análisis de series de tiempo

MODELOS DE PRONOSTICOS

Anlisis de series de tiempo

Segundo semestre 2012

Medicin del error en el pronstico

El error correspondiente a cualquier pronstico es la diferencia entre el valor observado en la serie de tiempo y el pronstico.La mayora de los mtodos implica promediar alguna funcin del error. El error de pronstico puede ser positivo o negativo dependiendo si el pronstico es demasiado alto o demasiado bajo.Una medida de la precisin de los pronsticos es la suma de los errores.

El problema es que si se suman los errores al ser unos positivos y otros negativos se cancelarn.Puede evitarse esto tomando los valores absolutos o elevando al cuadrado cada uno de los errores, antes de sumarlos y promediarlos.Algunos mtodos son:

Este mtodo penaliza los errores mayores ya que eleva cada uno al cuadrado.Se usa en casos que se prefiere una tcnica que produzca errores moderados a otra que generalmente tenga errores pequeos pero ocasionalmente arroje algunos muy grandes.

En ocasiones es ms til calcular los errores en porcentajes y no en cantidades.El porcentaje del error medio absoluto (PEMA) se calcula encontrando el error absoluto en cada periodo, dividiendo ste entre el valor real observado para ese periodo y despus promediando estos errores absolutos de porcentaje.

El PEMA indica qu tan grande son los errores comparados con los valores reales de la serie.Se puede utilizar el PEMA para comparar la precisin de la misma u otra tcnica sobre dos series completamente diferentes.A veces resulta necesario determinar si un mtodo de pronstico est sesgado (pronstico consistentemente alto o bajo).Para esto se utiliza el porcentaje medio de error (PME).

El PME se calcula encontrando el error en cada periodo, dividiendo ste entre el valor real de ese periodo y promediando despus estos porcentajes de error.Si un mtodo de pronstico no est sesgado el PME dar un porcentaje cercano a cero.

Si el resultado es un porcentaje negativo grande el mtodo de pronstico est sobrestimando en forma consistente.Si el resultado es un porcentaje positivo grande el mtodo de pronstico est subestimando en forma consistente.Es realista esperar que una tcnica produzca errores relativamente pequeos.Las mediciones de precisin de un pronstico se podran utilizar para buscar una tcnica ptima.

La tabla siguiente muestra el n de clientes diarios que requieren trabajos de reparacin y un pronstico de estos datos.La tcnica de pronstico utiliza el n de clientes atendidos en el periodo anterior como el pronstico del periodo actual.

Periodo (t)Datos PronsticoError1 58--25458-43605464 5560-55 625576 626207 656238 6365-29 70637Total12

DAM=4,3 EMC=23.5PEMA=6,95%PME=2,03%El DAM indica que cada pronstico est desviado en un promedio de 4.3 clientes. El EMC y el PEMA se compararn con cualquier otro mtodo de pronstico.El PME indica que la tcnica no est desviada ya que su valor es cercana a cero.

Uno de los requerimientos bsicos de una tcnica de pronstico es que de un patrn de residuos que sea aleatorio.Esto se puede probar mediante un correlograma de los residuos.Otro requerimiento es que los residuos tengan una distribucin aproximadamente normal.Esto se puede probar mediante un histograma de los residuos.

Series de tiempo
Recordemos que una serie de tiempo es un conjunto de observaciones de un cierto fenmeno tomadas en tiempos especficos, generalmente a intervalos iguales.Una serie de tiempo se define por medio de los valores de una variable Y observada en periodos de tiempo iguales t.

Series de tiempo
Ejemplo, la siguiente tabla muestra la produccin anual (en millones de unidades) durante 12 aos de una compaa.

Series de tiempo
Ao Periodo t Produccin Yt 1997121998231999352000 4 92001 5 122002 6 162003 7 132004 8 102005 9 172006 10 142007 11 2220081224

Series de tiempo
Grfico1199719981999200020012002200320042005200620072008AosProduccin (millones de unidades)Produccin anual compaa, 1997 - 200823591216131017142224Hoja119972199831999520009200112200216200313200410200517200614200722200824Hoja1AosProduccin (millones de unidades)Produccin anual compaa, 1997 - 2008Hoja2Hoja3

Anlisis de series de tiempo
El anlisis de las series de tiempo consiste en una descripcin de los movimientos componentes presentes.Equivale a investigar los factores T, C, E e I y suele llamarse descomposicin de series de tiempo, en sus movimientos componentes bsicos.Un modelo de series de tiempo puede expresarse como alguna combinacin de estos 4 componentes.

Modelos de series de tiempo
En general, se supone que una serie de tiempo contiene sus componentes en forma aditiva o en forma multiplicativa.Modelo aditivo: supone que el valor de los datos originales Y, es la suma de los 4 componentes.Modelo multiplicativo: supone que el valor de los datos originales Y, es el producto de los 4 componentes.

