.6 2059 2304.51974:03 3239.1 2065.5 23151974:04 3226.4 2039.9 2313.71975:01 3154.0 2051.8 2282.51975:02: 3190.4 2086.9 2390.31975:03 3249.9 2114.4 2354.41975:04 3292.5 2137 2389.41976:01 3356.7 2179.3 2424.51976:02 3369.2 2194.7 2434.91976:03 3381.0 2213 2444.71976:04 3416.3 2242 2459.51977:01 3446.4 2271.3 24631977:02 3525.0 2280.8 2490.31977:03 3574.4 2302.6 25411977:04 3567.2 2331.6 2556.21978:01 3591.8 2347.1 2587.31978:02 3707.0 2394 2631.91978:03 3735.6 2404.5 2653.21978:04 3779.6 2421.6 2680.91979:01 3780.8 2437.9 2699.21979:02 3784.3 2435.4 2697.61979:03 3807.5 2454.7 2715.31979:04 3814.6 2465.4 2728.11980:01 3830.8 2464.6 2742.9

7

1980:02 3732.6 2414.2 26921980:03 3733.5 2440.3 2722.51980:04 3808.5 2469.2 27771981:01 3860.5 2475.5 2783.71981:02 3844.4 2476.1 2776.71981:03 3864.5 2487.4 2814.11981:04 3803.1 2468.6 2808.81982:01 3756.1 2484 27951982:02 3771.1 2488.9 2824.81982:03 3754.4 2502.5 28291982:04 3759.6 2539.3 2832.61983:01 3783.5 2556.5 2843.61983:02 3886.5 2604 28671983:03 3944.4 2639 29031983:04 4012.1 2678.2 2960.61984:01 4089.5 2703.8 3033.21984:02 4144.0 2741.1 3065.91984:03 4166.4 2754.6 3102.71984:04 4194.2 2784.8 3118.51985:01 4221.8 2824.9 3123.61985:02 4254.8 2849.7 3189.61985:03 4309.0 2893.3 3156.51985:04 4333.5 2895.3 3178.71986:01 4390.5 2922.4 3227.51986:02 4387.7 2947.9 3281.41986:03 4412.6 2993.7 3272.61986:04 4427.1 3012.5 3266.21987:01 4460.0 3011.5 3295.21987:02 4515.3 3046.8 3241.71987:03 4559.3 3075.8 3285.71987:04 4625.5 3074.6 3335.81988:01 4655.3 3128.2 3380.11988:02 4704.8 3147.8 3386.31988:03 4734.5 3170.6 3407.51988:04 4779.7 3202.9 3443.11989:01 4809.8 3200.9 3473.91989:02 4832.4 3208.6 3450.91989:03 4845.6 3241.1 3466.91989:04 4859.7 3241.6 34931990:01 4880.8 3258.8 3531.41990:02 4900.3 3258.6 3545.31990:03 4903.3 3281.2 35471990:04 4855.1 3251.8 3529.51991:01 4824.0 3241.1 3514.81991:02 4840.7 3252.4 3537.41991:03 4862.7 3271.2 3539.91991:04 4868.0 3271.1 3547.5

Donde :PBI : Producto Bruto Interno de Estados Unidos en miles de millones de dólares de 1987

GCP : Gasto de Consumo Privado USA en miles de millones de dólares de 1987

IPD : Ingreso Personal Disponible USA en miles de millones de dólares de 1987

Fuente : Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina de Análisis Económico, Business

Statistics, 1963-1991, junio de 1992

1. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD DE SERIES DE TIEMPO

SERIE DE TIEMPO ESTACIONARIA

Definición: Una serie de tiempo es estacionaria- en sentido débil- cuando los momentos de primer y segundo

orden de dicho proceso estocastico son invariantes en el tiempo ( es decir, su media, varianza y covarianza) ,

sin importar el momento en el cual se midan .

1.1. CORRELOGRAMA DEL PBI DE 1970-1 A 1991-4

Es un grafico que permite identificar el orden ARMA(p,q) de la serie de tiempo bajo análisis.Muestra

la estructura autoregresiva frente a cada rezago k (AR) , y de media móviles (MA). Nos da información de

primera mano para sospechar si la serie es o no estacionaria . El Correlograma grafica ρk frente a cada rezago

k con un intervalo de confianza del 95%.Si la FAS converge a cero la serie será estacionaria .

* Función de Autocorrelación simple (FAS) y Función de Autocorrelación Parcial (FAP):

FAS : es el conjunto de pares ordenados donde el rango es el tiempo (k) y el dominio está formado

por todas las autocorrelaciones simples de ese orden k.(pk). Muestra el orden MA de la serie

Donde ρk = Cov (Yt , Y t-k ) / Var (Yt) Var (Yt-k)

FAP :Muestra el orden AR de las serie, tomando la forma Yt = β1 Y t-1 + ... + ρt-k Yt-k + εt

Donde ρt-k es el coeficiente de autocorrelación parcial, corregido por la presencia de rezagos

intermedios para obtener el efecto neto de Yt sobre Yt-k .

CORRELOGRAMA DE PBIUSA

H0 : ρki =0 (presenta ruido blanco2 con Distribución normal co

H1 : pki ≠ 0 (coeficiente de autocorrelación muestral no es pura

2 Un proceso ruido blanco es aquel que cumple con la definición desperanza es cero y sus autocovarianzas son nulas. Su pasado no t

8

n media 0 y varianza 1/ √ n )

mente aleatorio)

ébil de estacionariedad con la salvedad de que suiene ninguna trascendencia para explicarlo .

9

Intervalo de confianza al 95% para la hipótesis nula :

± 1.96 (1 / √n ) = ± 1.96 (1/ √88) = (-0.2089 , 0.2089)

Conclusión : todos los coeficientes pk hasta el rezago 23 son estadísticamente significativos de manera

individual (observando el FAS), es decir, significativamente distintos de cero (no son aleatorios) porque no

están dentro del intervalo de confianza al 95%.

La FAS tiene una memoria larga y se desvanece recién en el rezago 23, mientras que sólo el coeficiente

uno de la FAP es significativo. El proceso aparenta ser un AR(1), pero la FAS a partir del rezago 45 vuelve

a ser significativo indicando que la serie no es estacionaria. Es así que el efecto de un shock sobre la

variable la puede afectar permanentemente pudiendo tener una raíz unitaria .

1.2. Prueba Q de hipótesis conjunta :

Q = n ∑ pk2 = sigue distribución aprox. X 2 con m g.l.

Sean las hipótesis :

H0 : todos los pk son simultáneamente cero (serie de tiempo puramente aleatoria)

H1 : no todos los pk son simultáneamente cero

Q calc = 88 (9.014043 ) = 793.235784

Conclusión : como Q calc excede ampliamente al Q critico (37.6525 al α = 5%) , se rechaza la hipótesis nula

de que todos los pk son iguales a cero .

1.3. LB de Ljung Box

LB = n (n+2) ∑ pk2 sigue distribución aprox. X 2 con m g.l.

n-k

Conclusión : como el valor ji calculado para 25 rezagos (891.62) esta muy por encima del ji tabular (37.6525

y su probabilidad asociada es cercana a cero) al α =5%, se rechaza también la hipótesis nula de que todos los

coeficientes de autocorrelación son cero .No son ruido blanco.

m

10

1.3. PRUEBA DE RAIZ UNITARIA SOBRE ESTACIONARIEDAD :

1.3.1. Prueba simple de Raíz Unitaria :

Definición : Existe raíz unitaria “literalmente” cuando se demuestra que ρ =1 en la regresión

Yt = ρYt-1 + et , señalando una situación de no estacionariedad .

LS // Dependent Variable is PBIDate: 05/23/01 Time: 11:48Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

PBI(-1) 0.998629 0.006272 159.2 0C 28.2154 24.48302 1.152 0.2524

R-squared 0.996658 Mean dependent var 3876.787Adjusted R-squared 0.996619 S.D. dependent var 624.6297S.E. of regression 36.32009 Akaike info criterion 7.207462Sum squared resid 112127.7 Schwarz criterion 7.26415Log likelihood -434.9723 F-statistic 25351.07Durbin-Watson stat 1.363688 Prob(F-statistic) 0

H0 : p =1 (existe raíz unitaria)

H1 : p ≠ 1 (SI hay estacionariedad)

t = p* - p = 0.998629 – 1 = -0.21859056

ee(p) 0.006272

Como t calc < t tabla3 al α =5% (1.98) , se acepta la hipótesis nula siendo por tanto la serie de PBI no

estacionaria. Es decir, p es estadísticamente igual a 1 (existe el problema de raíz unitaria) .

1.3.2. Prueba de Dickey-Fuller (DF) sobre Raíz Unitaria para el PBI

Concepto : consiste en probar si δ = 0 y así notar la presencia de no estacionariedad .

Forma Funcional a) En ▲Yt = β1 + δ Yt-1 + µt

H0 : δ = 0 (existe presencia de raíz unitaria en el PBI)

Regla de decisión : Si la prueba τ [p/ee(p)] calculada excede a los τ críticos o tabulados de MacKinnon,

rechazar la hipótesis nula de presencia de raíz unitaria.

3 Es importante anotar que la prueba t aplicada al testeo de raíz unitaria está sesgado al rechazo de la hipótesis nula, ya quela varianza del estadístico esta subestimada lo que lleva a una sobreestimacion del valor t

11

ADF Test Statistic -0.218526 1% Critical Value* -3.5064 5% Critical Value -2.8947 10% Critical Value -2.5842

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(PBI)Method: Least SquaresDate: 11/05/01 Time: 09:38Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints


PBI(-1) -0.001371 0.006272 -0.218526 0.8275C 28.21540 24.48302 1.152448 0.2524

R-squared 0.000561 Mean dependent var 22.93333Adjusted R-squared -0.011197 S.D. dependent var 36.11845S.E. of regression 36.32009 Akaike info criterion 10.04534Sum squared resid 112127.7 Schwarz criterion 10.10203Log likelihood -434.9723 F-statistic 0.047754Durbin-Watson stat 1.363688 Prob(F-statistic) 0.827543

D (PBI) = 28.2154 – 0.001371 PBIt-1

τ (1.152448) (−−0.218526)

r2 0.000561 d = 1.363688

Donde : D (PBI) = PBI t – PBI t-1

Y los estadísticos t críticos de MacKinnon al 1%,5%,10% son –3.5064 , -2.8947 , -2.5842.

Conclusión : como τ calculado no supera al t critico queda claro que se acepta la hipótesis nula de raíz

unitaria en la serie de tiempo PBI (0.218526 < 2.8947 al α = 5%).

Forma Funcional b) En ▲Yt = β1 + β2 t + δ Yt-1 + µt

Nota : t es la variable de tendencia (tiempo) que toma valores desde 1 hasta n=88Asumiremos tendencia

determinística en la data. .

H0 : δ = 0 (hay presencia de raíz unitaria en el PBI)

Regla de decisión : Si la prueba τ [p/ee(p)] calculada excede a los τ críticos o tabulados de MacKinnon,

rechazar la hipótesis nula (no se tiene evidencia para aceptar la presencia de raíz unitaria).



Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(PBI)Method: Least SquaresDate: 11/05/01 Time: 09:45Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints

12


PBI(-1) -0.060879 0.037270 -1.633467 0.1061C 191.9032 103.9511 1.846091 0.0684

@TREND(1970:1) 1.492043 0.921383 1.619351 0.1091

R-squared 0.030817 Mean dependent var 22.93333Adjusted R-squared 0.007741 S.D. dependent var 36.11845S.E. of regression 35.97837 Akaike info criterion 10.03759Sum squared resid 108733.2 Schwarz criterion 10.12262Log likelihood -433.6350 F-statistic 1.335482Durbin-Watson stat 1.325718 Prob(F-statistic) 0.268558

D PBI = 191.9032 + 1.492043 t - 0.060879 PBIt-1

τ (1.846091) (1.619351) (−1.633467)

r2 0.030817 d = 1.325718

Donde : D (PBI) = PBI t – PBI t-1

Y los estadísticos t criticos de MacKinnon al 1%,5%,10% son –4.0673 , -3.4620 , -3.1570 .

Conclusión : como t (τ) calculado no excede al t critico también se acepta la hipótesis nula de no

estacionariedad en la serie de tiempo del PBI (1.633467 < 3.4620 al α = 5%).

Forma Funcional c) En ▲Yt = β1 + β2 t + δ Yt-1 + ▲Y t-1 + µt

Nota : Esta es la prueba Dickey-Fuller aumentada (ADF) aplicable especialmente si el residual esta

autocorrelacionado , donde ▲PBI t-1 equivale en el ejemplo a PBIt-1 – PBIt-2 .

H0 : δ = 0 (existe presenta de raíz unitaria )

H1 : δ ≠ 0 (SI hay estacionariedad en el PBI)

Regla de decisión : Si la prueba t [p/ee(p)] calculada excede a los τ críticos o tabulados de MacKinnon,

rechazar la hipótesis nula de presencia de raíz unitaria .



Augmented Dickey-Fuller Test EquationLS // Dependent Variable is D(PBI)Date: 05/25/01 Time: 10:21Sample(adjusted): 1970:3 1991:4Included observations: 86 after adjusting endpointsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

PBI(-1) -0.079065 0.03575 -2.211623 0.0298D(PBI(-1)) 0.35017 0.10293 3.402035 0.001C 236.1714 99.2416 2.379762 0.0196@TREND(1970:1) 1.902912 0.885366 2.149294 0.0346

13


D (PBI) = 236.1714 + 1.902912 t - 0.079065 PBIt-1 + 0.35017 D PBIt-1

τ (2.379762) (2.149294) (−2.211623) (3.402035)

r2 0.14896 d = 2.080729

Donde : D PBI t-1 = PBI t-1 – PBI t-2

Y los estadísticos t críticos de MacKinnon al 1%,5%,10% son –4.0673 , -3.4620 , -3.1570 .

