u5 series de tiempo actual

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5 SERIES DE TIEMPO

Los pronósticos o predicciones, son una herramienta esencial en cualquier proceso de toma de decisiones. La calidad de las predicciones que los administradores pueden efectuar está estrechamente relacionada con la información que se puede extraer y utilizar de los datos que se tengan. El análisis de series de tiempo se utiliza para detectar patrones de cambio en la información estadística durante intervalos regulares de tiempo. Proyectamos estos patrones para obtener una estimación para el futuro. En consecuencia, el análisis de series de tiempo nos ayuda a tener una visión con certidumbre acerca del futuro.

5.1 MODELO CLÁSICO DE SERIES DE TIEMPO Una serie de tiempo es un conjunto de valores observados, como datos de producción o ventas, durante una serie de periodos temporales secuencialmente ordenada. Ejemplos de estos datos son las ventas de un producto en particular durante una serie de meses y el número de trabajadores empleados en una industria en particular durante una serie de años. Una serie de tiempo se representa por medio de una gráfica de líneas, sobre cuyo eje horizontal se representan los periodos y en cuyo eje vertical se representan los valores de la serie de tiempo.

El análisis de series de tiempo es el procedimiento por el cual se identifican y aíslan los factores relacionados con el tiempo que influyen en los valores observados en las series de tiempo. Una vez identificados, estos factores pueden contribuir a la interpretación de valores históricos y a pronosticar valores futuros de de series de tiempo.

En resumen, utilizamos el término serie de tiempo para referirnos a cualquier grupo de información estadística que se acumula a intervalos regulares.

El método clásico para el análisis de series de tiempo identifica cuatro de estas influencias, componentes, tipos de cambio o variación de series de tiempo, y son:

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1. Tendencia secular (T). 2. Fluctuación cíclica (C). 3. Variación temporal o estacional (E). 4. Variación irregular (I).

Con el primer tipo de variación, tendencia secular (T), el valor de la variable tiende a aumentar o disminuir en un periodo muy largo. El índice de precios al consumidor es un ejemplo de esta tendencia; ya que de un año a otro, el costo de la vida varía bastante, pero si examinamos un periodo a largo plazo, nos damos cuenta que la tendencia es hacia un aumento estable.

El segundo tipo de variación, es la fluctuación cíclica (C). El ejemplo más común de la fluctuación cíclica es el ciclo de negocios. A través del tiempo, hay años en que el ciclo de negocios llega a un pico por encima de la línea de tendencia. En otros tiempos, la actividad de los negocios parece caer, llegando a un punto bajo la línea de tendencia. El tiempo que transcurre entre picos o puntos bajos es de al menos un año, y puede llegar a durar hasta 15 o 20 años.

El tercer tipo de cambio es la variación temporal o estacional (E). Por su nombre, este tipo de variación implica patrones de cambio en el lapso de un año que tienden a repetirse anualmente. Por ejemplo, un médico, puede predecir un aumento del número de casos de gripe cada invierno y afecciones de tifoidea cada verano. Como se trata de patrones regulares, son útiles en la predicción del futuro.

La variación irregular (I) es el cuarto tipo de cambio que se da en las series de tiempo. El valor de la variable puede ser completamente impredecible, es decir, cambia de manera aleatoria. Algunos ejemplos de esta variación pueden ser los efectos del conflicto en el Medio Oriente en 1973, la situación en Irak en 1990 ambos sobre la situación de la gasolina en Estados Unidos.

El modelo en que se apoya el análisis clásico de series de tiempo se basa en el supuesto de que, para cualquier periodo designado en la variable de tiempo, el valor de la variable está determinado por los cuatro componentes anteriormente definidos y de que, además, los componentes tienen una relación multiplicativa. Así, donde Y representa el valor de serie de tiempo observado,

Y= T x C x E x I

3

Este modelo sirve de base para el aislamiento de las influencias de los diversos componentes que afectan a los valores de series de tiempo, como veremos en las siguientes secciones de este material.

5.2 ANÁLISIS DE TENDENCIA De los cuatro componentes de una serie de tiempo, la tendencia secular representa la dirección a largo plazo de la serie.

Una manera de describir la componente que corresponde a la tendencia es ajustando visual e intuitivamente una recta a un conjunto de puntos de una gráfica. Sin embargo, dicha gráfica está sujeta a interpretaciones ligeramente diferentes por parte de individuos diferentes. Así que podemos también ajustar una recta o línea de tendencia mediante el método de mínimos cuadrados, como lo realizamos en la unidad de regresión lineal simple. En nuestro análisis, nos concentraremos en el método de mínimos cuadrados, ya que el ajuste visual de una recta a una serie de tiempo no es un proceso completamente seguro.

AJUSTE DE LA TENDENCIA LINEAL MEDIANTE EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS.

Antes de desarrollar la ecuación para una tendencia lineal, necesitamos revisar la ecuación general para estimar una línea recta:

�� = � + ��

En la que:

�� = valor estimado de la variable dependiente.

X = variable independiente (tiempo en el análisis de tendencia)

a = intersección con el eje Y

b = pendiente de la línea de tendencia.

Pero para encontrar la línea de mejor ajuste debemos utilizar el método de mínimos cuadrados; dicha recta está determinada por:

� = ∑ �� − ��∑ � − ��

� = �� − ��

4

En las que:

Y = valores de la variable dependiente.

X = valores de la variable independiente (tiempo en el análisis de tendencia)

�� = valor estimado de la variable dependiente.

a = intersección con el eje Y

b = pendiente de la línea de tendencia.

Con las ecuaciones anteriores podemos establecer la línea de mejor ajuste para describir los datos de la serie. Sin embargo, la regularidad de los datos de la serie de tiempo nos permite simplificar los cálculos que hay que efectuar en las ecuaciones mencionadas a través del siguiente proceso.

Normalmente medimos la variable independiente “tiempo” en términos tales como semanas, meses o años. Afortunadamente podemos codificar dichas medidas.

Para utilizar la ecuación, encontramos el tiempo medio y luego restamos ese valor de cada uno de los tiempos de muestra.

Supongamos que nuestra serie temporal consiste en solamente tres puntos de dato, 1989, 1990 y 1991.

Si tuviéramos que sustituir estos valores en las ecuaciones dadas, los cálculos serian muy tediosos, así que podemos transformar los valores 1989, 1990 y 1991 en valores codificados, es decir valores correspondientes de -1, 0 y 1, en donde 0 representa la media o sea 1990, -1 representa el primer año (1989-1990 = -1) y 1 representa el último año (1991-1990=1).

Cuando codifiquemos valores de tiempo es necesario que tomemos en cuenta dos casos:

1. Es una serie temporal con un número impar de elementos, como en nuestro ejemplo dado.

2. Es una serie temporal con un número par de elementos.

Veamos la siguiente tabla

5

1.- Cuando hay número impar de elementos en la serie de tiempo.

2.- Cuando hay número par de elementos en la serie de tiempo.

X

� − ��

Tiempo traducido o codificado

X

� − ��

(� − ��)x 2

Tiempo traducido o codificado

(1) (2) (3) (1) (2) (3) (4)

1986 1986 -1989 = - 3 1987 1987 -1989 ½ = - 2 ½ = - 5

1987 1987 -1989 = - 2 1988 1988 -1989 ½ = - 1 ½ = - 3

1988 1988 -1989 = - 1 1989 1989 -1989 ½ = - ½ = - 1

1989 1989 -1989 = 0 1990 1990 -1989 ½ = ½ = 1

1990 1990 -1989 = 1 1991 1991 -1989 ½ = 1 ½ = 3

1991 1991 -1989 = 2 1992 1992 -1989 ½ = 2 ½ = 5

1992 1992 -1989 = 3

En la parte izquierda tenemos un número impar de años, así que el procedimiento es el mismo que acabamos de describir utilizando los años 1989, 1990 y 1991.

