saber matemÁticas es saber resolver problemas foro2... · saber matemÁticas es saber resolver...
TRANSCRIPT
SABER MATEMÁTICAS ES
SABER RESOLVER
PROBLEMAS
La enseñanza de la matemática a través de
la resolución de problemas
1
1
INTRODUCCION
La enseñanza de la matemática implica, además del conocimiento profundo del
tema, una búsqueda sistemática y constante de estrategias tendientes a
satisfacer los propósitos educativos. El conocimiento o dominio, por parte del
maestro, de una disciplina, aunque fundamental, no es suficiente para
comunicar, convencer, motivar, encausar y propiciar actitudes positivas en los
estudiantes.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Entre las diversas posibilidades existentes para guiar el trabajo docente, se
encuentra el denominado enfoque de resolución de problemas, con lo cual se
alude a una variedad de formas de trabajo que abarcan desde la simple
incorporación de problemas en el desarrollo de una clase, hasta propuestas
sumanente elaboradas apoyadas en teorías sobre el desarrollo cognitivo o el
procesamiento de la información.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
La experiencia como docentes, en la investigación o como lectores compulsivos
de literatura especializada, permite ser testigos de diferentes esfuerzos para
aplicar la resolución de problemas en la enseñanza y del fracaso, limitaciones o
éxitos parciales de algunos de ellos. Pero sobre todo, posibilita constatar la
complejidad del asunto y la carencia de propuestas sistematizadas, cuya
factibilidad de aplicación en el aula es un tema de discusión.
2
2
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Ante el panorama percibido y con un interés creciente sobre el tema, quedaba
intentar algo para participar en los esfuerzos antes mencionados o permanecer
entre los espectadores críticos e inconformes.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Esto motivó elaborar un planteamiento y aplicarlo en la formación de maestros
y en cursos directos con alumnos de educación secundaria. No por un afán
protagónico insaciable, si no más bien por un interés propositivo, como un
intento de mostrar la factibilidad de integrar parte de la información que se
puede conseguir sobre el tema. Es en suma, participar de manera activa en este
facinante tema, lo cual autoriza a criticar sobre la base de que se es objeto de
crítica también.
No se intentó hacer alguna aportación a los desarrollos teóricos ni lograr una
presentación radical que mostrara la ineficiencia de los planteamientos
existentes. Conviene insistir, sólo es un intento de integración de elementos
dispersos, ubicados en planteamientos procedentes de diferentes posiciones
académicas.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
3
3
Se tomó un poco de aquí, otro poco de allá; se trató de proceder sin prejuicios y
rescatando lo más relevante de múltiples enfoques; se conjugaron algunas
ideas que estaban diseminadas e incluso representaban tratamientos
contrastantes. Pero, por otra parte, se procuró que esta actitud ecléctica no
implicara el abandono de una posición o la cerencia de una definición.
Posición sobre la enseñanza de la matemática.
Se considera que las matemáticas se aprenden y enseñan eficazmente si
el maestro propicia la actividad constructiva del conocimiento y el
alumno participa, con sus propias posibilidades, en la construcción de sus
propios conceptos y estrategias.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
La matemática no se aprende por repetición, si no por la realización de la
actividad matemática, la cual se caracteriza por una indagación constante, el
replanteamiento de lo elaborado, la búsqueda de una comprensión más
profunda de los contenidos y la realización de esfuerzos para interactuar
constantemente con los contenidos matemáticos.
Los contenidos escolares son susceptibles de ser redescubiertos y de
asociarlos con significaciones diferentes, novedosas. Para ello hay que
discutirlos, sospechar de ellos, analizarlos a profundidad, buscar efectos
cambiando condiciones, replantear lo que considera inmutable; esto es, los
contenidos escolares permiten gozar el placer de hacer matemáticas, de
participar en la creación del conocimiento matemático, en contraposición con el
papel tradicional de circular información completa, acabada y ser únicamente
un espectador que debe utilizar principalmente la memoria e inhibir sus
capacidades creativas e inquietudes de indagación.
4
4
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Se dice que "en las matemáticas que se enseñan no hay nada por descubrir,
todo está hecho". Por el contrario, en la experiencia escolar, con los contenidos
básicos, se tiene una fuente importante de descubrimientos que los individuos
deben tener la posibilidad de lograr, aquello en apariencia inmutable es digno
de ser replanteado.
Todos los individuos poseen curiosidad y ansia de saber que puede ser
aprovechada para aprender lo más importante de la matemática, pero todo
radica en la forma de acercarse al conocimiento, de explorar nuestro entorno,
para lograr desarrollar una manera matemática de ver el mundo.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Hacer matemáticas requiere el esfuerzo personal, de las capacidades
individuales; pero también de la confrontación de ideas, la evaluación
constante de otras perspectivas, el reconocer limitaciones y aprender a
considerar las relaciones matemáticas de varias formas.
¿Cómo se puede ayudar al estudiante para que sea critico, si no se le deja
criticar y analizar? ¿Cómo se puede formar a los estudiantes en la vida
democrática, si no se les deja participar, evaluar posiciones de otros y
comprometerse con una perspectiva? ¿Cómo se puede ayudar a los estudiantes
a ser creativos, si no se les deja crear? ¿Cómo se quiere que aprendan a gozar
las matemáticas, si esto se traduce en repeticiones aburridas y rutinarias?
¿Cómo se puede motivar al alumno en el estudio de la matemática diciéndole
que es útil, si no se muestra esto en clase? ¿Cómo se puede ayudar al
estudiante a desarrollar su razonamiento, si lo único que se le muestra en clase
es memorístico y rutinario?
5
5
En este marco conceptual, el maestro se convierte en alumno de sus
propios discípulos, se preocupa de comprender sus ideas para reorientarlas o
apoyarlas, lo cual a su vez enriquece su formación y le obliga a bandonar el
papel tradicional del maestro "sabelotodo", para convertirse en el maestro-
alumno, capaz de aprender de sus estudiantes.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
La fuente principal de enriquecimiento de la práctica docente en
matemáticas, es hacer matemáticas, no sólo mostrar malabarismos con los
símbolos y enseñar trucos de aparición o desaparición de éstos. La forma de
lograrlo no es única, se puede intentar con el apoyo de varios recursos y
empleando múltiples estrategias, en este trabajo mostraremos una de ellas.
Lo que el lector podrá obtener son ideas, sugerencias para organizar su labor
docente o reorientar su propia relación con las matemáticas, pero no será “la
forma” de hacer las cosas, es sólo una manera entre varias. Lo importante es
que el lector cree su propia forma de acercamiento al conocimiento matemático
lo cual no se logra imitación, aunque no está por demás adaptar las ideas de
otros a las condiciones personales. Esto es, lo importante es que cada quien
elabore opciones propias.
Matemáticas ¿para qué?
Puede parecer pretencioso centrar la atención en una sola asignatura del
currículo escolar. Sin embargo, la matemática es la única materia que, por
diferentes motivos, se incluye en todos los niveles educativos en todas partes
del mundo. Esto puede ser suficiente para prestarle especial atención.
Sin embargo, la mayoría de los individuos no gozan ni aprenden a disfrutar
esta insistente presencia de la matemática en la vida escolar, la sufren y hasta
llegan a odiarla y a culparla de sus fracasos o frustraciones.
6
6
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
La importancia atribuida a la matemática se debe a diversas creencias y
supuestos sobre los beneficios obtenidos por los individuos con su aprendizaje.
Se dice que estudiar matemáticas ayuda a desarrollar el razonamiento o que es
útil en la vida cotidiana. Esto es cierto, pero al parecer algo no concuerda con
esta versión, porque la opinión que se desarrolla en la escuela al parecer es
otra totalmente contraria.
Por otra parte, estas cualidades también están presentes en otros campos del
conocimiento. Se razona en historia o literatura también ¿o no? y la biología o
el estudio de la lengua materna es más importante para la vida cotidiana que
la matemática ¿quién a utilizado una ecuación de segundo grado o las
factorizaciones para ir la mercado o a comprar el pan? ¡Algo se ha exagerado
sobre las virtudes del aprendizaje de las matemáticas!
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Cuando no bastan los argumentos sobre la utilidad de la matemática o el
razonamiento, se alude a su belleza, precisión, exactitud, pureza y otras
cualidades difíciles de aceptar por las multitudes de matematefobos
organizados y detractores de nuestra querida ciencia.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
7
7
Si la matemática fuera tan importante para los individuos no sería necesario
mencionar sus virtudes, nadie las pondría en duda, se notarían, cualquier
individuo valoraría mucho este conocimiento.
Evidentemente, los matemáticos profesionales o los individuos con
inclinaciones a la matemática podrán referirse a ésta expresando solamente
satisfacciones y serán promotores naturales de los beneficios que han recibido
al iniciarse en este camino.
INDIVIDUOS
QUE
TIENEN
GUSTO
POR LAS
MATEMÁTICAS
Las matemáticas son:
- útiles
- bellas
- aguzan el pensamiento
- interesantes
- místicas
- representan un reto
- son un arte
Encauzarán sus actividades
para llegar a ser matemáticos
profesionales
No tienen interés por llegar
a ser matemáticos
profesionales, pero
conservan el gusto por
las matemáticas
Expresan ...
...
Sin embargo, esta no es la situación de la mayoría de las personas. Una gran
masa no acepta dedicar tiempo a una materia que no entiende ni desea
entender. Demandan que se les convenza para lograr la concentración
necesaria para estudiarla. Este es el principal problema educativo que se
enfrenta en la enseñanza de la matemática.
8
8
INDIVIDUOS
QUE
NO TIENEN
GUSTO
POR LAS
MATEMÁTICAS
Se les dice, las
matemáticas son:
- útiles
- importantes para
cursos posteriores
- lógicas
- desarrollan el
razonamiento
Encauzarán sus actividades
para evitar las matemáticas
en todas las oportunidades
No les gustan las
matemáticas pero la soportan
en dosis pequeñas
Demandan algo a cambio ...
. . .
Los estudiantes inquietos o por intención perversa nos inquieren: "¿eso para
qué me sirve?". Ante tal perfidia, debemos hacer un esfuerzo, casi sobre
humano, para no proferir insultos o lanzar imprecaciones o hacer evidente
nuestro malestar por tal muestra de falta de cultura y carencia de sensibilidad
científica.
Por ello, con calma, después de contar pausadamente en sistema binario del 1
al 110100, nos referimos a la utilidad de la matemática en la "vida cotidiana",
para "ciencia" y la "tecnología", para "aguzar el razonamiento", para desarrollar
"capacidades de análisis y sintésis" o elevar nuestro "coeficiente intelectual" y
sobre todo para nuestro buen desempeño en cursos posteriores (¡de
matemáticas, claro está!).
Sin embargo, los estudiantes observan la desvinculación de las matemáticas en
relación a otros cursos, incluso los de física o química, por ello alegan que si los
clases de matemáticas sólo sirven para las otras materias de matemáticas y a
nadie les gustan, entonces se podrían eliminar del currículo y todos serían
felices; pero se les olvida proponer alternativas laborales para sus "queridos"
maestros de la disciplina que pretenden expulsar de la escuela (la seriedad del
caso es que muchos profesionistas piensan lo mismo).
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
9
9
Resolución de problemas en la formación académica
¡Vale la pena iniciar la defensa! No podemos juzgar los logros que se pueden
alcanzar en la formación matemática de los individuos a partir de los
resultados obtenidos en la escuela.
Es necesario tener presente que la utilidad de la matemática en la vida
cotidiana, la ciencia, la tecnología tiene una relación directa y estrecha con los
problemas. También el desarrollo del razonamiento, de capacidades de análisis
y sintésis y de la inteligencia está vinculado indiscutiblemente a la resolución
de problemas.
¿Dónde si no es en los problemas se puede resaltar la utilidad de la matemática
en muchos ámbitos de la vida de los individuos? ¿cómo, si no es con los
problemas, se puede desarrollar la inteligencia o el razonamiento? Por ello, el
"enfoque de resolución de problemas" ha adquirido importancia en la
enseñanza de la matemática. Hay muchas expresiones al respecto que se
atribuyen a matemáticos o educadores de promera línea:
"aprender matemáticas es hacer matemáticas y hacer matemáticas es
aprender a resolver problemas"
"resolver problemas es el principal objetivo de las matemáticas"
"en el desarrollo de la matemática y de los matemáticos, los problemas y la
búsqueda de sus soluciones han sido el principal motor"
"los pueblos importantes en la antigüedad, como los mayas, egipcios o chinos,
desarrollaron muchos conocimientos matemáticos al abordar y resolver
problemas específicos del comercio, la agrimensura o la astronomía"
"identificar, plantear y resolver problemas, es una parte esencial de la
actividad científica e incluso en la humanidades"
"detrás de un desarrollo teórico importante hay un problema que inquietó a la
comunidad científica o despertó un interés profundo para resolverlo"
"Cada época tiene sus propios problemas, que la siguiente época resuelve o
hace a un lado como infructuosos, y los reemplaza por nuevos problemas”
“Mientras una ciencia tiene suficientes problemas, tiene vitalidad; falta de
problemas significa muerte o fin del desarrollo propio”
“A través de la resolución de problemas se templa la fuerza del investigador;
él encuentra nuevos métodos y perspectivas, gana un horizonte más amplio y
libre”
"El meollo de las matemáticas, la razón de ser del matemático es resolver
problemas"
10
10
"De lo que realmente consiste la matemática es de problemas y soluciones"
"Un alumno no hace matemáticas si no se plantea y resuelve problemas".
entre otras.
Los problemas siempre han estado ligados al desarrollo del conocimiento
matemático:
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
La necesidad de resolver problemas matemáticos no es privativo de los
matemáticos o los científicos. En la vida diaria tenemos la necesidad de
resolver cierto tipo de problemas.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
En todas las culturas se pueden identificar algunas actividades como: contar,
medir, localizar, diseñar y explicar, que están vinculadas con problemas
matemáticos importantes.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
En resumen, podemos decir que existe concenso y se ha convertido en "cliché"
el que: "aprender matemáticas es aprender a resolver problemas".
11
11
Problemas y enseñanza de la matemática
Existen varias posibilidades para utilizar problemas en la enseñanza:
complemento a la clase, espacio de entretenimiento, aplicaciones de los temas
trabajados, simulación de la actividad matemática o apoyo para la motivación
de algunos temas, entre otros.