Conclusión : como t (τ) calculado no excede al t critico también se acepta la hipótesis nula de no

estacionariedad en la serie de tiempo del PBI (1.633467 < 3.4620 al α = 5%).Existe el problema de raíz

unitaria. Nótese que la ecuación incluye un rezago, porque el correlograma FAP de la serie así lo sugiere.

1.3.3. APLICACIÓN DEL ADF SECUENCIAL4:

A continuación encontraremos la mejor especificación ADF de la serie del PBI, utilizando un método

deductivo (yendo de lo general a lo particular). Es decir, partiremos de un modelo completo que incluya un

rezago, intercepto y la variable de tendencia (prueba ADF completa); si se verifica que no hay estacionariedad

y que el coeficiente de tendencia no es significativo, luego se procederá a eliminar la tendencia quedando un

modelo solo con intercepto, o al final un modelo sin elementos determinísticos que presente o no raíz unitaria.

El resultado de este proceso iterativo es el siguiente :

ADF Test Statistic 3.459921 1% Critical Value* -2.5899 5% Critical Value -1.9439 10% Critical Value -1.6177


Augmented Dickey-Fuller Test EquationLS // Dependent Variable is D(PBI)Date: 08/28/01 Time: 10:19Sample(adjusted): 1970:3 1991:4Included observations: 86 after adjusting endpointsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.PBI(-1) 0.003934 0.001137 3.459921 0.0009D(PBI(-1)) 0.321117 0.103844 3.092305 0.0027


4 Este acápite no está incluido en el libro de Gujarati, está en base al Cap. 10 del libro “EconometríaAplicada” de los autores Juan F. Castro y Roddy Rivas-Llosa que esquematizaron el procedimiento de WalterEnders.

14

Es decir, hemos obtenido un modelo sin componentes determinísticos y con un rezago, que no

presenta raíz unitaria ya que el ADF statistic es mayor al Mac-Kinnon Crítico al α=5% . Es decir, bajo esta

forma la serie del PBI es estacionaria y el análisis de regresión clásico es válido. Aunque esta afirmación es

cuestionable ya que la presencia de D(PBI(-1)) indica que la serie está fuertemente correlacionada con su

primera diferencia .

Pero para continuar con el análisis de Damodar Gujarati (Cap 22) se supondrá que el PBI de los

EEUU no es estacionario en niveles, ya que al considerar la presencia de intercepto y de la tendencia y sin

rezagos ello se verifica. Tal como veremos más adelante, el modelo completo si es estacionario en primeras

diferencias, lo que lo hace I(1), y así será posible modelar y hacer la predicción ARIMA.

15

2. PRUEBAS DE COINTEGRACION :2.1. Concepto de Regresión Espurea .-

Es el tipo de regresión donde la no estacionariedad de las series involucradas sesga los resultados hacia la

aceptación de una relación cuando en realidad ésta no existe. Es decir, el alto R2 observado entre dos series

de tiempo involucradas se puede deber a las tendencias comunes (movimientos sostenidos hacia arriba o

hacia abajo) y no a la verdadera relación entre las dos.

Obsérvese las tendencias crecientes de las series de Ingreso Personal Disponible (IPD) y Gasto de

Consumo Personal (GCP) para USA 1970-1991 trimestral .

Regresión entre GCP y el IPD:

LS // Dependent Variable is GCPDate: 05/28/01 Time: 12:34Sample: 1970:1 1991:4Included observations: 88Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -171.4412 22.91725 -7.48088 0IPD 0.96725 0.008069 119.8712 0

R-squared 0.994051 Mean dependent var 2537.042Adjusted R-squared 0.993981 S.D. dependent var 463.1134S.E. of regression 35.92827 Akaike info criterion 7.185514Sum squared resid 111012.3 Schwarz criterion 7.241817Log likelihood -439.0292 F-statistic 14369.1Durbin-Watson stat 0.531629 Prob(F-statistic) 0

GCP = -171.4412 + 0.9672 IPD

t (-7.4809) (119.8712)

R2=0.994051 d = 0.531629

• Comentario : El r cuadrado (coeficiente de determinación) es bastante alto y el valor t de la pendiente

del IPD también . Estos resultados se ven “aparentemente fabulosos”, pero el d de Durbin Watson es bajo

(lo que denota autocorrelación serial positiva de orden uno entre las perturbaciones).

Regla practica para sospechar que la regresión es espurea : R2 > d (sí se cumple).

Para que ambas series cointegren hacia el equilibrio de Largo Plazo, ambas deben ser I(d) del mismo

orden y sus residuos “equilibradores de Corto Plazo” deben ser estacionarios o I(0) .

1500

2000

2500

3000

3500

4000

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

GCP IPD

16

2.2. Pruebas de COINTEGRACION .-

2.2.1. Probemos la estacionariedad de las series y sepamos si ambas son Integradas del mismo orden :

• Para la serie de tiempo GCP (Gasto de Consumo Personal)

H0 : δ = 0 (hay raíz unitaria en el GCP)

H1 : δ ≠ 0 (no hay raíz unitaria en el GCP)

Regla de decisión : Si la prueba t [p/ee(p)] calculada excede a los valores críticos de MacKinnon, se tiene

evidencia para rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria.



Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(GCP)Method: Least SquaresDate: 10/12/01 Time: 09:13Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints


GCP(-1) -0.044464 0.032312 -1.376068 0.1725C 94.19111 56.24138 1.674765 0.0977

@TREND(1970:1) 0.798720 0.587106 1.360435 0.1773

R-squared 0.022053 Mean dependent var 16.90345Adjusted R-squared -0.001232 S.D. dependent var 18.29021S.E. of regression 18.30147 Akaike info criterion 8.685714Sum squared resid 28135.27 Schwarz criterion 8.770745Log likelihood -374.8285 F-statistic 0.947106Durbin-Watson stat 1.595415 Prob(F-statistic) 0.391964

Conclusión : como el ADF calculado esta por debajo del Mac Kinnon critico se acepta la hipótesis nula de

presencia de raíz unitaria en la serie de tiempo del GCP (-1.376068 < 3.4614 al α = 5%).

Cabe señalar que en primeras diferencias la serie del GCP si es estacionaria ( α = 1%,5%,10%)

de acuerdo a la Prueba de Dickey-Fuller. La especificación contiene intercepto porque la media de la serie

diferenciada es diferente de cero:

-60

-40

-20

0

20

40

60

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

D (GC P) 0

2

4

6

8

10

12

14

-5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 20 30 40 50

Se r ie s : D (G C P)Sa mp le 1 9 7 0 :2 1 9 9 1 :4O b s e r v a tio n s 8 7

Me a n 1 6 .9 0 3 4 5Me d ia n 1 7 .2 0 0 0 0Ma x imu m 5 3 .6 0 0 0 0M in imu m - 5 0 .4 0 0 0 0Std . D e v . 1 8 .2 9 0 2 1Sk e w n e s s - 0 .7 5 8 7 9 9Ku r to s is 4 .2 7 9 5 3 8

J a r q u e - Be r a 1 4 .2 8 3 6 6Pr o b a b ility 0 .0 0 0 7 9 1

17

ADF Test Statistic -7.615082 1% Critical Value* -3.5073D(GCP) 5% Critical Value -2.8951

10% Critical Value -2.5844

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Como se ve, el ADF calculado supera al Mac Kinnon critico, rechazándose la H0 de raíz unitaria.

• Ahora verificaremos que la serie IPD (Ingreso Personal Disponible) es también I(1):

Bajo la hipótesis :

H0 : δ = 0 (hay raíz unitaria en el IPD)



Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(IPD)Method: Least SquaresDate: 10/12/01 Time: 09:02Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints


IPD(-1) -0.156942 0.060636 -2.588254 0.0114C 329.5080 119.6902 2.753007 0.0072

@TREND(1970:1) 2.875152 1.136078 2.530769 0.0132


Como el ADF calculado (-2.5882541) es menor al Mac Kinnon critico al nivel de significancia del

5%, se concluye que la serie de tiempo IPD tampoco es estacionaria en niveles. Presenta raíz unitaria.

Pero al igual que la serie anterior, el IPD también es I(1) :

-100

-50

0

50

100

150

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

D ( IPD )0

2

4

6

8

10

12

14

- 50 - 40 - 30 - 20 - 10 0 10 20 30 40 50

Se r ie s : D (G C P)Sa mp le 1 97 0 :2 1 9 9 1 :4O b s e rv a tion s 87

Me a n 1 6 .9 0 3 45Me d ia n 1 7 .2 0 0 00Ma x imu m 5 3 .6 0 0 00Min imu m -5 0 .4 0 0 00Std . D e v . 1 8 .2 9 0 21Sk ew n es s -0 .7 5 8 7 99Ku r to s is 4 .2 7 9 5 38

J a r q u e- Be r a 1 4 .2 8 3 66Pro b a b ility 0 .0 0 0 7 91

18

ADF Test Statistic -9.636167 1% Critical Value* -3.5073D(IPD) 5% Critical Value -2.8951

10% Critical Value -2.5844*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

. La especificación contiene intercepto porque la media de la serie diferenciada es diferente de cero.

Como se ve, el ADF calculado supera al Mac Kinnon critico, rechazándose la H0 de raíz unitaria.

CONCLUSION :

Cuando se efectúo la regresión de GCP sobre IPD se efectuó una regresión de una serie de tiempo no

estacionaria sobre otra igualmente no estacionaria en niveles, por lo que la inferencia con las pruebas t

y F estándar no serian validos. En este sentido, la regresión entre GCP y IPD podría ser ESPUREA si

sus errores son I(1) . El alto coeficiente de determinación pudo deberse a la presencia de la tendencia común

en ellas y no a la verdadera relación entre las dos. Esto amerita hacer una prueba de COINTEGRACION para

apreciar si existe una relación estable de largo plazo. Ya se demostró que ambas series son I(1), falta

verificar que sus errores sean I(0) para aplicar el Modelo de Corrección de Errores.

2.2.2. Prueba de ENGLE-GRANGER (EG) .-

Concepto.- Estimar la relación de Largo Plazo verificando que los residuos sean estacionarios I(0); luego

incorporar a los errores como una variable explicativa al Corto Plazo para modelar el Modelo de Corrección

de Errores MCE.

� Relación de Largo Plazo (de equilibrio) entre el Gasto de Consumo Personal y el Ingreso

Personal Disponible de los EEUU 1970:1-1991:4

Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresDate: 10/12/01 Time: 09:40Sample: 1970:1 1991:4Included observations: 88


C -171.4412 22.91725 -7.480880 0.0000IPD 0.967250 0.008069 119.8712 0.0000


� Verifiquemos que los residuos sean I(0) , para que puedan corregir el desequilibrio del Corto

Plazo en pos de la convergencia de Largo Plazo.

- 100

-50

0

50

100

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

R E SID

0

2

4

6

8

10

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

Se r ie s : R ESIDSa mp le 1 9 7 0 :1 1 9 9 1 :4O b s e rv a tio n s 8 8

Me a n - 1 .9 4 E- 1 3Me d ia n 5 .6 4 7 3 8 5Ma x imu m 8 2 .7 0 7 2 4Min imu m -7 6 .7 7 0 2 9Std . D e v . 3 5 .7 2 1 1 9Sk e w n e s s -0 .3 2 5 1 7 1Ku r to s is 2 .6 4 8 6 5 7

J a rq u e - Be ra 2 .0 0 3 4 1 8Pro b a b ility 0 .3 6 7 2 5 1

19


H0 : Residuos tienen raíz unitaria, son no estacionarios( no hay cointegración entre GCP y IPD )

H1 : Errores si son estacionarios (SI hay cointegración)



Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(ERROR)Method: Least SquaresDate: 10/12/01 Time: 10:00Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints


ERROR(-1) -0.275357 0.073267 -3.758250 0.0003C -0.441396 2.615711 -0.168748 0.8664

R-squared 0.142492 Mean dependent var -0.405877Adjusted R-squared 0.132404 S.D. dependent var 26.19315S.E. of regression 24.39757 Akaike info criterion 9.249564Sum squared resid 50595.53 Schwarz criterion 9.306252Log likelihood -400.3561 F-statistic 14.12444Durbin-Watson stat 2.278168 Prob(F-statistic) 0.000313

Donde ERROR es una serie creada con los residuales de la ecuación de cointegración entre GCP y IPD .

La especificación contiene intercepto y no tendencia porque así se desprende del gráfico de líneas.

Como el estimador MCO es superconsistente minimiza la varianza, entonces utilizar los valores críticos de

ADF resultarían sesgados a rechazar la hipótesis nula de la existencia de raíz unitaria. Por ello es preferible

utilizar los valores críticos de Engle y Yoo:

α 0.01 0.05 0.10

ADF -3.77 -3.17 -2.84

Como el ADF calculado excede a los valores críticos de Engle y Yoo al α=5% se concluye que los

residuos son estacionarios y que por lo mismo, entre el Gasto de Consumo Personal y el Ingreso

Personal Disponible existe COINTEGRACION (relación de equilibrio o ESTABLE de Largo Plazo), a

pesar de no ser estacionarias individualmente . Sus errores son I(0).