En la parte de la derecha, tenemos un número par de elementos. En casos como este, es cuando encontramos la media y la restamos de cada elemento, la fracción ½ se convierte en parte de la respuesta.

Para simplificar el proceso de codificación y eliminar el ½, multiplicamos cada elemento de tiempo por dos. Denotaremos el tiempo codificado o “traducido” con la letra x (equis minúscula).

¿Para qué usar un código?, hay dos razones para hacer esta codificación del tiempo. Primero, elimina la necesidad de elevar al cuadrado números grandes como 1989, 1990 y 1991, etc. Este método también hace que el año medio �� sea igual a cero y permite simplificar las ecuaciones de “b” y “a”.

�� = ∑ �� = 13,923

7 = ��

∑ � = 13,923 ��(el año medio) = 0

�� = ∑ �

� = 11,9376 = ��

∑ � = 11,937 ��(el año medio) = 0

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x (la variable codificada) sustituida en lugar de X y �� en lugar de ��

�� Sustituida por 0

�� en lugar de ��

�� sustituida por 0

Ahora podemos continuar con el cálculo de la pendiente y la intersección para determinar la línea de mejor ajuste. Como estamos utilizando la variable codificada x, sustituimos X y �� por �� (minúsculas) en las ecuaciones de a y b. Luego, como la media de nuestra variable de tiempo codificada �� es cero, podemos sustituir 0 por �� en las ecuaciones a y b. obteniendo:

b = ∑ XY − nX Y ∑ X − nX

� = ∑ !"#$!�"�∑ !%#$!�%

� = ∑ !"#$&"�∑ !%#$&%

� = ∑ ��∑ �

La ecuación para a cambia de la siguiente manera:

� = �� − ��

� = �� − �� = �� − �0 � = ��

EJEMPLO 1 . Consideremos los datos de la siguiente tabla, que ilustran el número de naves cargadas entre 1985 y 1992; queremos encontrar la ecuación que describirá la tendencia secular de las cargas.

X (1)

Y (2)

� − �� (3)

X (4)

xY (4)x(2)

x2

(4)2 1985 98 1985-1988 ½ = - 3 ½ x 2 = - 7 - 686 49 1986 105 1986-1988 ½ = - 2 ½ x 2 = - 5 -525 25 1987 116 1987-1988 ½ = - 1 ½ x 2 = - 3 -348 9 1988 119 1988-1988 ½ = - ½ x 2 = - 1 -119 1 1989 135 1989-1988 ½ = ½ x 2 = 1 135 1 1990 156 1990-1988 ½ = 1 ½ x 2 = 3 468 9 1991 177 1991-1988 ½ = 2 ½ x 2 = 5 885 25 1992 208 1992-1988 ½ = 3 ½ x 2 = 7 1,456 49

ƩX=15,908 ƩY=1,114 ƩxY=1,266 Ʃx2 =168

�� = ∑ ��

�� = 15,9088

�� = �, ��

�� = ∑ ��

�� = 1,1148

�� = �+�. �-

Con estos valores, podemos ahora trabajar con las ecuaciones de a y b, y encontrar la pendiente y la intersección para la recta que describe las tendencias en la carga de naves.

7

Así pues la ecuación lineal general que describe la tendencia secular en la carga de naves es:

�� = � + �� = 139.25 + 7.53�

En la que:

�� = número anual estimado de barcos cargados

x = valor de tiempo codificado que representa el numero de intervalos de medio año (el signo menos indica intervalos de medio año anteriores a 1988½ el signo más indica intervalos de medio año posteriores a 1988)

Ya que tenemos desarrollada la ecuación de tendencia, podemos proyectarla para predecir la variable en cuestión. Tomando el ejemplo anterior, la ecuación de tendencia secular apropiada es:

�� = 139.25 + 7.53�

Ahora, supongamos que deseamos estimar los cargamentos de embarcaciones para 1993. Primero debemos convertir 1993 al valor de tiempo codificado (en intervalos de medio año)

X = 1993 – 1988½ = 4.5 años y multiplicamos por 2 ya que es anual 4.5(2) = 9 intervalos de medio año.

Sustituimos este valor en la ecuación correspondiente a la tendencia secular obtenemos:

�� = 139.25 + 7.53.9/ = 139.25 + 67.82 = �01 234567 53483967.

Hemos estimado que 207 barcos serán cargados en 1993. Si el número de elementos de nuestra serie temporal hubiera sido impar, nuestro procedimiento hubiera sido el mismo, excepto que hubiéramos tenido que tratar con intervalos de un año, no con intervalos de medio año como ocurrió en este ejemplo.

Muchas de estas series de tiempo se describen mejor mediante curvas, no líneas rectas. En estos casos, el modelo lineal no describe de manera adecuada el cambio en la variable conforme avanza el tiempo. Es por ello que utilizamos una curva parabólica que es descrita matemáticamente por una ecuación de segundo grado.

La forma general para una ecuación de segundo grado estimada es:

� = ∑ ��∑ � = 1266

168 = 7.536 � = �� = 139.25

8

�� = � + �� + :�

Donde:

��= estimación de la variable dependiente

a, b y c = constantes numéricas

x = valores codificados de la variable temporal.

De nuevo volvemos a usar el método de mínimos cuadrados para determinar la ecuación de segundo grado que describe el mejor ajuste.

Podemos determinar el valor de las constantes numéricas (a, b y c) a partir de las siguientes tres ecuaciones:

∑ � = �� + : ∑ �

∑ � � = � ∑ � + : ∑ �;

� = ∑ !"∑ !%

Después de encontrar los valores de a, b y c resolviendo las tres ecuaciones anteriores de manera simultánea, sustituimos estos valores en la ecuación de segundo grado.

Al igual que la relación lineal, transformamos la variable independiente, tiempo (X), en una forma codificada (x) para simplificar los cálculos. Veamos un problema en el cual ajustamos una parábola a una serie de tiempo.

EJEMPLO 2 . En los últimos años, la venta de relojes electrónicos de cuarzo ha aumentado con una rapidez significativa. La tabla siguiente contiene información acerca de las ventas de estos artículos.

X (año) 1988 1989 1990 1991 1992

Y (ventas unitarias en millones) 13 24 39 65 106

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En esta tabla organizamos los cálculos necesarios. El primer paso es traducir la variable independiente X a una variable de tiempo codificada x.

X (1)

Y (2)

� − �� (3)

X (4)

xY (4)x(2)

x2

(4)2 x4

(4)4 x2Y

(4)2x(2) 1988 13 1988-1990 = - 2 -26 4 16 52 1989 24 1989-1990 = - 1 -24 1 1 24 1990 39 1990-1990 = 0 0 0 0 0 1991 65 1991-1990 = 1 65 1 1 65 1992 106 1992-1990 = 2 212 4 16 424

ƩX=9,950 ƩY=247 ƩxY=227 Ʃx2 =10 34 565

�� = ∑ ��

�� = 9,9505

�� = �, ��0

Sustituimos los valores de la tabla en las ecuaciones simultáneas:

∑ � = �� + : ∑ � � 247 = 5a + 10c (1)

∑ � � = � ∑ � + : ∑ �;� 565 = 10a + 34c (2)

� = ∑ !"∑ !% � � = <

=& (3)

De la ecuación 3, nos damos cuenta que b = 22.7

Ahora debemos encontrar a y c resolviendo las ecuaciones (1) y (2) de forma simultánea. Así

1. Multiplicamos la ecuación (1) por dos y restamos la ecuación (2) de la ecuación (1)

(1)x2: 494 = 10a + 20c

-(2): -565 = -10a - 34c

(4): - 71 = - 14c

De la ecuación 4, por despeje, rápidamente encontramos el valor de c:

-14c = -71

5 = #<=#=; = -. 01

Notemos que la variable codificada x se encuentra en intervalos de un año, debido a que tenemos un número impar de elementos en nuestra serie de tiempo, por lo que no es necesario multiplicar la variable por dos.