PROBLEMAS
APLICACION DE FORMULAS O PROCEDIMIENTOS
JUEGOS, ACERTIJOS O ROMPECABEZAS PARA PENSAR
COMPLEMENTO DE LA CLASE
SIMULACION DE LA ACTIVIDAD MATEMATICA
MOTIVACION PARA EL ESTUDIO DE LA MATEMATICA
RELACION CON OTROS CAMPOS DE CONOCIMIENTO
MODELACION DE RELACIONES EN CIERTOS FENOMENOS
EJERCITACION DE PROCEDIMIENTOS
La manera en que se utilicen los problemas en la enseñanza implicará una
propuesta didáctica particular.
Se habla de problemas por aquí, por allá y por acullá; pero, a todo esto ¿qué es
un problema? Un problema es conceptualizado como una situación que nos
hace pensar, así de simple.
Sabemos que estamos frente a un problema si:
no sabemos de manera inmediata la forma en la que podemos resolverlo
Es decir, no podemos saber de manera inmediata como vamos a proceder, no
será posible aplicar de manera inmediata un procedimiento rutinario o una
fórmula.
encontrar la solución a un problema requerirá poner en juego todas nuestras
capacidades y conocimientos
Dispara varios dispositivos mentales, como la búsqueda de analogías,
simulaciones, transformación de parte del enunciado, traducirlo a situaciones
aritméticas, algebraicas o geométricas.
podemos hacer algo para reolverlo
12
12
Esto es, no inmoviliza, se piensa que se puede abordar y trabajar con las
posibilidades personales. Si se tiene la idea de que no se puede hacer nada,
entonces no representará un problema, simplemente es algo que se planteó
pero no se asume.
Si a los estudiantes se les presentan "problemas" o "situaciones problemáticas",
después de que se les ha informado sobre los procedimientos que se pueden
emplear para resolverlos, se convierten en ejercicios rutinarios, en problemas
"maquillados", son actividades donde se aplican procedimientos preestablecidos
de manera mecánica. Así una experiencia de aprendizaje importante, una
situación que podría ser un problema interesante se aniquila para
transmutarlo en cantilena.
En la enseñanza se han empleado diferentes tipos de situaciones como
problemas: juegos, acertijos y aplicaciones.
PROBLEMAS
JUEGOS
ACERTIJOS
APLICACIONES
DENTRO
FUERA
DE LA
MATEMATICA
DE LA
MATEMATICA
Los juegos
Los juegos se refieren a situaciones en las que se requiere obtener un resultado
siguiendo determinadas reglas, a participar en algunas actividades para lograr
un propósito definido de antemano, incluso puede suceder que el juego consista
en definir una serie de reglas para poder obtener un resultado.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Proveer de un elemento lúdico a la enseñanza es algo importante, la diversión
es un aspecto motivacional indiscutible. Sin embargo, en este sentido el juego
se utiliza como la actividad central y el contenido matemático puede resultar
ser secundario, algo accesorio, de esta forma poco se le puede relacionar con
13
13
temáticas específicas a menos que parte del juego sea resolver algunos
ejercicios para poder pasar a otras etapas, lo cual ha tenido su aplicación en el
desarrollo de software educativo en el cual el usuario tiene que encontrar el
valor numérico de algunas expresiones para poder navegar por niveles más
avanzados del juego.
Ejemplos de juegos son situaciones como "el gato", "cubo de Rubick",el
"dominó", entre otros.
Los acertijos
Los acertijos implican encontrar una solución dada de antemano o desconocida,
también pueden referirse a la aclaración de la forma de obtener resultados
contradictorios que en apariencia se obtienen de procedimientos correctos,
también puede darse el caso de encontrar la forma de obtener un resultado
dado, conociendo una manera de lograrlo, pero de tal forma que minimice el
tiempo o los recursos empleados.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
En la historia de la matemática se encuentra una fuente importante de
acertijos que pueden ser empleados en la enseñanza.
Los acertijos son espacios dedicados a "pensar", a la reflexión o la discusión de
situaciones interesantes; pero, por lo general, están desvinculados de las
secuencias temáticas, son una especie de paréntesis, de respiro en la clase, de
esparcimiento en la lucha por evitar el aburrimiento.
Lo interesante de los acertijos es lo absurdo, lo incoherente o las irreverencias
ante lo establecido por la teoría, considerada como la creación más perfecta,
libre de impurezas.
Ejemplos de acertijos son situaciones como la "del viejo, la gallina y el lobo" o
también algunas de las conocidas "demostraciones de que 0=1".
Las aplicaciones
Las aplicaciones se refieren al uso de los contenidos matemáticos para resolver
o comprender aspectos dentro o fuera de la matemática, esto es, se puede
utilizar la geometría para comprender o resolver problemas algebraicos, e
14
14
inversamente, se usa el álgebra para resolver problemas geométricos; también,
se pueden emplear los contenidos matemáticos para abordar situaciones fuera
de la matemática, como de la física, química, ecología, economía, finanzas,
entre otras.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
La historia es una fuente importante de aplicaciones que se pueden rescatar
para incluir en la clase e incluso como motivo para platicar anécdotas.
Juegos, acertijos y aplicaciones
Los juegos y acertijos, por lo general, interesan sólo a un número reducido de
estudiantes, los que aceptan este tipo de retos. En la enseñanza generalmente
se han utilizado para hacer un espacio para la reflexión en el desarrollo del
curso, como actividades complementarias o extraclase, rara vez tienen relación
directa con los contenidos escolares. Son espacios para hacer notar la
importancia del razonamiento o para promover la reflexión y la
sistematización.
Algunos juegos o acertijos han mostrado utilidad para despertar el interés de
los estudiantes, son excepciones de lo anterior. Esto a veces depende no del
juego o acertijo elegido si no de la manera de utilizarlo en clase, de la
enseñanza que se desarrolle, y de relacionarlo con los contenidos escolares.
Las aplicaciones de la matemática en la matemática suelen interesar a quienes
consideran importancia a la matemática por sí misma y son capaces de valorar
la utilidad de una rama de la matemática en el estudio de otra rama.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
15
15
Sin embargo, en ocasiones resulta interesante para gran parte de los
estudiantes observar o conocer como se pueden plantear tratamientos
diferentes a situaciones dentro de una rama de la matemática utilizando
contenidos que en apariencia no tienen influencia en la situación que se
analiza. Sobre todo por que un enfoque determinado a un problema, a partir,
por mencionar algo, del álgebra, puede ser significativo para algunos y para
otros puede ser útil mostrar lo mismo usando geometría. Sin duda esto puede
ayudar a incrementar el número de estudiantes que han logrado una buena
comprensión de los contenidos.
Por ejemplo, tenemos el caso de la solución de problemas de máximos y
mínimos a partir de relaciones geométricas sencillas o algunos problemas de
álgebra elemental que se resuelven con matemáticas elementales.
¿Cuál es la altura del triángulo
de mayor área posible, inscrito
en una semicircunferencia de
radio r? ¡¡¡Evidentemente el que tiene
altura en la mediatriz del diámetro!!!
Cuando las aplicaciones se refieren a situaciones fuera de las matemática
pueden llamar la atención de muchos estudiantes, por que les permite analizar
situaciones relativas a otros cursos o de su vida inmediata con elementos que la
facilitan o les permiten comprender las partes importantes; pero sobre todo les
permite apreciar la importancia de la matemática como una herramienta
poderosa para resolver problemáticas que se pueden presentar de manera
personal, en la comunidad o a la humanidad.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
No se quiere dar la impresión de que se deben rechazar los juegos, acertijos y
aplicaciones de la matemática en la matemática en la enseñanza, pero si
conviene considerar con precausiones su utilidad en el ejercicio de la docencia.
Mal empleados pueden desvíar la atención del logro de los propósitos
educativos.
16
16
PROBLEMAS
JUEGOS
ACERTIJOS
APLICACIONES
DENTRO DE LA MATEMATICA
FUERA DE LA MATEMATICA
SON DE INTERES PARA ALGUNOS
PUEDEN SER DE INTERES
PARA TODOS
Puede darse el caso de que un juego, un acertijo o una aplicación de la
matemática en la matemática sea un recurso indispensable dada la
imposibilidad de contar, en ciertos casos, con aplicaciones interesantes para los
estudiantes. Hay muchos contenidos en matemáticas que resulta muy difícil
vincular a problemas sencillos y útiles para fines de enseñanza.
La condición más importante para aprovechar juegos, acertijos o aplicaciones
en el desarrollo de las clases es vincular directamente estos recursos con los
contenidos escolares. Se puede conjuntar la recreación con la experiencia
educativa seguramente se conseguirán resultados buenos.
También conviene señalar que utilizar problemas de aplicación de la
matemática en otros campos del conocimiento no es algo sencillo; a veces en los
intentos se presentan situaciones demasiado ficticias, lo cual es natural porque
las aplicaciones de la matemática que son importantes en ramas de la ciencia y
la tecnología requieren generalmente de una preparación matemática alta, y,
frecuentemente, en otros campos del conocimiento.
Ha sido muy difundido un comentario de Einstein en el que expresaba: "en la
medida en que las leyes de la matemática se refieren a la realidad no son
ciertas, y en la medida en que son ciertas no se refieren a la realidad".
Problemas y planteamientos didácticos
El uso de los problemas dentro de la planeación de clases puede requerir
modificaciones substanciales en la prácticas docentes, pero los cambios pueden
ser acoplados a las prácticas tradicionales. Esto debe intentarse al inicio para
no violentar los procedimietos de uso comun y provocar dispersión o confusión.
La presentación tradicional consiste en abordar la teoría, después presentar
ejemplos de los conceptos o procedimientos requeridos para continuar con la
realización de ejercicios; algunos agregan problemas de aplicación, pero no es
una práctica muy generalizada y de alguna manera constituye un paradigma
de la clase ordenada.
17
17
TEORIA
EJEMPLOS
EJERCICIOS
¿PROBLEMAS?
El mínimo común múltiplo de dos números es ...
El mínimo comúm múltiplo se calcula de la siguiente manera ...
Encuentre el mínimo común múltiplo de ...
(por lo general no se incluyen)
Sobre este esquema tradicional podemos intentar ubicar los problemas en
distintos momentos, lo cual nos ayudará a identificar el papel que pueden
jugar.
Los problemas ubicados después de la teoría, ejemplos o ejercicios pierden un
elemento importante, el principal; en efecto, dejan de ser problemas dado que
ya se sabe como hay que intentar resolverlo, aunque puede darse el caso de que
aún así sea difícil encontrar la solución, lo cual se deberá con seguridad a la
carencia de un planteamiento adecuado o a la falta de manipulación operativa.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Por ello, el problema debe estar ubicado antes de abordar la teoría, lo cual sin
duda parece contradictorio ¿para quién? seguramente para aquellos
acostumbrados a saber que es lo que deben usar para resolver un problema,
pero esto es completamente antinatural ¿quién les dijo a los pobladores del
mundo en diferentes épocas la manera de enfrentar diferentes problemáticas y
con ello poner sus granitos de arena para construir el castillo que es la
matemática?
El considerar a los problemas al inicio de un tema puede estimular, según el
tipo de problema que se emplee, el pensamiento de los estudiantes, cumple, en
este sentido, una función de motivación. Pero sobre todo puede ayudar a
responder una pregunta actual, planteada insistentemente por nuestros
estudiantes, de todos los niveles educativos: ¿para qué me sirve la matemática?
18
18
Un problema planteado en la introducción de un tema asume una importancia
plena en el tratamiento didáctico.
TEORIA
EJEMPLOS
EJERCICIOS
PROBLEMA
PROBLEMA
PROBLEMA
PROBLEMA
El alumno ya sabe con que
con que contenido lo debe abordar
El alumno no sabe con que
contenido lo debe abordar
Como los estudiantes no saben el contenido que se tiene previsto para
resolverlo sólo cuentan con lo que ya saben y deben ponerlo a prueba
constantemente, esto hace necesaria la discusión y confrontación de puntos de
vista, además de que implica la evaluación de lo que hacen los compañeros y
provoca la autoevaluación de lo que se realiza.
Con seguridad los estudiantes podrán resolver el problema que se les plantea,
si nos aseguramos que se ha planteado con datos convenientes y es posible
resolverlo con contenidos básicos, aunque esto a veces no lo sabemos hasta que
un estudiante nos esneña que es posible encontrar la solución con
procedimientos muy sencillos ¡Hay que estar preparados para las sorpresas!
¡Imagínese el maestro aprendiendo de los alumnos!
Cuando un alumno intenta resolver un problema sin que se le diga el contenido
que puede emplear:
Requerirá poner en juego todas sus habilidades y conocimientos
Adquirirá confianza en sí mismo
Podrá conocer los alcances o limitaciones de sus estrategias
Apreciará la necesidad de trabajar otros contenidos nuevos
Conocerá de antemano la utilidad de los temas escolares
Contará con un espacio propicio para desarrollar sus habilidades
intelectuales.
19
19
Que más motivante que poder resolver un problema con los recursos que se
tienen hasta el momento, incluso en el caso de que no se tenga gusto por la
matemática.
Si se puede resolver un problema con ciertos elementos y se nos ofrece otra
solución más "elegante", "económica" o "entendible", nos permite valorar la
importancia de conocer otra simbología u otros contenidos y procedimientos
matemáticos. Pero sobre todo, si uno puede resolver un problema con lo que se
sabe, resulta altamente reconfortante e incrementa nuestra seguridad y
autoestima.
El punto inicial de nuestra propuesta es: comenzar las clases con
problemas; pero con problemas de aplicación de la matemática en otras ramas
del conocimiento, sin descartar la posibilidad de emplear acertijos o juegos e
incluso aplicaciones de la matemática en la matemática. La idea es enfatizar
las situaciones que pueden interesar a la mayoría.
Cabe mencionar que el elemento interés se puede asociar a la utilidad que
tenga resolver el problema. Esto es, si al estudiante se le presentan acertijos o
problemas propios de la matemática no es seguro que tendrá interés por
resolverlos, pero si el problema está ligado a situaciones que se enfrentan en la
familia, la comunidad o la escuela puede contarse con suficientes elementos
para despertar este interés. Sin embargo, a veces no se puede proceder de esta
forma, algunos contenidos matemáticos pueden requerir un tratamiento
diferenciado dado su nivel de abstracción o su relación con problemas de la
teoría más que con aplicaciones.