� MODELO DE CORRECCION DE ERRORES (MCE) .-

Concepto :Se trata de corregir el desequilibrio de Corto Plazo entre el Consumo y el Ingreso, usando al

termino de error para atar el comportamiento de corto plazo del GCP con su valor de Largo Plazo.

a) De acuerdo a Gujarati (Modelo simple)

LS // Dependent Variable is GCP-GCP(-1)Date: 05/29/01 Time: 17:18Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpointsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 11.69183 2.195675 5.324936 0

20

IPD-IPD(-1) 0.290602 0.06966 4.171715 0.0001ERROR(-1) -0.086706 0.05418 -1.600311 0.1133


D (GCP) = 11.69183 + 0.290602 D (IPD) - 0.086706 µt-1

t (5.3249) (4.1717) (-1.6003)

R2 = 0.1717 d = 1.9233

Lo anterior muestra que alrededor del 9% de la discrepancia entre el valor del GCP actual y el valor de

largo plazo o de equilibrio es eliminado o corregido cada trimestre . Aunque la significancia estadistica de

esta pendiente no es clara puesto que recién es significativo al nivel de 10%.

b) Aplicando Vector de Corrección de Errores

Date: 10/12/01 Time: 10:49 Sample(adjusted): 1970:3 1991:3 Included observations: 85 after adjusting endpoints

Standard errors & t-statistics in parenthesesCointegrating Eq: CointEq1

GCP(-1) 1.000000

IPD(-1) -0.970074 (0.00938)(-103.452)

C 180.2247

Error Correction: D(GCP) D(IPD)

CointEq1 -0.042578 0.478420 (0.07701) (0.09929)(-0.55292) (4.81843)

D(GCP(-1)) 0.146138 0.373693 (0.12449) (0.16052) (1.17385) (2.32800)

D(IPD(-1)) 0.060889 -0.021921 (0.08217) (0.10594) (0.74104) (-0.20691)

C 13.67961 11.48990 (2.80840) (3.62109) (4.87096) (3.17305)

RESID(1) 0.060739 -0.386097 (0.07252) (0.09351) (0.83751) (-4.12896)

R-squared 0.052256 0.331130 Adj. R-squared 0.004868 0.297686

21

Sum sq. resids 26891.31 44706.67 S.E. equation 18.33416 23.63966 Log likelihood -365.2783 -386.8819 Akaike AIC 8.712431 9.220751 Schwarz SC 8.856117 9.364436 Mean dependent 17.22000 17.88000 S.D. dependent 18.37895 28.20821

Determinant Residual Covariance 127426.0 Log Likelihood -740.8194 Akaike Information Criteria 17.71340 Schwarz Criteria 18.05824

Se estimaron dos modelos de Corrección de Errores (ecuaciones de Corto Plazo) de la forma :

∆ GCP = α1 ∆ GCP t-1 + α2 ∆ IPD t-1 + θ1 ε t-1 + vt

∆ IPD = β1 ∆ IPD t-1 + β2 ∆ GCP t-1 + θ2 ε t-1 + µt

Donde v , µ son errores ruido blanco

Que contienen un rezago de cada variable y del “error de equilibrio” con intercepto5. El coeficiente

del residuo que está en la ecuación del Ingreso es estadísticamente diferente de cero, lo que quiere decir que

hay un vector válido de cointegración. La corrección de shocks de Corto Plazo se da por el lado del Ingreso.

La serie de residuos está dada por : εt = GCP(-1) – 0.970074 IPD(-1) + 180.2247

*Análisis de la Velocidad de Ajuste de θ1 y θ2 :

El Ingreso responde con mayor intensidad que el Consumo : el Consumo se ajusta hacia el alza en

0.060739 (6%) y el Ingreso se ajusta hacia la baja en 0.386097 (38%) por trimestre.

Esto cumple con lo esperado a priori ya que si se ve el Gráfico de líneas la serie del Ingreso está por

encima que la del Consumo, obedeciendo a que en promedio el incremento de un dólar en el Ingreso origina

un incremento menos que proporcional en el Consumo .Por lo mismo, el Consumo se ajusta al alza menos

rápido que la caída en el Ingreso porque θ1 < θ2 en valores absolutos .

2.2.3. Prueba de Durbin-Watson sobre la regresión de Cointegración (DWRC) .-

Se utiliza la prueba d cuyos valores críticos de Sargan y Bhargava son al 1%, 5% y 10% de 0.511,

0.386 y 0.322.

H0 : d=0 (No hay cointegración entre GCP y IPD)

H1 : d≠ 0 (SI hay cointegración)

Como el d de la regresión Consumo-Ingreso es de 0.5316, y supera a todos los valores d críticos, sugiere que

GCP e IPD están cointegrados , es decir, hay una relación de equilibrio de largo plazo entre las dos series.

5 La estimación MCE se hizo asumiendo tendencia determinística en la data, lo cual es coherente con el linegraph

22

CAP 2:PRONOSTICOS CON LOS MODELOS ARIMA Y VAR

Un modelo ARIMA es un Proceso autoregresivo integrado de media móvil (p,d,q) usado para realizar

predicciones con series estacionarias , conteniendo un proceso autoregresivo de orden p o AR(p) , proceso

de Media Móvil MA(q) e Integrado de orden d6 . Un modelo es ARMA si el ARIMA es de orden (p,0,q), es

decir las series de tiempo no han sido diferenciadas para ser estacionarias.

Resultados de Regresión que prueba la estacionariedad del PBI en primera diferencia , I(0)



Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(PBI,2)Method: Least SquaresDate: 10/22/01 Time: 23:25Sample(adjusted): 1970:3 1991:4Included observations: 86 after adjusting endpoints


D(PBI(-1)) -0.688569 0.103191 -6.672742 0.0000C 16.13934 4.421924 3.649846 0.0005


H0 : Existe raíz unitaria en el D(PBI) (δ = 0)

H1 : No existe raíz unitaria (si hay estacionariedad , δ ≠ 0 )

Las primeras diferencias del PBI lo vuelven estacionario en vista que su estadístico calculado es de

–6. 672742 que excede al valor critico de –2.8951 al nivel de significancia del 5% .

-100

-50

0

50

100

150

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

D(PBI)

0

5

10

15

20

-80 -40 0 40 80 120

Series: D(PBI)Sample 1970:2 1991:4Observations 87

Mean 22.93333Median 23.90000Maximum 115.2000Minimum -98.20000Std. Dev. 36.11845Skewness -0.526798Kurtosis 4.235835

Jarque-Bera 9.560401Probability 0.008394

6 Integrar una serie significa diferenciar la serie original un determinado numero de veces hasta hacerlaestacionaria. Así, una serie I(0) significa que no hubo necesidad de diferenciarla para que fuera estacionaria.I(1) significa que fue diferenciada una vez (Ejem: primeras diferencias del PBI). Así una serie de tiempo es diferenciada dveces o I(d)

23

La media de la serie diferenciada es distinta de cero (ver histograma) por lo que la especificación

ARIMA debe contener intercepto pero no tendencia (ver gráfico de líneas).El desarrollo corriente de D(PBI)

se da alrededor de su media indicando su estacionariedad.

1. PASOS SEGÚN METODOLOGIA DE BOX-JENKINS :

1.1. IDENTIFICACION

CORRELOGRAMA Y CORRELOGRAMA PARCIAL PARA EL PBI EN PRIMERAS DIFERENCIAS,

ESTADOS UNIDOS, 1970-1 A 1991-4

El correlograma parcial para las primeras diferencias del PBI nos muestra que las autocorrelaciones

parciales que están en los rezago 1,8 y 12 son estadísticamente significativos (las barras caen fuera del

intervalo punteado al nivel de confianza de 95% que está entre –0.2089 y 0.2089). Si el coeficiente de

correlación parcial fuera significativo solamente en el rezago 1, se pudo haber identificado la serie como un

modelo AR(1). Por consiguiente estaríamos probablemente ante un modelo que tiene como máximo un

proceso AR(12).

24

1.2 ESTIMACION DEL MODELO ARIMADe acuerdo al correlograma parcial podríamos modelar un ARIMA AR(1), AR(8) , AR(12).

Y*t = α0 + α1 Y*t-1 + α8Y*t-8 + α12Y*t-12

Nota : Y*t significa sus primeras diferencias .

LS // Dependent Variable is D(PBI)Date: 06/05/01 Time: 17:58Sample(adjusted): 1973:2 1991:4Included observations: 75 after adjusting endpointsConvergence achieved after 3 iterationsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 23.04238 3.067247 7.512396 0.0000AR(1) 0.336308 0.099906 3.366228 0.0012AR(8) -0.269822 0.102759 -2.625767 0.0106AR(12) -0.273064 0.099692 -2.739082 0.0078


Estimación :

D(PBI) = 23.04238 + 0.336308 AR(1) - 0.269822 AR(8) - 0.273064 AR(12)

o

Y*t = 23.04238 + 0.336308Y*t-1 - 0.336308Y*t-8 - 0.273064Y*t-12

ee 2.9774 0.0987 0.1016 0.0986

t 7.5124 3.3662 -2.6258 -2.7391

R2 = 0.2774 d= 1.7977

El valor del estadístico Durbin-Watson indica que no hay autocorrelación serial en las perturbaciones ,

además que las pendientes son significativas en base a la prueba t .

1.3. VERIFICACION DEL DIAGNOSTICO .-Una forma de probar que el modelo ARIMA antes efectuado se ajusta razonablemente a la

información es obtener la ACF y PACF de estos residuales hasta el rezago 25. Si se comprueba que estos

residuales son ruido blanco , es decir, puramente aleatorios (con media cero, varianza constante σ2 ,no

autocorrelacionados) en base a los correlogramas y LB de Ljung Box, no seria necesario buscar otro modelo

ARIMA .

25

A) Significancia individual.-

Considerando las hipótesis :

H0 : pki =0 (presenta ruido blanco con Distribución normal de media 0 y varianza 1/n )

H1 : pki ≠ 0 (coeficiente de autocorrelación muestral no es puramente aleatorio)

Intervalo de confianza al 95% para la hipótesis nula : ± 1.96 (1 / √n ) = ± 1.96 (1/ √75) = (-0.2263,0.2263)

Conclusión : todos los coeficientes pk no son estadísticamente significativos de manera individual, es decir,

son significativamente iguales a cero (aleatorios) porque están dentro del intervalo de confianza al 95%. Por

tanto ,el correlograma de los residuales del modelo ARIMA (según autocorrelaciones simples y las

autocorrelaciones parciales) demuestra que individualmente no son estadisticamente significativos. Los

residuales son puramente aleatorios.

B) Estadístico LB de Ljung Box

LB = n (n+2) ∑ pk2 sigue distribución aprox. X 2 con m g.l.

n-k

Conclusión : como el valor ji calculado (15.270) esta por debajo del ji tabular (37.6525) al α =5%, se acepta

también la hipótesis nula de que todos los coeficientes de autocorrelación son cero para 17 rezagos. Además

obsérvese que la probabilidad asociada al estadístico 0.360 es mayor a α , ratificando la aceptación de la

hipótesis que los residuales son puramente aleatorios ..

Así, al haber hecho estas pruebas de autocorrelación de residuales , encontramos que estos son ruido blanco

(puramente aleatorios) , y no es necesario buscar otro modelo ARIMA. El ajuste es bueno para la

predicción.

m

26

1.4. PRONOSTICO .-Se desea pronosticar el PBI de EEUU para un periodo siguiente (1992-1 primer trimestre de 1992),

ya que la realización comprende entre 1970-1 a 1991-4. Previamente hay que “deshacer” la transformación de

primeras diferencias que se utilizo al estimar el modelo ARIMA para obtener predicción en niveles.

Paso 1) Deshacemos el modelo ARIMA usado :

Y*t = α0 + α1 Y*t-1 + α8Y*t-8 + α12Y*t-12

D(PBI) = 23.04238 + 0.336308 AR(1) - 0.269822 AR(8) - 0.273064 AR(12)

Y*t = 23.04238 + 0.336308Y*t-1 - 0.336308Y*t-8 - 0.273064Y*t-12

Paso 2) Quedando así :

Y1992-I – Y 1991-IV = α0 + α1[Y 1991-IV – Y 1991-III ] + α8 [ Y 1989-IV – Y 1989-III ] + α12 [Y 1988-IV – Y 1988-III ] + µ 1992-I

Y1992-I = α0 + α1[Y 1991-IV – Y 1991-III ] + Y1991-IV + α8 [ Y 1989-IV – Y 1989-III ] + α12 [Y 1988-IV – Y 1988-III ] + µ 1992-I

Y1992-I = α0 + (α1+1)Y 1991-IV – α1Y 1991-III + α8 Y 1989-IV – α8Y 1989-III + α12 Y 1988-IV – α12 Y 1988-III + µ 1992-I

Paso 3) Reemplazamos valores del modelo ARIMA usado anteriormente :

Y1992-I = 23.04238 + (0.336308+1)Y 1991-IV – 0.336308Y 1991-III - 0.269822 Y 1989-IV + 0.269822Y 1989-III -

0.273064 Y 1988-IV + 0.273064 Y 1988-III

Y1992-I = 4876.7 miles de millones de dólares .

Este es el valor estimado de acuerdo al modelo ARIMA para el primer trimestre de 1992. Siendo el

PBI observado para ese periodo de 4873.7, lo que significó una sobreestimación de US$ 3 miles de millones .