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Sustituimos el valor de c en la ecuación (1) y despejamos a:

247 = 5a + 10c

247 = 5a+ 10(5.07)

247 = 5a + 50.7

196.3 = 5a

a = 39.3

Ya tenemos los valores de a, b y c, ahora podemos describir la serie de tiempo con la ecuación de segundo grado estimada.

�� = � + �� + :�

= 39.3 +22.7x + 5.07x2

Supongamos que queremos predecir las ventas de relojes para 1997. Para hacer una predicción, debemos primero transformar 1997 en una variable codificada x; restándole el año medio, 1990:

Este valor codificado (x=7) se sustituye entonces en la ecuación de segundo grado que describe la venta de relojes:

�� = � + �� + :�

= 39.3 + 22.7x + 5.07x2

= 39.3 + 22.7(7) + 5.07(7)2

= 39.3 + 158.9 + 248.4

= 446.6

Basados en la tendencia secular calculada, llegamos a la conclusión de que las ventas de relojes deberá ser de aproximadamente 446´600,000 unidades en 1997. Esta predicción extraordinariamente grande, sugiere que debemos ser más cuidadosos cuando hacemos predicciones con una curva parabólica, que cuando trabajamos con una tendencia lineal.

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Representemos gráficamente los datos correspondientes a los relojes

La pendiente de la ecuación de segundo grado en esta figura se incrementa continuamente. En consecuencia la curva parabólica puede volverse un estimador pobre cuando intentamos predecir a un mayor plazo.

En este ejemplo de los relojes, podemos suponer que durante el periodo en consideración, el producto se encuentra en una etapa de crecimiento muy rápido de su ciclo de vida. Pero debemos darnos cuenta de que a medida que el ciclo alcanza una etapa de madurez, el crecimiento de las ventas puede disminuir y ya no ser descrito con precisión por nuestra curva parabólica. Por consiguiente, es necesario poner una atención especial cuando se utiliza una ecuación de segundo grado como herramienta de predicción.

5.3 ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES La fluctuación cíclica es la componente de una serie de tiempo que tiende a oscilar por encima y por debajo de la línea de tendencia secular en periodos mayores a un año. El procedimiento utilizado para identificar la fluctuación cíclica es el método de residuos.

MÉTODO DE RESIDUOS

Cuando observamos una serie de tiempo consistente en datos anuales, solamente se toman en cuenta las componentes de tendencia secular, cíclica e irregular.

Si utilizamos una serie temporal compuesta por datos anuales, podemos encontrar la fracción de la tendencia al dividir el valor real (Y) entre el correspondiente valor

0

20

40

60

80

100

120

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993

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de tendencia (��) para cada valor de la serie temporal. Luego multiplicamos el resultado de este cálculo por 100. Lo cual nos da la medida de la variación cíclica como un porcentaje de tendencia. Ese proceso se representa con la siguiente ecuación:

>?@:A�B�CA DA BA�DA�:E� = �� .100/

En la que:

Y = valor real de la serie temporal

�� = valor de tendencia estimado a partir del mismo punto de la serie de tiempo.

Apliquemos ahora este procedimiento

EJEMPLO 3 . La cooperativa de comercialización de unos granjeros desea medir las variaciones en las cosechas de trigo de sus socios durante un periodo de ocho años. En la siguiente tabla se muestra el volumen de cereal cosechado en cada uno de los ocho años. La columna Y contiene los valores de la tendencia lineal para cada periodo. La línea de tendencia fue generada utilizando el método de mínimos cuadrados visto en la sección anterior. Con esta información vamos a determinar el porcentaje de tendencia para cada uno de los años de la muestra (columna 4).

X año

(1)

Y toneladas reales

(2)

�� toneladas estimadas

(3)

Porcentaje de tendencia

(4)=. /.F/ .100/

1985 7.5 7.6 98.7 1986 7.8 7.8 100.0 1987 8.2 8.0 102.5 1988 8.2 8.2 100.0 1989 8.4 8.4 100.0 1990 8.5 8.6 98.8 1991 8.7 8.8 98.9 1992 9.1 9.0 101.1

En la columna 4 podemos ver las variaciones de las cosechas reales alrededor de la tendencia estimada (98.7 a 102.5), podemos atribuir estas variaciones a factores como lluvias y cambios de temperatura. Sin embargo debido a que estos

13

factores son relativamente impredecibles, no podemos determinar ningún patrón específico futuro de variación mediante el método de residuos.

El residuo cíclico relativo es otra medida de la fluctuación cíclica. En este método, para cada valor se encuentra el porcentaje de variación de la tendencia.

La forma fácil de calcular el residuo cíclico relativo consiste en restar 100 del porcentaje de tendencia (columna 4).

X año

(1)

Y toneladas reales

(2)

�� toneladas estimadas

(3)


(4)=. /.F/ .100/

Residuo cíclico relativo

(5)=(4)-100

1985 7.5 7.6 98.7 -1.3 1986 7.8 7.8 100.0 0.0 1987 8.2 8.0 102.5 2.5 1988 8.2 8.2 100.0 0.0 1989 8.4 8.4 100.0 0.0 1990 8.5 8.6 98.8 -1.2 1991 8.7 8.8 98.9 -1.1 1992 9.1 9.0 101.1 1.1

El porcentaje de tendencia y el residuo cíclico relativo son dos medidas de fluctuación y ambas son porcentajes de la tendencia. Por ejemplo, en 1990 el porcentaje de tendencia indicaba que la cosecha real fue de 98.8% de la cosecha esperada para ese año. Para ese mismo año, el residuo cíclico relativo indicó que la cosecha real estaba 1.2% por debajo de la cosecha esperada.

A menudo representamos gráficamente la fluctuación cíclica como el porcentaje de tendencia de la siguiente manera:

98.5

99

99.5

100

100.5

101

101.5

102

102.5

103

1984 1986 1988 1990 1992 1994

Tiempo

Por

cent

aje

de te

nden

cia

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Debemos poner énfasis en que los procedimientos analizados en esta sección pueden utilizarse solamente para describir variaciones cíclicas pasadas y no para predecir variaciones cíclicas.

Aunque la variación temporal en un ciclo recurrente de los datos pasados, debemos recordar el hecho de que este tipo de variación describe patrones que se presentan dentro de un año, pero la fluctuación cíclica significa un patrón en una serie temporal que abarca periodos mayores de un año.

5.4 ANÁLISIS Y MEDICIÓN DE VARIACIONES TEMPORAL O ESTACIONAL, APLICACIÓN DE AJUSTES ESTACIONALES.

Además de la tendencia secular y la fluctuación cíclica, una serie de tiempo también incluye la variación temporal o estacional. Este tipo de variación se define como un movimiento repetitivo y predecible alrededor de la línea de tendencia que se da en un año o en menos. Con el fin de detectar la variación temporal, los intervalos de tiempo necesitan ser medidos en unidades pequeñas, como días, semanas, meses o trimestres.

Con el fin de medir la variación temporal, normalmente usamos el método de razón de promedio móvil. Esta técnica proporciona un índice que describe el grado de variación estacional. El índice está basado en un media de 100, con el grado de estacionalidad medido por las variaciones con respecto a la base. Por ejemplo, si examinamos la estacionalidad de la renta de canoas en un hotel de veraneo, podríamos encontrar que el índice correspondiente al trimestre de primavera es 142. El valor 142 indica que 142% de las rentas trimestrales promedio se da en la primavera. Si la administración registró 2,000 rentas de canoas durante todo el año anterior, entonces la renta promedio por trimestre será de 2000/4=500. Como el índice del trimestre de primavera es 142, estimamos el número de alquileres de canoas de la forma siguiente:

500 G=; =&&H = 710

Desarrollaremos un ejemplo completo para comprender como calcular este tipo de variación.