Un problema contextualizado en el entorno inmediato del estudiante (casa,
comunidad o escuela), permitirá dar sentido a conceptos y procedimientos.
Permite imaginarnos la situación o simularla.
Hay tener en cuenta que los estudiantes de los diferentes niveles educativos
enriquecen su experiencia cotidiana, la que comparten con su familia y parte de
su comunidad, con los temas abordados en la escuela. La experiencia escolar
amplía su conocimiento y los pone en contacto con situaciones a las cuales no
podían acceder de otra forma; además los acerca al estudio de diversos
fenómenos, que se requieren tomar en cuenta en la práctica de diversas
actividades de la humanidad.
20
20
ELEMENTOS PARA APLICAR LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS
Antecedentes
Se han realizado diversos intentos para desarrollar la enseñanza de las
matemáticas por medio de la resolución de problemas. Esto se puede constatar
en las memorias de congresos nacionales e internacionales y la amplia
literatura de investigación al respecto.
Incluso, se han creado diversas posibilidades para desarrollar la enseñanza a
partir de la resolución de problemas como el conocido enfoque de Polya o la
enseñanza problémica expuesta por Majmutov.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Sin embargo, las propuestas no han tenido el éxito esperado, tal vez la difusión
de los esfuerzos realizados no se suficiente o existe una resistencia en los
profesores a este tipo de propuestas que les exige modificar sus prácticas
normales.
Polya
El trabajo de Polya fue el más penetrante en los intentos de enseñar la
matemática a través de la resolución de problemas, aunque este no era su
propósito. En efecto, en realidad este trabajo intenta llamar la atención en la
manera en que los “expertos” resuelven problemas, no en la forma de enseñar a
plantearlos o resolverlos.
21
21
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Pareció muy sencillo transferir las ideas de Polya a la enseñanza de la
matemática, pero no fue así.
Muchas propuestas se derivaron de este trabajo y conservan la necesidad de
considerar las cuatro etapas identificadas por Polya en los procesos de
resolución de problemas:
Comprensión del problema
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Concepción de un plan
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Ejecusión de un plan
22
22
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Visión retrospectiva
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Incluso gran parte de la investigación conservó el mismo espíritu: identificar
etapas para lograr éxito en la resolución de problemas. Por ejemplo, algunos
investigadores insitieron en la necesidad de iniciar el proceso de resolución con
la creación de una representación del problema, lo cual se continuaba con
etapas similares a las planteadas por Polya.
La idea central era enseñar a los estudiantes lo que debían hacer para resolver
exitosamente problemas, se esperaba que esto provocara un cambio de actitud
en sus comportamientos que redundaría en un mejor desempeño en los cursos.
Sin embargo, esto por lo general era una isla dentro de los cursos, algo aislado,
como un tema especial. La polémica se ubicaba en la conveniencia de añadir un
tema en los cursos sobre resolución de problemas ...
TEMA A TEMA B TEMA C TEMA D TEMA E TEMA F ...
TEMA DEDICADO
A LA RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
o tener presente siempre, a lo largo de los cursos, los procesos de resolución de
problemas, lo cual se traducía en incluir en cada tema del currículo un anexo
sobre resolución de problemas relacionados con el contenido en cuestión.
23
23
TEMA A TEMA B TEMA C TEMA D TEMA E TEMA F ...
Anexo de
resolución
de probs.
Anexo de
resolución
de probs.
Anexo de
resolución
de probs.
Anexo de
resolución
de probs.
Anexo de
resolución
de probs.
Anexo de
resolución
de probs.
Anexo de
resolución
de probs.
Algunos intentaron ir aún más lejos y evitar que este aspecto tan importante
en la matemática se redujera a un contenido o un anexo, para ello consideraron
que el aprendizaje de la resolución de problemas debería estar presenta en
cada parte de los cursos, permear toda la enseñanza de la matemática, pero a
fin de cuentas se debería enseñar.
A pesar de los esfuerzos dedicados a los trabajos enmarcados en la ideas de
Polya, poco se logró. Esto era natural que sucediera porque Polya nunca
planteó dichas etapas para propósitos de enseñanza, sólo se referia a los
resultados de observar el trabajo de expertos al resolver problemas.
Schoenfeld
Posteriormente, después de no obtener los resultados esperados, aparecieron
los trabajos de Schoenfeld, quien reflexiona sobre los aspectos que intervienen
en la resolución de problemas. Se da un giro a los intereses de investigación, no
se pretende ahora transferir los comportamientos de expertos a los estudiantes,
sino entender a profundidad lo que está en juego cuando se resuelven
problemas, afin de establecer estrategias de enseñanza que promuevan la
adquisición de habilidades o formas de trabajo necesarias para el buen
desempeño en este tipo de actividades.
Schoenfeld identificó cuatro aspectos que influyen decisivamente en la
resolución de problemas:
Los recursos (que se refieren a los contenidos matemáticos).
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
24
24
La heurística ( es decir, las estrategias que se poseen).
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
El control (no basta poseer conocimientos y estrategias, es necesario
saber cuando y como utilizarlas).
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
El sistema de creencias (las concepciones que se poseen sobre las
matemáticas, sobre sí mismo, etc.).
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
El haber centrado el interés en los elementos que intervienen en la resolución
de problemas, permitió avanzar en la elaboración de planteamientos didácticos,
pero aún falta mucho por hacer.
Algunos intentaron formular propuestas que se fundamentaban en un
seguimiento cuidadoso de las etapas o en una enseñanza que hiciera énfasis en
parte o la totalidad de los aspectos identificados por Schoenfeld.
25
25
Gascón
La situación ha llegado al grado de requerir un análisis profundo de las
propuestas en torno a la resolución de problemas. Al respecto, Gascón
identifica lo que denomina siete "paradigmas" sobre los enfoques de resolución
de problemas:
TEORICISTA
TECNICISTA
MODERNISTA
CONSTRUCTIVISTA
PROCEDIMENTAL
DE LA MODELIZACIÓN
DELOS MOMENTOS DIDÁCTICOS
Se enfatiza la teoría o la técnica
Los problemas se tr ivializan
Se asocian con el conductismo
Se integran la teoría y la técnica
Los problemas se contextualizan
Se asocian con la sicología constructivista
Se relaciona la teoría con la técnica
Los problemas no se tr ivializan completamente
Se asocian con la sicología genética
Se enfatizan los procesos de descubrimiento
Los diversos enfoques reflejan diversas concepciones sobre la matemática, su
enseñanza y aprendizaje, lo que es un problema, el proceso de
resolución, el papel que juegan los problemas en la enseñanza y el
papel que juegan las técnicas y las teorías.
Consensos didácticos
A pesar de la diversidad de planteamientos en torno a la enseñanza por medio
de la resolución de problemas, se pueden identificar algunos elementos
comúnes y adquieren importancia cuando se considera el diseño y elaboración
de planes de clase.
Significados
Cuando se trabaja con problemas los conceptos y procedimientos están
vinculados al contexto que se maneja en el problema.
Un símbolo matemático deja de ser abstracto en un problema, adquiere un
significado particular y cuando esto sucede se está en condiciones de utilizar
estrategias como la dramatización, simulación, entre otras, para ayudar a los
estudiantes a encontrar una solución.
26
26
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Los significados permiten a los estudiantes anclar sus pensamientos en
situaciones con sentido para ellos; lo cual les favorece para encontrar
relaciones con mayor facilidad que si se restringe al uso exclusivo de la
simbolización matemática.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
La enseñanza tradicional parte del supuesto de que si se aprende a manejar el
concepto abstracto, de manera automática, se pueden manejar todos sus
significados. Esto es, si se aprende a sumar, restar, multiplicar o dividir, a
partir del manejo exclusivo de símbolos y con reglas claras del algoritmo
correspondiente, entonces se estará en condiciones de aplicar de manera
natural este conocimiento, lo cual ha sido rebatido por los resultados de
investigación.
Vale la pena explicar brevemente la forma en que influyen estos significados.
Atendiendo a algunas ideas expresadas por un sicólogo francés Verganaud,
sabemos que un niño puede encontrar el resultado de una suma como 5+7 sin
dificultad, desde los primeros años de la escuela, pero con seguridad,
dependiendo de su desarrollo, tendrá dificultades con algún tipo de éstos
problemas:
Pedro tiene 5 carros rojos y 7 azules ¿Cuántos tiene
en total?
Juan tenía cierto número de canicas al iniciar un
juego, primero perdió 5 y luego perdió 7 ¿Cuántas
perdió en total?
27
27
Alejandro tiene 5 años más que Paco. Paco tiene 7
años ?Cuántos años tiene Alejandro?
Aunque cada uno de estos sencillos problemas se resuelven con la suma 5+7,
los niños no pueden resolverlos con facilidad en cualquier edad ¿qué ocurre?
En el primer problema basta tener cinco objetos a la mano y juntarlos con
otros siete objetos y por medio del conteo determinar la cantidad de la colección
obtenida.
El segundo problema, por lo general es más difícil para los niños pequeños, es
frecuente que pregunten sobre la cantidad que tenía Juan y entonces proceden
a establecer relaciones. Mientras que los niños de mayor edad se dan cuenta
después de hacer algunos ensayos de que el dato solicitado no es necesario,
pueden pensar en la situación y lo que implica perder sin dificultad..
¿...?
¿Cuánto?¿Cuánto?¿Cuánto?
Al intentar resolver el tercer problema nuevamente se pueden encontrar
dificultades para determinar la solución en niños con diferente nivel de
desarrollo.
28
28
5 años más
7 años
Para los niños pequeños las relaciones que se establecen entre las cantidades
no son abstractas están ligadas a la situación que se plantea en el problema y
no pueden desligarse de ella, esto es, los números no están solos, poseen
significados que los niños pueden o no captar debido a su experiencia con el
mundo y la facilidad que tengan para representarse para sí las situaciones
planteadas en los problemas.
Otro ejemplo, si se nos plantea un problema como el siguiente:
Juan es beisbolista, ayer tuvo 5 oportunidades de
batear y bateó de hit 3 ocasiones; hoy tuvo 7
oportunidades de batear y bateó de hit 4 ocasiones.
En total, considerando los dos juegos ¿En cuántas
de las oportunidades bateó de hit?
Sin duda que viene a nuestra mente la relación:
3
5
4
7 ?
Pero, ... ¿cómo se haría la operación?:
3
5
4
7
28 20
35
48
35
ó
3
5
4
7
3 4
5 7
7
12
Si las cantidades involucradas son fracciones se tendría que operar como en la
primera forma, si son razones la operación corresponde a la segunda manera.
A continuación se presentan dos problemas en forma matemática, adjunto a
ellos se presentan dos interpretaciones de éstos en términos de movimiento
¿Cuál se entiende más?
29
29
PROBLEMA MATEMÁTICO PROBLEMA DE MOVIMIENTO
Encontrar una función f:RR, dos
veces diferenciable, tal que:
f´´(x)0 para toda x, f´(0)=1 y f´(1)=0
Si un automóvil está siempre
acelerado ¿Es posible que pase de
cierta velocidad al reposo?
Encontrar una función derivable
f:0,10,1, tal que:
f(0)=0, f(1)=1, f´(0)=0 y f x( ) 1
Un automóvil A está en reposo, en
cierto instante pasa a un lado de él
otro automóbil B a una velocidad
constante de 100 Km/h, en ese
momento arranca el automóvil A el
cual no puede alcanzar una velocidad
mayor de 100 Km/h ¿Podrá alcanzar el
automóvil A al B?
Habilidades intelectuales
Para los matemáticos resolver un problema puede ser una experiencia
sumamente satisfactoria, pero no se acaba en el momento de encontrar la
solución; en efecto, quedarán muchas preguntas por plantear y por responder
con el objeto de profundizar en lo que se hizo; la solución, desde esta
perspectiva, sólo es un asunto circunstancial de correspondencia entre los
datos. Lo más importante es evaluar lo que se hizo y plantearse
constantemente preguntas en relación a los porqués se procedió de
determinada forma ¿se podría haber procedido de otra manera?¿qué
situaciones similares se pueden considerar?¿hasta dónde son válidos los
procedimientos empleados?
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
De esta froma el binomio "problema-solución" sólo es el pretexto para una
reflexión profunda sobre un tema. La matemática no sólo es repetición de lo ya
establecido, por el contrario es la búsqueda de nuevos derroteros, la ansiedad
de descubrimiento de nuevas relaciones.
30
30
SOLUCIÓNPROBLEMA
PROBLEMA
SOLUCIÓN PROBLEMA
PROBLEMA
No basta obtener resultados hay que reflexionar sobre los elementos esenciales
para obtenerlos o modificarlos, sobre le papel que juega cada dato o condición,
sobre el alcance que tiene la estrategia de resolución, sobre las analogías entre
el problema resuelto y otros, en fin los resultados sólo son indicadores de que se
ha trabajado una etapa, son paliativos a nuestra curiosidad, no son el final del
camino.
Se está hablando entonces de una serie de “habilidades intelectuales” que si
bien se pueden desarrollar en la matemática pueden ser de utilidad en otros
actividades o campos del conocimiento. Pero conviene aclarar que no se hace
referencia a la transferencia completa de estas habilidades, sólo se considera la
posibilidad de contar con una serie de estrategias que el individuo valorará su
pertinencia en situaciones concretas y dependiendo de las situaciones que
enfrente podrá o no transferirlas..
Se considera que una habilidad es algo más que una acción mecánica que se
realiza de manera eficiente, sobre todo cuando se consideran “habilidades
intelectuales”, se asume que éstas son proceso mentales complejos en los que el
individuo pone en juego sus conocimientos y estrategias para explorar o
escudriñar diversas situaciones. No es fácil establecer una jerarquía entre ellas
ni se puede decir que todas ya están suficinetemente estudiadas, pero existen y
hay que aprender a utilizarlas y desarrollarlas.
Estas habilidades están presentes en muchas actividades pero se manifiestan
abiertamente en la resolución de problemas, sobre todo en problemas
matemáticos, ya sea para encontrar una solución o para profundizar en
aspectos relativos al problema resuelto.
Algunos consideran que las habilidades es algo que “se aprenden”. Otros más,
consideran que se “desarrollan” de manera progresiva. Las diferencias en
matices y conceptualización son complejas, para nosostros basta decir que hay
que considerarlas.
