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Econometra de Series de TiempoEconometra II

Prof. Arlette Beltran B.

2. Anlisis Multivariado

2.1. La metodologa de vectores autorregresivos (VAR)

La metodologa VAR es, en cierta forma, una respuesta a la imposicin de restricciones a priori que caracteriza a los modelos economtricos keynesianos: en un sistema de ecuaciones simultneas se requiere imponer restricciones sobre los parmetros de las mismas para garantizar la identificacin, y posible estimacin, de las ecuaciones que lo conforman. Para ello, adems, es indispensable diferenciar entre las variables endgenas y las predeterminadas, es decir, aqullas cuyos valores no son determinados por el modelo en el perodo actual. Estas ltimas pueden ser exgenas o endgenas rezagadas.

El VAR presenta alternativamente, un sistema de ecuaciones simultneas en el que cada una de las variables son explicadas por sus propios rezagos y los del resto de variables del sistema. Es decir, no se admiten restricciones a priori y todas las variables son consideradas endgenas. La nica informacin a priori que se incluye est referida al nmero de rezagos de las variables explicativas, que se incorporan en cada ecuacin a partir del anlisis de la data. No obstante, en trminos operativos, una correcta especificacin del sistema requiere que la determinacin de las variables a ser incluidas en l se base en el conocimiento de un modelo terico relevante.Un VAR tiene, en general, la siguiente especificacin:

AUTONUM donde yt yt-i son vectores de orden m (m es el nmero de variables del sistema) y (i es la matriz (cuadrada de orden m) de coeficientes del rezago i de las variables explicativas de las m ecuaciones. De esta forma, se puede observar que debern estimarse tantas matrices (i como rezagos se incluyan en el sistema. Matricialmente, y utilizando una especificacin de operadores de rezago:

AUTONUM En este sistema :

AUTONUM

AUTONUM es decir, no se tiene autocorrelacin entre los errores de una misma ecuacin pero se observa correlacin contempornea entre los errores de las diferentes ecuaciones.Veamos, por ejemplo, el caso de un VAR(1) con dos variables, de la forma:

AUTONUM donde yt y zt son variables endgenas estacionarias, (yt y (zt son ruidos blancos y no estn correlacionados entre s. La ecuacin 5 sera entonces la forma estructural del sistema ya que se tienen endgenas como explicativas. Si se quiere obtener la forma reducida, es decir, expresar la endgenas en funcin slo de predeterminadas (rezagos de las endgenas), se debe resolver:

AUTONUM lo que se puede rescribir en trminos vectoriales como:

siendo Xt un vector que contiene a yt y zt

AUTONUM es decir:

AUTONUM La ecuacin 8 es la forma reducida del VAR(1) de la ecuacin 5. En ella los errores s estn correlacionados debido a que recogen la presencia de yt y zt como explicativas del VAR original. As:

AUTONUM donde

y,

AUTONUM ya que

EMBED Equation.3

AUTONUM

AUTONUM La ecuacin anterior no va a ser cero siempre que , es decir, mientras que yt y zt estn presentes en la forma estructural del VAR.

2.1.1. Estimacin del VAR

Trabajando en general con un VAR(p) de la forma:

AUTONUM se puede observar que:

1. Se tiene un problema de sobreparametrizacin: hay que estimar parmetros, lo que produce un grave problema de prdida de grados de libertad. No obstante, el objetivo de un VAR es encontrar la interrelacin entre las variables y no realizar predicciones de corto plazo, lo que reduce la importancia del problema.

2. Dado que se trabaja con la forma reducida, los errores de cada ecuacin no estn autocorrelacionados y tienen varianza constante, el mejor mtodo de estimacin es aplicar MCO ecuacin por ecuacin. No obstante, para que sea un estimador eficiente todas las ecuaciones deben tener igual nmero de rezagos de cada explicativa.

En trminos prcticos se recomienda utilizar la siguiente receta:1. Limpiar cada una de las series de cualquier tipo de no estacionariedad .2. Estimar por MCO cada ecuacin, individualmente. Ntese que debido a que en un VAR cada ecuacin tiene exactamente las mismas variables explicativas no se gana eficiencia al estimar con SUR.

3. Determinar el nmero de rezagos de las variables explicativas que deben permanecer en cada ecuacin. Para ello se sugieren tres tipos de test:

El test F por bloques, para probar la hiptesis nula de que un nmero i de rezagos deben incluirse como explicativas en cada ecuacin, versus la alternativa de que dicho nmero es i+r>i. Este test tiene el problema de que debe ser aplicado individualmente a cada ecuacin, pudiendo llegarse a la conclusin de que el nmero de rezagos a incluirse en ellas es diferente en cada caso. Esto le restara eficiencia al estimador de MCO.

