manual series de tiempo

UNIVERSIDAD DEL ATLNTICO ECONOMETRA II

MANUAL ECONOMETRA DE SERIES DE TIEMPO (TEORA Y STATA) DOCENTE ECON. CRISTIAN PICN VIANA

SERIES TEMPORALES

Este manual debe ser entendido nicamente como complemento aclaratorio a los captulos 21

y 22 de Gujarati y nunca como remplazo para estudio. Las tablas y ejemplos deben buscarse

en el libro as como los conceptos que aparecen o no en el presente documento.

Objetivo: Explicar la evolucin de una serie a lo largo del tiempo y prever sus valores futuros.

1. Introduccin (Conceptos clave)

Serie temporal: Conjunto de observaciones Yt, cada una recogida en un tiempo

especfico t. El tiempo puede ser representado de forma discreta o continua.

Ejemplos:

Serie de nacimientos.

Serie de temperaturas.

Serie de ventas de una empresa.

Serie de la demanda de energa elctrica.

Serie de cotizaciones en bolsa.

Periodicidad

Anual

Mensual

Semanal

Diaria

Claramente, existen otros tipos de periodicidad: semestral, trimestral, horaria.

El tipo de periodicidad es una caracterstica muy importante en una serie y aparecern

determinadas pautas debido a ella.



Tipos de series segn su naturaleza paramtrica.

No tiene sentido aplicar los mtodos descriptivos a una variable de este tipo, ya que no se

tendra en cuenta la dependencia temporal. Por esta razn y a que ahora ya no disponemos de

una muestra de tamao n de una variable, sino que disponemos de n muestras de tamao 1

de una variable se cuenta con poca informacin. Por tanto, hay que imponer ciertas

condiciones a las series:

a) Estacionarias: Media y varianza constantes.

Grfico 1

b) No Estacionarias: Media y/o varianza cambian a lo largo del tiempo.

Grfico 2



c) Estacionales: Pauta de evolucin que se repite.

Grfico 3

Componentes de una serie

Un proceso estocstico (serie de tiempo) puede descomponerse en tres componentes:

Donde:

Yt: Valor de la regresada en el tiempo.

Tendencia (Tt): es la direccin que toma la serie al pasar el tiempo (depende del signo + o -).

Estacionalidad (St): Pauta de evolucin que se repite de forma predecible y peridica (por

ejemplo el consumo agregado en diciembre y el consumo de cerveza en carnavales).

Irregular o cclico (ut): componente no controlable (ciclos econmicos en

macroeconoma).

En muchos casos es conveniente obtener estos componentes, sin embargo slo es necesario

para estudios puntuales en macroeconoma y teora del crecimiento econmico por lo que se

escapa de los objetivos de este manual. Aqu nos limitaremos a la identificacin de una serie

como estacionaria o no estacionaria y su modelado con fines de prediccin a corto plazo.

2. Anlisis de la serie.

Como se ha indicado en clase, una o varias series diferentes pueden estudiarse desde

diferentes enfoques. Se puede requerir un conocimiento sobre sus componentes, su relacin



con otras series o variables y/o la prediccin. En las dos primeras lo ms importante es la

estimacin de parmetros mientras que para la prediccin el consenso requiere entender

los valores futuros de una serie en funcin de su comportamiento anterior sin entrar en

detalles sobre sus causas o determinantes tericos.

En este sentido, para que una serie pueda ser predicha o prevista debe ser estacionaria para

que sus errores tengan unas caractersticas estadsticas deseables y no se presente regresin

espuria.

El problema es que pocas veces nos encontraremos con series de tiempo estacionarias, por lo

tanto se deben efectuar los siguientes ejercicios necesarios si se desea realizar predicciones:

i) Identificar si la serie es estacionaria o no.

ii) Si no es estacionaria hay que transformarla en estacionaria.

iii) Si tenemos la serie estacionaria inicial o despus de transformarla en estacionaria (en este

punto ya no importa) se procede a modelar que tipo de comportamiento ha tenido.

Una de las metodologas para modelar series estacionarias es la conocida como Box-Jenkins

que se centra en tcnicas basadas en modelos ARMA y ARIMA: Auto Regressive Moving

Average y Auto Regressive Integrated Moving Average que analizaremos mas adelante.