Renta estacionalizada del trimestre de primavera

Renta promedio del trimestre

Índice del trimestre de primavera

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EJEMPLO 4 . La administración de un albergue para esquiadores tiene los siguientes acerca de la ocupación trimestral correspondientes a un periodo de cinco años.

Año 1er trimestre 2º trimestre 3er trimestre 4º trimestre 1988 1,861 2,203 2,415 1,908 1989 1,921 2,343 2,514 1,986 1990 1,834 2,154 2,098 1,799 1991 1,837 2,025 2,304 1,965 1992 2,073 2,414 2,339 1,967

Para mejorar su servicio la administración debe establecer un patrón por temporadas de la demanda de habitaciones. SOLUCION: La administración del hotel quiere mejorar el servicio al cliente y, para lograr su propósito, está considerando varios planes de empleo de personal durante los periodos de más afluencia. En la tabla anterior vemos la ocupación por trimestre, es decir, el número promedio de huéspedes durante cada trimestre de los últimos cinco años. Deberemos calcular el índice temporal, mismo que se realiza por medio de seis pasos. 1º. Cálculo del total móvil de los cuatro trimestres para la serie de tiempo: calculamos el total de los valores para los trimestres durante el primer año, 1988. Así: 1,861 + 2,203 + 2,415 + 1,908 = 8,387. Como nuestro primer total de 8,387 fue calculado a partir de cuatro puntos de dato, lo colocamos frente al punto medio de tales trimestres (columna adyacente), entre los renglones correspondientes a los trimestres 1988-II y 1988-III. Luego, encontramos el siguiente total móvil eliminando el valor correspondiente a 1988-I, 1,861, y agregando el correspondiente a 1989-I, 1921. Al eliminar el primer valor y agregar el quinto, nos quedamos con cuatro trimestres en total. Los cuatro valores sumados dan ahora 2,203 + 2,415 + 1908 + 1921 = 8,447. Este total se coloca en la tabla en la columna 4, debajo del primer total trimestral, 8,347. Continuamos con este mismo procedimiento de “deslizar” el total de cuatro trimestres por la serie temporal hasta que hayamos incluido el último valor de la serie.

16

Año (1)

Trimestre (2)

Ocupación (3)

Paso 1 : Total móvil

de 4 trimestres

(4)

1988 I 1,861

8,387 8,447

II 2,203 III 2,415 IV 1,908 1989 I 1,921 8,587

8,686 8,764 8,677

II 2,343 III 2,514 IV 1,986 1990 I 1,834 8,488

8,072 7,885 7,888

II 2,154 III 2,098 IV 1,799 1991 I 1,837 7,759

7,965 8,131 8,367

II 2,025 III 2,304 IV 1,965 1992 I 2,073 8,756

8,791 8,793

II 2,414 III 2,339 IV 1.967

2º. Calcular el promedio móvil de cuatro trimestres, dividiendo cada uno de los totales de cuatro trimestres entre cuatro.

Año (1)

Trimestre (2)

Ocupación (3)

Paso 1: Total móvil de 4 trimestres

(4)

Paso 2: promedio móvil de 4 trimestres (5)=(4)/4

1988 I 1,861

8,387 8,447

2,096.75 2,111.75

II 2,203 III 2,415 IV 1,908

1989 I 1,921 8,587 8,686 8,764 8,677

2,146.75 2,171.50 2,191.00 2,169.25

II 2,343 III 2,514 IV 1,986

1990 I 1,834 8,488 8,072 7,885 7,888

2,122.00 2,018.00 1,971.25 1,972.00

II 2,154 III 2,098 IV 1,799

1991 I 1,837 7,759 7,965 8,131 8,367

1,939.75 1991.25 2.032.75 2,091.75

II 2,025 III 2,304 IV 1,965

1992 I 2,073 8,756 8,791 8,793

2,189.00 2,197.75 2,198.25

II 2,414 III 2,339 IV 1.967

17

3º. Centrar el promedio móvil de cuatro trimestres. Los promedios móviles de la columna (5) caen a la mitad de los trimestres. Con el fin de “centrar” nuestros promedios móviles, asociamos a cada trimestre el promedio de los dos promedios móviles de cuatro trimestres que caen justo por arriba y por debajo de éste. Para el trimestre 1988-III, el promedio móvil centrado de cuatro trimestres seria 2,104.25, es decir (2,096.75 + 2,111.75)/2. Las otras entradas de la columna (6) se calculan de la misma forma.

Año (1)

Trimestre (2)

Ocupación (3)


(4)


Paso 3: Promedio

móvil centrado de 4 trimestres

(6)

1988 I 1,861

8,387 8,447

2,096.75 2,111.75 2,104.25

2,129.25

II 2,203 III 2,415 IV 1,908 1989 I 1,921 8,587

8,686 8,764 8,677

2,146.75 2,171.50 2,191.00 2,169.25

2,159.125 2,181.25

2,180.125 2,145.625

II 2,343 III 2,514 IV 1,986 1990 I 1,834 8,488

8,072 7,885 7,888

2,122.00 2,018.00 1,971.25 1,972.00

2,070.000 1,994.625 1,971.625 1,955.875

II 2,154 III 2,098 IV 1,799 1991 I 1,837 7,759

7,965 8,131 8,367

1,939.75 1991.25 2.032.75 2,091.75

1,965.500 2,012.000 2,062.250 2,140.375

II 2,025 III 2,304 IV 1,965 1992 I 2,073 8,756

8,791 8,793

2,189.00 2,197.75 2,198.25

2,193.375 2,198.000

II 2,414 III 2,339 IV 1.967

4º. Calcular el porcentaje del valor real con respecto al valor de promedio móvil para cada trimestre de la serie de tiempo que tenga una entrada de promedio temporal de cuatro trimestres.

Determinamos este porcentaje dividiendo cada uno de los valores trimestrales reales de la columna (3), entre los valores correspondientes del promedio móvil centrado de cuatro trimestres que se encuentran en la columna (6), y luego multiplicamos el resultado por 100.

Por ejemplo encontramos que el porcentaje correspondiente a 1988-III es:

IA�J>@?KADE? KóMEJ .100/ = 2,415

2,104.25 .100/ = ��N. �

18

Año (1)

Trimestre (2)

Ocupación (3)


(4)


Paso 3: Promedio

móvil centrado de 4 trimestres

(6)

Paso 4: Porcentaje de valores reales con respecto al promedio de valores

móviles (7)=(3)/(6)x100

1988 I 1,861

8,387 8,447

2,096.75 2,111.75 2,104.25

2,129.25 114.8 89.6

II 2,203 III 2,415 IV 1,908

1989 I 1,921 8,587 8,686 8,764 8,677

2,146.75 2,171.50 2,191.00 2,169.25

2,159.125 2,181.25

2,180.125 2,145.625

89.0 107.4 115.3 92.6

II 2,343 III 2,514 IV 1,986

1990 I 1,834 8,488 8,072 7,885 7,888

2,122.00 2,018.00 1,971.25 1,972.00

2,070.000 1,994.625 1,971.625 1,955.875

88.6 108.0 106.4 92.0

II 2,154 III 2,098 IV 1,799

1991 I 1,837 7,759 7,965 8,131 8,367

1,939.75 1991.25 2.032.75 2,091.75

1,965.500 2,012.000 2,062.250 2,140.375

93.5 100.6 111.7 91.8

II 2,025 III 2,304 IV 1,965

1992 I 2,073 8,756 8,791 8,793

2,189.00 2,197.75 2,198.25

2,193.375 2,198.000

94.5 109.8 II 2,414

III 2,339 IV 1.967

5º. Calcular la “media modificada ” para cada trimestre; para ello se descartan los valores más alto y más bajo de cada trimestre y se promedian los valores restantes. De esta manera:

Año Trimestre I Trimestre II Trimestre III Trimestre IV 1988 - - 114.8 89.6 1989 89.0 107.4 115.3 92.6 1990 88.6 108.0 106.4 92.0 1991 93.5 100.6 111.7 91.8 1992 94.5 109.8 - -

182.5 215.4 226.5 183.8

Media modificada:

Trimestre I: =O .P

= 91.25

Trimestre II: =P.;

= 107.70

Trimestre III: Q.P

= 113.25

Trimestre IV: =OF.O

= 91.90

Total de índices = 404.10

Las variaciones cíclica e irregular tienden a ser eliminadas mediante este proceso, de modo que la media modificada es un índice de la componente estacional.