31
31
Si se procura el desarrollo de las habilidades relacionadas con los procesos de
resolución, se apoyará también el desarrollo de la inteligencia. No importará de
manera específica el contenido de los cursos que se imparten en la escuela, será
más relevante el desarrollo de estas habilidades para lo cual conviene resaltar
que el contenido, en esta perspectiva no es una meta, es el medio. Es
decir, en los cursos tradicionales el contenido es el fin y los estudiantes lo
deben “aprender”, en el enfoque para el desarrollo de habilidades, el contenido
es el recurso que se utiliza para desarrollar tal o cual habilidad.
Se han identificado algunas habilidades intelectuales relacionadas con los
procesos de resolución de problemas, como la flexibilidad del pensamiento, la
reversibilidad, la capacidad para generalizar, entre otras, que conviene tratar,
por separado.
Flexibilidad
Consideremos la flexibilidad de pensamiento, esta habilidad consiste, entre
otros aspectos, que los estudiantes reconozcan que un problema se puede
resolver de distintas formas, involucrando procesos y conceptos diversos que no
tienen que ver con la secuencia de contenidos planteada en los programas.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Por ejemplo, son conocidas diferentes “demostraciones” del teorema de
Pitágoras:
Consideremos las siguientes figuras:
32
32
a
a
a
a
a a
a
a
a
a
b
b
b
bb
bb
b
b
b
c
c
c
c
Los dos cuadrados grandes tienen área (a+b)2.
Por lo tanto las expresiones siguientes conducen al resultado esperado:
cab
a bab2 2 24
24
2 por lo tanto c a b2 2 2
De manera análoga se pueden utilizar otras figuras, existen muchas
posibilidades en las que se puede constatar que con dos cuadrados de áreas a2 y
b2 se puede recubrir un cuadrado de área c2, en donde a y b son los catetos de
un triángulo rectángulo y c es la hipotenusa de éste.
También se puede demostrar por semejanza de triángulos:
ab
c
m n
h
Por la semejanza de los tres triángulos de la figura tenemos:
a
c
m
aa cm 2 y
b
c
n
bb cn 2 así que: a b cm cn c m n c2 2 2 ( )
La flexibilidad de pensamiento se refiere a la posibilidad de abordar las
situaciones de varias maneras, empleando diferentes recursos y estrategias.
Considerar el desarrollo de la flexibilidad del pensamiento requiere propiciar
que los estudiantes enfrenten diversas situaciones y formas de abordarlas, las
33
33
cuales someterán a un análisis minucioso, con lo cual sin duda se incrementará
el espíritu crítico de los alumnos.
Reversibilidad
Consideremos ahora lo correspondiente a los procesos inversos o reversibles a
los cuales nos referiremos por reversibilidad del pensamiento. Por lo
general, desarrollamos procedimientos en forma progresiva, siguiendo algunas
ideas desarrollads por Solow, esto es, se inicia con unos datos o condiciones y se
obtiene un resultado o una conclusión, ¿sería factible iniciar en la conclusión
para obtener los datos o condiciones? Es decir ¿podemos establecer un camino
inverso?
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Los procesos reversibles se dan con mucha frecuencia en matemáticas:
Se desarrolla un producto:
2 5 2 102x x x x( )
Se factoriza:
2 10 2 52x x x x ( )
Si no recordamos el proceso para encontrar la fórmula para resolver una
ecuación de segundo grado:
ax2+bx+c=0
Podemos partir de la fórmula:
xb b ac
a 22 4
2
y caminando hacia atrás obtenemos:
34
34
xb b ac
a
ax b b ac
ax b b ac
ax b b ac
a x abx b b ac
a x abx ac
a x abx ac
ax bx c
ax bx c
22
22
22
2 222
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
4
2
2 4
2 4
2 4
4 4 4
4 4 4
0
Posteriormente sólo investimos el camino, para presentar la forma de obtener
la fórmula:
ax bx c
ax bx c
a x abx ac
a x abx ac
a x abx b b ac
ax b b ac
ax b b ac
ax b b ac
xb b ac
a
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 222
22
22
22
0
4 4 4
4 4 4
2 4
2 4
2 4
4
2
Por otra parte, si deseamos que una ecuación de primer grado tenga como
solución un número dado, partimos de ésta y modificamos coeficientes o
regresamos sobre los pasos de la ecuación ya resuelta para otro resultado.
Por ejemplo, si tengo el desarrollo:
3 5 12
3 12 5
3 7
7
3
x
x
x
x
35
35
Pero se desea una ecuación que arroje una solución positiva y entera, podemos
proceder como sigue:
x
x
x
x
7
3
3 7
3 12 5
3 5 12
x
x
x
x
x
2
6
3
3 6
3 20 14
3 14 20
Generalización
Otra habilidad es la capacidad para generalizar, es algo muy importante en
matemáticas. Al resolver un problema en realidad se están resolviendo una
clase amplia de problemas que conservan las mismas relaciones entre los datos,
lo cual ayuda a formar esquemas generales que son de gran ayuda para iniciar
el incierto camino en la resolución de problemas.
Un problema resuelto puede servir de marco para identificar relaciones
generales que pueden presentarse en otros problemas aunque el contexto varíe.
Para que una generalización le parezca plausible a un estudiante debe haber
conocido antes algunos casos particulares relacionados con ésta, por ejemplo,
si se conocen algunos resultados como:
1 1
2 1 3
3 1 3 5
4 1 3 5 7
5 1 3 5 7 9
2
2
2
2
2
....
Será posible conjeturar sobre la descomposición de cuadrados exacto de
números enteros en suma de números mpares consecutivos, esto puede incluso
conducir a un planteamiento general como:
1 3 5 7 9 2 1 2 ... ( )n n
Hay otro tipo de generalizaciones que es importante tomae en cuenta y con
frecuencia se utilizan mucho en geometría:
36
36
Un argumento demostrativo para mostrar que las mediatrices de los lados de
un triangulo se intersectan en un mismo punto, puede presentarse de manera
similar a lasiguiente:
C
BAP
El argumento se puede basar en el hecho de que la mediatriz de un segmento
es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del
segmento, en este oreden de ideas se puede desarrollar la demostrqación como
sigue:
C
BA
m1 Sea m la mediatriz del lado AC1
37
37
C
BAP
m1
2m
Sea m la mediatriz del lado BC
Si la interseccion de m y m es un punto P,
entonces PA = PC, por ser P punto de m y
PB = PC, por ser P punto de m
2
1 2
1
2
C
BAP
m3
2 1m m
Si m es la mediatriz de AB
entonces P debe ser punto de m
dado que PA = PB
3
3
,
,
Como vemos esta argumentación se basa en el triángulo de las figuras
anteriores, pero es válida para cualquier triángulo, no importa su forma ni la
ubicación de las mediatrices.
38
38
Es un argumento que se basa en un caso particular pero es válido para todos
los casos.
En la enseñanza de la matemática fecuentemente se presenta la etapa última
el conocimiento sintetizado, generalizado y se le quita la parte más interesante
y divertida.
Se acostumbra enseñar los aspectos generales y después tratar de
particularizar por medio de aplicaciones, sin embargo, esto es contrario a lo que
se documenta con la historia, en la cual se puede constatar como algunas
nociones se fueron creando poco a poco y por medio de diversos niveles de
generalización se fueron afinando hasta convertirse en los conceptos actuales.
La generalización es una habilidad necesaria para percibir el material
matemático en su forma pura, asir la estructura formal de un problema,
tipificar las propiedades de los objetos, relaciones y operaciones matemáticas,
abreviar el proceso del razonamiento matemático y las operaciones
correspondientes.
Estimación
Una habilidad matemática que es útil en diversos aspectos de la vida diaria y
que poco a poco se ha ido introduciendo en la escuela es la estimación. Se
realizn estimaciones constantemente en mediciones, cálculos aritméticos y otro
tipo de situaciones.
Es valioso que los estudiantes, al enfrentar un problema, inicien la búsqueda
de la solución estimando el resultado (esto es válido incluso para ejercicios
rutinarios), con el propósito de que cuenten con elementos de autocorrección
que les permita reorientar los esfuerzos en la resolución de problemas.
Si se había estimado que el resultado de un problema debe ser alrrededor de,
por decir algo, 30 y lo que se está haciendo conduce a un resultado de orden de
magnitud de tres o más cifras, se estará en condiciones de revisar lo que se está
haciendo.
Esto, sin duda, les hará ganar seguridad a los estudiantes en lo que hacen y se
acostumbrarán a considerar si tienen sentido o son razonables los intentos que
realizan para determinar la solución.
39
39
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
La estimación planteada por parte de los alumnos les permite a los maestros
identificar si los estudiantes comprenden el problema, dado que una mala
estimación es producto necesariamente de falta de comprensión y una buena
estimación puede ayudar a generar ideas para resolver el problema.
Estimar cantidades, medidas o formas es una actividad que la mayoría de la
gente realiza cotidianamente, pero hacerlo adecuadamente requiere de ciertas
estrategias que se pueden desarrollar gradualmente, estas estrategias se
pueden enseñar u orientar pero no nos dedicaremos a este aspecto aquí.
La estimación es una habilidad particular de la matemática que permite
desenvolverse con soltura en muchas actividades de las personas, es una
habilidad que funsamentalmente en las clases de matemáticas se puede
propiciar, aunque hay la posibilidad de hacerlos también en materias como
física o química, pero si esto se integra a los procesos de resolución de
problemas resultará más continuo su desarrollo y tendrá efectos más relvantes.
Por ejemplo si consideramos la solución de la ecuación:
3 2 3x
Una estimación adecuada sería: “x debe ser negativa y cercana a dos”
Si en el proceso resulta que se obtiene:
3 2 3
3 3 2
3 1
x
x
x
nos damos cuenta de que el resultado no se aproxima a la estimación
planteada, luego eso no haría sospechar de que algo anda mal.
Si se pregunta sobre el valor de 94 , en un primer momento se puede pensar
como 103 y entonces decir que el resultado deberá se de 4 cifras, de tal modo
que se desecharían todos aquellos que no cumplieran este requisito.
40
40
Imaginación espacial
Otra habilidad matemática que se presenta fundamentalmente en la geometría
es la imaginación espacial, se refiere a la manera de elaborar imágenes
mentales que nos permuta saber si lo que estamos desarrollando está correcto o
no.
Vivimos en un mundo tridimensional, en el cual generalmente representamos
figuras en el espacio en un papel, esto es, en forma bidimensional, o también
utilizamos representaciones bidimensionales para estudiar diversas partes de
una figura tridimensional
INCLUIR FIGURA ALUSIVA
Esto sólo es posible si entendemos las relaciones que guardan las figuras
geométricas entre sí, cuáles son los efectos que se producen al modificarlas con
diversos propósitos, cómo es posible provocar un efecto visual, dividir una
superficie, diseñar un objeto, etcétera.
Se pueden desarrollar las nociones espaciales relacionando ideas geométricas
con los números y los procesos de medición. Por ello, cada vez que sea posible,
se puede introducir el enfoque geométrico en la solución de problemas; ya sea
con la intención de elaborar una representación que permita encontrar una
solución o la traducción de una problemática aritmética a una de tipo
geométrico.
Tratemos de responder lo siguiente: ¿qué representa mayor cantidad un
mililitro o un milímetro cúbico?
Se puede responder esta pregunta haciendo las conversiones correspondientes,
pero a nivel de intuición a muchos les parece que es lo mismo.
Si se trabajan las conversiones tendríamos:
1 l = 1 dm3, por lo tanto, .001 l=.001dm3
1 m3 = 1000 dm3 = 1,000,000,000 mm3, por lo tanto
1 l= 1 dm3 = (1, 000,000,000/1,000) mm3 = 1,000,000 mm3. Así que:
41
41
1 ml = .001 dm3 = 1000 mm3.
Para realizar este proceso casi siempre se requiere de lápiz y papel.
Pero si pensamos la situación de manera geométrica tendríamos:
1 ml = 1/100 dm3
1 mm3
Imaginemos un metro cúbico y las particiones necesarias para obtener lo
equivalente a un mililitro o sea a la milésima parte de un un decímetro cúbico y
a un milímetro cúbico, para algunos esto resulta más sencillo y en todo caso
nos sirve para corroborar la respuesta aritmética.
Discriminación
Otra habilidad que se refiere a aspectos muy sencillos pero casi olvidados en la
enseñanza es lo que denominaremos se puede incluir en el concepto de control
de Schoenfeld. Tiene que ver con la forma en que determinamos la validez de
aplicación de conceptos o estrategias.
Por lo general siempre nos referimos a objetos que satisfacen una definición y a
situaciones que se resuelven de manera directa con la plicación de
procedimientos dados, siempre decimos lo que es y lo que se debe hacer, pocas
ocasiones nos referimos a ejemplos de objetos que no satisfacen una definición o
a procesos que no pueden ser aplicados en ciertos momentos.
Para conformar una imagen mental adecuada de un concepto o de un
procedimiento no basta la exhibición de ejemplos. En efecto, es necesario
indicar también “no ejemplos”, sólo de esta manera podemos conformar una
idea clara de lo que pretendemos.
Veamos algunos ejemplos de la importancia de este aspecto:
42
42
Supongamos que se toman lecturas, cada segundo, del espacio recorrido por un
proyectil que viaja el línea recta, en cero seg. nada recorrió, al primer segundo
se encontraba a un centiímetro, al segundo se ubicó en cuatro cm y así como se
muestra en la tabla:
Distancia (en cm) 0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (en seg) 0 1 4 9 ? 25 36
Si en lo correspondiente a 4 seg hubo una distracción y no se anotó la distancia
correspondiente ¿Cuál valor deberá ponerse?
En varias experiencias se ha dicho que debe ponerse 16 porque así va la
relación, pero cuando se les dice que calculen el valor, por lo general se emplea
la regla de tres de esta forma:
xx
4
25
5
4 25
520
lo cual conduce a
Algunos dicen que se debería haber hecho así:
xx
4
9
3
4 9
312
lo cual conduce a
Evidentemente, esto es reflejo de que se enseña a regla de tres y no se les dice
cuando no se puede aplicar.
Otra situación que es frecuente en geometría y se refiere a las alturas de los
triángulos, casi siempre se dibujan triángulos isósceles y se traza la altura que
corresponde al lado inferior.