El Test de Mxima Verosimilitud para el conjunto de ecuaciones. La hiptesis nula de este test es que el sistema tiene un nmero i de rezagos versus la alternativa de que este nmero es i+r. El estadstico sera:

AUTONUM donde:

log (( a ( = logaritmo del determinante de la matriz de varianzas y covarianzas para el modelo con a rezagos.

T = nmero de observaciones

c = parmetros del modelo no restringido en cada ecuacin = m(r+i)

Este test se distribuye (2 con grados de libertad igual al nmero de restricciones en el sistema (q=m2r). Este test tiene poco poder para rechazar test sucesivos de restriccin de rezagos; por ello el rezago referencial debe ser el de mayor valor en el sistema, es decir, cualquier hiptesis nula debe ser contrastada contra el rezago (i+r). Los criterios de informacin aplicados al sistema de ecuaciones completo. Los siguientes son utilizados para ser aplicados en un VAR no restringido de p rezagos:

Se elegir aquel VAR con menor criterio de informacin en valor total.4. No se debe utilizar el test t ni dar importancia a los signos de los coeficientes, ya que existe una gran multicolinealidad entre las variables de cada ecuacin. La magnitud de los coeficientes es un indicador relativo de la significancia de la variable (un coeficiente pequeo generalmente acompaa a una variable poco significativa).

2.1.2. La funcin impulso-respuesta y la descomposicin de la varianza

Una forma alternativa de representacin del VAR consiste en hacer depender el vector de valores actuales de las variables, del valor actual y los infinitos rezagos del vector de errores:

AUTONUM

AUTONUM

AUTONUM

AUTONUM

AUTONUM donde (19) es una representacin MA((). Esta representacin puede ser transformada de tal forma que los valores actuales de las variables sean una funcin de los valores presentes y pasados de un vector de innovaciones ortogonales: como los errores en (15) no tienen por qu estar no correlacionados, se acostumbra premultiplicar dicha ecuacin por la nica matriz triangular (T), con unos en la diagonal principal, que diagonaliza la matriz de covarianzas del error. As, se obtiene un nuevo modelo con errores ortogonales:

AUTONUM donde:

, es el vector de las innovaciones ortogonalizadas, y

.

Es decir, para cada matriz ( real, simtrica y definida positiva existe una nica matriz triangular baja P con unos en la diagonal y una nica matriz diagonal D con entradas positivas en la diagonal, tal que:

AUTONUM Si se quiere obtener un nuevo modelo con errores ortogonales, bastar con hacer T=P-1, de forma tal que:

AUTONUM

AUTONUM

AUTONUM

AUTONUM donde D, la matriz de varianzas y covarianzas de los errores transformados, es una matriz diagonal que garantiza su ortogonalidad.

a) La Descomposicin de Choleski

La estimacin de la forma reducida del VAR planteado en la ecuacin (8):

AUTONUM no permite recuperar la forma estructural:

AUTONUM ya que mientras que la ecuacin (26) arroja 6 parmetros estimados, adems de las dos varianzas de los errores y la covarianza entre ellos (9 en total), la (27) tiene 10 parmetros a estimar: los 8 coeficientes y las desviaciones de los errores estructurales. Es decir, a menos que se imponga una restriccin sobre el modelo estructural, ste no podr recuperarse.

Una forma de identificar el modelo es usar el sistema recursivo propuesto por Sims (1980). As, se supone que (21 es igual a 0, de tal forma que:

AUTONUM Premultiplicando el sistema de ecuaciones (27) por la matriz de (28), se tiene:

AUTONUM o,

AUTONUM por tanto, a partir de la estimacin de la forma reducida (26), se pueden establecer las siguiente relaciones entre coeficientes:

AUTONUM adems, como e1t= y e2t=(zt, entonces:

AUTONUM

AUTONUM

AUTONUM con el resultado de (33) en (34), podemos hallar (12, a partir de lo cual, y junto con 31, es posible obtener todos los coeficientes de la forma estructural de (27).

Tngase en cuenta que este resultado fue obtenido gracias a la restriccin impuesta, (21=0, la que implica que yt no tiene un efecto contemporneo sobre zt. Adems, viendo (30) se puede observar que la restriccin implica tambin que (yt y (zt afectan ambos el valor contemporneo de yt, pero que slo (zt afecta el valor contemporneo de zt. Esta descomposicin triangular de los residuos se conoce como la Descomposicin de Choleski.

A partir de este modelo transformado se puede obtener la funcin impulso-respuesta ortogonalizada, calculando el efecto sobre yt+s de un impulso unitario en (jt. Estos multiplicadores, describen cmo nueva informacin sobre yjt nos lleva a revisar nuestra prediccin de yt+s, an cuando la definicin implcita de nueva informacin es diferente para cada variable j.