2.1 Identificar si la serie es estacionaria o no.

2.1.1) Tipos de series segn sus componentes:

Podemos generalizar la ecuacin 1) de la siguiente manera en la ecuacin 2):

Como estudiaron en el captulo 21 pg. 777 y 778 del Gujarati 4 edicin, de acuerdo al valor

de los coeficientes en la ecuacin 2 sabremos si la serie es estacionaria, as:

(Caminata aleatoria) NO ESTACIONARIA

(Caminata aleatoria con variaciones) NO

ESTACIONARIA

(Proceso estocstico de tendencia) ESTACIONARIA CON

TENDENCIA DETERMINISTA

(Caminata aleatoria con variaciones y tendencia

determinista) NO ESTACIONARIA



ESTACIONARIA CON TENDENCIA

DETERMINISTA

ESTACIONARIA

Si son observadore(a)s se habrn dado cuenta de que las series no estacionarias son aquellas

donde 3 es igual a 1. A este fenmeno se le denomina Raz Unitaria, si nos topamos con una

serie sin raz unitaria podemos considerarla estacionaria y proseguir a su modelacin; si

encontramos que tiene raz unitaria entonces debemos transformarla en estacionaria para

poderla modelar.

2.1.2) Identificacin

Para identificar si una serie de tiempo es estacionaria o no tenemos dos herramientas

principales, las herramientas grficas y las pruebas estadsticas:

a) Herramientas grficas:

Para analizar y modelar la serie es necesario identificar la estructura que la genera, es decir,

cmo influyen las observaciones del pasado en las futuras.

Herramientas:

i) Funcin de Autocorrelacin Simple (FAC)

ii) Funcin de Autocorrelacin Parcial (FACP)

Funcin de Autocorrelacin simple (FAC)

Proporciona la estructura de dependencia lineal de la serie.

Los valores que se observan en la serie son:

Donde Yt+1 representa el valor de la serie para un periodo prximo, es decir, un valor futuro.

El objetivo de la FAS es estudiar cmo se influyen las diversas observaciones.

Idea: Dar el coeficiente de correlacin entre las observaciones separadas un nmero

determinado de periodos.

[ ]



Donde:

Cmo influye una observacin en la siguiente, Yi Yi+1.

Cmo influye una observacin sobre la que est dos periodos hacia adelante, Yi Yi+2.

Cmo influye una observacin sobre la que est k periodos hacia adelante, Yi Yi+k.

Conclusin:

La FAC proporciona informacin sobre cmo una observacin influye en las siguientes.

Ejemplo:

Grfico 4

Grfico 5

Los significativos son los que sobresalen de las linead horizontales. Cuando hay muchos

significativos la serie ser no estacionaria, ser estacionaria cuando se parezca a un

ruido blanco con algunos picos significativos. El grfico 4 corresponde a una serie



estacionaria y el 5 a una no estacionaria. En el grfico 6 se observa una serie de ruido blanco,

el cual se caracteriza por no tener significativos.

Grfico 6

Funcin de Autocorrelacin Parcial (FACP)

Las FAC presentan el problema de que si , entonces

es decir, existe una cadena de influencia separada por un retardo, entonces:

Si y , entonces

Por tanto, hay que distinguir entre varias cadenas de influencia:

Cadena de influencia general a travs de la cual es dada por la FAC.

Cadena de influencia directa. Cmo influye Y1 sobre Y3 directamente, sin pasar por Y2, la cual

es dada por la FACP.

Es decir, la FACP proporciona la relacin directa existente entre observaciones separadas por

k retardos y elimina el problema que presentaba la FAS, esto debido a que en la FAC, si es

significativo, tambin lo ser ; en la FACP, esto no tiene por qu ocurrir.



Ejemplo:

Grfico 7

Las FACP no interesan realmente para saber si una serie es estacionaria, se utilizarn ms

adelante.

b) Pruebas estadsticas:

Las pruebas estadsticas mas utilizadas consisten en estimar 3 en la ecuacin 2) para luego

probar la hiptesis Ho: 3=1. Si este es el caso nos enfrentaremos a una serie estacionaria. Las

transformaciones algebraicas necesarias se encuentran en la pg. 789-792 del Gujarati ya que

no se realiza esta prueba directamente sino Ho: =0, donde = (3-1).