19

6º. Ajustar la media modificada . Notemos que los cuatro índices de la tabla anterior dan un total de 404.1. Sin embargo, la base de un índice es 100. Por consiguiente, los cuatro índices trimestrales deben dar un total de 400 y su media debe ser de 100. Para corregir este error, multiplicamos cada uno de los índices trimestrales de dicha tabla por una constante de ajuste. Esta constante se obtiene dividiendo la suma deseada de los índices (400) entre la suma total real (404.1). En este caso, el resultado es 0.9899. En la siguiente tabla veremos que multiplicando los índices por la constante de ajuste hace que éstos den un total de 400, (en algunas ocasiones incluso después de haber hecho este ajuste, la media de los índices estacionales temporales no es exactamente 100, debido a los errores de redondeo acumulados. En este caso, la media es exactamente 100).

Trimestre Índices

desajustados x Constante de ajuste = Índice temporal

I 91.25 x 0.9899 = 90.3 II 107.70 x 0.9899 = 106.6 III 113.25 x 0.9899 = 112.1 IV 91.90 x 0.9899 = 91.0

Total de índices temporales = 400.00 Media de los índices temporales = 400/4=100

5.5 PRONÓSTICOS BASADOS EN FACTORES DE TENDENCIA Y ESTACIONALES.

En esta sección veremos tres métodos de pronósticos: promedios móviles, promedios móviles ponderados y suavizamiento exponencial. Dichos métodos tienen por objeto suavizar las fluctuaciones aleatorias ocasionadas por el componente irregular de la serie de tiempo.

Los métodos de suavizamiento son fáciles de utilizar y, por lo general, se obtiene una buena exactitud en pronósticos a corto plazo.

El suavizamiento exponencial tiene requerimientos mínimos de datos por lo que es un método adecuado cuando se requiere de pronósticos para un gran número de artículos.

PROMEDIOS MOVILES

En este método, para pronosticar el periodo siguiente se emplea el promedio de los valores de los n datos más recientes de la serie de tiempo. El cálculo de un promedio móvil se hace como sigue:

>@?KADE? KóMEJ = ∑.DA J?R � D�B?R KáR @A:EA�BAR/�

20

El término móvil se usa porque cada vez que en la serie de tiempo hay una nueva observación, ésta sustituye a la observación más antigua que se emplee en la ecuación anterior y se calcula un nuevo promedio. De esta manera, el promedio se modifica, o se mueve, cada vez que se tiene una nueva observación.

Consideremos la siguiente serie de tiempo de las ventas de gasolina para ilustrar el método de los promedios móviles.

Semana Ventas (miles de galones) 1 17 2 21 3 19 4 23 5 18 6 16 7 20 8 18 9 22 10 20 11 15 12 22

Para emplear este método en el pronóstico de las ventas de gasolina, primero hay que decidir cuántos valores se usarán para calcular los promedios móviles. Aquí por ejemplo, se calcularan promedios móviles de tres semanas. El promedio móvil de las ventas de gasolina correspondiente a las tres primeras semanas es:

>@?KADE? KóMEJ .RAK��R 1 − 3/ = 17 + 21 + 193 = 19

Este promedio móvil se usa como pronóstico para la semana 4.

En un pronóstico el error es la diferencia entre el valor observado en la serie de tiempo y el valor obtenido como pronóstico.

El siguiente promedio móvil de tres semanas es:

>@?KADE? KóMEJ .RAK��R 2 − 4/ = 21 + 19 + 233 = 21

A continuación se presenta un resumen de los cálculos de los promedios móviles de tres semanas.

Semana Valores de la

serie de tiempo

Pronóstico con el promedio

móvil Error de

pronóstico

Error de pronóstico al

cuadrado 1 17 2 21 3 19 4 23 19 4 16 5 18 21 -3 9

21

6 16 20 -4 16 7 20 19 1 1 8 18 18 0 0 9 22 18 4 16 10 20 20 0 0 11 15 20 -5 25 12 22 19 3 9 Totales 0 92

Como podemos ver, el pronóstico para la semana 5 es 21. El error correspondiente a este pronóstico es 18 – 21 = - 3. El error de pronóstico puede ser positivo o negativo según si el pronóstico es muy bajo o muy alto.

Al elegir el método de pronóstico es importante considerar la exactitud del método. Es claro que deseamos que el error de pronóstico sea pequeño. En las dos últimas columnas de la tabla anterior se encuentran los errores de pronóstico y los cuadrados de los errores de pronóstico, los cuales sirven para obtener una medida de la exactitud del pronóstico. Retomando el ejemplo de la gasolina, usaremos la última columna de la tabla para calcular el promedio de la suma de los cuadrados de los errores.

>@?KADE? DA J� RTK� DA J?R A@@?@AR �J :T�D@�D? = 929 = �0. ��

Al promedio de la suma de los errores al cuadrado se le conoce como cuadrado medio debido al error (CME) y suele usarse como medida de la exactitud del método de pronóstico.

Como ya se dijo, para usar el método de los promedios móviles, hay que decidir, primero, cuantos datos se emplearan para calcular los promedios móviles.

PROMEDIOS MOVILES PONDERADOS

En el método de promedios móviles, a todos los datos que se emplean en el cálculo se les da el mismo peso. En una variación conocida como promedios móviles ponderados, a cada uno de los valores de los datos se le da un peso diferente, se calcula el promedio ponderado de los valores de los n datos más recientes para obtener el pronóstico. En la mayoría de las veces, a la observación más reciente se le da el mayor peso y los pesos disminuyen conforme los datos son más antiguos. Por ejemplo, con los datos de las ventas de gasolina se calcula un promedio móvil ponderado de tres semanas: a la observación más reciente se le da un peso que sea el triple del que se le dé a la observación más antigua y a la observación intermedia un peso que sea el doble del de la observación más antigua. Como promedio de la semana 4 tenemos:

>@?�óRBE:? U�@� J� RAK�� 4 = 1 6⁄ .17/ + 2 6⁄ .21/ + 3 6⁄ .19/ = ��. ++

22

Observemos que en un promedio móvil ponderado, la suma de los pesos es igual a 1. En realidad, la suma de los pesos en el promedio móvil simple también fue igual a 1: cada peso fue de 1/3. Sin embargo, recordemos que con el promedio móvil simple o no ponderado el pronóstico fue 19.

Para usar el método de promedios móviles ponderados primero se debe establecer el número de datos a usar para calcular los promedios móviles ponderados y después elegir los pesos para cada uno de los datos.

Si creemos que el pasado reciente es mejor predictor del futuro que el pasado distante habrá que dar pesos mayores a las observaciones más recientes. Debemos notar que el único requerimiento es que la suma de los pesos sea igual a 1.

SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL

El suavizamiento exponencial es un caso especial del método de promedios ponderados móviles. El modelo de suavizamiento exponencial básico es:

WXY= = Z�X + .1 − Z/WX

Donde:

WXY== pronóstico para el periodo t+1 de la serie de tiempo.

�X= valor real en el periodo t de la serie de tiempo.

WX= pronóstico para el periodo t de la serie de tiempo.

Z= constante de suavizamiento (0 ≤ α ≤ 1)

De esta ecuación podemos observar que el peso dado al valor real del periodo t es Z y el peso dado al valor pronosticado para el periodo t es 1- Z. Para empezar, sea W= igual al valor real de la serie de tiempo en el periodo 1; es decir W= = �=, por tanto, el pronóstico para el periodo 2 es

W = Z�= + .1 − Z/W=

W = Z�X + .1 − Z/�=

W = �=

De tal manera que el pronóstico obtenido mediante suavizamiento exponencial para el periodo 2 es igual al valor real de la serie de tiempo para el periodo 1.

El pronóstico para el periodo 3 es:

WF = Z� + .1 − Z/W = Z� + .1 − Z/�=

Y así sucesivamente.

23

Una vez elegida la constante de suavizamiento Z, sólo se necesitan conocer el valor real (�X/ y el valor pronosticado (WX/ de la serie de tiempo para calcular el pronóstico en el periodo B.

Para ilustrar el uso de este método para obtener pronósticos, consideremos nuevamente la serie de tiempo de los precios de la gasolina.

Semana

Valores de la serie de tiempo

1 17 2 21 3 19 4 23 5 18 6 16 7 20 8 18 9 22 10 20 11 15 12 22

Como ya se mencionó, el pronóstico obtenido mediante suavizamiento exponencial para el periodo 2 es igual al valor real en la serie de tiempo para el periodo 1. Por tanto, como �= = 17, para empezar los cálculos del suavizamiento exponencial se hace W = 17. Regresando a los datos de la tabla anterior, encontramos que el valor real para el periodo 2 es � = 21. El error de pronóstico del periodo 2 es 21-17 =4.

Al continuar con los cálculos del suavizamiento exponencial, con Z = 0.2 como constante de suavizamiento, obtenemos el pronóstico siguiente para el periodo 3.

WF = Z� + .1 − Z/W = Z� + .1 − Z/�=

WF = 0.2� + .1 − 0.2/W = 0.2.21/ + 0.8.17/ = �1. �

Ahora tomando el valor real del periodo 3 de la serie de tiempo, �F = 19, podremos generar el pronóstico para el periodo cuatro.

W; = 0.2�F + .1 − 0.2/WF = 0.2.19/ + 0.8.17.8/ = ��. 0N

Si continuamos de esta manera con los cálculos para el suavizamiento exponencial determinaremos los pronósticos semanales y los errores semanales de pronóstico como vemos en la tabla siguiente. Observemos que para el periodo 1 no se da ningún pronóstico obtenido mediante suavizamiento exponencial ni tampoco ningún error de pronóstico, ya que no se obtuvo ningún pronóstico.

24


serie de tiempo

Pronóstico con suavizamiento

(WX/

Error de pronóstico (�X − WX/

1 17 2 21 17.00 4.00 3 19 17.80 1.20 4 23 18.04 4.96 5 18 19.03 -1.03 6 16 18.83 -2.83 7 20 18.26 1.74 8 18 18.61 -0.61 9 22 18.49 3.51

10 20 19.19 0.81 11 15 19.35 -4.35 12 22 18.48 3.52

Como podemos ver, para la semana 12 se tiene �= = 22 y W= � 18.48. ¿Se puede emplear esta información para generar un pronóstico para la semana 13 antes de que se conozca el valor real de la semana 13?, con el modelo de suavizamiento exponencial, tenemos

W=F � 0.2�= � .1 0.2/W= � 0.2.22/ � 0.8.18.48/ � ��. ��

Por lo tanto, el pronóstico obtenido mediante suavizamiento exponencial para la semana 13 es 19.18 o 19,180 galones de gasolina. Este pronóstico le será útil a la empresa para la planeación y para la toma de decisiones. La exactitud de este pronóstico no se conocerá sino hasta el final de la semana 13.

En la siguiente figura se ve una gráfica con los valores reales y pronosticados de la serie de tiempo. Notemos, en especial, cómo los pronósticos suavizan la irregularidad de las fluctuaciones de la serie de tiempo.

Para determinar el pronóstico general de la serie de tiempo debemos calcular el Cuadrado medio debido al error, de la misma forma que lo hicimos en el método de promedio móvil, es decir, elevamos al cuadrado cada uno de los errores de pronóstico, posteriormente, realizamos la sumatoria de los valores del error de

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Serie de tiempo real

Serie de tiempo pronosticada con α = 0.2

25

pronóstico al cuadrado y lo dividimos entre el número de semanas exceptuando la primera; esto último es debido a que no contamos con un valor anterior para obtener un pronóstico para el periodo 1. En la siguiente tabla se muestran los resultados del procedimiento recién descrito.


serie de tiempo

Pronóstico con suavizamiento

(WX/

Error de pronóstico (�X − WX/

Error del pronóstico al

cuadrado 1 17 2 21 17.00 4.00 16.00 3 19 17.80 1.20 1.44 4 23 18.04 4.96 24.6 5 18 19.03 -1.03 1.06 6 16 18.83 -2.83 8.01 7 20 18.26 1.74 3.03 8 18 18.61 -0.61 .37 9 22 18.49 3.51 12.32 10 20 19.19 0.81 0.66 11 15 19.35 -4.35 18.92 12 22 18.48 3.52 12.39 Total 98.80

Cuadrado medio debido al error [\] = ^O.O&== = �. ��

Si comparamos el CME obtenido por el método de promedios móviles (10.22), contra el CME por medio de suavizamiento exponencial (8,98), podemos ver que este último método nos brinda un mejor pronóstico para el futuro que el de promedios móviles.

5.6 PROBLEMA QUE IMPLICA A LAS CUATRO COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO.

Antes de entrar de lleno a desarrollar un problema que implica las cuatro componentes, es necesario considerar un término que se usa constantemente en este tipo de problemas; nos referimos a la desestacionalización. El método de promedio móvil, visto anteriormente, nos permite identificar la variación estacional de una serie de tiempo. Los índices temporales o estacionales se utilizan para eliminar de una serie de tiempo los efectos de la estacionalidad. A este proceso se le denomina desestacionalización o destemporización de una serie de tiempo.

26

Antes de que podamos identificar la componente de tendencia o la cíclica de una serie de tiempo debemos eliminar la variación estacional. Para desestacionalizar una serie de tiempo, dividimos cada uno de los valores reales de la serie entre el correspondiente índice temporal (expresado como fracción de 100). Para describir el procedimiento, tomaremos nuevamente el ejemplo 4 página 15 y procederemos a desestacionalizar el valor de los primeros cuatro trimestres de la siguiente tabla.