El orden en que se coloquen las variables en el sistema tendr un impacto importante sobre los multiplicadores calculados: al elegir un orden recursivo particular de las variables, implcitamente, se responde a un conjunto de preguntas especficas respecto a la prediccin; el ordenamiento depender de la razn por la cual queremos responder esas preguntas en primer lugar. Asimismo, pueden existir razones tericas para suponer que una de las variables no se ve afectada por los shocks contemporneos de las otras.

La importancia del ordenamiento depende de la magnitud de la correlacin de los errores no ortogonalizados del sistema. En la prctica, una correlacin baja (menor a 0.2) disminuye la relevancia de un ordenamiento adecuado. Si la correlacin es elevada, en cambio, ser indispensable probar diferentes ordenamientos y analizar cunto cambian los resultados. En principio, una buena especificacin del sistema debera arrojar resultados muy similares con cualquier ordenamiento utilizado.

Asimismo, es posible realizar un anlisis de descomposicin de la varianza a partir del modelo ortogonalizado. Este consistir en calcular la contribucin de la innovacin j sobre el error de prediccin del perodo t+s. Es de esperar que en el corto plazo la propia innovacin explique la mayor proporcin de este error. Cabe resaltar que este anlisis tambin se ve afectado por el ordenamiento de las variables del sistema, por lo que se sugiere probar diferentes ordenamientos, al igual que en el caso de la funcin impulso- respuesta.

En conclusin, son tres los principales objetivos de un VAR (Brandt y Williams, 2007):

Determinar los efectos causales de cada variable endgena sobre las dems.

Establecer el impacto dinmico de shocks en una variable sobre ella misma y el resto de las del sistema.

Identificar la proporcin de la varianza de cada variable que puede ser atribuida a cambios en ella y/o a los del resto de variables.2.2. El VAR estructural

Una de las principales limitaciones de la descomposicin de Choleski es que nada garantiza que los errores ortogonalizados a partir de la estimacin de la FR puedan ser vinculados con los verdaderos errores estructurales. De ser as, los shocks ortogonalizados artificialmente no tendran interpretacin econmica.

Bajo qu circunstancias los dos tipos de errores ortogonales (los artificiales y los estructurales) coincidiran?. Slo si ( = P-1. Dado que P es una matriz triangular, ( tambin tendra que serlo, es decir, el sistema de ecuaciones estructurales tendra que ser recursivo, lo que garantizara un sistema identificado. Esto ha llevado a concluir a quienes cuestionan la validez del VAR que la ortogonalizacin ficticia slo tendra sentido en el caso de un sistema recursivo identificado lo que va en contra de lo que postulan los defensores del VAR.

Es as que el objetivo de un VAR estructural es utilizar la teora econmica para recuperar los errores estructurales a partir de las estimaciones de la forma reducida. De esta manera, se evita utilizar criterios arbitrarios de ordenamiento de variables como el que requiere la descomposicin de Choleski, ms an si se sabe, que la utilizacin de diversos ordenamientos puede arrojar resultados muy diferentes para un mismo grupo de variables.

As, se buscar imponer restricciones que permitan recuperar los errores estructurales, preservando su estructura. Para identificar los parmetros estructurales debern contarse entonces ecuaciones e incgnitas.

A partir de la FR, se estima por MCO la matriz de varianzas y covarianzas ((e). Asumiendo un sistema de ecuaciones de m variables se tienen (m2+m)/2 valores diferentes conocidos (dado que (e es simtrica).

En la FE, la matriz ( contiene m2-m valores desconocidos, ya que tiene unos en la diagonal; a stos hay que adicionar m valores ms que corresponden a las varianzas de los errores estructurales. Es decir:

Valores conocidos (estimados a partir del modelo reducido)= (m2+m)/2

Incgnitas (en el modelo estructural) = m2Total de restricciones a imponer en el modelo estructural = m2-(m2+m)/2= (m2-m)/2

Ntese que la descomposicin de Choleski satisface esta condicin. En el ejemplo visto antes, donde m=2, se requera una sola restriccin para identificar el modelo, por lo que se supuso que (21=0. Sin embargo, lo que propone el VAR estructural es trabajar con un conjunto de restricciones menos limitantes (que vayan ms all de la triangulacin de la matriz de varianzas y covarianzas). Estas descomposiciones alternativas estructurales pueden ser hasta de tres tipos:

Las restricciones sobre los coeficientes de la matriz ( .- que supone establecer valores especficos para los (s, sean o no ceros.