27

2. TECNICA DE VECTORES AUTORREGRESIVOS (VAR)

Esta popular técnica de estimación y predicción de series de tiempo consiste en que cada variable

dependiente es explicada por sus valores rezagados o pasados, y por los valores rezagados de todas las

demás variables endógenas ( o explicativas) en el modelo. Usualmente todas las variables son exógenas en

este sistema .

Pasos de la metodología :

2.1. ESTIMACION VAR

Caso practico.-

El presidente de esta economía le pide que evalúe la posibilidad de generar una reactivación en la economía a

través de un impulso monetario. Para esto le da información sobre 4 variables (PBI, DINERO, INTERES,

PRECIOS) . La información va desde 1959 hasta 1997.

Estime un VAR con las variables que usted considere adecuadas. Discuta su elección. Encuentre utilizando el

test de selección de rezagos, el número de rezagos óptimo para dicha estimación.

Comente sobre cuándo debería esperar una reactivación de la economía. Sea preciso en sus afirmaciones y

utilice sus estimaciones para reforzar sus argumentos.

A. Discutir la elección de las variables que se consideran adecuadas.

B. Usar el test de selección de rezagos para encontrar el número de rezagos óptimo

C. Comentar sobre cuando se debería esperar una reactivación de la economía.

DATOS EMPLEADOS :

Mes DINERO INTERES PBI PRECIOS1959:01:00 NA NA NA NA1959:02:00 0,003482 -0,125000 0,019258 0,0000001959:03:00 0,005200 0,140000 0,013532 0,0000001959:04:00 0,003107 0,108000 0,021277 0,0031501959:05:00 0,007213 -0,109000 0,015666 0,0000001959:06:00 0,006481 0,396000 0,000000 -0,0031501959:07:00 0,003733 -0,004000 -0,023592 0,0000001959:08:00 0,004057 0,115000 -0,035091 -0,0031601959:09:00 0,001012 0,640000 0,000000 0,0031601959:10:00 -0,000674 0,119000 -0,008276 -0,0031601959:11:00 0,002022 0,092000 0,005525 -0,0031701959:12:00 0,002353 0,363000 0,061435 0,0000001960:01:00 0,001342 -0,136000 0,025577 0,0031701960:02:00 0,000670 -0,482000 -0,010152 0,0000001960:03:00 0,003346 -0,515000 -0,007682 0,0063091960:04:00 0,002002 -0,195000 -0,007742 0,0000001960:05:00 0,002995 0,148000 -0,002594 -0,0031501960:06:00 0,004642 -0,751000 -0,010444 0,0000001960:07:00 0,005937 -0,245000 -0,005263 0,0000001960:08:00 0,009165 -0,110000 0,000000 -0,0031601960:09:00 0,004876 0,203000 -0,010610 0,0000001960:10:00 0,003560 -0,063000 -0,002670 0,0031601960:11:00 0,004513 -0,042000 -0,013459 0,0000001960:12:00 0,004813 -0,112000 -0,019152 0,000000

28

Mes DINERO INTERES PBI PRECIOS1961:01:00 0,005427 0,030000 0,002759 0,0031501961:02:00 0,007612 0,106000 -0,002759 0,0000001961:03:00 0,005671 0,012000 0,005510 0,0000001961:04:00 0,005014 -0,093000 0,021740 -0,0063091961:05:00 0,007164 -0,039000 0,013351 -0,0031701961:06:00 0,006496 0,071000 0,015790 -0,0063691961:07:00 0,004001 -0,091000 0,010390 0,0063691961:08:00 0,006124 0,134000 0,010283 0,0000001961:09:00 0,005783 -0,098000 -0,002561 0,0000001961:10:00 0,004844 0,046000 0,020305 0,0000001961:11:00 0,006922 0,108000 0,014963 0,0000001961:12:00 0,006279 0,159000 0,007398 0,0031701962:01:00 0,005944 0,129000 -0,007398 0,0031601962:02:00 0,007674 0,006000 0,017178 0,0000001962:03:00 0,008782 -0,033000 0,004854 0,0000001962:04:00 0,006971 0,016000 0,002418 -0,0031601962:05:00 0,005484 -0,041000 -0,002418 -0,0031701962:06:00 0,005454 0,025000 -0,002424 0,0000001962:07:00 0,004285 0,226000 0,009662 0,0031701962:08:00 0,005685 -0,108000 0,002401 0,0000001962:09:00 0,005935 -0,045000 0,004785 0,0094491962:10:00 0,006460 -0,041000 0,002384 -0,0062891962:11:00 0,007252 0,052000 0,004751 0,0000001962:12:00 0,008028 0,053000 0,000000 -0,0031601963:01:00 0,006869 0,058000 0,007084 0,0000001963:02:00 0,007366 0,002000 0,009368 -0,0031701963:03:00 0,007582 -0,019000 0,006969 0,0000001963:04:00 0,006989 0,012000 0,009217 -0,0031801963:05:00 0,007207 0,011000 0,011403 0,0031801963:06:00 0,006363 0,075000 0,004525 0,0031701963:07:00 0,007110 0,148000 -0,004525 0,0031601963:08:00 0,006539 0,177000 0,002265 -0,0031601963:09:00 0,006237 0,059000 0,009009 0,0000001963:10:00 0,005941 0,074000 0,006704 0,0000001963:11:00 0,008207 0,069000 0,004444 0,0031601963:12:00 0,004587 0,001000 0,000000 -0,0031601964:01:00 0,004819 0,006000 0,008830 0,0063091964:02:00 0,006054 0,003000 0,006572 -0,0063091964:03:00 0,005518 0,021000 0,000000 0,0000001964:04:00 0,004741 -0,069000 0,015168 0,0000001964:05:00 0,006204 -0,002000 0,006431 -0,0031701964:06:00 0,007149 -0,004000 0,002135 0,0000001964:07:00 0,007342 0,001000 0,006376 0,0031701964:08:00 0,008015 0,027000 0,006336 0,0000001964:09:00 0,008431 0,021000 0,004202 0,0031601964:10:00 0,005263 0,048000 -0,014784 0,0000001964:11:00 0,006896 0,049000 0,031416 0,0000001964:12:00 0,006613 0,232000 0,012295 0,0000001965:01:00 0,006336 -0,028000 0,010132 0,0031501965:02:00 0,006761 0,101000 0,006030 0,0031401965:03:00 0,006485 0,013000 0,013931 0,0000001965:04:00 0,005066 -0,010000 0,003945 0,0031301965:05:00 0,004126 -0,037000 0,007843 0,0031201965:06:00 0,006611 -0,085000 0,007782 0,0093021965:07:00 0,006342 0,021000 0,009643 0,000000

29

Mes DINERO INTERES PBI PRECIOS1965:08:00 0,006526 0,005000 0,003831 0,0000001965:09:00 0,008265 0,076000 0,001910 0,0000001965:10:00 0,006873 0,120000 0,009497 0,0030821965:11:00 0,006826 0,050000 0,005655 0,0030721965:12:00 0,007651 0,280000 0,011215 0,0061161966:01:00 0,006079 0,234000 0,011091 0,0030441966:02:00 0,005612 0,074000 0,005500 0,0090771966:03:00 0,005581 -0,044000 0,014519 0,0000001966:04:00 0,004485 -0,015000 0,000000 0,0000001966:05:00 0,001703 0,031000 0,010753 0,0000001966:06:00 0,002337 -0,103000 0,003559 0,0030071966:07:00 -0,000849 0,316000 0,005314 0,0059881966:08:00 0,003816 0,077000 0,001765 0,0029811966:09:00 0,005907 0,424000 0,008780 0,0000001966:10:00 0,000631 0,031000 0,006969 -0,0059701966:11:00 0,003358 -0,043000 -0,006969 -0,0029991966:12:00 0,006058 -0,337000 0,001747 0,0000001967:01:00 0,002911 -0,248000 0,005222 0,0029991967:02:00 0,007241 -0,205000 -0,010471 0,0000001967:03:00 0,009438 -0,266000 -0,007042 -0,0029991967:04:00 0,004889 -0,436000 0,010545 -0,0060241967:05:00 0,010310 -0,212000 -0,008780 0,0060241967:06:00 0,009608 -0,160000 0,000000 0,0059881967:07:00 0,008529 0,828000 -0,003534 0,0000001967:08:00 0,008849 -0,033000 0,019282 -0,0029891967:09:00 0,007606 0,176000 -0,001738 0,0000001967:10:00 0,006777 0,137000 0,008658 0,0000001967:11:00 0,005773 0,174000 0,013699 0,0000001967:12:00 0,006883 0,250000 0,011834 0,0089421968:01:00 0,004373 0,069000 -0,001682 0,0029631968:02:00 0,006241 -0,112000 0,003361 0,0059001968:03:00 0,005265 0,175000 0,003350 0,0029371968:04:00 0,004678 0,221000 0,001671 0,0000001968:05:00 0,005956 0,256000 0,011618 0,0029281968:06:00 0,006842 -0,077000 0,003295 0,0000001968:07:00 0,005514 -0,162000 -0,001646 0,0029201968:08:00 0,006941 -0,287000 0,003289 -0,0029201968:09:00 0,007435 0,107000 0,003279 0,0058311968:10:00 0,007380 0,132000 0,001635 0,0000001968:11:00 0,008572 0,158000 0,012987 0,0029031968:12:00 0,007970 0,424000 0,003221 0,0028941969:01:00 0,004225 0,261000 0,006410 0,0057641969:02:00 0,004557 -0,021000 0,006369 0,0057311969:03:00 0,004362 -0,076000 0,007905 0,0056981969:04:00 0,002261 0,070000 -0,004736 0,0028371969:05:00 0,001389 -0,073000 -0,003170 0,0056501969:06:00 0,003463 0,416000 0,009479 0,0056181969:07:00 0,001727 0,511000 0,004706 0,0027971969:08:00 0,001035 0,003000 0,003125 -0,0027971969:09:00 0,003442 0,122000 0,000000 0,0027971969:10:00 0,002231 -0,089000 0,000000 0,0027891969:11:00 0,003422 0,153000 -0,009404 0,0055551969:12:00 0,004261 0,527000 -0,003155 0,0055251970:01:00 0,002887 0,194000 -0,019139 0,0054951970:02:00 -0,005442 -0,750000 0,000000 0,005465

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Mes DINERO INTERES PBI PRECIOS1983:12:00 0,004663 0,250000 0,004494 0,0019571984:01:00 0,007304 -0,030000 0,019979 0,0058481984:02:00 0,009287 0,099999 -0,001099 0,0029111984:03:00 0,007598 0,410000 0,010941 0,0067601984:04:00 0,007313 0,250000 0,005426 0,0009621984:05:00 0,005993 0,210000 0,006472 0,0009611984:06:00 0,005147 0,040000 0,005362 -0,0009611984:07:00 0,003820 0,190001 0,004269 0,0019211984:08:00 0,003001 0,360000 0,001064 -0,0038461984:09:00 0,006775 -0,080000 -0,001064 -0,0038611984:10:00 0,006068 -0,440000 -0,007483 0,0000001984:11:00 0,009886 -1,180000 0,001072 0,0028971984:12:00 0,010958 -0,630000 -0,005373 -0,0019301985:01:00 0,010839 -0,400000 0,003227 -0,0009671985:02:00 0,009283 0,460000 0,007491 -0,0009681985:03:00 0,005242 0,349999 0,003193 -0,0019381985:04:00 0,003871 -0,570000 0,004242 0,0019381985:05:00 0,006071 -0,440000 0,002114 0,0019341985:06:00 0,010052 -0,550000 -0,003173 -0,0019341985:07:00 0,006550 0,040000 -0,003183 -0,0009691985:08:00 0,005976 0,130000 0,004242 -0,0048571985:09:00 0,005292 -0,100000 0,005277 -0,0058591985:10:00 0,004375 0,090000 -0,008457 0,0078051985:11:00 0,004074 0,030000 0,004237 0,0048471985:12:00 0,005500 -0,130000 0,010515 0,0019321986:01:00 0,003916 -0,030000 0,005685 -0,0038681986:02:00 0,004456 -0,010000 -0,007108 -0,0146421986:03:00 0,008145 -0,440000 -0,009134 -0,0138621986:04:00 0,009758 -0,530000 0,001701 -0,0070041986:05:00 0,010513 0,060000 -0,000306 0,0040081986:06:00 0,007918 0,090000 -0,004963 -0,0010001986:07:00 0,008046 -0,370000 0,005291 -0,0050181986:08:00 0,007944 -0,270000 0,001582 -0,0010071986:09:00 0,007732 -0,380000 0,000969 0,0010071986:10:00 0,007524 -0,010000 0,006746 0,0030141986:11:00 0,005403 0,170000 0,006482 0,0010031986:12:00 0,009221 0,140000 0,005821 -0,0010031987:01:00 0,005834 -0,040000 -0,003321 0,0079921987:02:00 0,001453 0,140000 0,014178 0,0049631987:03:00 0,001958 -0,030000 0,003712 0,0019781987:04:00 0,004591 0,200000 0,005329 0,0068931987:05:00 0,002521 -0,010000 0,006277 0,0068461987:06:00 0,000468 -0,060000 0,008565 0,0038911987:07:00 0,001832 0,090000 0,003634 0,0048431987:08:00 0,003583 0,220000 0,003017 0,0028941987:09:00 0,003713 0,320000 -0,002023 -0,0009641987:10:00 0,005472 0,080000 0,013178 0,0038501987:11:00 0,001806 -0,590000 0,001038 0,0009601987:12:00 0,002614 -0,010000 0,006508 0,0000001988:01:00 0,007977 0,100000 0,003224 0,0038311988:02:00 0,007775 -0,210000 0,002246 0,0019101988:03:00 0,006818 0,000000 0,000116 0,0009541988:04:00 0,007149 0,230000 0,008216 0,0085431988:05:00 0,004988 0,350000 -0,002612 0,0065941988:06:00 0,004115 0,230000 0,000288 0,006551