De las pruebas de raz unitaria la ms utilizada es la Dickey- Fuller Aumentada (DFA), que

es una mejora de la original DF que incluye la Autocorrelacin de los residuos. Las pruebas DF

no realizan las pruebas de hiptesis sobre 3 con el tradicional estadstico t de student ya que

las estimaciones de este no siguen esta distribucin. Se utiliza la distribucin (tau), cuyas

tablas se encuentran el los libros de econometra y en los programas economtricos.

En la DFA si se rechaza la Ho estaremos frente a una serie no estacionaria.

2.2 Transformar la serie en estacionaria

Como vimos anteriormente las ecuaciones 5 y 7 son estacionarias con tendencia determinista,

lo que significa que aunque su varianza es constante su media sigue una tendencia temporal,

estas series deben convertirse en estacionarias totalmente haciendo la regresin de Yt con

respecto al tiempo y modelando los residuos para realizar las predicciones. Se reconocen

grficamente ya que la serie es aproximadamente un ciclo alrededor de una lnea recta. Este

tipo de series es muy raro en Economa as que no se profundizarn es este documento.



Por otro lado, las series no estacionarias ms comunes son las conocidas como Modelos de

Caminata Aleatoria que se caracterizan por tener una o ms races unitarias. Estn

representados por las ecuaciones 3, 4 y 6.

Los MCA son estacionarios en diferencias, es decir, se convierten en estacionarios al utilizar la

variable dependiente como diferencia de ella misma, por ejemplo, si la variable dependiente

es Yt se utiliza Yt = Yt Yt-1 en el modelo.

Las series MCA se diferencian el nmero de veces que races unitarias tengan. Es decir, si la

serie tiene dos races unitarias ser I(2) y tendr que diferenciarse dos veces; generalizando,

si es I(d) se diferenciar d veces donde d es un nmero entero positivo.

2.3 Modelado de la serie estacionaria

Recordemos que el objetivo principal del estudio de series temporales es predecir una serie

de datos no determinista (contiene un componente aleatorio). Si el componente aleatorio es

estacionario, se pueden desarrollar tcnicas eficientes para predecir valores futuros de la

serie. Si el componente aleatorio no es estacionario, primero se debe convertir dicho

componente en estacionario, se predice dicho componente y, finalmente, se deshace la

conversin para recuperar la prediccin de inters.

Para modelar un proceso estacionario, nos centraremos en tcnicas basadas en modelos

ARMA y ARIMA: Auto Regressive Moving Average y Auto Regressive Integrated Moving

Average.

Si un proceso estocstico es estacionario puede modelarse de diversas formas:

2.3.1) Procesos Autorregresivos (AR):

Son aquellos procesos que indican que los valores de una serie solo dependen de los valores

que ha tomado en el pasado y se caracterizan por su orden de dependencia. As, si Yt depende

de Yt-1 ser AR(1), si depende de Yt-2 ser AR(2) y generalizando, si Yt depende de Yt-s ser

AR(s).

Su forma general esta dada por:

Se caracterizan por tener memoria larga, es decir, las autocorrelaciones entre perodos decrecen lentamente. Un proceso AR tarda bastante tiempo en absorber los impactos

externos. Ser estacionario solo si .



2.3.2) Procesos de Media Mvil:

La realidad demuestra que existen series que absorben rpidamente los impactos. Se

introduce otra familia de procesos de memoria corta: procesos de media mvil (moving

average). Estos son una combinacin lineal de trminos de errores o residuos de perodos

anteriores, lo que quiere decir que el valor o valores anteriores slo son importantes en los

residuos por lo que cambian rpidamente.

Est representada por:

para un MA(s)

Ser estacionario solo si

2.3.3) Procesos Autorregresivos y de Media Mvil (ARMA):

Son procesos estocsticos con caractersticas de AR y MA. Por ejemplo un ARMA (1, 1) est

representado por

En general un proceso ARMA (p, q) estar representado por:

3. METODOLOGA DE BOX-JENKINS (BJ)

Es una metodologa que pretende encontrar el proceso que dio origen a una serie

estacionaria. En otras palabras, cuando se tiene una serie estacionaria esta metodologa

permite encontrar a que tipo de AR, MA o ARMA nos enfrentamos con el fin de estimar los

parmetros correspondientes y realizar predicciones.