Las restricciones sobre los valores de las varianzas.- Si recordamos que , por lo que , entonces una restriccin en (( implicar mltiples soluciones para los coeficientes en (. Estas pueden ser usadas para identificar diferentes secuencias de innovaciones estructurales, todas las cuales satisfacen la restriccin impuesta sobre (( Las restricciones simtricas.- que consisten en combinaciones lineales de los coeficientes (s y las varianzas, como sera el caso de suponer que (12=(212.3. Causalidad

Generalmente no resulta fcil determinar la existencia de una relacin de causalidad entre dos varibles y menos an su direccin. Para ello se recurre, en la prctica, a la teora econmica an cuando la verificacin de la validez de dicha relacin resulta ser poco rigurosa si se precondiciona la misma a la existencia de una teora que la apoya. La alternativa economtrica de verificacin consiste en general en estimar una regresin entre las variables que se analizan y observar la significancia de los coeficientes obtenidos. Sin embargo, una alta correlacin entre dos variables no asegura una relacin causa-efecto entre ellas, ya que la posibilidad de que se haya obtenido una correlacin esprea no debe ser descartada.

Es por estas razones que se ha desarrollado el concepto de causalidad en econometra, el mismo que se basa en el desarrollo terico llevado a cabo por Granger . Formalmente podemos definir la llamada causalidad a lo Granger diciendo que: la variable x causa a la variable y si al tomar en cuenta los valores pasados de x se mejoran las predicciones de y. Granger se refiere a las predicciones insesgadas de y que se obtienen a travs de la estimacin por MCO, midiendo la precisin de las mismas a travs de la varianza del error de prediccin o error cuadrtico medio:

AUTONUM As, x causa a y si:

AUTONUM mientras que X causa instantneamente a Y si:

AUTONUM donde U es un set de toda la informacin disponible pasada y presente, es el mismo set pero que contiene slo la informacin pasada, X contiene toda la informacin pasada y presente de dicha variable y slo la informacin pasada. Asimismo, es el predictor MCO de y.

La posibilidad de hacer operativa esta definicin pasa por la necesidad de acotar el set U de toda la informacin disponible, an cuando ello implique recurrir a la teora econmica y, de algn modo, perder parte de la objetividad ganada aplicando el concepto mismo de causalidad.

Son principalmente tres los test que se utilizan para verificar las existencia de una relacin de causalidad entre dos series de tiempo estacionarias.

a) El test directo

La hiptesis a testear ser:

AUTONUM es decir, se requiere examinar si y no causa a x. Para ello se estima la relacin entre xt, los m primeros rezagos de yt y los n primeros rezagos de xt:

AUTONUM y luego se verifica la significancia conjunta de los rezagos de yt; si ellos no fueran significativos entonces xt estara explicado solamente por su propio pasado y por el elemento aleatorio respectivo.

Para que el test arroje un resultado correcto es necesario asegurarse que la especificacin del modelo sea la adecuada, de tal forma que el error asociado sea ruido blanco. Por lo mismo se requiere escoger cuidadosamente los valores de m y n, especialmente en el caso de los rezagos de x, ya que la eliminacin de estos ltimos, si es que son importantes para explicar el comportamiento de x, inflaran artificialmente la significancia de los rezagos de y llevndonos a obtener una conclusin falsa respecto de la relacin de causalidad entre x y.

b) El test de Sims

Consiste en regresionar yt en funcin de los valores pasados y futuros de xt, de forma tal de testear que yt no causa xt sobre la base de la significancia de los coeficientes asociados con los valores futuros de xt. Dicho de otro modo, si existe una relacin entre el valor presente de yt y los valores futuros de xt sta debe expresar una causalidad de y x y no de x y, ya que el futuro no puede causar al presente (ver nota 1). As, se plantea correr la regresin:

AUTONUM donde se testea la Ho: (-1 = (-2 = ... = (-m = 0

Lo ms importante de la aplicacin de este test es que para que arroje un resultado correcto el error de la ecuacin debe ser ruido blanco. De no ser as, deber ser estimada por mnimos cuadrados generalizados, luego de identificar la estructura autorregresiva del error. Sims simplific este proceso asumiendo a priori dicha estructura:

AUTONUM y multiplicando cada variable de la ecuacin por (1-1.5L+ 0.5625L2) antes de estimarla. Este se convirti entonces en el filtro ad-hoc de Sims.

c) El test de Geweke

Geweke trat de resolver el problema del test de Sims, que implicaba tener que determinar una estructura autorregresiva para el error o utilizar el filtro ad-hoc. Para ello, se plantea una correccin de la ecuacin original:

AUTONUM que implica multiplicar cada uno de sus elementos por el polinomio AR(p), ((L), de forma que:

AUTONUM donde, por definicin, existe la garanta de que el error es ruido blanco. Esta transformacin implica agregar a la ecuacin, como explicativas, p rezagos de x y, de forma tal de limpiar el error; luego se testea la hiptesis de Sims de que los coeficientes asociados con los valores futuros de las x son no significativos.