Año 1er trimestre 2º trimestre 3er trimestre 4º trimestre 1988 1,861 2,203 2,415 1,908 1989 1,921 2,343 2,514 1,986 1990 1,834 2,154 2,098 1,799 1991 1,837 2,025 2,304 1,965 1992 2,073 2,414 2,339 1,967

PROCEDIMIENTO PARA DESESTACIONALIZAR DATOS: Año (1)

Trimestre (2)

Ocupación real (3) _.í�DE:A BAKU?@�J/100 a

(4)

Ocupación desestacionalizada

(5)=(3)/(4) 1988 I 1,861 ÷ _90.3

100a = 2,061

1988 II 2,203 ÷ _106.60100 a

= 2,067

1988 III 2,415 ÷ _112.1100 a

= 2,154

1988 IV 1,908 ÷ _91.0100a

= 2,097

Los valores desestacionalizados que quedan solamente reflejan las componentes de tendencia, cíclica e irregular de la serie de tiempo. Una vez que hemos eliminado la variación temporal, podemos calcular una línea de tendencia desestacionalizada, que luego podemos proyectar hacia el futuro. Supongamos que la administración del hotel de nuestro ejemplo estima, a partir de una línea de tendencia desestacionalizada, que la ocupación promedio desestacionalizada para el cuarto trimestre del año siguiente será de 2,121. Ya que tiene esta predicción, entonces la administración debe tomar en consideración el efecto de las estaciones. Para llevarlo a cabo, se multiplica la ocupación

27

promedio desestacionalizada predicha, 2,121, por el índice temporal correspondiente al cuarto trimestre (expresado como fracción de 100) para obtener una fracción estacionalizada de 1,930 cuartos alquilados en promedio para el cuarto trimestre: El ajuste de datos trimestrales o mensuales nos ayuda a detectar una tendencia secular subyacente. La última componente de una serie de tiempo es la variación irregular. Después de que hemos eliminado las variaciones de tendencia, cíclica y estacional de una serie de tiempo, todavía nos queda un factor impredecible. Típicamente, la variación irregular se presenta en intervalos cortos y sigue un patrón aleatorio. Debido a lo impredecible de la variación irregular, no tenemos la intención de tratar de describirla de manera matemática. Al presentar los datos de una serie temporal, los administradores no intentan “ajustar” una línea para explicar la variación irregular. Sin embargo a menudo se le hace notar con un comentario en la gráfica (algo como: Mercado cerrado por día festivo) o como una nota al pie de página en una tabla (por ejemplo: la baja primaveral cayó en marzo el año pasado y en abril este año). Para tratar un problema que implique las cuatro componentes de una serie de tiempo, volvemos nuestra atención hacia una compañía que se especializa en la producción de equipo para recreación. Para predecir las ventas, basándose en sus patrones de ventas pasadas, la compañía ha recolectado la información que presentaremos en la tabla siguiente:

Tabla 1 Ventas por trimestre (en $10,000)

Año I II II IV 1988 16 21 9 18 1989 15 20 10 18 1990 17 24 13 22 1991 17 25 11 21 1992 18 26 14 25

El procedimiento para describir esta serie temporal consistirá en tres etapas:

2,121 _91.0100 a = 1,930

Valor desestacionalizado estimado de la línea de tendencia

Índice temporal para el cuarto trimestre

Estimación estacionalizada de la ocupación en el cuarto trimestre

28

1. Desestacionalización de la serie de tiempo. 2. Desarrollo de la línea de tendencia. 3. Búsqueda de la variación cíclica alrededor de la línea de tendencia.

Como los datos están disponibles por trimestre, como primer paso debemos desestacionalizar la serie de tiempo. Los pasos para hacer esto son los mismos que vimos en la sección 5.3 de este material didáctico. Tabla 2 Cálculo de los 4 primeros pasos para obtene r el índice temporal

Año (1)

Trimestre (2)

Ventas reales

(3)


(4)

Paso 2: promedio móvil de 4 trimestres

(5)=(4)/4

Paso 3: Promedio móvil centrado de 4

trimestres (6)

Paso 4: Porcentaje de valores reales con respecto al promedio de

valores móviles (7)=(3)/(6)x100

1988 I 16

64 63

16.00 15.75 15.825

15.625 56.7 115.2

II 21 III 9 IV 18

1989 I 15 62 63 63 65

15.50 15.75 15.75 16.25

15.625 15.750 16.000 16.750

96.0 127.0 62.5 107.5

II 20 III 10 IV 18

1990 I 17 69 72 76 76

17.25 18.00 19.00 19.00

17.625 18.500 19.000 19.125

96.5 129.7 68.4 115.0

II 24 III 13 IV 22

1991 I 17 77 75 74 75

19.25 18.75 18.50 18.75

19.000 18.625 18.625 18.875

89.5 134.2 59.1 111.3

II 25 III 11 IV 21

1992 I 18 76 79 83

19.00 19.75 20.75

19.375 20.250

92.9 128.4 II 26

III 14 IV 25

En esta tabla tenemos los primeros cuatro pasos para el cálculo del índice temporal. En la siguiente tabla completamos el proceso.

PASO 5

Año Trimestre I Trimestre II Trimestre III Trimestre IV 1988 - - 56.7 115.2 1989 96.0 127.0 62.5 107.5 1990 96.5 129.7 68.4 115.0 1991 89.5 134.2 59.1 111.3 1992 92.9 128.4 - -

188.9 258.1 121.6 226.3

29

Media modificada:

Trimestre I: =OO.^

= 94.45

Trimestre II: PO.=

= 129.05

Trimestre III: = =.Q

= 60.80

Trimestre IV: Q.F

= 113.15

Total de índices = 397.45

PASO 6

Factor de ajuste = N00

+�1.N- = �. 00cN

Trimestre Índices

desajustados x Constante de ajuste = Índice temporal

I 94.45 x 1.0064 = 95.1 II 129.05 x 1.0064 = 129.9 III 60.80 x 1.0064 = 61.2 IV 113.15 x 1.0064 = 113.9

Total de índices temporales = 400.1 Una vez que hemos calculado los índices temporales trimestrales, podemos encontrar los valores desestacionalizados de la serie de tiempo dividiendo las ventas reales (tabla 1) entre los índices temporales. En la tabla 3 que veremos posteriormente, tenemos el cálculo de los valores desestacionalizados de la serie temporal. El segundo paso en la descripción de las componentes de la serie de tiempo consiste en desarrollar la línea de tendencia. Haremos esto aplicando el método de mínimos cuadrados, a la serie de tiempo desestacionalizada; en la tabla 4 se presentan los cálculos necesarios para identificar la componente de tendencia.

Las variaciones cíclica e irregular tienden a ser eliminadas mediante este proceso, de modo que la media modificada es un índice de la componente estacional.

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TABLA 3 Cálculo de los valores desestacionalizados de la serie de tiempo.

Año (1)

Trimestre (2)

Ventas reales

(3)

Índice temporal

100 (4)

Ventas desestacionalizadas

(5)=(3)/(4)

1988 I 16 0.951 16.8 II 21 1.299 16.2 III 9 0.612 14.7 IV 18 1.139 15.8

1989 I 15 0.951 15.8 II 20 1.299 15.4 III 10 0.612 16.3 IV 18 1.139 15.8

1990 I 17 0.951 17.9 II 24 1.299 18.5 III 13 0.612 21.2 IV 22 1.139 19.3

1991 I 17 0.951 17.9 II 25 1.299 19.2 III 11 0.612 18.0 IV 21 1.139 18.4

1992 I 18 0.951 18.9 II 26 1.299 20.0 III 14 0.612 22.9 IV 25 1.139 21.9

TABLA 4 Identificación de la componente de tendenci a.