Para desarrollarla seguiremos tericamente lo plantado en el libro gua en sus pginas 814-

820 4 edicin. Se utilizar el PIB trimestral de Estados Unidos 1970I a 1991IV suministrado

en la tabla 21.1 pg. 769 del libro y cuyo archivo es anexado en formato .dta en el archivo

GDP USA.dta para realizar el ejercicio en STATA.

Tenemos la tabla 21.1 del libro gua:



Primero abrimos el archivo desde STATA:



Obtenemos:



Hay que indicarle a STATA que trabajaremos con series de tiempo por lo tanto debe

crearse una variable que indique el tiempo. Una forma de crearla es hacerlo en Excel y

pegarla en el editor de datos.

Luego se copia y pega la variable con nombre incluido en el editor de STATA:



Escoges la opcin utilizar la primera casilla como nombre de variable y listo ya se ha

creado la variable time que indica a STATA el nmero de perodos que utilizaremos.

Para que la tome como la gua temporal escribimos:

tset time

Donde time es el nombre que le hayamos dado a la variable de tiempo. Ahora STATA

entiende que trabajamos con series de tiempo y tomar time como gua.

Otra forma de hacerlos ms fcil es escribir en STATA

gen time = _n

y luego

tset time

3.1) La serie ya es estacionaria?

El primer paso para identificar si la serie GDP (PIB) es estacionaria es graficarla.

Para graficar la serie escribimos:

tsline GDP

O desde el men: Graphics Time- series graphs Line Plots Create y escogen la

variable correspondiente a Yt.

Se obtiene:

Grfico 8

3000

3500

4000

4500

5000

GD

P

0 20 40 60 80TIME



Que es la misma que se observa en el captulo 21 en la figura 21.1 y cuya descripcin tambin.

Se observa que como la serie tiene tendencia positiva en el largo plazo su media no puede ser

constante y su variabilidad ha sido diferente en algunos perodos, por lo tanto se puede

asumir como no estacionaria.

Otra herramienta grfica mucho ms potente es el correlograma o grfico FAC que se defini

anteriormente. Para el caso del GDP de Estados Unidos tenemos:

Escribimos en el editor de comandos:

ac GDP, lags(25)

Donde ac es el comando para el correlograma y lasgs es el nmero de rezagos tenidos en

cuenta que debe ser aproximadamente una cuarta parte de los datos, 25 segn el libro.

O desde el men:

Graphics Time- series graphs Correlogram (AC) escoges la variable y en

autocorrelations el nmero de rezagos.

Se obtiene:

Grfico 9

Como puede observarse los valores de Autocorrelacin decrecen lentamente y hay muchos

significativos por lo que concluimos que es no estacionaria.

Por ltimo realizamos una prueba DFA de raz unitaria para comprobar si la serie es no

estacionaria, siguiendo las indicaciones del libro utilizamos solo un rezago:

-1.0

0-0

.50

0.00

0.50

1.00

Auto

corre

latio

ns o

f GDP

0 5 10 15 20 25Lag

Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands



En STATA escribimos:

dfuller GDP, trend lags(1)

Donde trend indica que se tiene en cuenta el componente de tendencia determinista y lasgs(1)

que solo se tiene en cuenta un rezago.

Se obtiene:

El estadstico de prueba es de -2.230 que en valor absoluto es menor que los valores crticos

incluso par aun 99% de confianza, por tanto no se rechaza la hiptesis nula de raz unitaria y

declaramos a la serie como no estacionaria.

Como la serie es no estacionaria tenemos que transformarla para hacerla estacionaria. Por

tanto la diferenciaremos una vez en primera instancia. En STATA debemos primero generar

una variable igual a GDP pero rezagada en un perodo para despus utilizarlas para crear

GDP:

Escribimos en el editor de comandos:

gen GDPrezago = GDP[_n-1]

Donde los corchetes deben ser cuadrados y -1 indica que ser solo un rezago; la nueva

variable se denomina GDPrezago por ejemplo:

MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.4730 Z(t) -2.230 -4.073 -3.465 -3.159 Statistic Value Value Value Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Interpolated Dickey-Fuller

Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 85

. dfuller GDP, trend lags(1)



Una vez creada la variable rezagada creamos GDP = GDP GDPrezago

Escribiendo en STATA as:

gen difGDP = GDP - GDPrezago

Donde difGDP es la variable GDP en primera diferencia GDP. Tengan en cuenta los espacios

entre los caracteres, mientras aprenden pueden copiar los comandos de este manual y

cambian lo que necesiten segn sus series.