2.4. Exogeneidad (Engle, Hendry y Richard, HER, 1983)

Un PED bivariado puede aproximarse por alguna funcin de distribucin conjunta, la cual puede ser factorizada en dos componentes: la funcin marginal y la funcin condicional; es decir:

AUTONUM donde:

AUTONUM Por ejemplo:

Ecuacin condicional

AUTONUM

Ecuacin marginal

AUTONUM donde:

AUTONUM Suponga que la ecuacin de inters es la (46). El asunto clave parece ser la exogeneidad de xt. No obstante, EHR afirman que lo importante es ms bien tener claro para qu servir la mencionada ecuacin. Tres son los posibles propsitos:

a) Hacer inferencia sobre un parmetro de inters, por ejemplo . En este caso se requiere exogeneidad dbil.

b) Predecir yt en funcin de xt. De ser este el caso se requiere exogeneidad fuerte.

c) Testear si (46) es estructuralmente invariante a cambios en la distribucin marginal de xt. En este caso se requiere super exogeneidad.

2.4.1. Exogeneidad dbil

1. Para verificar este tipo de exogeneidad es necesario definir los siguientes grupos de parmetros:

, los parmetros de la condicional.

, los parmetros de la marginal

, los parmetros de la distribucin conjunta.

, los parmetros de inters.

La exogeneidad, entonces, est relacionada con (: una variable es exgena para unos determinados parmetros de inters.

2. Condiciones para que se d exogeneidad dbil.

exclusivamente

son de libre variacin, es decir, los valores que toma el primer conjunto de parmetros no afectan al otro.

Por ejemplo, suponga que multiplicamos la ecuacin (47) por , restando el resultado de la (46). A travs de esta operacin diagonalizamos la matriz de varianzas y covarianzas del error, obteniendo:

AUTONUM siendo (49) la nueva ecuacin condicional, donde:

AUTONUM por lo que:

AUTONUM De esta forma:

AUTONUM

Supongamos ahora que se define como parmetro de inters (, es decir:

Verifiquemos entonces las dos condiciones de exogeneidad dbil:

a)

por lo quedepende de , pero tambin depende de . Es decir, la primera condicin no se cumple.

b)

por lo que s tienen relacin, incumplindose tambin la segunda condicin.

En conclusin, definido el parmetro de inters como , xt no es exgenamente dbil. Veamos, sin embargo, algunas variantes. Si , es decir los errores de las ecuaciones 46 y 47 no estn correlacionados, entonces es igual a , siendo este ltimo un parmetro que pertenece exclusivamente a ; de aqu que la primera condicin s se cumple.

De otro lado, la relacin anterior b) desaparece (dado que (1 = (2 = 0) por lo que la segunda condicin tambin se cumple.

Ntese que si (12 ( 0, pero el nuevo parmetro de inters fuese (0, se cumplira la primera condicin pero no la segunda. Para que esta ltima tambin se cumpliera se requerir, adems, que yt no cause a xt. Se deja al lector la demostracin detallada de este caso.

2.4.2. Exogeneidad Fuerte

Para que xt sea exgenamente fuerte respecto a (, se debe cumplir que:

a) Xt sea exgena dbilmente respecto a .

b) Yt no cause a Xt.

2.4.3. Super Exogeneidad

xt es super exgena si los parmetros de la distribucin condicional son invariantes a cambios en la distribucin marginal.

2.4.4. Test de exogeneidad

a) Exogeneidad dbil

1. Comprobar que yt no cause instantneamente a xt.

2. Probar que Ho: . Para ello:

a) Correr las ecuaciones condicional y marginal, y recoger los errores de ambas, ,respectivamente.

b) Correr la regresin

c) Se rechaza la nula si excede el valor crtico correspondiente.

b) Exogeneidad fuerte

1. Comprobar que xt es exgenamente dbil.

2. Demostrar que yt no causa a xt.

c) Superexogeneidad

1. Realizar un test de estabilidad de parmetros sobre la condicional.

2. Hallar un conjunto de dummies que expliquen la inestabilidad de parmetros de la marginal.

3. Correr la ecuacin condicional incluyendo las dummies anteriores como explicativas y testear Ho: los coeficientes de las dummies son cero.

Si se acepta sta, entonces la ecuacin condicional es invariante a cambios en la marginal.

2.5. Cointegracin y modelo de correccin de errores

2.5.1. Introduccin

Una regla general que se puede comprobar fcilmente est referida al orden de integracin de la combinacin lineal de dos series de tiempo: la serie resultante ser de un orden igual al mayor de las dos series que la conforman. Por ejemplo, si xt(I(d) yt(I(e) se combinan linealmente, de forma que:

AUTONUM donde el orden de integracin de yt es mayor que el de xt (e>d), y posteriormente se procede a diferenciar d veces zt:

AUTONUM se puede verificar que la serie resultante no es estacionaria ya que uno de sus componentes, (dyt, requiere ser diferenciada (e-d) veces ms antes de serlo. Si se contina diferenciando zt hasta que:

AUTONUM se habr obtenido una serie estacionaria luego de e diferenciaciones sucesivas, por lo que puede concluirse que zt es integrada de orden e, es decir, igual que la serie de mayor orden de integracin que la compone.