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Mes DINERO INTERES PBI PRECIOS1988:07:00 0,003625 0,230000 0,005733 0,0065091988:08:00 0,001284 0,290000 0,005681 0,0009261988:09:00 0,001620 0,210000 -0,004974 0,0009251988:10:00 0,003366 0,110000 0,002957 0,0009251988:11:00 0,004693 0,340000 0,005746 0,0009241988:12:00 0,002672 0,410000 0,006344 0,0064431989:01:00 0,001167 0,200000 0,003476 0,0136681989:02:00 0,000300 0,190000 -0,004549 0,0027111989:03:00 0,002362 0,350000 0,008582 0,0062981989:04:00 0,002456 -0,130000 -0,000009 0,0071491989:05:00 0,001656 -0,300000 -0,003452 0,0079821989:06:00 0,005149 -0,179999 -0,003210 -0,0026541989:07:00 0,008295 -0,300000 -0,009959 -0,0008861989:08:00 0,006963 -0,010000 0,005105 -0,0071171989:09:00 0,006142 -0,190000 -0,004441 0,0035651989:10:00 0,007033 -0,130000 -0,003689 0,0035521989:11:00 0,006062 0,060000 0,003509 -0,0008871989:12:00 0,006341 -0,010000 0,006650 0,0026581990:01:00 0,003785 0,000000 -0,005114 0,0166741990:02:00 0,003803 0,120000 0,005406 -0,0043611990:03:00 0,003663 0,110000 0,003124 -0,0017501990:04:00 0,004055 -0,090000 -0,006609 -0,0008761990:05:00 -0,000560 0,000000 0,007135 0,0043731990:06:00 0,004382 -0,040000 0,001783 -0,0026211990:07:00 0,002756 -0,080000 -0,001661 0,0017481990:08:00 0,005520 -0,220000 0,002869 0,0173161990:09:00 0,004357 -0,060000 0,000159 0,0161771990:10:00 0,000857 -0,190000 -0,004626 0,0200681990:11:00 0,001131 -0,120000 -0,012826 -0,0058121990:12:00 0,002929 -0,260000 -0,004095 -0,0117251991:01:00 0,004256 -0,510000 -0,005381 0,0025241991:02:00 0,005355 -0,350000 -0,010227 -0,0152421991:03:00 0,005507 -0,040000 -0,008166 -0,0085691991:04:00 0,002607 -0,240000 0,002876 -0,0017231991:05:00 0,002780 -0,160000 0,007706 0,0043011991:06:00 0,003486 0,090000 0,011056 -0,0008591991:07:00 0,000624 -0,020000 0,001791 -0,0025811991:08:00 -0,000238 -0,190000 0,002533 0,0008611991:09:00 -0,000089 -0,140000 0,008450 -0,0008611991:10:00 0,001218 -0,220000 0,000984 0,0025811991:11:00 0,002640 -0,430000 -0,001363 0,0000001991:12:00 0,002308 -0,480000 -0,005012 -0,0043051992:01:00 0,002420 -0,280000 -0,001285 -0,0025921992:02:00 0,005820 0,000000 0,006430 0,0034541992:03:00 0,000937 0,210000 0,008653 0,0008621992:04:00 -0,000586 -0,240000 0,006698 0,0017211992:05:00 -0,000322 -0,150000 0,004975 0,0077091992:06:00 -0,001819 0,040000 -0,002712 0,0068031992:07:00 0,000176 -0,420000 0,008364 -0,0008481992:08:00 0,002024 -0,140000 -0,001893 -0,0016981992:09:00 0,002546 -0,170000 0,001976 0,0025461992:10:00 0,003967 -0,130000 0,006738 0,0008471992:11:00 0,001106 0,300000 0,006038 -0,0025431992:12:00 -0,000145 0,110000 0,001792 -0,0016991993:01:00 -0,000611 -0,190000 0,003122 0,003396

35

Mes DINERO INTERES PBI PRECIOS1993:02:00 -0,002097 -0,110000 0,004097 0,0033841993:03:00 -0,000554 0,020000 0,000334 0,0025311993:04:00 0,000991 -0,080000 0,002262 0,0050421993:05:00 0,006884 0,070000 -0,004692 0,0033471993:06:00 0,001446 0,140000 0,001717 -0,0016721993:07:00 -0,000145 -0,050000 0,005725 -0,0025141993:08:00 0,001213 0,000000 0,000206 -0,0042031993:09:00 0,001904 -0,090000 0,007047 0,0000001993:10:00 0,001641 0,080000 0,000757 0,0033641993:11:00 0,003275 0,080000 0,007019 -0,0008401993:12:00 0,002034 -0,040000 0,009277 -0,0033671994:01:00 0,001401 -0,060000 0,003786 0,0042071994:02:00 0,000486 0,190000 0,007790 0,0016781994:03:00 0,001655 0,310000 0,008322 0,0033471994:04:00 0,001994 0,220000 0,003455 0,0000001994:05:00 -0,000541 0,450000 0,005267 0,0016691994:06:00 -0,003137 -0,010000 0,005392 0,0049921994:07:00 0,002112 0,210000 0,002292 0,0016581994:08:00 -0,001112 0,110000 0,004787 0,0041341994:09:00 -0,000086 0,140000 0,001118 -0,0016521994:10:00 0,000028 0,320000 0,006955 -0,0008271994:11:00 0,000827 0,290000 0,005324 0,0049501994:12:00 0,000741 0,390000 0,007851 0,0032871995:01:00 0,001367 0,170000 0,002729 0,0081701995:02:00 -0,000028 -0,010000 -0,000788 0,0048701995:03:00 0,001422 -0,070000 0,001379 0,0032341995:04:00 0,002866 -0,060000 -0,004111 0,0056341995:05:00 0,004044 0,030000 -0,000404 0,0024051995:06:00 0,008570 -0,200000 0,000503 0,0031971995:07:00 0,005246 -0,030000 0,000823 0,0000001995:08:00 0,005524 -0,060000 0,009828 -0,0015971995:09:00 0,003620 -0,150000 0,000815 0,0007991995:10:00 0,001929 0,040000 -0,004898 0,0007981995:11:00 0,002969 0,050000 0,003268 0,0007981995:12:00 0,004573 -0,190000 0,001630 0,0023891996:01:00 0,004008 -0,140000 -0,002446 0,0031771996:02:00 0,004155 -0,150000 0,011364 -0,0015871996:03:00 0,009198 0,090000 -0,004044 0,0039641996:04:00 0,000966 0,030000 0,008875 0,0086651996:05:00 NA NA NA NA1996:06:00 NA NA NA NA1996:07:00 NA NA NA NA1996:08:00 NA NA NA NA1996:09:00 NA NA NA NA1996:10:00 NA NA NA NA1996:11:00 NA NA NA NA1996:12:00 NA NA NA NA1997:01:00 NA NA NA NA1997:02:00 NA NA NA NA1997:03:00 NA NA NA NA

Fuente : Universidad del Pacífico, Recolección de datos económicos peruanos que están en primeras

diferencias .

A .Discutir la elección de las variables que se consideran adecuadas.

Se eligen las variables Dinero, Tasa de Interés, PBI y Precios conforme a la Teoría Económica

Monetarista, porque conforman un sistema de series de tiempo interrelacionados: un impulso monetario

tiene impacto sobre el Producto Nominal al Corto Plazo, mientras que a Largo Plazo sólo se traduce en

incremento en el nivel de los Precios. Según M. Friedman la inflación no es más que un fenómeno monetario.

Fig 3.1. Equilibrio en el mercado monetario Fig.3.2. Equilibrio según modelo IS-LM

Ms Ms’

r0

r1

r

Fig 3.3. Equilibrio en el me

Lógica económica detallada: Un impul

incremente la disponibilidad de préstamos de

agentes a realizar mayores transacciones y acel

la tasa de interés se reduzca y se incrementen

Esto hace que según fig 3.2 la curva L

elementos de la IS, el PBI se incremente. A su

curva de DA hacia arriba (Shock de Demanda

constante la OA ).

Finalmente según la Política MonetarMs↑ Î (M

0

Md

0

LM LM’

IS

r0

r1

P

0

P1

P0

M/P

M/P0
M/P1
rcado O

so mone

los banc

erar la eco

los saldos

M se des

vez, en

) origina

ia Expans/P) ↑ Î r

r

ferta Agregada-Demanda Agregada

tario (como reducción de la tasa de encaje

os hacia las empresas o personas y estimule a

nomía) desplaza la recta Ms hacia Ms’’ logrando

reales (Ver fig 3.1).

place hacia la derecha, y manteniendo constante

el mercado OA-DA (Fig 3.3) el desplazamiento d

un incremento en el nivel de precios (mantenie

iva ésta es la secuencia causal : ↓ Î Y ↑ Î P ↑

OA

DA

DA’

Y

Y0
Y1
Y

Y0
Y1
36

que

los

que

los

e la

ndo

37

B . Usar el test LR de selección de rezagos para encontrar el número de rezagos óptimo

Previa comprobación de la estacionariedad de c/u de las 4 variables (las cuales ya habían sido

diferenciadas una vez) con los gráficos de líneas y el Test de Dickey Fuller ADF , se empezó a usar el test LR

con T1/3 rezagos , es decir, con 447 1/3 = 8 rezagos .

Luego de un proceso iterativo el resultado final del test LR fue el siguiente :

Considerando las hipótesis H0 : Modelo VAR tiene 4 rezagos

H1 : Modelo VAR tiene 3 rezagos

LR = ( T- C) [ Ln Σ R - Ln Σ NR ] con distribución χ2 con q g.l.

Donde : T es el número de observaciones ; C es el número de parámetros , Σ R y Σ NR son el determinante de

la covarianza de los residuales del modelo restringido y no restringido respectivamente; q es # ecuaciones2 x #

rezagos de la hipótesis nula – de la hipótesis alternativa .

LR = (447 – 20 ) ( Ln 2.59E-15 – Ln 2.47E-15 ) sigue distribución χ2 con 16 g.l

LR calc = 20.26 p-value = 0.2087

En resumen, como p > α , (α= 5%) se aceptó la hipótesis nula de que el número de rezagos óptimo

para la estimación VAR es de cuatro.

* Orden de exogeneidad .-

Los resultados del Test de Causalidad de Granger con 4 rezagos es:

PRECIOS Î PBI Î INTERES Î DINERO

Que establece una causalidad estadística lineal, pero cuando se observan los gráficos de dispersión

entre cada par de variables éstos se parecen a una nube de puntos, por lo que la elección del orden de

exogeneidad bajo este test es relativo .

Y es justamente el orden inverso del criterio económico ya establecido anteriormente , el cual es:

DINERO Î INTERES Î PBI Î PRECIOS

Siendo finalmente éste el orden de exogeneidad que se usará para las Funciones Impulso-

Respuesta y Descomposición de Varianza. Así, el DINERO será la variable más exógena pues puede ser

controlado por el hacedor de política y sus shocks presentes y pasados podrán afectar al resto de variables. En

contraste, PRECIOS es la más endógena porque sólo sus shocks pasados afectan al PBI.

Los resultados de la Prueba de No Causalidad Granger ya mencionada fueron :

38

C . Comentario técnico sobre cuando se debería esperar una reactivación de la economía.

Fig. 3.4 Funciones Impulso-Respuesta

Vemos de la Fig .3.4 que shocks en la cantidad de dinero afectan positivamente al PBI , mientras que

shocks en tasa de interés y precios lo afectan negativamente (tal como se esperaba a priori), siendo el periodo

5 donde todos los shocks lo afectan simultáneamente de manera significativa, y es el periodo 14 donde el

efecto de todos estos shocks sobre el PBI se disipa dando un primer indicio que a partir de este periodo

debiera esperarse una reactivación de la economía .

-0 .00 2

0 .00 0

0 .00 2

0 .00 4

0 .00 6

0 .00 8

0 .01 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4

Response of P BI to DINERO

-0.00 2

0 .00 0

0 .00 2

0 .00 4

0 .00 6

0 .00 8

0 .01 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4

Response of PB I to INTERES

-0.00 2

0 .00 0

0 .00 2

0 .00 4

0 .00 6

0 .00 8

0 .01 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4

Response of P BI to PB I

-0 .00 2

0 .00 0

0 .00 2

0 .00 4

0 .00 6

0 .00 8

0 .01 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4

Response of PB I to PRECIOS

R e s p o n s e to O n e S.D . In n o v a tio n s ± 2 S.E.

39

Fig 3.5 Func. Imp-Respuesta combinada Fig 3.6. Descomposición de Varianza del PBI

De la fig 3.5 se desprende que siguiendo el orden de exogeneidad económico ya establecido, la

respuesta del PBI frente a shocks propios y shocks en las otras 3 variables hace que a mediados del periodo

14 (en 3 ½ años o 14 trimestres) se debiera esperar la reactivación económica porque los shocks en todas las

variables del sistema se disipa. Esto quiere decir que a partir de este periodo puede haber impulso pero no

respuesta: el PBI ya asimiló los efectos de los shocks pasados y presentes del DINERO, INTERES y sobre sí

mismo, así como de los shocks pasados en PRECIOS, estando ya en condiciones para reactivarse .