Realizando la prueba DFA sobre difGDP tenemos:

El estadstico de prueba es de -4.758 que en valor absoluto es mayor que los valores crticos

incluso par aun 99% de confianza, por tanto se rechaza la hiptesis nula de raz unitaria y

declaramos a la serie como estacionaria. Una vez estacionaria es hora de empezar con el

modelado de la serie.

3.2) Identificacin

Para identificar a que proceso generador nos enfrentamos se utilizan las interpretaciones de

los grficos AC y ACP explicados anteriormente. En el Gujarati encontrarn la siguiente tabla

que da algunas indicaciones de como identificarlas:

MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0006 Z(t) -4.758 -4.073 -3.465 -3.159 Statistic Value Value Value Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Interpolated Dickey-Fuller

Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 85

. dfuller difGDP, trend lags(1)



Sin embargo como se aclara en el libro la forma de identificar un ARMA mediante

correlogramas es muy compleja y requiere prctica. Por tanto les dar algunas indicaciones

que pueden ayudarles mientras investigan ms al respecto.

El grfico AC o FAC indicar el comportamiento MA de la serie. Si tiene picos significativos

sospechen que tiene un componente MA. Es decir si tiene un pico significativo en la

Autocorrelacin 5 entonces es muy posible que tenga un componente MA(5).

El grfico FACP o PAC indicar el comportamiento AR. Si tiene picos significativos

sospechen que tiene un componente AR. Es decir si tiene un pico significativo en la

Autocorrelacin 4, por ejemplo, entonces es muy posible que tenga un componente AR(4).

Cuando los grficos no tengan comportamiento claro intente un ARMA con los picos

significativos y exploren.

Casi nunca un pico repetido tanto en el AC y el PAC corresponde tanto a un AR como a un

MA. Por ejemplo, si tanto en el AC como en el PAC la Autocorrelacin 5 es significativa ser

generalmente un AR(5) o un MA(5) y no un ARMA(5 5)

Tengan en cuenta las seales indicadas en la tabla.

En el caso del PIB del ejemplo que nos interesa los grficos AC y PAC son los siguientes:



ac difGDP, lags(25)

Grfico 10

AC

pac difGDP, lags(25)

Grfico 11

PAC

-0.4

0-0

.20

0.00

0.20

0.40

Aut

ocor

rela

tions

of d

ifGD

P

0 5 10 15 20 25Lag


-0.4

0-0

.20

0.00

0.20

0.40

Par

tial a

utoc

orre

latio

ns o

f difG

DP

0 5 10 15 20 25Lag

95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)]



Como puede observarse, el grfico AC tiene forma sinusoidal lo que nos hace pensar en un AR

de algn tipo. En el libro no se tiene en cuenta el pico 1 y 8 significativos en el AC que pueden

denotar algn MA.

El grfico 11 muestra en el PAC tres picos significativos, en 1, 8 y 12 por lo se opta por un

AR(1 8 12) como formula generadora en el Gujarati. Estimamos de esta manera un AR(1 8 12).

Se escribe:

arima difGDP, ar(1 8 12)

desde el men: Statistics Time series ARIMA and ARMAX models escogen difGDP

como variable dependiente y crean el ARMA as:



Para un ARMA(1 8 12) el resultado es el siguiente: (tambin se puede correr con robust)

Como puede observarse todos los coeficientes son significativos y el p-valor de la prueba de

significancia conjunta es 0 por lo que es un excelente modelo.