La excepcin a esta regla es la cointegracin, es decir, cuando dos o ms series de igual orden de integracin se combinan linealmente y dan como resultado una serie de menor orden de integracin.

a) Cointegracin en presencia de un solo vector de cointegracin

Definicin: El conjunto de variables que componen el vector xt se dice que son cointegradas de orden d, b, [xt ~ CI (d, b)], si:

Todos los componentes de xt son I(d).

Existe un vector (, diferente de 0, tal que zt = ( xt ~ I(d-b), b>0, siendo ( el vector de cointegracin.

Ntese que esta definicin implica que si se tienen series de diferente orden de integracin no ser posible que ellas cointegren. En todo caso, podran combinarse series en niveles con otras en diferencia, con el propsito de satisfacer dicha condicin. Por ejemplo, si se tienen xt(I(2) yt(I(1), sus niveles no podrn ser cointegrados; sin embargo, s ser posible cointegrar ( xt, que es I(1), con yt en niveles, ya que ambas tendrn el mismo orden de integracin.

Cabe mencionar que en economa es la CI(1,1) la que interesa, es decir, cuando el componente tendencial estocstico de dos o ms variables no estacionarias se compensan exactamente para dar una combinacin lineal estacionaria. De esta forma, la existencia de cointegracin entre series econmicas no hace sino evidenciar la presencia de una relacin de equilibrio de largo plazo: an cuando presenten un comportamiento no estacionario o tendencial, la relacin (o combinacin lineal) entre ellas es estable; por tanto, podemos hablar de una relacin observada que puede, en promedio, ser mantenida en un largo perodo de tiempo.a.i) Los tests para verificar la existencia de cointegracin

El Durbin Watson de la ecuacin de cointegracin [Sargan y Bhargava, 1983].

A partir de la ecuacin de cointegracin:

AUTONUM se prueba la Ho: DW = 0, lo que equivale a testear que (=1 en:

AUTONUM es decir, se estara verificando la presencia de una raz unitaria en la ecuacin autorregresiva de zt. De esta forma, si no se pudiera rechazar la hiptesis nula, se estara aceptando que el error es no estacionario y no se podra aceptar la presencia de cointegracin entre xt yt.

Una regla prctica vinculada con este test de cointegracin sugiere que un buen R2 y un DW por encima de 0.5 son un indicativo de la presencia de cointegracin.

El DFA del error de la ecuacin de cointegracin

Un test alternativo consiste en verificar la existencia de raz unitaria en la ecuacin:

AUTONUM a travs del test ADF. Es decir, verificar la Ho:(=0 (que equivale a testear que (=1) en:

AUTONUM donde p debe ser lo suficientemente grande para garantizar que vt sea ruido blanco. En este caso, el no rechazo de la hiptesis nula lleva a no aceptar la existencia de cointegracin entre xt yt.

a.ii) Estimacin del vector de cointegracin

Generalmente, se estima el vector de cointegracin utilizando el mtodo de mnimos cuadrados ordinarios. Esta prctica proviene de la constatacin de que si un conjunto de variables son CI (1, 1), con un vector de cointegracin (, el estimador MCO de ( ser ms consistente de lo que hubiera sido de no existir cointegracin; es decir ser superconsistente (Stock). Por ejemplo, si se tienen dos variables xt, yt ~ CI(1,1), y se estima la siguiente ecuacin:

AUTONUM entonces si ( estimado coincide con su verdadero valor, por definicin, zt (el error de la ecuacin) ser estacionario, ya que representa la combinacin lineal de dos series que cointegran:

AUTONUM es decir, la varianza de zt ser mucho menor que si el ( estimado fuera diferente de su valor verdadero. Dado que MCO elige el ( estimado que minimiza la varianza del error, garantiza que ste sea estacionario y, de esta forma, se convierte en un estimador superconsistente de (.

a.iii) El teorema de representacin de Granger

Si xt es un vector Nx1 tal que xt ~ CI (1, 1) y ( es el vector de cointegracin [('xt ~ I(0)], luego la siguiente representacin de correccin de errores puede ser derivada:

AUTONUM Esta ecuacin modela las relaciones de corto plazo de las variables as como el ajuste en cada perodo a su relacin de largo plazo. Este ltimo es recogido por el trmino -(xt-1, que no es otra cosa que la combinacin lineal de las variables incluidas en el modelo. El signo negativo que precede a este trmino indica que cualquier desajuste de la relacin de largo plazo que se verifique en el perodo t-1 debe ser corregido (en la direccin contraria al desajuste) en el perodo t, de tal forma de garantizar el equilibrio de largo plazo.