Año (1)

Trimestre (2)


(columna 5 de la tabla 3)

(3)

Traducción o codificación de la variable temporal

(4)

X (5)=(4) · 2

xY (6)=(5) · (3)

X2

(7)=(5)2

1988 I 16.8 -9 ½ - 19 -319.2 361 II 16.2 -8 ½ - 17 -275.4 289 III 14.7 -7 ½ - 15 -220.5 225 IV 15.8 -6 ½ - 13 -205.4 169

1989 I 15.8 -5 ½ - 11 -173.8 121 II 15.4 -4 ½ - 9 -138.6 81 III 16.3 -3 ½ - 7 -114.1 49 IV 15.8 -2 ½ - 5 - 79.0 25

1990 I 17.9 -1 ½ - 3 - 53.7 9 II 18.5 - ½ - 1 - 18.5 1 III 21.2 ½ 1 21.2 1 IV 19.3 1 ½ 3 57.9 9

1991 I 17.9 2 ½ 5 89.5 25 II 19.2 3 ½ 7 134.4 49 III 18.0 4 ½ 9 162.0 81 IV 18.4 5 ½ 11 202.4 121

1992 I 18.9 6 ½ 13 245.7 169 II 20.0 7 ½ 15 300.0 225 III 22.9 8 ½ 17 389.3 289 IV 21.9

360.9 9 ½ 19 416.1

420.30 361

2,660

Para codificar la variable temporal (columna 4 de la tabla anterior) deberemos proceder de la siguiente manera; localizamos el año medio, en este caso el año medio es 1990, pero debido a que estamos manejando trimestres, la codificación

31

se debe realizar en base a trimestres, no en base a años, así que calculamos la mediana de los trimestres. Sabemos que esta serie cuenta con 20 trimestres, por lo tanto, la mediana se obtiene al sumar los dos trimestres centrales de 1990 y dividir entre dos, así:

Año (1)

Trimestre (2)

# de trimestre

1988 I 1 II 2 III 3 IV 4

1989 I 5 II 6 III 7 IV 8

1990 I 9 II 10 III 11 IV 12

1991 I 13 II 14 III 15 IV 16

1992 I 17 II 18 III 19 IV 20

Como podemos observar; el trimestre mediano (10 ½), deja 10 trimestres antes y 10 trimestres después del mismo; es decir dividimos en dos partes iguales la serie de tiempo. Una vez obtenido el trimestre mediano podemos realizar la codificación; así tenemos que, para el trimestre I: 1-10 ½ = -9 ½, para el trimestre II: 2-10 ½ = -8 ½, y así sucesivamente. Al igual que con los años pares, en este caso multiplicamos por 2 cada uno de los trimestres codificados y obtenemos los valores de la columna 5 o sea x. Con los valores de la tabla 4, podemos ahora encontrar la ecuación para la tendencia, las fórmulas para a y b son las mismas, es decir:

� = �� y � = ∑ !"∑ !%

Sustituyendo valores en las fórmulas anteriores tenemos que:

2 = ∑ !"∑ !% = ; &.F&

,QQ& = 0. �c 3 = �� = FQ&.^ & = ��. 0

=&Y== =10 ½

Año medio

32

La línea de tendencia apropiada se describe utilizando la ecuación de la línea recta con x en lugar de X:

�� = � + �� = 18.0 + 0.16� Ahora ya tenemos identificadas las componentes temporal y de tendencia de la serie de tiempo. A continuación, en el paso 3, encontraremos la variación cíclica alrededor de la línea de tendencia. En este ejemplo calcularemos la variación cíclica en la tabla 5, usando el método de residuos. TABLA 5 Identificación de la variable cíclica.

Año (1)

Trimestre (2)


(columna 5 de la tabla 3)

(3)

�� = � + �� (4)

�� .100/


(5)=.F/.;/ .100/

1988 I 16.8 18.0 + 0.16.−19/ = 14.96 112.3 II 16.2 18.0 + 0.16.−17/ = 15.28 106.0 III 14.7 18.0 + 0.16.−15/ = 15.60 94.2 IV 15.8 18.0 + 0.16.−13/ = 15.92 99.2

1989 I 15.8 18.0 + 0.16.−11/ = 16.24 97.3 II 15.4 18.0 + 0.16.−9/ = 16.56 93.0 III 16.3 18.0 + 0.16.−7/ = 16.88 96.6 IV 15.8 18.0 + 0.16.−5/ = 17.20 91.9

1990 I 17.9 18.0 + 0.16.−3/ = 17.52 102.2 II 18.5 18.0 + 0.16.−1/ = 17.84 103.7 III 21.2 18.0 + 0.16.1/ = 18.16 116.7 IV 19.3 18.0 + 0.16.3/ = 18.48 104.4

1991 I 17.9 18.0 + 0.16.5/ = 18.80 95.2 II 19.2 18.0 + 0.16.7/ = 19.12 100.4 III 18.0 18.0 + 0.16.9/ = 19.44 92.6 IV 18.4 18.0 + 0.16.11/ = 19.76 93.1

1992 I 18.9 18.0 + 0.16.13/ = 20.08 94.1 II 20.0 18.0 + 0.16.15/ = 20.40 98.0 III 22.9 18.0 + 0.16.17/ = 20.72 110.5 IV 21.9

360.9 18.0 + 0.16.19/ = 21.04 104.1

Si suponemos que la variación irregular es, en general, de corto plazo y relativamente insignificante, hemos descrito por completo la serie temporal de este problema utilizando las componentes de tendencia, temporal y cíclica. En la siguiente figura ilustramos la serie temporal original, su porcentaje móvil (que contiene tanto la componente de tendencia como la cíclica), y la línea de tendencia.

33

Ahora bien, supongamos que la administración de la compañía de diversiones que hemos estado utilizando como ejemplo, desea estimar el volumen de ventas para el tercer trimestre de 1993. ¿Qué debe hacer la administración? PASO 1: tiene que determinar del valor desestacionalizado de las ventas del tercer trimestre de 1993, mediante el uso de la ecuación de tendencia �� = 18.0 �

0.16�. Esto requiere la codificación del tiempo, 1993-III. Ese trimestre (1993-III) es tres trimestres posterior a 1992-IV que como vemos en la tabla 4, tiene el valor codificado de tiempo de 19. Sumando dos por cada trimestre, la administración encuentra x = 19 + 2(3) = 25. Sustituyendo este valor (x = 25) en la ecuación de tendencia se produce el siguiente resultado: �� 18.0 � 0.16.25/ � 18 � 4 � ��. Así pues, la estimación de ventas desestacionalizada para 1993-III es de $220,000. Este punto se muestra sobre la línea de tendencia en la figura anterior.

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

1988 1989 1990 1991 1992 1993

Serie temporal de la tabla 1 (las cuatro componentes)

Estimación de ventas desestacionalizadas para 1993-III ($220,000)

�� 18.0 � 0.16� (Solamente la tendencia)

Promedio móvil centrado de cuatro trimestres (componentes de tendencia y cíclica)

34

PASO 2: ahora la administración debe estacionalizar esta estimación multiplicándola por el índice temporal correspondiente al tercer trimestre, expresado como una fracción de 100:

Sobre la base de este análisis, la compañía estima que las ventas para el trimestre 1993-III serán de $135,000. Debemos aclarar, que este valor es solamente una estimación y no toma en cuenta las componentes cíclica e irregular. Como hicimos notar anteriormente, la variación irregular no se puede predecir matemáticamente. Recordemos también que el tratamiento que hicimos de la variación cíclica fue meramente descriptivo del comportamiento pasado y no predictivo de un comportamiento futuro. Como cierre de este tema; recordemos que el análisis completo de una serie de tiempo intenta explicar tres factores:

1) Variación estacional 2) Tendencia secular 3) Variación cíclica.

Lo que queda en un conjunto de datos es el cuarto factor: la variación irregular (o aleatoria); incluso el análisis más exhaustivo de una serie de tiempo es descriptivo de un comportamiento pasado, y no predictivo de un comportamiento futuro.

Estimación de tendencia obtenida con la ecuación ��

.22/ 61.2100 = �+. -

Índice temporal para el tercer trimestre tomado de la tabla del paso 6

Estimación estacionalizada

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BIBLIOGRAFÍA:

Levin, Richard I. y Rubin S. David. Estadística para administradores.

Prentice-Hall Hispanoamérica, 1996.

u5 series de tiempo actual

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