Para saber si el modelo est bien especificado con respecto a otros se calculan enseguida los

criterios Akaike (AIC) y Schwarz (BIC). El mejor modelo ser el que tenga los valores menores

de estos dos indicadores. (Si no es claro cul modelo tiene los valores menores saca promedio

de los dos indicadores aunque esto no es muy riguroso)

estat ic

/sigma 30.64117 2.20112 13.92 0.000 26.32705 34.95528 L12. -.2646444 .1083806 -2.44 0.015 -.4770665 -.0522223 L8. -.2805791 .0886424 -3.17 0.002 -.4543149 -.1068432 L1. .3031796 .0956478 3.17 0.002 .1157133 .4906459 ar ARMA _cons 23.54504 2.94302 8.00 0.000 17.77683 29.31325difGDP difGDP Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval] OPG

Log likelihood = -422.215 Prob > chi2 = 0.0000 Wald chi2(3) = 30.95Sample: 2 - 88 Number of obs = 87

ARIMA regression

Note: N=Obs used in calculating BIC; see [R] BIC note . 87 . -422.215 5 854.43 866.7595 Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC

. estat ic



Los anteriores son los resultados del modelo tal cual es planteado en el libro. Sin embargo, no

estoy de acuerdo del todo ya que no tiene en cuenta que los rezagos 1 y 8 son significativos

tambin en el PAC por lo que puede haber un componente MA. Se deja al estudiante el modelo

AR(12) MA(1 8) que otra posibilidad; aqu se opt por un AR(1 12) y el rezago 8 que es

significativo en un MA(8) as:

arima difGDP, ar(1 12) ma(8)

Obtenindose:

Como puede observarse el estadstico de WALD es 46.57 mayor al anterior y los p-valores de

los coeficientes son menores a los anteriores por lo que parece un mejor modelo. Los criterios

AIC y BIC confirman esto. Por lo tanto hemos encontrado una mejor estimacin a la serie de

tiempo que la planteada por Gujarati.

/sigma 29.65242 2.081562 14.25 0.000 25.57263 33.73221 L8. -.4356056 .0911843 -4.78 0.000 -.6143236 -.2568876 ma L12. -.320261 .1200733 -2.67 0.008 -.5556004 -.0849216 L1. .3200241 .0980902 3.26 0.001 .1277707 .5122774 ar ARMA _cons 23.81865 2.121715 11.23 0.000 19.66016 27.97713difGDP difGDP Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval] OPG

Log likelihood = -419.9537 Prob > chi2 = 0.0000 Wald chi2(3) = 46.57Sample: 2 - 88 Number of obs = 87

ARIMA regression

Note: N=Obs used in calculating BIC; see [R] BIC note . 87 . -419.9537 5 849.9073 862.2369 Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC

. estat ic



3.3) Verificacin de Diagnstico:

Si el modelo est bien estimado sus residuos deben ser de ruido blanco o completamente

aleatorios, caracterizndose por no tener rezagos significativos.

Se generan los residuos despus de la regresin deseada, en este caso el AR(1 12)MA(8), se

deja al estudiante corroborar los resultados del modelo planteado por el libro:

predict residual, res

donde res es el nombre de la variable que contendr a los residuos.

Luego, se genera el grfico AC:

Ac res

Como se observa el AC no presenta rezagos significativos por lo que se trata de una serie de

ruido blanco y el modelo est bien estimado. Lo anterior se corrobora con la prueba Q:

-0.4

0-0

.20

0.00

0.20

0.40

Aut

ocor

rela

tions

of r

esid

ual

0 10 20 30 40Lag


Prob > chi2(40) = 0.7856 Portmanteau (Q) statistic = 32.7382 Portmanteau test for white noise

. wntestq residual



Como el p-valor es mayor a 0.05 no se rechaza la Ho de que la serie es ruido blanco.

Conclusin, todo lo hicimos bien.

3.4) Prediccin

En STATA se puede generar predicciones basados en el modelo estimado. En primer

lugar se aaden mas valores a la variable temporal, en este caso time, segn la

cantidad de estimaciones deseadas. Por ejemplo, si se desean dos estimaciones se

agrega 89 y 90 a la serie y se guarda. Luego se escribe:

predict GDPp, xb

donde GDPp es el nombre asignado a la variable que incluir las predicciones.

Ojo, las predicciones se realizarn sobre la variable modelada en este caso difGDP si se

desea el GDP o la tasa de variacin hay que realizar las variaciones algebraicas

requeridas.

XITOS

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