Para muchos estudiantes, esto significa que el triángulo tiene una sola altura o
que todas deberán ser del mismo tipo, así que los siguientes casos considerarán
que no son alturas, aunque lo sean:
43
43
Pero en los siguientes dirán que si son alturas, aunque no lo sean:
Esto se refleja también en las evaluaciones, en una experiencia con más de 100
profesores de nivel medio, se les planteó que calificaran la siguiente afirmación
de un estudiante:
a b
a ba b
2 2
La mayoría siempre indicó que el estudiante había procedido correctamente.
Posteriormente, se les presentó el argumento del estudiante:
"a2 entre a es a, menos entre menos es más y b2 entre b es b"
Fueron muchos los sorprendidos porque esperaban que el resultado se
obtuviera con la aplicación de procedimientos correctos.
No es frecuente que nos preguntemos sobre el proceso que condujo a
determinada respuesta, por lo que basta que los estudiantes muestren lo que se
desea para indicar que manejan el tema.
Un caso similar pero en la dirección contraria es la siguiente deducción de un
estudiante:
( ) ( ) ( ) ,x x x
x x
5 7 12
5 7 12
2 2 2
2 2 2 2 2
implica
x2
44
44
Los maestros antes mencionados replicaron que se había aplicado un
procedimiento falso y que por lo tanto estaba mal desarrollado. Sin embargo,
cuando desarrollaron la primera expresión encontraron al final la segunda:
x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
5 7 12
10 25 14 49 24 144
24 25 49 24 144
25 49 144
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Los maestros comentaron que era algo casual y que en todo caso el alumno no
está conciente de lo que sucede, a pesar de haber discutido el caso anterior en
el que tampoco existe alguna conciencia de lo que pasa en el alumno.
No nos detemos a pensar que lo anterior es un caso particular de un teorema
válido como:
( ) ( ) ( ) ,
,
x a x b x c
a x b x c
2 2 2
2 2 2 2 2
implica
x si a + b = c2
Así pues, los procesos de discriminación son muy importantes en este enfoque,
dado que se presta más atención a los procesos que a los resultados.
Ambiente para la resolución de problemas
Integración del conocimiento
La resolución de problemas obliga a considerar la integración del contenido, no
es una opción. Es difícil reconocer un problema que se resuelva exclusivamente
a partir de un sólo contenido matemático, pero además es absurdo implicar que
se debe resolver de cierta forma.
Cuando se resuelve un problema, quien lo enfrenta, no se circunscribe de
antemano a un procedimiento dado o a un tipo de nociones. Un problema puede
ser abordado desde diversas perspectivas y por lo tanto se puede hacer uso de
diferentes recursos matemáticos.
La matemática es una herramienta poderosa que alguien puede no dominar en
toda su extensión pero puede substituir unos dispositivos por otros para
enfrentar determinadas tareas y tener éxito, “si no se encuentra el martillo se
usan las pinzas”.
La integración del conocimiento se presenta en dos formas: interna y externa.
Es interna, cuando se hacen transferencias de la situación que se aborda de
un contenido matemático a otro; sabemos que hay aspectos del álgebra que
45
45
entienden mejor los estudiantes si se les presentan como relaciones entre áreas
de figuras geométricas sencillas. Ejemplo de esta situación es el uso de los
bloques de Dienes para desarrollar algunaas nociones algebraicas a partir de
las áreas de figuras sencillas.
a
a
aa
b
b
b
b
a
aa
bb
b2
2
(a + b) = a + 2ab + b2
2 2
Por ejemplo, los famosos números figurativos de los Pitagóricos:
1 = 1 1 +3 = 4 1+3+5 = 9 1+3+5+7 = 16
La suma de impares siempre da un cuadrado perfecto
1+3+5+7+ ... +2(n-1) = n2
En esta configuración geometrica se puede establecer una propiedad
importante de los números impares que después puede servir para determinar
otro tipo de sumas de números cosecutivos con alguna característica. Así,
sabemos delos números triángulares o los pentagonales.
Por otra parte la integración del conocimiento matemático es externa, cuando
se utiliza la matemática para abordar situaciones de otros campos de
conocimiento.
Es conocido el hecho que muchas situaciones que se presentan en el cálculo
diferencial se pueden entender mejor si se trabajan en contextos de
46
46
movimiento. Podemos mencionar la utilidad que tienen los diagramas para
establecer relaciones funcionales; o también la utilidad que tiene situaciones de
mezclas para explicar relaciones de proporcionalidad.
Cualquier aplicación de la matemática a otro campo del conocimiento resultará
vital para integrar lo que sabemos de matemáticas con otras ramas del saber
humano y esto a final de cuentas es algo que les debe quedar claro a los
estudiantes no a nivel de promesas incumplidas si no como una práctica
cotidiana. No basta decir que la matemática se aplica en diversas situaciones y
que las matemáticas están en todas partes ¡Hay que mostrar que esto es así!
Construcción social del conocimiento
No es difícil aceptar que hay personas que se desempeñan mejor en algunos
campos que otros y que algunos les faltan ideas para lograr creaciones
importantes, pero esas ideas están a veces en poseción de personas a las que les
faltan otros elementos creativos o técnicos. La sociedad está constituida con
sujetos de diferentes tipos y que gracias a los procesos de comunicación
interactúan unos con otros y se ayudan mutuamente, a veces sin estar
conciente de ello, lo que no entendemos lo pueden entender otros mejor y
algunos de ellos nos lo pueden explicar de tal forma que se superen las dudas.
La comunicación y la interacción humana es sumamente importante para la
construcción del conocimiento. Sin embargo, es algo que no se fomenta de
manera continua en los salones de clases.
La actividad matemática es algo que puede ser de importancia para los
individuos, pero es una actividad que resulta más importante a medida que nos
involucramos con las perspectivas de otros, esto implica un proceso en el que
ponemos a prueba nuestras convicciones o nociones y tenemos la oportunidad
de analizar otras posiciones.
La interacción humana propicia la negociación de significados y esto es
precisamente lo que puede enriquecer nuestros conocimientos o ayuda a
corregir concepciones falsas o limitadas.
La matemática es una obra colectiva, no es patrimonio de individuos aislados.
Sin duda, importó la existencia de personajes relevantes que pudieron
adjudicarse algunos descubrimientos, pero su trabajo no tendría sentido sin lo
que los demás intentaron ya sea sus contemporáneos o antepasados. De una
manera u otra se hace válido aquello, expresado por Newton, de que tuvieron la
oportunidad de “caminar sobre los hombros de gigantes”, algunos de ellos
anónimos.
La posibilidad de discutir y evaluar lo que dicen otros es parte importante de la
formación académica y fortalece la seguridad personal, nos obliga a
47
47
autoconvecernos de que las cosas deben funcionar de cierta manera a partir de
la reflexión sobre lo que sucede en nuestro entorno a partir de diferentes
perspectivas.
Pero vale la pena señalar que las discusiones entre alumnos no sólo nos sirve
para entender lo que ellos están interpretando o para ayudar a la construcción
de conocimientos, sirve además para inducir compartamientos necesarios para
la vida democrática y participativa, para la formación de espíritus críticos y
responsables con lo que sustentan. En suma sirve para ayudarnos a realizar
nuestra tarea principal como maestros.
48
48
PROPUESTA
Las consideraciones expuestas en los capítulos anteriores orientan una
propuesta para el manejo de la resolución de problemas en la enseñanza de la
matemática. Las partes que componen dichas propuestas se basan en
experiencias con maestros y estudiantes del nivel medio y tratan de concentrar
los consensos que se pueden detectar entre investigadores y estudiosos del
tema.
La propuesta consta de las siguientes etapas:
Planteamiento de un problema (de aplicación de la matemática en contextos
no matemáticos)
Pedir estimaciones de la solución
Discutir con el grupo para determinar cuáles son las más viables.
Solicitar que se resuelva el problema (preferentemente por equipos y dejando
total libertad en cuanto al uso de determinados contenidos)
Solicitar que se presentan algunas formas para resolver el problema
(discutirlas con el grupo)
Presentar, si es necesario, una solución que se vincule con el contenido a
tratar del temario.
Solicitar que se modifiquen los datos del problema y que se analice si las
formas planteadas para resolver el problema siguen siendo válidas (la idea
es resaltar que el método de solución quemnos interesa es el más general, en
el sentido de que con él se pueden abarcar más casos del mismo tipo de
problema).
Plantear una solución y pedir todos o algunos de los datos que se ajusten a la
solución planteada.
Solicitar que se planteen problemas, con datos iguales o similares que se
resuelvan de la misma forma, pero que se refieran a otros contextos.
Utilizar una de las soluciones al problema, la que se ligue con la teoría, para
introducir conceptos y nociones del temario por cubrir.
Algunas partes se deben cubrir en clase y otras pueden dejarse como trabajo
fuera de la escuela, lo importante es que se pase por todas las etapas y se
discutan con los estudiantes.
49
49
Para ilustrar la forma de trabajo se incluyen algunos ejemplos que sintetizan
diversas experiencias con alumnos y maestros de la educación básica.
Consideremos el siguiente problema que se puede utilizar para introducir para
el desarrollo del tema relativo a la resolución de ecuaciones de primer grado:
Planteamiento
"Un tanque de una empresa se llena con dos llaves para hacer una
mezcla de determinadas características, puede llenarse con de las
llaves en diez minutos, si trabaja sola y a toda su capacidad; la otra,
trabajando también sola, a toda su capacidad, puede llenarlo en veinte
minutos. Si ambas llaves trabajan simultáneamente a toda su
capacidad ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar el tanque?"
Llave A Llave B
Tarda 10´ en
llenar el tanque
Tarda 20´ en
llenar el tanque
Estimación
Se pide que, sin resolver el problema, ni hacer cálculos en le cuaderno o algún
tipo de anotación se indique cuál se considera que puede ser la solución.
Entre las respuestas que se han recopilado y las réplicas de los asistentes se
encuentran las siguientes:
Alumno:Deber ser 30 minutos, dado que una llave lo llena en veinte y la otra
en diez
Alumno:. No eso no puede ser porque simplemente en 20 minutos se
derramaría porque una llave lo llena en 20, si lo dejamos 30 entonces se cae el
líquido
Alumno: Bueno entonces pueden ser 15 minutos porque 10+20 son 30 y la
mitad son 15
Maestro: Es una medida sindical pero ¿estará correcta?
50
50
Alumno: Se derramaría porque una sola llave lo llena en 10 minutos
Aluno: Bueno si una lo llena en 10 minutos, en cinco minutos lo habrá
llenado a la mitad y la otra llave, la de 20, habrá llenado ... 10 ... 5 ... habrá
llenado un cuarto, si la cuarta parte, osea se ha llenado tres cuaros del total,
el otyro cuarto restante se llenará a más tardar en la mitad de tiempo o sea 2
minutos y medio, o se al solución puede estar entre 5 y 7 1/2.minutos
Posteriormente, se pide que lo resuelvan sin dar indicaciones sobre la forma de
hacerlo.
A continuación se presentarán algunas de respuestas obtenidas en varias
experiencias, las que subtitulan en negritas son soluciones aportadas
principalmente por maestros:
Solución A
En 5 minutos la llave A llena la mitad del tanque y la llave B llena, una
cuarta parte; de tal manera que juntas habrán llenado:
1
2
1
4
3
4
Continúan por un procedimiento de aproximación, como el siguiente:
En 1 minuto la llave A llena un décimo y la B llena un vigésimo, juntas
habrán llenado:
1
10
1
20
3
20
Por tanto en 6 minutos se habrán llenado:
3
4
3
20
18
20
Posteriormente se hace un intento de encontrar cuánto se llena en medio
minuto:
En medio minuto se llena la mmitad de un minuto por cada llave, es decir
1
20
1
40
3
40
De modo que en 6 minutos y medio se habrá llenado:
3
4
3
20
3
40
39
40
51
51
y así se continúa, hasta encontrar una aproximación de la solución:
Solución B
Una variante de la anterior es la siguiente:
En 1 minuto la llave A llena un décimo y la llave B llena un veinteavo.
1
10
1
20
3
20
En un minuto se llenan tres veinteavos, en dos seis, en tres nueve, en cuatro
12, en cinco 15, en seis 18, de tal modo que en siete minutos se pasaría un
veinteavo. Por tanto en algo más de 6 minutos se llena.
En medio minuto se llenan tres cuarentavos:
1
20
1
40
3
40
De modo que en 6 minutos y medio se habrá llenado:
18
20
3
40
39
40
y así se continúa, hasta encontrar una aproximación de la solución:
Solución C
Pocos se dan cuenta que:
Si en 5 minutos se llena 3
4 del tinaco, el cuarto faltante se llenará en la
tercera parte de 5 minutos, de esta forma la solución sería:
55
3
20
36
2
3 .
Solución D
Análogamnete:
Lo que se llena en 1 minuto son 3
20, por lo tanto un vigésimo se llenará en la
tercera parte de un minuto.
De esta forma la solución es:
52
52
201
3
20
36
2
3 .
Solución E
Otra solución que se presenta de manera natural es por medio de una regla de
tres y considerando las relaciones antes mencionadas:
5 minutos es a 3
4 como x minutos es a 1, por lo tanto:
xx
1
5
3 4
5 4
3
20
36
2
3
Solución F
Una variante de la anterior es
1 minuto es a 3
20 como x minutos es a 1, por lo tanto:
xx
1
1
3 20
1 20
3
20
36
2
3
Solución G
Algunos inspirados en la medición o la "geometría" ofrecen la siguiente
respuesta:
Consideremos un segmento de recta:
cada vez que un compañero coloca un pedazo, otro coloca otro pedazo del
doble, de tal modo que la relación es 2 a 1, el que pone 1 llena 1
3, de cada
unidad de llenado del segmento; mientras que el otro llena 2
3. Así, el tiempo
de llenado será igual a las dos terceras partes de la llave más rápida (la que
llena sola el tanque en 10 minutos):
53
53
2
310
20
36
2
3
o una tercera parte de la llave más lenta (la que llena el tinaco en 20
minutos).
1
320
20
36
2
3
Solución H
Es una variante de la anterior planteada en términos de mosaicos, como si se
colocaran en un piso:
Cada vez que una persona colaca uno, otra coloca dos:
y se vuelven a obtener las relaciones del caso anterior.
Solución I
Otros a partir de la consideración exclusiva de que:
Una llave llena el doble de la otra, encuentran que la más rápida llena dos
tercios y la lenta sólo un tercio.