Ntense algunas implicancias importantes que se desprenden de este modelo:

La ecuacin anterior relaciona solamente variables estacionarias.

La relacin entre la cointegracin y el modelo de correccin de errores es biunvoca: si el proceso de generacin de la data de un conjunto de series de tiempo es una ecuacin como la anterior, entonces dichas series de tiempo deben estar cointegradas.

Si xt yt estn cointegradas y cada una de ellas es individualmente I(1) entonces xt debe causar a lo Granger a yt yt debe causar a lo Granger a xt. Esto se deriva del hecho de que la existencia del modelo de correccin de errores sugiere que por lo menos el valor rezagado de una de las variables est incluida en la ecuacin explicativa de la otra.

a.iv) Estimacin del modelo de correccin de errores

Supngase, por ejemplo, que se quiere estimar el siguiente modelo de correccin de errores:

AUTONUM donde:

AUTONUM es la combinacin lineal de xt yt, dos variables que se supone son CI(1,1). (1 indica el efecto impacto o la relacin de corto plazo entre ellas, mientras que (2 es el efecto feedback o de ajuste a la relacin de largo plazo, yt=(xt; note que (2 se encuentra precedido por un signo negativo, ya que si el desequilibrio de largo plazo es positivo habr que reducir yt, para mediatizarlo, y viceversa. Engle y Granger (1987) proponen el siguiente procedimiento para estimar este tipo de modelos.

1. Verificar que, efectivamente, xt e yt sean integradas de orden 1.

2. Estimar por MCO la ecuacin de cointegracin (o relacin de largo plazo):

3. Verificar que, efectivamente, zt sea integrada de orden 0, es decir que xt e yt cointegren.

4. Utilizar zt-1 (el error de la ecuacin de cointegracin rezagado un perodo), junto con rezagos de (yt, (xt, rezagos de (xt para estimar la ecuacin de correccin de errores (de (yt).

Pensemos tambin en la segunda ecuacin del modelo, la que corresponde a xt, es decir:

En ella el signo que acompaa a (4 es positivo, dada la especificacin de zt: si el desequilibrio es positivo, yt>(xt, hay que aumentar el valor de xt para reducirlo, y alcanzar el equilibrio de largo plazo. Note que de ser (3 significativamente igual a cero, la causalidad entre yt y xt sera de un solo lado (de xt hacia yt), mientras que si (4 fuera igual a cero, ello significara que el equilibrio de largo plazo solo se podra alcanzar moviendo yt.b) Cointegracin multivectorial: la tcnica de Johansen (1988)

Existen una serie de problemas vinculados con la metodologa propuesta por Engle y Granger. En primer lugar, la estimacin de la relacin de cointegracin, tal y como est planteada, requiere identificar previamente cul de las variables debe colocarse a la derecha de la ecuacin. El resultado del test debiera ser invariable a cualquier ordenamiento de las variables utilizadas. Sin embargo, esto no se observa en el caso de la metodologa propuesta. En segundo lugar, no da cabida a la posibilidad de que se presente ms de un vector de cointegracin. Finalmente, la existencia de dos etapas sucesivas de estimacin (la relacin de largo plazo, primero, y la de correccin de errores, despus) implica una acumulacin de errores a lo largo de las mismas que resta eficiencia a la estimacin de la relacin de largo plazo.

Es por ello que surge una especificacin alternativa del problema, en la que se incorpora la posibilidad de que exista ms de un vector de cointegracin entre un mismo conjunto de variables.

As, si el vector de variables xt tiene n componentes (n variables no estacionarias), existe la posibilidad de que hayan, por lo menos, n-1 vectores de cointegracin linealmente independientes. El nmero de vectores de cointegracin se conoce como el rango cointegrante de xt.

Por ejemplo, supongamos que tenemos el siguiente vector de variables conformado por el dinero (mt) el nivel de precios (pt), el ingreso real (yt) y la tasa de inters (rt):

AUTONUM ste puede tener dos vectores de cointegracin como:

AUTONUM en donde la primera lnea representa una ecuacin de demanda de dinero de largo plazo:

AUTONUM y la segunda, una regla monetaria de feedback entre el dinero y el PBI nominal:

AUTONUM Como las dos combinaciones lineales (67) y (68) son estacionarias podemos concluir que el rango cointegrante de xt es 2.