Finalmente, de la Fig 3.6 y Cuadro 3.7 se observa que en el periodo 14 las causas internas al PBI

afectan su varianza en cerca del 87%, en tanto que las causas externas relacionadas con el Dinero y tasa de

interés apenas lo afectan en 9% .

Cuadro 3.7. Descomposición de Varianza del PBI

Periodo S.E. DINERO INTERES PBI PRECIOS

1 0.002199 0.004522 3.686889 96.30859 0.000000 2 0.002770 0.004113 5.485141 94.14977 0.360975 3 0.002966 0.013076 6.321875 93.27832 0.386727 4 0.003119 0.381359 6.220842 92.91835 0.479451 5 0.003247 1.220004 6.242286 90.63147 1.906240 6 0.003330 1.744572 6.304403 89.41289 2.538138 7 0.003383 2.117559 6.369168 88.40800 3.105269 8 0.003420 2.423484 6.391530 87.62612 3.558863 9 0.003445 2.598789 6.459367 87.24601 3.695835 10 0.003462 2.684412 6.510590 87.03168 3.773314 11 0.003473 2.734631 6.533417 86.92931 3.802643 12 0.003480 2.760062 6.548425 86.88176 3.809758 13 0.003486 2.772190 6.554400 86.86184 3.811569 14 0.003489 2.778781 6.556699 86.85330 3.811222 15 0.003492 2.782127 6.557754 86.84911 3.811006

Ordering: DINERO INTERES PBI PRECIOS

-0.002

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

2 4 6 8 10 12 14

DINE ROINT E RE S

P B IP RE CIOS

R e s p o n s e o f P B I t o O n e S . D . In n o v a t io n s

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

D IN E R OIN T E R E S

P B IP R E C IO S

V arianc e D ec om pos it ion o f PB I

40

2.2. PREDICCION CON VAR

Usamos el valor de los estadísticos calculados por el modelo VAR :

Date: 09/23/01 Time: 00:08 Sample(adjusted): 1959:06 1996:04 Included observations: 443 after adjusting endpoints Standard errors & t-statistics in parentheses

DINERO INTERES PBI PRECIOS

DINERO(-1) 0.638093 44.89871 0.072043 0.155401 (0.04973) (10.9110) (0.18214) (0.13792) (12.8323) (4.11499) (0.39554) (1.12677)

DINERO(-2) -0.015727 -42.84454 -0.055892 0.022079 (0.06093) (13.3687) (0.22316) (0.16898)(-0.25813) (-3.20483) (-0.25045) (0.13066)

DINERO(-3) 0.160265 14.04781 0.171045 -0.141097 (0.06166) (13.5294) (0.22585) (0.17101) (2.59924) (1.03832) (0.75735) (-0.82506)

DINERO(-4) 0.020250 -5.192771 0.177769 0.153393 (0.05001) (10.9736) (0.18318) (0.13871) (0.40491) (-0.47320) (0.97045) (1.10586)

INTERES(-1) -0.001422 0.318849 0.001552 -0.000280 (0.00023) (0.05064) (0.00085) (0.00064)(-6.15932) (6.29626) (1.83602) (-0.43767)

INTERES(-2) 0.000109 -0.212603 0.000504 0.000545 (0.00025) (0.05404) (0.00090) (0.00068) (0.44289) (-3.93404) (0.55863) (0.79740)

INTERES(-3) -0.000112 -0.031709 -0.000554 -0.000789 (0.00025) (0.05386) (0.00090) (0.00068)(-0.45530) (-0.58874) (-0.61580) (-1.15897)

INTERES(-4) 0.000113 -0.021006 6.03E-05 0.001254 (0.00022) (0.04933) (0.00082) (0.00062) (0.50438) (-0.42585) (0.07327) (2.01118)

PBI(-1) 0.017359 6.145028 0.296361 0.022001 (0.01341) (2.94319) (0.04913) (0.03720) (1.29416) (2.08788) (6.03211) (0.59139)

PBI(-2) -0.028088 5.357879 0.025784 0.025010 (0.01395) (3.06204) (0.05111) (0.03870)(-2.01274) (1.74977) (0.50443) (0.64617)

PBI(-3) 0.001526 -0.281651 0.053547 -0.001786 (0.01400) (3.07253) (0.05129) (0.03884) (0.10899) (-0.09167) (1.04400) (-0.04598)

PBI(-4) -0.013736 -2.004256 -0.040321 -0.009605 (0.01319) (2.89422) (0.04831) (0.03658)(-1.04139) (-0.69250) (-0.83458) (-0.26256)

PRECIOS(-1) -0.015298 13.43482 0.084371 0.213252 (0.01750) (3.84086) (0.06412) (0.04855)

41

(-0.87397) (3.49787) (1.31592) (4.39249)PRECIOS(-2) 0.011588 -1.325973 -0.036483 0.177772

(0.01780) (3.90485) (0.06518) (0.04936) (0.65113) (-0.33957) (-0.55970) (3.60168)

PRECIOS(-3) 0.000677 6.735882 -0.080804 0.174501 (0.01779) (3.90352) (0.06516) (0.04934) (0.03806) (1.72559) (-1.24006) (3.53661)

PRECIOS(-4) 0.010273 -6.773450 -0.168964 -0.048835 (0.01779) (3.90273) (0.06515) (0.04933) (0.57758) (-1.73557) (-2.59353) (-0.98995)

C 0.001171 -0.120944 0.000273 0.000333 (0.00025) (0.05437) (0.00091) (0.00069) (4.72598) (-2.22458) (0.30120) (0.48519)

R-squared 0.603577 0.209100 0.193773 0.181664 Adj. R-squared 0.588688 0.179395 0.163493 0.150929 Sum sq. resids 0.002142 103.1499 0.028743 0.016481 S.E. equation 0.002243 0.492073 0.008214 0.006220 Log likelihood 2082.437 -305.7786 1507.318 1630.518 Akaike AIC -9.324773 1.457240 -6.728296 -7.284506 Schwarz SC -9.167684 1.614329 -6.571206 -7.127417 Mean dependent 0.005748 0.004828 0.002643 0.003135 S.D. dependent 0.003497 0.543203 0.008981 0.006750

Determinant Residual Covariance 2.47E-15 Log Likelihood 4935.410 Akaike Information Criteria -21.97476 Schwarz Criteria -21.34640

PREDICCION PARA EL VALOR DEL PBI mes mayo de 1996:

Reemplazar los valores correspondientes a :

PBI 1996-5 = α+ β DINERO1996-4 + βDINERO1996-3 + βDINERO1996-2+ βDINERO1996-1+ χINTERES1996-4+

χINTERES1996-3+ χINTERES1996-2+ χINTERES1996-1 + γPBI1996-4+ γPBI1996-3 +γPBI1996-2+ γPBI1996-1+

γPRECIOS1996-4+ γPRECIOS1996-3+ γPRECIOS1996-2 +γPRECIOS1996-1

PBI1996-5 = 0,000273+(0,072043*0,000966-0,055892*0,009198+ 0,171045*0,004155+0,177769*0,004008)

+(0,001552*0,03+0,000504*0,09-0,000554*-0,15+0,0000603*-0,14) + (0,296361*0,008875+0,025784*-

0,004044+0,053547*0,011364-0,040321*-0,002446) + (0,084371*0,008665-0,036483*0,003964-0,080804*-

0,001587-0,168964*0,003177)

PBI1996-5 = 0,00482923

Asi, el valor predicho VAR del PBI para el mes de mayo del año 1996 es de 0.00482923 (recuérdese

que esta cifra representa una variación entre mayo y abril puesto que como se dijo la data ya fue diferenciada).

42

CONCLUSIONES

1. El presente trabajo debe considerarse de carácter introductorio y práctico. Resume y aplica el contenido

de los capítulos 21 y 22 del libro "Econometría" (Damodar Gujarati) referente a Econometría de Series de

Tiempo con importantes agregados. Principalmente considera test de estacionariedad-Raiz unitaria, así

como aplicación de modelos de estimación-predicción ARIMA , VAR.y de Corrección de Errores MCE.

2. La importancia del modelo ARIMA (Autoregresivo Integrado de Media Móvil) radica en que permite

predecir valores para series de tiempo ESTACIONARIAS. Si la serie es no estacionaria, debe

diferenciarse (INTEGRARLA) cuantas veces sea necesario hasta convertirla en ESTACIONARIA (con

media, varianza y covarianzas que se mantengan en el tiempo)

3. Las pruebas de estacionariedad usadas en el trabajo son:

a) Gráfico de líneas y correlograma (que verifica la estacionariedad de la serie ,y si los shocks que

afectan a la serie lo hacen en forma permanente o se diluyen rápido respectivamente), estadístico Q

de Box-Pierce y estadístico de Ljung-box.

b) De Raíz Unitaria (situación de no estacionariedad): con prueba DF o ADF de Dickey-Fuller, o si la

es serie estacionaria con quiebre (ver Test de Zivot-Andrews en el Anexo Aplicativo al PBIPERU).

c) De Cointegración (situación de equilibrio de Largo Plazo entre dos o más series, cuyo desequilibrio

de Corto Plazo es corregido con la inclusión del error estacionario en el modelo de Corrección de

Errores MCE (Metodología de Engle Granger ) ; y Prueba Durbin-Watson DWRC. , tratando de

evitar situaciones de Regresión Espuria (resultados estadísticos engañosos que no expresan la

verdadera relación entre variables, sino que puede reflejar únicamente la tendencia común en ellas).

4. La metodología Box-Jenkins en la estimación del modelo ARIMA de orden (p, d, q) sigue los sgte.

Pasos:

a) IDENTIFICACION :investigar cuales son los posibles órdenes AR o MA de la serie usando el

Correlograma (Función FAP y FAS respectivamente.

b) ESTIMACION : en base a la información del Correlograma diseñar un modelo ARIMA para su

estimación.(con coeficientes estadistícamente significativos, criterio Akaike, Schwarz, y otros).

c) VERIFICACION : comprobar que los residuales del modelo ARIMA son ruido blanco (es decir,

puramente aleatorios con media cero, varianza homoscedastica y no autocorrelacionados).

d) PRONOSTICO : Deshacer la transformación de la serie ARIMA para predecir futuros valores.

5. Una metodología alternativa de estimación y predicción es VAR (Vectores Autoregresivos). Debe

demostrarse previamente que las series interrrelacionadas sean estacionarias , luego modelar el VAR

usando un nómero de rezagos coherente con el Test LR empezando por T1/3 lags, estimar las Funciones

Impulso-Respuesta y Descomposición de Varianza usando un orden de exogeneidad. Alternativamente

usar este modelo con fines predictivos.

43

ANEXOS

(Aplicación al PBI del Perú)

I) EL PBI PERUANO con año base 1994 (1950-2000)Datos empleados :

Año PBI Año PBI1950 21527 1981 959411951 23241 1982 959321952 24523 1983 845111953 26023 1984 880981954 27142 1985 899391955 28656 1986 985771956 29951 1987 1074551957 32222 1988 980141958 32436 1989 861741959 33764 1990 816211960 37533 1991 837601961 40024 1992 834011962 44055 1993 873751963 46275 1994 985771964 49176 1995 1070251965 51712 1996 1096831966 56170 1997 1170831967 58634 1998 1165951968 59436 1999 1182091969 62033 2000 1212671970 620581971 653171972 675931973 715301974 784141975 818931976 832571977 833481978 824931979 866081980 91188

Fuente : Los datos son valores a precios constante de 1994 en millones de nuevos soles

� Años 1950-90 : PBI deflactado de esta forma: PBI 90 = PBI 91 / IVF 91-90

El IVF 91-90 es con año base 1979

� Años 1991-2000 : DNCN-INEI ,“Agregados Macroeconomicos de la Oferta y Demanda Global 1991-

99”, Lima-Julio 2001

1.1. Modelación de la serie como un ARMA .-

* Producto Bruto Interno (PBI peruano) en niveles

Fig. 1.1 Gráfico de líneas Fig. 1.2 Histograma del PBI

Observando la figura 1.1, en niveles el PBI anual (de toda la muestra 1950-2000) no es una serie

estacionaria en media porque posee una tendencia , lo cual puede responder a la normal evolución de esta

variable macroeconómica .También debe presentar intercepto la modelación ARMA puesto que la media de la

serie es muy diferente de cero (ver estadísticas mean del histograma).

Fig. 1.3 Correlograma del PBI en niveles:

Se prueba la hipótesis para las autocorrelaciones simples :

H0 : pki =0 (presenta ruido blanco con Distribución normal con med

H1 : pki ≠ 0 (coeficiente de autocorrelación muestral no es puramen

Intervalo de confianza al 95% para la hipótesis nula :

± 1.96 (1 / √n ) = ± 1.96 (1/ √51) = (-0.2745 , 0.2745) . Así, los reza

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00

P B I0

2

4

6

8

10

20000 40000 60000 80000 100000 120000

Se r ie s : PBISa mp le 1 9 5 0 2 0 0 0O b s e rv a tio n s 5 1

Me a n 7 0 7 3 4 .6 9Me d ia n 8 1 6 2 1 .0 0Ma x imu m 1 2 1 2 6 7 .0Min imu m 2 1 5 2 7 .0 0Std . D e v . 2 9 4 1 4 .2 1Sk e w n e s s -0 .1 5 4 4 5 3Ku r to s is 1 .8 6 6 7 1 3

J a rq u e - Be ra 2 .9 3 1 9 9 6Pro b a b ility 0 .2 3 0 8 4 7

44

ia 0 y varianza 1/n )

te aleatorio)

gos 1 al 12 de la FAS son significativos.