Lo cual les ayuda a encontrar la solución rápidamente como en los dos casos
anteriores:
Solución J
Una solución muy ingeniosa consiste en modificar el problema ligeramente.
Una llave es la más tardada ... la de 20 minutos ... y otra es más rápida ... la de
10 minutos, si la más rápida se divide en dos salidas de agua se obtienen dos
llaves de 20 minutos, ... de tal forma que cuando la llave de 20 minutos llena la
tercera parte del tanque la otra ya llenó lo que faltaba.
54
54
Llave ALlave B
Tarda 10´ en
llenar el tanque
Tarda 20´ en
llenar el tanqueTarda 20´
Tarda 20´
Por lo tanto, la solución es:
1
320
20
36
2
3
Solución K
Una solución similar es:
Una llave llena el tanque en 20 minutos; la otra llena dos tanques iguales en
20 minutos también, ... cuando la de 20 minutos llena la tercera parte ya se
llenó todo.
Llave A Llave B
Tarda 10´ en
llenar el tanque
Tarda 20´ en
llenar el tanque
Entonces la solución es:
1
320
20
36
2
3
Solución L
55
55
Una variante más de este tipo de soluciones, similares a las dos anteriores, se
refiere a considerar tres tanques:
Con la llave se llenan dos tanques en el mismo tiempo que con la llave B se
llena uno solo.
Llave A Llave B
llena dos tanques llena un tanque
por tanto, si en 20 minutos lleno tres tanques un solotanque lo lleno en 20
minutos entre tres.
20 3 6 6 .
Solución M
Algunos, muy pocos, utilizan álgebra y plantean una ecuación.
En clase después de haber trabajado algunos elementos previos de lenguaje
algebraico, sepuede proceder, por parte del maestro a plantear algo como lo que
sigue:
¿Qué sucede si uso letras para simbolizar lo que pasa?
Si consideramos que una llave, la A, llena décimos y la llave B llena
centésimos, tendríamos:
1´ 2´ 3´ 3.5´ 4´ 4.3´ x´
Llave A 1
10
2
10
3
10
35
10
. 4
10
4 3
10
. x
10
Llave B 1
20
2
20
3
20
35
20
. 4
20
4 3
20
. x
20
TOTAL 1
10
1
20 2
10
2
20 3
10
3
20 35
10
35
20
. . 4
10
4
20 4 3
10
4 3
20
. . x x
10 20
De tal moodo que en el tiempo x se llenaría:
56
56
x x
10 20
Lo que se desea conocer es cuando es cantidad es la unidad, es decir llenan el
tanque:
x x
10 201
Lo cual nos da una ecuación que se puede resolver de la siguiente manera:
x x
x x
x x
x
x
x
10 201
2
201
2 20
3 20
20
3
62
3
Cabe señalar que no todas las soluciones aquí planteadas aparecen en una
sesión, puede ser que no aparezca ninguna y sólo existan esbozos de solución
que el maestro deberá orientar. Se han mostrado todas para ver la amplia
gama de posibilidades.
Ahora el maestro enfrenta el problema de que hacer con las diferentes
soluciones que se han expuesto. Esto más que una dificultad es una ventaja
porque ahora se les puede plantear a los estudiantes que cambien los datos del
problema y analicen que métodos de los expuestos pueden ser aplicados
nuevamente.
Por ejemplo si el tiempo de la llave A es de 13 minutos y el de la B es de 17
minutos se podrá observar que muchos de los métodos planteados son muy
complicados o no resultan tan sencillos como parecía.
Esta discusión la puede dirigir el maestro sin problema dado que los
estudiantes ya saben de que se está hablando y sus participaciones serán más
centradas.
A continuación se les pedirá que encuentren datos para que la solución sea en
vez de 62
3, 7 u otra cantidad. Posteriormente se les puede solicitar que
consideren que la llave A tiene un tiempo de 10 minutos y que la solución sea 5
57
57
minutos, para que ellos determinen el tiempo que se le debe asociar a la llave
B.
Con este tipo de actividades se puede mantener la concentración de los
estudiantes en un pequeño aspecto pero lo que están aprendiendo es como se
generan las matemáticas, se les está enseñando a “hacer matemáticas”, dado
que el trabajo del matemático implica análisis a profundidad de las situaciones
que se le plantean, lo cual lo obliga a escudriñar los datos y las relaciones
presentes en lo que analiza, no se limita a aplicar fórmulas o procedimientos
que se aprendió de memoria.
Del problema planteado originalmente han surgido nuevos problemas que cada
vez tienen mayor sentido para el estudiante.
Pero pueden surgir más problemas, dado que resolver problemas conlleva otros,
es decir queda "sacar más jugo al problema resuelto”. Para ello se solicita que
se planteen problemas similares al problema original, esto es, que se resuelvan
de la misma forma, que tengan los mismos datos, pero que su contexto sea
diferente.
Algunas de las respuestas obtenidas son las siguientes:
"Si Juan sube andando las escaleras de una estación del metro, tarda 20
segundos, si utiliza las escaleras eléctricas tarda 10 segundos ¿Cuánto
tardaráa si sube por las escaleras eléctricas pero andando?"
"Pedro poda un jardín en 10 horas y José lo poda en 20 horas. Si ambos
trabajan juntos ¿En cuánto tiempo terminarán de podar el jardín?"
"María puede realizar una auditoría de un negocio en 10 días y Josefina en
20, si ambas trabajan juntas ¿cuánto tiempo requieren para realizar la
auditoría?"
"Un tren recorre cierta distancia en 10 horas y otro tren en una vía paralela,,
la puede recorrer en 20 horas, ¿En cuánto tiempo se encontrarían si parte de
puntos opuestos en el mismo instante?
Esta actividad, se continúa pidiendo que planteen más problemas similares
pero con datos diferentes a los del problema original.
Con esto puede resultar más claro la importancia de los contenidos nuevos y los
estudiantes le darán importancia en tanto han visto que les sirven para
abordar diferentes situaciones de manera más eficaz.
Posteriormente se puede desarrollar la parte de contenidos, incluso con
procedimientos tradicionales, lo que hace diferente la situación es que la base
motivacional de los estudiantes es diferente, además de que la aplicación de
58
58
diversos contenidos en las partes anteriores ha permitido repasar algunas
nociones o procedimientos que para algunos no eran muy familiares o claros.
Tradicionalmente resolver un problema es el término de una actividad, así se
considera, sin embargo, realmente es el inicio de una rica experiencia
matemática.
Paréntesis
Vale la pena hacer un paréntesis para mencionar algunos puntos importantes.
En general, los maestros tardaron más tiempo que sus estudiantes para
desarrollar la actividad. Las explicaciones son múltiples pero refleja una
resistencia por parte de los docentes a opinar de manera abierta o equivocarse.
Por otra parte, las participaciones se prsentaban de manera más frecuente con
estudiantes que con maestros.
Esto llama la atención porque lo estudiantes muestran más flexibilidad que los
maestros. De alguna manera esto refleja que los maestros tienen una
concepción más rígida sobre el trabajo en la resolución de problemas que los
sus estudiantes.
Los maestros opinaron que problemas como el anterior no lo podían resolver
sus estudiantes, sin embargo, pudieron darse cuenta de que eso no sucedía,
dado que los estudiantes se involucran y proponen muchas formas de abordar
los problemas que el maestro debe orientar y “sacarles provecho”.
Por lo generla, la opinión de los maestros sobre las posibilidades de sus
estudiantes son poco favorables a éstos, pero en experiencias de este tipo se
pudo cosntatar que alumnos que han sido relegados como casos poco
rescatables, manifiestan diferentes habilidades de alumnos considerados
normales y tienen potencialidades especiales que el maestro puede aprovechar.
Un contenido difícil
En el trabajo con maesros se les solicitó que plantearan contenidos en los que
consideran que el enfoque de resolución de problemas no se puede aplicar con
facilidad, uno de los que mencionaron de manera mayoritaria fue el de división
de fracciones.
Entonces se preparó el siguiente problema para mostrar que incluso con ese
contenido se podría partir de un problema y aprovechar las soluciones para
desarrollar el tema del programa.
Esto se trabajó con estudiantes del 6o grado de primaria y 1o de educación
secundaria.
59
59
Se discutieron con ellos las diferentes significaciones de la división y se
estableció con ellos que se podría partir de la interpretación de la división como
un reparto. El problema que se trabajó con los estudiantes fue el siguiente el
cual desarrollaremos considerando cada una de las etapas propuestas y en el
orden que se plantearon:
Planteamiento de un problema (de aplicación de la matemática en
contextos no matemáticos)
Un recipiente con aceite contiene 51
4 litros de aceite, con el cual se
deben llenar botellas de 3
4de litro ¿Cuántas botellas se podrán llenar?
5 1/4
3/4
3/4 3/4
Pedir estimaciones de la solución
Entre las estimaciones que se plantearon destacan las siguientes:
51
4son casi cinco litros y como
3
4 es más o menos un litro, se deben poder
llenar por lo menos 5 botellas.
3
4 es más o menos un litro, 3 botellas de esa capacidad son más de dos litros,
por lo que para poder acabar los 51
4 litros se requeriran cerca de ... 3 y 3 y
...3, no mejor 2 ... 8 botellas.
Discutir con el grupo para determinar cuáles son las más viables.
Se consideró que el resultado podría estar entre 5 y 8 botellas.
60
60
Solicitar que se resuelva el problema (preferentemente por equipos
y dejando total libertad en cuanto al uso de determinados
contenidos)
Se pide a los estudiantes que resulevan el problema como se les haga más fácil
y que lo trabajen en equipos de 4 a 6 personas.
En ocasiones si se conocen bien a los integrantes del grupo, conviene establecer
los equipos de trabajo para asegurar que estén equilibrados.
Esto también se puede realizar de manera individual, pero por las experiencias
obtenidas a resultado más benéfico el trabajo en equipos.
Solicitar que se presentan algunas formas para resolver el
problema (discutirlas con el grupo)
Entre las soluciones que se plantearon están las siguientes:
1) Procedimiento aditivo.
5 1/4
3/4
3/4
3/4
3/4
Se pueden ir vaciando una a una las botellas y se va contando:
3
4
3
4
6
41
2
4
6
4
3
4
9
42
1
4
9
4
3
4
12
43
61
61
12
4
3
4
15
43
3
4
15
4
3
4
18
44
2
4
18
4
3
4
21
45
1
4
Como se sumó siete veces, se llenarían 7 botellas.
2) Procedimiento substractivo.
51/4
3/4
3/4
3/4
Se puede vaciar la lata en cada botella y se va reduciendo lo que tiene:
51
4
3
4
21
4
3
4
18
44
2
4
42
4
3
4
18
4
3
4
15
43
3
4
33
4
3
4
15
4
3
4
12
43
33
4
12
4
3
4
9
42
1
4
21
4
3
4
9
4
3
4
6
41
2
4
12
4
3
4
6
4
3
4
3
4
3
4
3
40
62
62
Como se restó siete veces, se llenarían 7 botellas.
3) Procedimiento multiplicativo.
Una manera abreviada de proceder en la estrategia de ir sumando es
realizando esto con multiplicaciones:
3
41
3
4
3
42
6
41
2
4
3
43
9
42
1
4
3
44
12
43
3
45
15
43
3
4
3
46
18
44
2
4
3
47
21
45
1
4
Como de multiplicó siete veces se pueden llenar siete botellas.
4) Uso de la recta numérica.
Una estrategia muy empleada fue el uso de la recta numérica:
1 2 3 4 5 60 7
Como se dieron 7 "saltos", se tendrían que llenar 7 botellas.
5) Multiplicando por el recíproco.
Algunos estudiantes en su educación primaria trabajaron la divisiñón de
fracciones como una multiplicación por el recírpoco del divisor
63
63
Repartir lo del bote de aceite en botellas es como dividir, pero eso se puede
hacer multiplicando:
51
4
4
3
21
4
4
3
84
127
Presentar, si es necesario, una solución que se vincule con el
contenido a tratar del temario.
6) Por división de enteros.
Se reservó esta solución al final por que es la que el maestro debe promover si
no es planteada por ningún estudiante:
A lo que se recurre es a transformar las fracciones a situaciones que permiten
manejarlas como enteros. Para ello se transforman a las mismas unidades,
cuartos, y se maneja la palabra cuartos como unidad de medida, lo cual permite
hacer simplemente una división:
51
4 es lo mismo que
21
4. Como esto se debe repartir en cantidades de
3
4, basta
dividir 21 3 para obtener la respuesta: 7.
Es como tener 21 manzanas y se desean repartir en montones de tres
manzanas, se podrían formar 7 montones
O también como 21 metros en tiras de 3 metros, se podrían formar siete tiras.
Solicitar que se modifiquen los datos del problema y que se analice
si las formas planteadas para resolver el problema siguen siendo
válidas (la idea es resaltar que el método de solución que nos interesa
es el más general, en el sentido de que con él se pueden abarcar más
casos del mismo tipo de problema).
Se trabajó con situaciones que los mismos estudiantes propusieron, se
utilizaron casos como botellas de 3/7 y un bote de 9 1/13 para hacer notar que
los métodos anteriores no resultan tan sencillos, mientras que convertir a las
mismas unidades y luego dividir numerados era más eficaz:
91
13
3
7
118
13
3
7
826
91
39
91
826
3921
7
39
Plantear una solución y pedir todos o algunos de los datos que se
ajusten a la solución planteada.
64
64
Se dejaron como tarea varias situaciones:
Se pidió que el bote fuera se 5 1/4 y que se llenaran 14 botellas pequeñas, la
pregunta en este caso es sobre la capacidad de las botellas:
1) Si se quisieran llenar 14 botellas con los 51
4 litros de aceite ¿Qué
capacidad deberían tener cada una de las botellas?
Modificando la solución, por ejemplo se pidió que los datos se ajustaran para
tener una solución de 14, pero dejando que las botellas pequeñas fueran de 3/4.
2) Si se desearan llenar 14 botellas de 3
4 de litro de capacidad ¿Cuántos litros
de aceite necesitaría?
Se pidió también que la solución fuera 48 y que dieran cualquier capacidad
para el bote y las botellas.
3) Si deseo llenar 14 botellas ¿Qué‚ cantidad de aceite necesitaría y qué
capacidad debería tener cada botella?