En el modelo aditivo los datos se expresan en las unidades originales y el valor de una componente no afecta los valores de otros componentes.En el modelo multiplicativo slo la componente de tendencia se expresa en unidades originales, las componente estacionales y cclicas se expresan en nmeros relativos o porcentajes, adems hay una dependencia mutua.Por ejemplo, una produccin de Y=37.800 unidades (pares) de zapatos de una empresa de calzado en el ao 2006 se puede descomponer en

T=40.000 unidadesC=100% no existe efecto por el ciclo del negocioE=105% la produccin de calzado tiene una variacin estacional de +5% para ese aoI=90% por algunas fuerzas no conocidas el nmero de zapatos producidos sufre una variacin irregular de -10% en ese aoEntonces

El modelo multiplicativo es el que se usa ms a menudo ya que caracteriza a la mayora de las series de tiempo econmicas o de negocios.Trataremos con ese modelo para separar las componentes que influyen en los valores de la serie de tiempo.

Anlisis de tendencia
El anlisis de tendencia es el procedimiento mediante el cual se determina la direccin del movimiento de la serie de tiempo a largo plazo.El comportamiento general de una variable, con frecuencia puede analizarse mejor observando su tendencia a largo plazo.Se supone que existe una tendencia que puede ser ascendente, descendente o constante.Lo primero que se debe decidir es si la tendencia es una lnea recta o una curva.

La estimacin de la tendencia se puede realizar por los siguientes mtodos.Mtodo de mano libreMtodo de los semipromediosMtodo de los mnimos cuadrados
Mtodo de mano libre: consiste en trazar una recta o curva de tendencia mirando la grfica, depende demasiado del juicio personal.


Mtodo de los semipromedios: consiste en separar los datos en 2 partes (de preferencia iguales) se calcula la media de cada parte y se ajusta una lnea de tendencia que pase por las 2 medias.
Suele conducir a resultados pobres cuando se utiliza en forma indiscriminada, slo es aplicable cuando la tendencia es lineal.


Mtodo de los mnimos cuadrados: de los modelos de tendencia de las serie de tiempo el ms utilizado es la lnea recta.
Si Y representa los valores de la tendencia y X los periodos de tiempo, la recta de tendencia es:a y b se obtienen por el mtodo de los mnimos cuadrados

En el ejemplo anterior la ecuacin de tendencia lineal obtenida por el mtodo de mnimos cuadrados esGrfico2123456789101112XYProduccin anual compaa23591216131017142224Hoja11997121998231999352000492001512200261620037132004810200591720061014200711222008122422.003Hoja1AosProduccin (millones de unidades)Produccin anual compaa, 1997 - 2008Hoja2XYProduccin anual compaaHoja3

Series de tiempo
Ao Periodo(X) Produccin(Y) Produccin estimada1997122,51998234,31999356,02000 4 97,82001 5 129,62002 6 1611,42003 7 1313,12004 8 1014,92005 9 1716,72006 10 1418,52007 11 2220,22008122422,0

Variaciones cclicas
Los datos anuales contienen slo 2 componentes: la tendencia y el ciclo. Las variaciones estacionales son cambios mensuales o trimestrales que no se revelan en los datos anuales. Las variaciones irregulares tienen efectos positivos y negativos en periodos cortos y tienden a compensarse en el curso de un ao. Por esta razn cuando los datos son anuales, se pueden aislar los ciclos.

Variaciones cclicas
Suponiendo un modelo multiplicativo y dividiendo por los valores de la tendencia:Al multiplicar por 100 se obtienen porcentajes (ndice cclico), una medida de 100% indica ausencia de efectos cclicos. En el ejemplo se determin el componente cclico de los valores de la serie utilizando la tendencia lineal.

Variaciones cclicas
Ao Produccin(Y) TendenciaIndices cclicosDesviacio nes (%)199722,580-20199834,369,8-30,2199956,083,3-16,72000 97,8115,415,42001 129,6125252002 1611,4140,440,42003 1313,199,2-0,82004 1014,967,1-32,92005 1716,7101,81,82006 1418,575,7-24,32007 2220,2108,98,920082422,0109,19,1

Variaciones cclicas
Grfico4123456789101112AosIndice (%)Indices cclicos8069.767441860583.3333333333115.3846153846125140.35087719399.236641221467.1140939597101.796407185675.6756756757108.9108910891109.0909090909Hoja11997121998231999352000492001512200261620037132004810200591720061014200711222008122412.524.336.047.859.6611.4713.1814.9916.71018.51120.21222.0Hoja1199719981999200020012002200320042005200620072008AosProduccin (millones de unidades)Produccin anual compaa, 1997 - 200823591216131017142224Hoja2123456789101112XYProduccin anual compaa23591216131017142224Hoja314042.523640.534441.53945039.753753238356303639.7573637.37544.7584242.2550.2595147.555105052.62556.5115855.7557.75126157.12559135758.37560145559.515631665Hoja3Datos originalesDatos suavizadosTrimestresProduccinProduccin 2005 - 200822.5180.0-20.034.3269.8-30.256383.3-16.797.84115.415.4129.65125.025.01611.46140.440.41313.1799.2-0.81014.9867.1-32.91716.79101.81.81418.51075.7-24.32220.211108.98.9242212109.19.1AosIndice (%)Indices cclicos