45

Aparenta el PBI ser un proceso AR(1) ya que sólo el primer coeficiente del FAP es significativo y el

FAS se va diluyendo...hasta el rezago 17, pero luego vuelve a crecer (a partir del rezago 26) indicando que en

niveles cualquier shock que afecte al PBI lo afectará permanentemente. Por lo mismo, es necesario tomar

primeras diferencias a la serie para modelarla como un ARMA(p,q) en diferencias.

* PBI en primeras diferencias D(PBI).-

Fig 1.4 Gráfico de líneas de D(PBI) Fig 1.5 Histograma de D(PBI)

En primeras diferencias el PBI no exhibe tendencia alguna y su desarrollo corriente se da alrededor

de su media. Ahora si es posible modelar la serie como un ARMA. De otro lado, al modelar A(L)PBIt= B(L) ετ ó

D(PBI) = f( D(PBI)t-1, D(PBI)t-2, ...,D(PBI)t-p, D(ε)t-1, ..., D(ε)t-q ) debiera tener intercepto puesto que el

histograma de D(PBI) muestra que la media de la serie diferenciada no es cercana a cero.

*APLICACIÓN DE METODOLOGÍA BOX-JENKINS PARA LLEGAR A LA

MODELACION ARMA OPTIMA.-

Etapa 1.- IDENTIFICACION

Fig. 1.6. Correlograma de D(PBI)

El Correlograma del PBI estacionario en primeras diferencias tiene el rezago 1 y 4 de su proceso

FAS y el 1 de su FAP significativos (α= 5%). Pero el estadístico de Ljung-Box nos señala que a partir de un

15000

10000

-5000

0

5000

10000

15000

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00

D(P B I)0

5

10

15

20

25

- 10 0 0 0 -5 0 0 0 0 5 0 00 10 0 0 0

Se r ie s : D (PBI)Samp le 19 5 1 2 0 00O b s e rv a tio n s 50

Me a n 1 9 9 4 .8 00Me d ia n 2 2 7 3 .5 00Ma x imu m 1 1 2 0 2 .00Min imu m -1 1 8 4 0 .00Std . D e v . 4 2 9 8 .2 38Sk ew n es s -1 .2 6 5 6 34Ku r to s is 6 .2 8 0 1 44

J a r q u e- Be r a 3 5 .7 6 3 87Pro b a b ility 0 .0 0 0 0 00

46

tamaño de 11 rezagos éstos no son significativos. La serie D(PBI) sigue como máximo un proceso MA(4).Por

lo tanto, los procesos ARMA(p,q) identificados son :

ARMA (1,0) , ARMA (1,1), ARMA(0,1)

ARMA (2,1) ; ARMA (1,2), ARMA(2,0), …,ARMA (1,1) MA(4)

Etapa 2: ESTIMACIÓN DE LOS COEFICIENTES ARMA (p,q)

A continuación se mostrará un set de parámetros para 4 modelos ARMA en primeras diferencias (o

ARIMA), en los cuales todos ellos tienen intercepto y pendientes estadísticamente diferentes de cero en base a

la prueba t al nivel de significancia α del 5% y donde el componente AR es estacionario y el MA es invertible :

Variable Dependiente : D(PBI) Muestra 1950 – 2000

p = 1 p = 0 p = 1,2 p = 1 q = 0 q = 1 q = 1 q = 2

AR(1) 0.3460 - 1.2345 0.4123t 2.5261 - 9.1379 2.8951

p-value (0.0150) - (0.0000) (0.0058)MA(1) - 0.4561 -0.9764 -

t - 3.5379 -35.5738 -p-value - (0.0009) (0.0000) -AR(2) - - -0.4531 -

t - - -3.3503 -p-value - - (0.0017) -MA(2) - - - -0.4200

t - - - -2.8512p-value - - - (0.0065)

R2 ajustado 0.1008 0.1398 0.1947 0.1431Sum Resid Cuadrado 7.97E+08 7.63E+08 6.82E+08 7.43E+08Prob Log likelihood 6.36E-07 0.0034 5.56E-11 7.49E-07

Akaike (AIC) 19.5240 19.4584 19.4739 19.4951Schwarz Criterion 19.6012 19.5349 19.6299 19.6110P-value Fstatistic 0.0150 0.0043 0.0057 0.0108

Q(7)= 9.32 (0.156) Q(7)= 6.89 (0.332) Q(7)= 3.79 (0.436) Q(7)= 5.21 (0.390)Q(14)= 16.17 (0.240) Q(14)= 16.30 (0.233) Q(14)= 13.76 (0.246) Q(14)= 15.11 (0.236)Q de Ljung-Box

y su (p-value) Q(21)= 18.78 (0.536) Q(21)= 19.87 (0.466) Q(21)= 17.21 (0.509) Q(21)= 19.56 (0.421)

De entre estos 4 modelos tentativos , se escoge al ARIMA (2,1,1 )con intercepto porque :

9 Tiene coeficientes significativos al α = 5%.

9 Presenta el mayor poder explicativo o mejor ajuste a los datos en base al R2 ajustado y su menorSuma de Residuos al Cuadrado . Respecto al estadístico de Máxima Verosimilud Log likelihoodpresenta el p-value más pequeño lo que significa que le es más difícil aceptar la hipótesis nula de quelos coeficientes ARMA son no significativos7; aunque en cuanto a los indicadores de Parsimonia noes el que presenta el menor Akaike y menor Schwarz8 ,pero esta diferencia frente al modelo

7 El log-likelihood enfrenta el problema de cuánto poder explicativo se pierde al imponer la restricción de que el modelosólo debe contener intercepto,. siguiendo una distribución ji-cuadrado con g.l. igual al número de restricciones .8 El Akaike y el Schwarz manejan la misma intuición que el R2 ajustado: implica un trade-off entre ganancia de poderexplicativo o sacrificar grados de libertad al incorporar una variable explicativa. Sólo con un regresor importante, amboscriterios decrecen.

47

ARIMA(0,1,1) es demasiado pequeña como para preocuparse que nuestro modelo no es lo mássimplificado posible.

9 En base a la Prueba F no se tiene evidencia para aceptar la hipótesis nula de no significancia

global, lo cual es muy útil para fines predictivos (p-value es menor a α = 5%). Finalmente el Q

estadístico desarrollado por Ljung-Box presenta valores menores para este modelo concorrespondientes p-value mayores para un tamaño de 7,14 y 21 rezagos de los residuales, estosignifica mayor probabilidad de rechazar la hipótesis nula de residuales ruido blanco si en realidadésta fuese verdadera .

Etapa 3: COMPROBACIÓN DEL DIAGNOSTICO

Fig. 1.7 Correlograma de los residuos del modelo ARIMA (2,1,1) .-

Tal como se ve de este correlograma (Fig 1.7) los residuales son ruido blanco (puramente aleatorios,

no presentan ningún tipo de patrón de comportamiento) porque ninguno de ellos es significativamente distinto

de cero (al 95% de confianza), indicando que el modelo ARIMA seleccionado se ajusta razonablemente bien

a los datos. Además según el estadístico de Ljung-Box para cualquier tamaño de rezago éstos residuales son

ruido blanco.

Fig. 1.8 Histograma de residuales Fig 1.9 Gráfico de residuales

0

2

4

6

8

10

12

-12000 -8 000 -4 000 0 40 00

Se r ie s : R ESIDSample 1951 2000Obs erv a tions 50

Mea n -2 85.4 311Median -2 68.7 664Max imum 6916.967Minimum -1 2360.82Std . D e v . 3721.294Sk ew n es s -0 .984 594Kurtos is 5 .103247

J arq ue-Be ra 17 .29447Probab ility 0 .000176

15000

10000

-5000

0

5000

10000

55 60 65 70 75 80 85 90 95 00

D(PBI) Res iduals

48

De otro lado, los residuales no se distribuyen normalmente (fig 1.8) ya que el Jarque-Bera rechaza la

H0 de normalidad al α = 5% pero si nos amparamos en el teorema del límite central podríamos afirmar que

nuestros errores son asintóticamente normales ya que trabajamos con series de tiempo (lo que implica el uso

de una muestra grande); además de la fig 1.9 los residuales no parecen exhibir quiebre estructural .Habría

que señalar que nuestro modelo ARIMA no recoge en forma óptima la información del año 1983 y 1988

(residuales se salen de las bandas de confianza) por lo que un investigador más riguroso podría intervenir en

la muestra colocando variables dummies para esos dos periodos que representan al Fenómeno del Niño

(1983)y los comienzos de la hiperinflación y caída de la producción después del pico de 1987 (año 1988) ,

respectivamente.

• Aplicando el Test de Autocorrelación LM de Breusch-Godfrey ;

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:

F-statistic 0.319076 Probability 0.728566Obs*R-squared 0.462397 Probability 0.793582

Test Equation:Dependent Variable: RESIDMethod: Least SquaresDate: 11/15/01 Time: 11:16


C 26.63457 204.4265 0.130289 0.8970AR(1) -0.404747 0.621078 -0.651685 0.5182AR(2) 0.322398 0.479884 0.671825 0.5054MA(1) -0.013537 0.035272 -0.383802 0.7031

RESID(-1) 0.456921 0.642457 0.711209 0.4809RESID(-2) 0.142943 0.355722 0.401840 0.6898

R-squared 0.009633 Mean dependent var -276.6241Adjusted R-squared -0.108268 S.D. dependent var 3799.124S.E. of regression 3999.501 Akaike info criterion 19.54220Sum squared resid 6.72E+08 Schwarz criterion 19.77610Log likelihood -463.0127 F-statistic 0.081707Durbin-Watson stat 2.013057 Prob(F-statistic) 0.994735

Con dos rezagos, queda demostrado que los residuales no están autocorrelacionados ya que se acepta

la hipótesis nula de no autocorrelación considerando un α= 5%.

En vista que no se puede aplicar el Test de Heteroscedasticidad de White cuando existen

componentes AR o MA , se usará la Fig 1.9 para disipar cualquier sospecha de su existencia.

En conclusión, se ha verificado que el Modelo ARMA (2,1) con drift es un buen diagnóstico de

la serie del PBI peruano en primeras diferencias, o lo que es lo mismo,. es una buena especificación

ARIMA (2,1,1) para la serie en niveles .

49

1.2. ¿RAIZ UNITARIA O QUIEBRE ESTRUCTURAL ?A continuación se aplicarán los test de Dickey-Fuller para probar la presencia de raíz unitaria, frente

a los resultados de un programa del test de Zivot y Andrews para detectar si existe estacionariedad en niveles

pero con quiebre estructural en intercepto, tendencia o en ambos.

A) Aplicación del Test de Dickey-Fuller

En niveles:ADF Test Statistic -2.983317 1% Critical Value* -4.154 5% Critical Value -3.5025 10% Critical Value -3.1804 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(PBI) Method: Least Squares Date: 11/15/01 Time: 12:01 Sample(adjusted): 1952 2000 Included observations: 49 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.PBI(-1) -0.217004 0.072739 -2.983317 0.0046D(PBI(-1)) 0.454569 0.132963 3.418758 0.0013C 5682.463 1894.184 2.999954 0.0044@TREND(1950) 414.0391 143.3186 2.888942 0.0059 R-squared 0.264982 Mean dependent var 2000.531Adjusted R-squared 0.215981 S.D. dependent var 4342.588S.E. of regression 3845.139 Akaike info criterion 19.42511Sum squared resid 6.65E+08 Schwarz criterion 19.57955Log likelihood -471.9153 F-statistic 5.407661Durbin-Watson stat 1.911113 Prob(F-statistic) 0.002902

Esta especificación que considera tendencia e intercepto de la serie (que se aprecia en el gráfico de

líneas)más un rezago, en niveles tanto al α=1%, 5% ,10% el ADF calculado acepta la hipótesis nula de raíz

unitaria (por ser menor en valor absoluto que el Mac Kinnon). Ello significa que un shock en la serie la

afectará en forma permanente y no se diluirá con prontitud.

En primeras diferencias :

ADF Test Statistic -4.775792 1% Critical Value* -3.5682 5% Critical Value -2.9215 10% Critical Value -2.5983*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(PBI,2) Method: Least Squares Date: 11/15/01 Time: 12:02 Sample(adjusted): 1952 2000 Included observations: 49 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. D(PBI(-1)) -0.654046 0.136950 -4.775792 0.0000C 1317.928 647.3627 2.035842 0.0474 R-squared 0.326727 Mean dependent var 27.42857Adjusted R-squared 0.312402 S.D. dependent var 4966.004S.E. of regression 4117.888 Akaike info criterion 19.52403Sum squared resid 7.97E+08 Schwarz criterion 19.60125Log likelihood -476.3387 F-statistic 22.80819Durbin-Watson stat 1.829075 Prob(F-statistic) 0.000018

El PBI en primeras diferencias es estacionario o I(1) porque la prueba ADF al

α=1%,5%,10% señala de que no se tiene evidencia para aceptar la hipótesis nula de raíz unitaria (a este nivel

de significancia el ADF calculado es mayor al Mac Kinnon crítico en valores absolutos) .

B) APLICACIÓN DEL TEST DE ZIVOT-ANDREWS SOBRE LA PRESENCIA DE QUIEBRE


H0: Existe raíz unitaria

H1: Hay estacionariedad con quiebre estructural

El grafico "a" trab

El grafico "b" trab

El grafico "c" tra

tendencia.