La especificacin de la metodologa de Johansen se basa en una generalizacin multivariada del DF. As, si Xt es un vector de n variables que siguen un proceso VAR(1):

AUTONUM entonces, restando Xt-1 en ambos lados de la ecuacin anterior se obtiene:

AUTONUM

AUTONUM

AUTONUM La atencin se centra en la matriz ( y particularmente en el anlisis de su rango. Dado que existen n variables que constituyen el vector Xt, la dimensin de ( es nxn y su rango no puede ser mayor que n. A partir del Teorema de Representacin de Granger (Engle y Granger, 1987; Johansen, 1989) podemos afirmar, bajo ciertas circunstancias, que:

1. Si el rango de la matriz ( es igual a n (el nmero total de variables explicadas en el modelo VAR), el proceso vectorial Xt es estacionario (es decir, todas las variables en Xt son integradas de orden cero).

2. Si el rango de la matriz ( es igual a r < n, existe una representacin tal que (=((, donde ( y ( son matrices nxr.

La matriz ( es denominada matriz de cointegracin y tiene la propiedad que (' Xt ~ I(0) cuando Xt ~ I(1); es decir, las variables en Xt estn cointegradas, con vectores de cointegracin (1, (2, ..., (r como columnas particulares de (. Mientras tanto los elementos de ( constituyen los factores de ajuste hacia la relacin de largo plazo. Por tanto, en un modelo VAR que explica n variables, podran existir no ms de r = n-1 vectores de cointegracin.

3. Si ( es una matriz de ceros de tal forma que su rango es igual a 0, entonces todas las variables son procesos con raz unitaria y no hay combinaciones lineales de Xt, es decir, las variables no cointegran.

Se puede generalizar el modelo para un proceso de mayor orden, reparametrizando un VAR(p) de la siguiente manera:

AUTONUM restando Xt-1 de ambos lados:

AUTONUM sumando y restando del lado derecho de la ecuacin anterior:

AUTONUM Sumando y restando del lado derecho de la ecuacin anterior:

y as sucesivamente hasta que se obtenga la siguiente especificacin:

AUTONUM donde (67) es el modelo de correccin de errores, cuyo ajuste al largo plazo se produce con p rezagos. As, note que el trmino de correccin hacia la relacin de largo plazo es (Xt-p, es decir, un desajuste de dicha relacin en el perodo t-p tiene efecto p perodos despus. Esto lleva a que, en general, la especificacin de este modelo tenga ms bien un p bajo, ya que de otra forma la correccin del error tendra poco significado econmico.

b.i) El test de cointegracin

Dado que la determinacin del nmero de vectores de cointegracin depende del rango de ( y, por ende, del nmero de races caractersticas distintas de cero de dicha matriz, se requiere utilizar un test para verificar dicho nmero. Si se tienen las n races de la matriz (, (i, donde (1>(2>>(n, se puede plantear el siguiente test con Ho: nmero de vectores de cointegracin r

(1990)

AUTONUM donde

es la raz caracterstica estimada. Note que cuanto mayor nmero de (s sean iguales a cero menor ser el ( (r).

El contraste y el anlisis de cointegracin en un modelo VAR es considerado a menudo superior al mtodo uniecuacional desarrollado por Engle y Granger. Las propiedades estadsticas del procedimiento de Johansen son generalmente mejores y el poder de la prueba de cointegracin es ms elevado. Sin embargo, se debe poner nfasis en que los procedimientos de Engle-Granger y Johansen se basan en diferentes metodologas economtricas y por tanto no pueden ser comparados directamente.

La razn por la cual se propone plantear la representacin MA del VAR, es que con ella se puede analizar el impacto de shocks exgenos a las ecuaciones del sistema y trazar la respuesta del sistema a los mismos (Brandt y Williams, 2007).

Seleccionar un orden determinado implica dar mayor importancia a la variable que se coloca como primera: sta ltima tendr un efecto contemporneo sobre ella misma y sobre las que vienen a continuacin, pero las innovaciones de las que la siguen tendrn efecto sobre la primera con un perodo de retraso. Adems, la amplitud del impulso respuesta que se atribuye al error de esta ltima ser incrementada por dicho ordenamiento, mientras que reducir las del resto de variables.

/ Dos aspectos fundamentales a tener en cuenta cuando se habla de causalidad es que:

El futuro no puede causar al pasado, por lo que la relacin de causalidad debe, necesariamente, provenir del pasado y dirigirse hacia el presente y/o el futuro.

La causalidad tiene sentido cuando analizamos variables aleatorias y estacionarias.

Granger, C. Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods. Economtrica, 37, 1969.

El teorema de Sims que sustenta esta metodologa de testeo de la causalidad sostiene que: cuando (y,x) tienen una representacin AR, y puede ser expresado como una funcin de rezagos y valores actuales de x, con un residuo no correlacionado con ningn valor de x, pasado o futuro, si y slo si y no causa a x en el sentido Granger.

Note que diferenciar una serie que ya es estacionaria, como (dxt, no afecta su condicin de estacionariedad.

4

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