Se discutieron al inicio de la siguiente clase las soluciones de algunos
estudiantes.
Solicitar que se planteen problemas, con datos iguales o similares
que se resuelvan de la misma forma, pero que se refieran a otros
contextos.
Posteriormente se les pidió que plantearan problemas con los mismos datos y
que se resovieran de la misma forma, pero que trataran sobre otros aspectos,
entre los que se plantearon están:
1) Un listón de 51
4 m se desea dividir en cintas de
3
4 m ¿Cuántas cintas se
podrín obtener?
2) Una carrera de relevos debe cubrirse en 51
4 Km, si cada relevo debe correr
3
4 Km ¿Cuántos relevos por equipo se necesitarían?
3) Un disco compacto se escuchó 51
4 hrs, si su duración es de
3
4hrs
¿Cuántas veces se escuchó?
65
65
Posteriormente se pidió que se plantearan problemas que se resolvieran de
manera similar pero con distintos datos, algunos de los que se plantearon son
los siguientes:
Una varilla de 9 3/7 m de longitud se desea cortar para obtener bastones de
6/7 m ¿Cuántos bastones se obtendrán?
Un camión debe hacer un recorrido de 53 5/11 km, si debe parar cada 2 3/72
mkm ¿Cuántas paradas hará?
Utilizar una de las soluciones al problema, la que se ligue con la
teoría, para introducir conceptos y nociones del temario por cubrir.
Una de las soluciones planteadas, la última, permite introducir la división de
fracciones convirtiendo a un denominador común ambas fracciones. Antes se
constata que el método sirve para algunos casos sencillos de obtener:
2
4
1
4
2
12
2
7
1
7
2
12
8
9
4
9
8
42
12
15
3
15
12
34
9
23
12
23
9
12
Posteriormente, se consideran fracciones de diferente denominador, por
ejemplo:
4
9
7
11
Se trabaja este caso convirtiendo cada fracción a un denominador común y
luego al final sólo se dividen los numeradores:
4
9
7
11
44
99
63
99
44
63
Esto permite introducir la regla del producto cruzado, dado que se puede hacer
notar con casos concretos que el método desarrollado implica:
66
66
a
b
c
d
ad
bd
cb
db
ad
cb
Mientras que el producto cruzado arrojaría el mismo resultado, incluso la regla
del producto cruzado se puede entender como una simplificación de este método
y no como algo que es obra de la “mágia de los matemáticos”.
67
67
MÁS PROBLEMAS Y SUS SOLUCIONES
Para insistir en los elementos que intervienen en la resolución de problemas,
consideremos los siguientes ejemplos que fueron trabajados con grupos de
maestros.
Los problemas que se plantearon fueron de tipo matemático, pero aún en este
caso se pusieron en evidencia los diferntes recursos que emplearon para
enfrentar los problemas.
Estos problemas fueron sencillos, no se trató de incorporar situaciones
demasiado novedosas o difíciles, si no temas que se estaba seguro que podían
abordar los maestros. Esto es similar a lo que se deb hacer con los estudiantes
dado que si se les plantean situaciones que los inmovilicen puede ser
contraproducente.
En cada caso se presentan las soluciones que parecieron como más
importantes.
El cálculo de una raíz cuadrada
Problema: Calcular la raíz cuadrada de 523
El cálculo de a raíz cuadrada es algo que siempre se integra en los programas
curriculares pero es frecuente que no se conozca el algoritmo correspondiente,
los que lo sabían se les olvidó y lo repqasan cada vez que sea necesario, quienes
lo recuerdan tampoco les parece útil, pero como es parte de lo que deben
enseñar lo guardan en la memoria.
Solución A.
Una solución que se obtiene de manera inmediata es con la calculadora:
22.86919325
68
68
Si se tienen este tipo de dispositivos por qué no utilizarlos, nos evitan perder el
tiempo.
Este método puede ser considerado como poco interesante y lo es, si sólo
atendemos a que se trató de apretar teclas, sin embargo, implica una posición
ante ciertos aspectos de la matemática.
En efecto, lo que se dice realmente es que si es necesario realizar un cálculo y
tenemos formas de hacerlo de manera inmediata para ocuparnos de situaciones
más importantes ¿por qué no hacerlo?
Solución B
Se puede lograr una aproximación por medio de ensayos con diferentes
números:
Aproximación a Unidades Aproximación a décimos Aproximación a centésimos
222 = 484 22.82 = 519.84 22.862 = 522.5796
232 = 529 22.92 = 524.41 22.872 = 523.0669
De tal manera que una aproximación a los centésimos se encuentra entre:
22.86 y 22.87.
Este método conocido como el de la “caza del león” es una estrategia muy útil
en la matemática en general y por ello es valioso por sí solo. Cuando se trabaja
se toman muchas decisiones sobre el error que será permitido, de acuerdo a las
necesidades que se enfrenten.
El resultado se va encerrando por arriba y por abajo, justamente como se cierra
una zona alrrededor del león que se desea cazar, de tal modo que nos
acercamos tanto como se desee al resultado si este no tienen una expresión
decimal finita.
Aquí se integran varias nociones como lo son la idea de aproximación, los
procesos infinitos, el manejo de errores, entre otros.
Solución C
Se puede calcular la raíz cuadrada también por medio del algoritmo, que pocos
son los afortunados que lo mantienen en su memoria. Queda al lector
recordarlo, a continuación se presenta el proceso para el caso que estamos
trabajando.
Se separan de dos en dos, de derecha a izquierda , las cifras del número del
cual se quiere extraer la raíz.
69
69
Se localiza un número que elevado al cuadrado se acerque al cinco pero que
no se pase, en este caso es 2 y como sabemos 22 es igual a 4.
Se restan 5 y4 y nos queda 1.
Se bajan las siguientes dos cifras para colocarlas al lado del 1.
Se duplica la raíz y se escribe este resultado, que en nuestro caso es 4
Se busca un número que colocado al lado derecho del 2 de la raíz de tal modo
que 2 por el 4 de la duplicación de la raíz con el mismo 2 colocado al lado
derecho de ella no de un número cercano a 123, pero que no se pase, el
producto de 2 por 42 es 84 que se resta a 123 y nos quedan 39.
Si se desea proseguir se bajan un par de ceros, se duplica la raíz de nuevo y se
busca un número que multiplicado por la duplicación de la raíz con el mismo
número colocado a su derecha nos de un resultado cercano a la resta anterior
pero que no se pase.
Así se procede hasta que se desee parar
5,23
4
2384
35 84
3 16
2
39 00
2 . 8
4 2
4 4 81
¡Qué claro! ¡Qué sencillez! ¿no es absurdo pretender que nos aprendamos esto
de memoria?
Seguramente si lo aprendemos se nos olvidará todo o parcialmente, sobre todo
si hay cosas más dignas de ubicar en nuestros recuerdos. Este tipo de olvidos
sucede con frecuencia cuando se aprenden los procesos sin ninguna
comprensión, si no existen elementos de los cuales sostenernos para
reconstruir lo que se nos olvidó. Por ello es ineficiente la enseñanza tradicional
centrada en el conocimiento de rutinas para desarrollar algunos contenidos.
70
70
Solución D
Se considera el mayor número entero que elevado al cuadrado sea menor que
523, el cual resulta ser 22, cuyo cuadrado es 484.
Se construye un cuadrado de lado 22, que tendrá área igual a 484.
22 484
22
Se prolongan un poco los lados del cuadrado, digamos una longitud x para
que el nuevo cuadrado tenga un área de 523.
22 484
x
x x2
22
22
22
x
x
Se forman entonces dos rectángulos de área 22x y un cuadrado pequeño de
área x2.
Entonces se tiene que:
484 2 22 5232 ( )x x
Pero comomlos dos rectángulos cubren más área que el cuadrado pequeño,
éstos contribuyen más a la aproximación y por lo tanto podemos despreciar el
área del cuadrado menor.
71
71
484 2 22 523
484 44 523
523 484
44
08863636
( )
.
x
x
x
x
De ahí que el lado del cuadrado cuya área es 523 es:
22 + x =22 + 0.8863636 = 22.8863636
Lo cual indica que:
523 2288636362 .
Como vemos aquí se integran varios aspectos de la matemática pero sobre todo
se ha desarrollado un procedimiento ingenioso que permite reducir un
problema de una ecuación de segundo grado a una de primer grado.
Este tipo de situaciones son muy importantes en la formación matemática de
las personas por que implica situaciones creativas y en las que se ponen en
juego varios contenidos de matemáticas.
Solución E
Se traza la parábola y = x2 y se ubican en ella las coordenadas de los puntos
cuyas abscisas son números enteros y 523 queda entre las imágenes de éstos:
y = x2
22 23
484
529
A
C
Des pués se traza la recta que pasa por A y C:
72
72
y = x2
22 23
484
529
A
C
Se identifica el punto que tiene como ordenada a 523 y a su abscisa se le
denomina 22+x. Se trazan los triángulos que se presentan en la siguiente
figura:
y = x2
22 23
484
529
A
C
B
D E
523
22+x
x
73
73
Los triangulos ABD y ACE son semejantes
AD
AE
BD
CE
xx
1
39
45086.
Por lo tanto: 523 22862 .
Tenmos otra situación en la que como se dijo con anterioridad el contenido o la
importancia de la situación que se aborda resulta mínima en relación a la
calidad de la experiencia matemática subyacente en este tratamiento.
Resulta un ejercicio interesante de geometría plana, que se trabaja con
elementos de geometría analítica y una noción de aproximación sumamente
importante en la matemática.
Este tipo de experiencias son muy reveladoras de los procesos que se
desarrollan en el trabajo matemático creativo ¿por qué no incorporarlas a los
cursos?
Cuartos “desiguales”
Un problema de geometría que es muy senciloo pero mque ilustra mucho de lo
que sucede cuando no se desarrolla un razonamiento matemático y nos
guiamos por las imágenes es el de dividir un rectángulo en cuartos, trazando
sus dos diagonales.
Ha resultado polémico este problema dado que algunos, a veces no pocos,
consideran que este procedimiento no conduce a la división deseada. Después
de hacer algunos intentos por aclararse la situación se llega a determinar que
el rectángulo se ha dividido en las partes que se querían, los argumentos que se
han expuesto al respecto son los siguientes:
Problema: La siguiente figura presenta un rectángulo dividido en cuatro partes ¿esta división permite que cada parte represente un cuarto del área total?.
74
74
Solución A
En el rectángulo ABCD el triángulo ABC es rectángulo:
A B
CD
P
M
N
En dicho triángulo rectángulo el cruce de las diagonales P es el punto medio
de la hipotenusa, se trazan tambien los segmentos PN y PM que son paralelos
a dc BC, respectivamente.
Por AAA, los triángulos APM y CPN son congruentes y lo mismo pasa con los
triángulos PMB y BNP que son congruentes por AAA, por lo que las áreas de
los triángulos ALP y BCP son iguales.
De ahí que la figura está dividida en cuartos.
En este procedimiento se trabaja un argumento geométrico y se procede con
una reducción del problema, dada la simetría de la figura se reduce el problema
a probar que dos de las partes “diferentes” tienen la misma área.
Solución B
Otra forma se basó en un argumento similar que involucró triángulos
congruentes en todo el rectángulo:
Dado el rectángulo ABCD se trazan las diagonales, las cuales se intersectan
en P. Se trazan paralelas a los lados AB y BC, a las cuales nos referiremos
como RN y SM, respectivamente:
A B
CD
P
M
NR
S
75
75
Entonces todos los triángulos APR, RPD, DPS SPC, CPN, NPB, MBP y
MPA, son congruentes.
De tal modo que los triangulos APD, DPC, CPB y ABP tienen la misma área
así que las diagonales del rectángulo lo dividen en cuartos.
Nuevamente tenemos un argumento geométrico en el que se involucran todas
las partes y lo que se busca es cubrir el área dada por figuras congruentes, con
las cuales se pueda verificar la igualdad de las partes de manera inmediata.
Solución C
Una variante del tipo de solución anterior es la siguiente:
Se considera sólo el trazo de SM
A
D
P
M
S
y se analiza por separado a ADSM:
A
D
P
M
S
Los triángulos DSP y APM son congruentes por LAL y juntos estos triángulos
formarían el triángulo APD, lo cual se observa si se traza la paralela a AM
que pasa por P. Por lo tanto las partes son iguales.
Se utiliza también la simetría de la figura para reducir el problema pero se
emplea la estrategia anterior. Algunas de estas estrategias se ocurrieron al
76
76
intentar resolver el problema por medio del doblado de papel, lo cual es un
aspecto que no se expresa y sólo se puede conocer si se observa con
detenmimiento la experiencia.
Solución D
También se puede realizar si se consideran la altura y base de los triángulos
ABP y BOP.
A B
CD
P
M
N
El área de ABP es:
AB PM
2
pero PM=1/2(BC)
El área de BCP es:
BC PN
2
pero PN=1/2(AB)
por lo tanto:
AB PMAB BC BC AB
BC PN
2
1
2
2
1
2
2 2
De ahí que el área de ABP es igual al área de BCP
Lo cual demuestra que las partes son iguales
Este argumento es una combinación de situaciones geométricas y del álgebra,
se tomó como una oportunidad de vincular dos tipo de contenidos.
77
77
Este tipo de argumentos es muy socorrido por los docentes, existe una
preferencia muy notoria por el uso del álgebra, mientras que los argumentos
típiocamente geométricos son poco comúnes.
Solución E
Esto también se puede resolver considerando las áreas de dos triángulos de
manera conveniente:
A B
CD
Ph
El área de APD es:
AP h
2
El área de PCD es:
PC h
2
Como AP=PC, entonces las áreas de APD y PCD son iguales.
Este argumento que se presenta de manera combinada también puede
expresarse oralmente al considerar sólo la figura, sin hacer ningún tipo de
anotación.
Sin embargo, este es poco, muy poco expuesto por parte de los maestros.
¿Y dónde está la incógnita?
Algunas situaciones que nos permitirán considerar la importancia de la
interpretación de lo que se realiza de manera operativa, aspecto poco
considerado en la enseñanza, se pone de manifiesto en los siguientes
problemas:
78
78
Encontrar los valores de x que satisfacen la siguiente expresión:
3 9
33
x
x
Las soluciones que se detectaron en este punto son invariablemente similares a
lo que sigue:
3 9
33
3 9 3 3
3 9 9 3
0 0
x
x
x x
x x
( )
Al llegar a este punto se inquiere a los participantes sobre lo planteado
originalmente, el tipo de respuestas que se ofrecen son:
x=0 ... debe haber una solución ... es de primer grado
No se sabe que valor de x satisface la expresión.