Obsérvese que de

estadísticos zivot calculado

rojas (hay quiebre de interc

-7

-6

-5

-4

-3

-2

10 15 20 25 30 35 40

_ZIVOTA _VCRITA

-5.5

-5.0

-4.5

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

10 15 20 25 30 35 40

_ZIVOTB _VCRITB

-3
a
aja con el supuesto de que el PBI (en niveles) sufre quiebre

aja con el supuesto de que el PBI sufre quiebre en tendenc

baja con el supuesto de que el PBI sufre quiebre tanto

l gráfico se desprende el rechazo de la hipótesis nula de

s son menores a los valores críticos, están por debajo de la

epto o tendencia en la serie de PBI) .

-7

-6

-5

-4

10 15 20 25 30 35 40

_ZIVOTC _VCRITC

b

c

50

en intercepto.

ia.

en intercepto como en

raíz unitaria, porque los

s tres líneas horizontales

51

Aplicando un Programa recursivo del Test de Zivot-Andrews (ver Apéndice), nos arroja como

resultado el periodo de quiebre con el F-statistic más alto de toda la muestra: donde el PBI en niveles es

estacionario con quiebre estructural tanto en intercepto como en tendencia en el periodo 39 (año 1988) tal

como se ve a continuación:

Resultados de la prueba F Serie analizada PBI Modelo A El quiebre está en el período 39Modelo B El quiebre está en el período 39Modelo C El quiebre está en el período 39Mejor Modelo 3

La obtención de la serie en niveles limpia de quiebre pasa por obtener los residuos de una

regresión de la variable PBI sobre una constante, una tendencia, una variable dummy que afecte al intercepto,

y una dummy aplicada a dicha tendencia que adopta el valor de 1 a partir del periodo 39 (año 1988).A

continuación se visualizarán los resultados de dicha regresión con la correspondiente evolución de esta

variable limpia de quiebre llamada PBISQ. Esto debe interpretarse como una opción frente a las primeras

diferencias que se hizo anteriormente para modelar el ARIMA(2,1,1), lo cual queda a criterio del investigador

Dependent Variable: PBI Method: Least Squares Date: 11/15/01 Time: 12:09 Sample: 1 51 Included observations: 51 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 17794.42 1622.324 10.96847 0.0000@TREND 2307.962 75.43654 30.59475 0.0000DUM -65019.65 16770.25 -3.877084 0.0003@TREND*DUM 1053.423 385.4441 2.733010 0.0088 R-squared 0.971748 Mean dependent var 70734.69Adjusted R-squared 0.969945 S.D. dependent var 29414.21S.E. of regression 5099.365 Akaike info criterion 19.98680Sum squared resid 1.22E+09 Schwarz criterion 20.13832Log likelihood -505.6635 F-statistic 538.8710Durbin-Watson stat 0.793774 Prob(F-statistic) 0.000000

15000

10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

P B IS Q 0

4

8

12

16

-10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

Se r ie s : PBISQSamp le 1 51O bs e r v a tion s 51

Me a n - 5 .3 7 E-1 2Me d ian 1 1 5 .7 3 5 7Ma x imum 1 7 50 6 .6 2Min imu m -1 0 55 1 .9 2Std . D e v . 4 9 44 .0 1 8Sk ew n e s s 0 .3 24 8 3 6Ku r to s is 5 .0 08 0 5 2

J a r qu e - Be ra 9 .4 65 4 9 0Pro ba b ility 0 .0 08 8 0 2

52

CONCLUSION PARCIAL :

• De acuerdo a los datos y estadísticas de regresión, nuestro PBI peruano en niveles no tiene un equilibrio

estadístico estable, es decir, sus medias y/o varianzas varían en el tiempo. Por tanto, es una serie de

tiempo no estacionaria en media por niveles.

• El correlograma y las pruebas de Ljung-Box concluyen que los coeficientes de autocorrelación muestral

de la serie en niveles no son ruido blanco y no es estacionaria .La Prueba Dickey Fuller (ADF) señala la

existencia de Raíz unitaria ; la prueba de Zivot-Andrews sin embargo señala presencia de estacionariedad

con quiebre .

• Pero en primeras diferencias la serie de PBI peruano no presenta raíz unitaria, es decir, es integrado de

orden 1 o I(1), y solo así se pudo formular un modelo ARIMA(2,1,1) que intente predecir el valor para el

año 2001 .

1.3. PRONOSTICO ARIMA PARA EL PBI AÑO 2001 :

En el capítulo 1.1. hemos concluido que el PBI peruano (de acuerdo a nuestros datos) es I(1), es

decir, sus primeras diferencias lo vuelven estacionario .A continuación se intentará predecir el PBI peruano

para el año 2001.

Se desea pronosticar el PBI del Perú para dos periodos siguientes (años 2001 al 2002), ya que la

realización comprende entre los años 1950-2000.

Tenemos dos formas:

a) Manual.- Previamente hay que “deshacer” la transformación de primeras diferencias que se utilizó al

estimar el modelo ARIMA para obtener predicción en niveles.

Usando el modelo ARIMA (2,1,1) :

Paso 1) Deshacemos el modelo ARIMA usado :

D(PBI) = 1923.972 + 1.234485 AR(1) – 0.453069 AR(2) – 0.976352 MA(1)

Paso 2) Quedando así :

Y2001 – Y 2000 = α0 + α1[Y 2000 – Y 1999 ] + α2[Y 1999 – Y 1998 ] + α3[ε 2000 – ε 1999 ] + µ 2001

Y2001 = α0 + α1[Y 2000 – Y 1999 ] + α2[Y 1999 – Y 1998 ] + α3[ε 2000 – ε 1999 ] + Y 2000 + µ 2001

Paso 3) Reemplazamos valores del modelo ARIMA usado anteriormente para la predicción t+1

53

b) Predicción automática dinámica.-

El E-Views 3.0 usa la predicción dinámica significa que el valor de t+1 se reemplaza en la ecuación

ARMA para predecir el valor t+2, y así sucesivamente reportando los valores pronosticados ex-ante para el

año 2001 y 2002 siguientes :

2001 123330.772002 124913.54

Donde la serie PBIF grafica la evolución de la variable con valores originales de la data más dos

valores predecidos (años 2001 y 2002).

El valor estimado de acuerdo al modelo ARIMA(2,1,1) para el año 2001 es de 123330.77. Esto

significa una variación de 1.70% respecto al año 2000 .Un crecimiento del PBI que sólo toma en cuenta a su

historia y no a cambios presentes .

CONCLUSION ACERCA DE LA MODELACION ARIMA :

• Se pudo modelar cuatro formas funcionales ARIMA al PBI peruano estacionario en primeras

diferencias para el periodo 1950-2000. Luego de haber identificado el orden p,d,q del ARIMA

viendo el correlograma, se procedió a la estimación de los parámetros. También se pudo

comprobar que los residuales de la regresión elegida son puramente aleatorios, o ruido blanco.

• El modelo con mejor grado de ajuste es el ARIMA (2,1,1) con drift de acuerdo al estadístico

t, F, r-cuadrado, suma de residuos al cuadrado, Log Likelihood y estadístico Ljung-Box (que

con mayor facilidad acepta la hipótesis nula de residuales ruido blanco) dado su p-value. La

predicción para el año 2001 (periodo t+1) es de 124 914 según el ARIMA (2,1,1) . Esto

significa un crecimiento porcentual de 1.70 % .

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00

P B IF

54

APENDICE

'============================================='Programa para la aplicación recursiva del test de Zivot y Andrews‘Autor : Juan F. Castro’'============================================='USO:' Programa para ser ejecutado en un workfile "undated".' El nombre de la serie por analizar deberá pasarse como '

el primer argumento del programa (%0).' Es necesario elegir un nivel de holgura apropiado para la '

generación de las dummies (!Hol) y el número máximo 'de rezagos para iniciar la ecuación del test (!Rez).

'============================================='INICIALIZACIÓN DE VARIABLES Y OBJETOS'============================================='Nivel de holgura!Hol = 10

'Número máximo de rezagos!Rez = 6

GENR _Serie=%0GENR _Dserie = d(%0)

'Estas series contendrán los estadísticos estimados para cada 'fecha tentativa de quiebreGENR _ZivotA = 0GENR _ZivotB = 0GENR _ZivotC = 0

'Estas series contienen los valores críticos de Zivot y Andrews 'para cada tipo de modelo (alpha = 5%)GENR _VcritA = -4.80GENR _VcritB = -4.42GENR _VcritC = -5.08

GROUP _M_A _ZivotA _VcritAGROUP _M_B _ZivotB _VcritBGROUP _M_C _ZivotC _VcritC

!Obs = @OBS(_Serie)!Fin = !Obs-!Hol

'Elementos para la elección del tipo de modelo óptimo!FMaxA = 0!FMaxB = 0!FMaxC = 0VECTOR(3) _Evaluacion = 0

EQUATION _Model_AEQUATION _Model_BEQUATION _Model_CEQUATION _Temp

TABLE(8,2) Reporte_%0SETCOLWIDTH(Reporte_%0,1,15)SETCOLWIDTH(Reporte_%0,2,30)SETCELL(Reporte_%0,1,1,"Resultados de la prueba F")SETCELL(Reporte_%0,2,1,"Serie analizada")SETCELL(Reporte_%0,2,2,%0,"l")SETLINE(Reporte_%0,3)

55

SETLINE(Reporte_%0,8)SETCELL(Reporte_%0,4,1,"Modelo A","c")SETCELL(Reporte_%0,5,1,"Modelo B","c")SETCELL(Reporte_%0,6,1,"Modelo C","c")SETCELL(Reporte_%0,7,1,"Mejor Modelo","c")%Resp = "El quiebre está en el período "

'ALGORITMO DE BÚSQUEDA'=============================================FOR !i = !Hol to !Fin

'Generación de dummies GENR _Dum = 0 SMPL !i !Obs GENR _Dum = 1 SMPL @ALL

GENR _Dut = @TREND*_Dum

'Evaluación del Modelo C'========================================_Temp.LS _Serie c @TREND(1) _Dum _Dut

IF _Temp.@F > !FMaxC THEN!FMaxC = _Temp.@FSETCELL(Reporte_%0,6,2,%Resp + @str(!i-1),"l")

ENDIF

GROUP _Rezagos _Dserie(-1 to -!Rez)!ultimo_r = 5 + !Rez!r = -!RezFOR !j = !ultimo_r to 6 step -1

_Model_C.LS _Dserie c _Serie(-1) @TREND(1) _Dum _Dut _RezagosIF @TDIST(@TSTAT(!j),@REGOBS-@NCOEF) <= 0.05 THEN

_ZivotC(!i) = @TSTAT(2)EXITLOOP

ELSE _Rezagos.DROP _DSerie(!r)!r = !r+1ENDIF

NEXT

IF !r = 0 THEN_Model_C.LS _Dserie c _Serie(-1) @TREND(1) _Dum _Dut_ZivotC(!i) = @TSTAT(2)

ENDIF

'Evaluación del Modelo B'========================================_Temp.LS _Serie c @TREND(1) _Dut

IF _Temp.@F > !FMaxB THEN!FMaxB = _Temp.@FSETCELL(Reporte_%0,5,2,%Resp + @str(!i-1),"l")

ENDIF


_Model_B.LS _Dserie c _Serie(-1) @TREND(1) _Dut _Rezagos

IF @TDIST(@TSTAT(!j),@REGOBS-@NCOEF) <= 0.05 THEN

_ZivotB(!i) = @TSTAT(2)EXITLOOP

56

ELSE _Rezagos.DROP _Dserie(!r)!r = !r+1ENDIF

NEXT

IF !r = 0 THEN_Model_B.LS _Dserie c _Serie(-1) @TREND(1) _Dut_ZivotB(!i) = @TSTAT(2)

ENDIF

'Evaluación del Modelo A'========================================_Temp.LS _Serie c @TREND(1) _Dum

IF _Temp.@F > !FMaxA THEN!FMaxA = _Temp.@FSETCELL(Reporte_%0,4,2,%Resp + @str(!i-1),"l")

ENDIF


_Model_A.LS _Dserie c _Serie(-1) @TREND(1) _Dum _RezagosIF @TDIST(@TSTAT(!j),@REGOBS-@NCOEF) <=

0.05 THEN_ZivotA(!i) = @TSTAT(2)EXITLOOP

ELSE _Rezagos.DROP _DSerie(!r)!r = !r+1ENDIF

NEXT

IF !r = 0 THEN_Model_A.LS _Dserie c _Serie(-1) @TREND(1) _Dum_ZivotA(!i) = @TSTAT(2)

ENDIF

NEXT'=============================================_Evaluacion(1) = !FMaxA_Evaluacion(2) = !FMaxB_Evaluacion(3) = !FMaxC

!Maximo = @MAX(_Evaluacion)

FOR !i = 1 to 3IF _Evaluacion(!i) = !Maximo THENSETCELL(Reporte_%0,7,2,!i,0,"l")ENDIF

NEXT

SMPL !Hol !Finm

GRAPH _Resultado_A.line _M_AGRAPH _Resultado_B.line _M_BGRAPH _Resultado_C.line _M_CGRAPH ZA_%0.MERGE _Resultado_A _Resultado_B _Resultado_CSMPL @ALL'============================================='Eliminamos elementos temporales D _* Fin del programa

series tiempo inei

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