Series de tiempo
Si la serie de tiempo est bien descrita por la tendencia, estacionalidad y los ciclos, la variacin residual deber ser aleatoria.Los componentes de una serie se combinan en forma:
Pronstico de demanda (en unidades o en $)

Nivel de tendencia (en unidades o en $)

Indice de estacionalidad

Indice cclico

Indice residual

Series de tiempo
En la prctica, con frecuencia el modelo se reduce slo a los componentes de tendencia y estacionalidad.Esto se hace porque un modelo bien especificado posee un valor de ndice residual (R) de 1 y esto no afecta el pronstico.Se puede tratar el ndice cclico (C) igual a 1 ya que, por lo general, el modelo se actualiza cuando se dispone de nueva informacin.La variacin cclica tiende a compensarse con la actualizacin.

Series de tiempo
La tendencia puede determinarse por algn promedio mvil o por regresin.El mtodo de mnimos cuadrados minimiza las diferencias cuadrticas entre la informacin real y la curva de tendencia. Una lnea de tendencia tiene la formaDonde t es el periodo de tiempo, y T es el nivel de demanda promedio o tendencia. a y b vienen dadas por

Series de tiempo
Donde
Es el nmero de observaciones

Demanda real en el tiempo t

Demanda promedio para los N periodos

Promedio de t en los N periodos

Series de tiempo
El componente de estacionalidad est representado por un ndice que cambia para cada periodo que se pronostica. Este ndice es una razn de la demanda real por la demanda promedio.
Indice de estacionalidad en el tiempo t

Valor de tendencia

Series de tiempo
El pronstico viene dado porDonde
Demanda pronosticada en el tiempo t

Nmero de periodos en el ciclo estacional
Ejemplo. Un fabricante de ropa debe decidir sobre cantidades de compra. Se especifican 5 estaciones del ao verano, otoo, invierno, festividades y primavera. Se requiere un pronstico para 3 estaciones adelante.

Series de tiempo
Periodo de ventaPeriodo de tiempo (t)Ventas (Dt)Verano 1$ 9458Otoo211542Invierno314489Festividades415754Primavera 517269Verano 611514Otoo712623Invierno816086Festividades918098Primavera 1021030Verano 1112788Otoo1216072Invierno13?Festividades14?Primavera 15?

Descomposicin clsica

Evaluacin del mtodo de pronstico
Pasos para evaluar una tcnica de pronstico
Elegir un mtodo de pronstico con base en la intuicin y patrn de los datos.

Se dividen los datos en 2 conjuntos, uno de creacin del modelo y otro de prueba.

Crear el modelo con el primer conjunto de datos.

Utilizar el modelo para pronosticar el segundo conj. de datos y evaluar el error de pronstico

Elegir la tcnica, modificarla o elegir otra tcnica.

t

t

t

t

t

t

Y

Y

e

residual

o

pronstico

del

Error

Y

para

pronstico

del

valor

Y

t

periodo

el

en

tiempo

de

serie

una

de

valor

Y

:

-

=

=

=

n

Y

Y

DAM

media

la

de

absoluta

Desviacin

n

t

t

t

=

-

=

1

:

(

)

n

Y

Y

EMC

cuadrado

medio

Error

n

t

t

t

=

-

=

1

2

:

n

Y

Y

Y

PEMA

n

t

t

t

t

=

-

=

1

(

)

n

Y

Y

Y

PME

n

t

t

t

=

-

=

1

t

Y

t

t

Y

Y

-

t

Y

n

t

Y

Y

Y

Y

...,

,

...,

,

,

2

1

Produccin anual compaa, 1997 - 2008

0

5

10

15

20

25

30

19961998200020022004200620082010

Aos

Produccin (millones de

unidades)

I

E

C

T

Y

+

+

+

=

I

E

C

T

Y

=

90

,

0

05

,

1

00

,

1

000

.

40

800

.

37

=

YabX

=+

22

XYnXY

b

XnX

-

=

-

aYbX

=-

Produccin anual compaa

0

5

10

15

20

25

30

02468101214

X

Y

0,7271,773

YX

=+

(

)

Y

t

YTC

C

YT

==

(

)

T

Y

(

)

/100

T

YY

Indices cclicos

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

140,0

160,0

02468101214

Aos

Indice (%)

R

C

S

T

F

=

F

T

S

C

R

bt

a

T

+

=

-

-

=

2

2

)

)(

(

)

(

t

N

t

t

D

N

t

D

b

t

t

b

D

a

-

=

N

t

D

D

t

t

t

t

T

D

S

=

t

S

t

T

L

t

t

t

S

T

F

-

=

t

F

L

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