No es posible saber el valor de x todo se desapareció.
Bueno ... casi todo valor se puede ... pero, por qué cero
Un breve análisis de lo que se hizo hace notorio que dicha expresión se
satisface para cualquier valor de x, excepto x=3.
Encontrar los valores de x que satisfacen la siguiente expresión:
x
x
2
21
También invariablemente se realizan pasos como los siguientes:
x
x
x x
2
21
2 2
2 2
2 2 0
4 0
Las respuestas después de esto se refieren a situaciones como:
x=0 ... x=4, debe tener por lo menos una solución para una de primer grado
79
79
No se podrán conocer los valores de x que satisfacen la expresión.
No es posible saber el valor de x ... ya no hay incógnita
No importa el valor, no se puede comprobar
Una reflexión sobre los supuestos subyacentes al iniciar las transformaciones
algebraicas nos conducirá a la conclusión de que la falsa igualdad obtenida nos
indica que no puede existir un valor de x que satisfaga dicha expresión.
¡Adivina quién soy!
Un tipo de problemas muy comúnes es el de tener una idea de la forma gráfica
de una función. El siguiente ejemplo ilustra como diversos métodos pueden
ayudarnos a la comprensión de los que sucede:
Encontrar el tipo de gráfica que tiene la función:
yx
x
1
2 1
Solución A
Se puede hacer una tabulación:
x y -6 .384515
-5 .363636
-4 .333333
-3 .285714
-2 .200000
-1 0
0 -1
1 2
2 1
3 .8
4 .714286
5 .666667
6 .636363
Lo cual puede graficarse con los puntos correspondientes y tener una idea del
tipo de gráfica, la mejor idea de la gráfica se obtendrá a medida que se tabulen
más puntos:
80
80
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
Este tipo de estrategia es arimética y se limita al caso que se analiza:
Solución B
Otra forma consiste en graficar por separado el numerador y el denominador y
posteriormente se analiza el compotamiento de cociente:
81
81
y=x+1y=2x-1
2x-1y=
x+1
Solución C
Una forma adicional es la transformación del coeficiente para hacerlo similar a
otra función de gráfica conocida:
yx
x
yx
x
yx
x
yx
x x
yx
y
x
y
x
1
2 1
1
2
2 2
2 1
1
2
2 1 1 2
2 1
1
2
2 1
2 1
3
2 1
1
21
3
2 1
1
21
3
2
1
1
2
1
2
3
4
1
1
2
82
82
Lo cual indica que es una hipérbola equilatera de la forma:
yx
1
xy=
1
La cual se trasladado una cantidad a horizontalmente.
yx a
1
83
83
x-ay=
1
a
que se “alargado o acortado” una cantidad b
y bx a
1
84
84
x-ay=b
1
a
y que se ha trasladado verticalmente una cantidad c
y c bx a
1
x-ay=c+b
1
a
b
85
85
Esta forma de resolver el problema permite el desarrollo de generalizaciones
sobre la manera de interpretar las gráficas.
Este tipo de ejemplos muestra que aún con contenidos sencillos es posible
llevar a cabo algunos desarrollos matemáticoas interesantes. Lo importante es
al fin de cuentas profundizar sobre lo que se está haciendo, intentar nuevos
caminos y no conformarse con encontrar un resultado.
86
86
COMENTARIOS FINALES
Algunas partes de lo antes expuesto puede ser considerado como una muestra
de deficiencias de algunos docentes, pero más que eso, resulta una muestra de
que algo falta en la formación matemática por la que hemos pasado y que el
enfoque de resolución de problemas nos puede ayudar a recuperar.
Indudablemente “hacer matemáticas es resolver problemas”, aprender
matemáticas no solamente es reproducir información, rcitar o aplicar
adecuadamente fórmulas o algoritmos, es una actividad en la que se involucran
diversas capacidades de las personas.
Analizar varias soluciones porque es importante para los docentes porque es
necesario estar preparados y con la mente abierta para los caminos que pueden
desarrollar los estudiantes. Cada alumno piensa de manera diferente y para
explotar sus posibilidades hay que saber interpretar los caminos que sigue.
Resultó claro de muchas experiencias que los estudiantes exploran caminos
más intuitivos que los maestros, se complican menos la vida con las soluciones
que proponen, los docentes tienden a utilizar “cañones para matar moscas”,
utilizar herramienta fuerte para abordar problemas que tal vez no merecen
tanta sofistificación.
Esa manera de intuir, esos recursos que tal vez se han perdido por haber
avanzado en el estudio de temas superiores es el principal asunto que podemos
aprender de los estudiantes y es algo que complementará la formación que se
posee y nos hará más aptos para la tarea docente.
Cabe mencionar que el enfoque de resolución de problemas no es algo que se
pueda desarrollar con los planteamientos curriculares lineales que se
acostumbran en los sitemas educativos, dado que requiere la integración de
contenidos. Por ello quien lo aplique debe tener en mente en esto para dosificar
los contenidos que se deben cubrir, lo cual se hará en distintos momentos del
cirso.
Es necesario insistir que no se trata que se aplique lo antes expuesto de
manera inmediata, si no que cada maestro interesado en la problemática aquí
expuesta plantee su propia estrategia didáctica que sea acorde con la situación
que enfrenta.
La imitación nunca es buena, cuando se hacen actividades en las cuales no se
confía, se tienen dudas, no quedan totalmente claras, no se ha reflexionado
suficientemente o no se ha meditado sobre las posibilidades de respuestas de
los estudiantes, seguramente lo que se obtendrá es una experiencia nociva o
frustrante.
87
87
Lo más importante en todo es tener una actitud de apertura y disposición al
cambio constante, tanto de formas de trabajo como de concepciones.
Al inicio el camino puede ser difícil dado que hay que conformar un banco de
problemas e ir enriqueciendo el tipo de respuestas que pueden admitir, pero a
mediano plazo las dificultades disminuirán substancialmente y el enfoque se
podrá aplicar sin muchas dificultades.
Las ideas aquí expuestas pueden ser ampliadas en las referencias que se
presentan en la bibliografía.
88
88
Bibliografía
Adda, Josette (1987); Elementos de didáctica de las matemáticas; Sección de Matemática Educativa del CINVESTAV -
IPN, México.
Arriaga, A. et al (1992); Guía para el maestro; matemáticas, primer grado, educación secundaria; SEP.
Avila, Alicia (1989); La enseñanza oficial de las matemáticas elementales en México; ssu psicopedagogia y
transformación (1944-1986); Colección Cuadernos de Cultura Pedagógica, Serie investigación, No. 6, UPN, México.
Begle, E. G. (1979); Critical variables in mathematics education; MAA y NCTM, USA.
Bishop, A. (1980); Habilidades espaciales y educación matemática, una reseña; Educational Studies in Mathematics,
Vol. 11, No. 3, Holanda.
Bishop, A. (1986); Mathematics Education as Culktural Induction; Niewe Wiskrant, October.
Bosch, C. (1992); Educación en matemáticas; Memorias de la Reunión Nacional de Matemáticas, Universidad
Autónoma de Coahuila, México.
Brousseau, G.(1983); Obstacles épistemologiques en mathé matiques; Recherches en Didactique des Mathématiques,
Vol. 4, La Pensée Sauvage, Grenoble, Francia.
Carpenter, T. y J. Moser (1982); El desarrollo de las habilidades para resolver problemas de adición y substracción; en
Addition and substraction: A cognitive Perspective; Lawrence Erlbaum Associates, USA.
Choquet, J. (1975): "El análisis y Bourbaki"; en Hernández, J.; "La enseñanza de la matemática moderna"; Alianza
Universidad, España.
Cobb, P (1986); Context, beliefs, and learning mathematics; For the Learning of Mathematics, Vol. 6, No. 2, Canadá.
Cristobal, C. et al (comps.) (1990); Historia del álgebra, parte 1: Babilonia y Egipto; Lecturas en Educación
Matemática, No. 9, Maestría en Educación en Matemáticas de la UACPyP del CCH de la UNAM.
Cuevas, O. et al (comps.) (1990); Historia del álgebra, parte 2: Grecia, India, Arabia, Europa y China; Lecturas en
Educación Matemática, No. 10, Maestría en Educación en Matemáticas de la UACPyP del CCH de la UNAM.
DGES (1993); Investigación exploratoria sobre los docentes de nuevo ingreso a las escuelas de educación secundaria
general del distrito federal; versión para revisión y discusión, Reporte de Investigación no publicado, Dirección General
de Educación Secundaria, SEP, México.
Flavell, J. (1976); Metacognitive aspects of problem solving; en Resnick, L. (ed.); The nature of intellingence; Hillsdale,
Lawrence Erlbaum Associates, USA.
Flores, A. (1988); El meollo de las matemáticas; Centro de Investigación en Matemáticas, Guanajuato, Gto.
Gascón, Josep (1993); El papel de la resolución de problemas en la enseñanza de la matemática; (por aparecer)
Educación Matemática, Vol. 6, No. 1, México.
Ginsburg, H. (1983); The development of mathematical thinking; Developmental Psychology Series, Academic Press,
USA.
Hadamard, Jaques; Psicología de la invemción en el campo matemático; ...
Kamii, Constance K. (1971); Evaluation of learning in preschool education: socio-emotional, perceptual motor, and
cognitive development; en Benjamin S. Bloom, et al (eds.); Handbook on formative and summative evaluation; New
York: McGraw-Hill.
Kilpatrick, J. (1990); A restrospective account of the past 25 years of research on teaching mathematical problem
solving; en E. A. Silver (ed.); Teaching and learning mathematical problem solving: Multiple research perspectives;
Hillsdale NJ: Lawrence, Erlbaum.
Kline, Morris (1975); ¿Porqué Juanito no sabe sumar?; Siglo XXI, México.
Krutetskii, V. (1976); The psychology of mathematical abilities in schoolchildren; University of Chicago Press, USA.
Lesh, R y Landau, M. (1983); Acquisition of mathematics concepts and process; Academic Press. USA
Lester, F. (1983); Trends and issues in mathematical problem-solving research; en Acquisition of mathematics concepts
and processes, Academic Press Inc., USA.
Lakatos, Imre (1976); Pruebas y refutaciones; Alianza Universidad, España.
Majmutov, M.I.(1983); La enseñanza problémica; Editorial Pueblo y Educación, La Habana, Cuba.
Mancera, Eduardo (1991); La matemática de la educación básica: el enfoque de la modernización; Educación
Matemática, Vol. 3, No. 3, México.
Mancera, Eduardo (1989); El papel de los errores en la matemática y su enseñanza; Lecturas en Educación
Matemática, No. 1, Unidad Académica de los Ciclos Profesional y de Posgrado del CCH de la UNAM, México.
Mancera, Eduardo y Escareño, F. (1993); Problemas, maestros y la resolución de problemas; Educación Matemática,
Vol. 5, No. 3, México.
Mejía, Raúl (1976); Moisés Sáenz; educador de México; Cincuentenario de la Fundación del Sistema Nacional de
Escuelas Secundarias Mexicanas 1926-1976, Federación Editorial Mexicana, México.
NCSM, (1980); A position paper on basic mathematical skills; en Readings in Secondary School Mathematics, National
Council of Teacers of Mathematics, USA.
NCTM (1979); Estimation; Yearbook, National Council of Teacers of Mathematics, USA.
NCTM, (1980); An agenda for action: recommendations for school mathematics of the 1980's; National Council of
Teacers of Mathematics, USA.
NCTM (1980); Problem Solving in School Mathematics; NCTM, 1980 Yearbook, Reston Virginia.
NCTM (1988); The teaching and assessing of mathematical problem solving; NCTM, Reston, Virginia.
NCTM (1989); Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics; NCTM, USA.
Noddings, N.(1982); The use of small groups protocolsin analysis of children´s arithmetical problem solving; Artículo
presentado en la reunión anual de la American Educational Research Association, New York.
89
89
Ohlsson, Stelan (1988); Mathematical meaning and aplicational meaning in the semantics of fractions and related
concepts; en Hiebert, J. y Behr, M.; Numbers, concepts and operations in the middle grades; Research Agenda for
Mathematics Education, Lawrence Erlbaum Associates, National Council teachers of Mathematics, USA.
Piaget, J. (1967); Psicología de la inteligencia; Psique, Argentina.
Polya, G. (1965); Cómo plantear y resolver problemas; TRILLAS, México.
Puig, Luis y Cerdán, F. (1988); Problemas aritméticos escolares; Colección: Matemáticas: cultura y aprendizaje,
Síntesis, España.
Peñafiel, A., Reys, B. y Reys, R. (1990); Desempeño y estrategias en la estimación en operaciones aritméticas de
alumnos de quinto de primaria y segundo de secundaria en México; Educación Matemática, Vol. 2, No. 1., México.
Resnick, (1980); Psuchology of Mathematics Education; ...
Rubinstein, (1958); El pensamiento y los caminos de su investigación; ...
Santos, L. M. (1993); La resolución de problemas: Elementos para una propuesta en el aprendizaje de las matemáticas;
Programam Nacional de Formación y Actualización de Profesores de Matemáticas, Cuadernos de Investigación, No.25,
México.
Schoenfeld, Alan (1985); Mathematical problem solving; New York, Academic Press.
Skovsmose, O. (1992); Democratic Competence and Reflective Knowing in Mathematics; For the Learning of
Mathematics, Vol. 12, No. 2, Canada.
Steiner, H. (1987); Philosophical and epistemological aspects of mathematics and their interaction with theory and
practice in mathematics education; For the Learning of Mathematics, Vol. 7, No. 1, Canadá.
Thompson, Alba. (1984); The relationship of teachers' conceptions of mathematics and mathematics teaching to
instructional practice; Educational Studies in Mathematics, Vol. 15, Holanda.
Vergnaud, Gérard (1985); El niño, las matemáticas y la realidad; TRILLAS, México.
Vygotsky, L. (1962); Thought and language; The MIT Press, USA.
Zárate, Eduardo (1989); Un tema de evaluación; Educación Matemática, Vol. 1, No. 3, México.