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8/14/2019 Progresiones presentacin

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Funcin Sucesin

PARA UN BUEN INICIODe las siguientes expresiones, cules son funciones?

1. y = 3x 8

2.

3.

4.

3 x y =

422 =+ y x

1= y x

Observacin: Esto constituye el recojo de saberes previos


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De los grficos siguientes. Qu grficos son funciones?


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Funcin SucesinUna sucesin es una funcin variable entera positiva; es decir,

R Z f: +

El trmino general es:y = f(n) = a n

n = 1 f(1) = a 1

n = 2 f(2) = a 2

n = 3 f(3) = a 3

n f(n) = a n

Un sucesin es un conjunto ordenado de infinitos nmeros reales.

As: { } { }...,,...,, nn aaaaa f 321==

.1 . a 1

.2 .a 2. .. .

.n a n

Z+ Rf

D(f) = Z+ ; R(f) R


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Ejemplo

Si a n = n(n2

1), calcular el valor de: P = a 1 a 2 + a 3 a 4

Hallamos el valor de cada trmino en:an = n(n2 1),

a1 = 1(1 2 1) = 1(1 1) = 0

a2 = 2(2 2 1) = 2(4 1) = 6

a3 = 3(3 2 1) = 3(9 1) = 24

a4 = 4(4 2 1) = 4(16 1) = 60Calculamos el valor de P, en (**): P = 0 6 + 24 60 = 42

Luego el valor de P es: 42

(**)


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Sucesiones definidas por recurrencia

Las sucesiones en las que cada trmino se obtiene del anterior

termino o de los anteriores, mediante un clculo, se llamansucesiones por recurrencia.

Ejemplo:

Si a 1 = 0; a 2 = 1 y a n = 3a n 2 a n - 1 Calcular 6 trminos.Resolvemos:

a3 = 3a 1 a 2 = 3(0) 1 = 1

a4 = 3a 2 a 3 = 3(1) (1) = 4

a5 = 3a 3 a 4 = 3(1) 4 = 7

a6 = 3a 4 a 5 = 3(4) (7) = 19

Luego:

{a n} = {0; 1; 1 ; 4; 7; 19}

Escribimos ahora el conjuntosolucin:


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PROGRESIN ARITMTICA DE PRIMER ORDEN

Consideremos la sucesin de trmino general: a n = 2n + 3

{an} = {5; 7; 9; 11; 13; 15; 17, ... }La caracterstica principal, es que cada trmino de esta sucesines igual al anterior ms 2.

Una Progresin Aritmtica,es una sucesin de nmeros realestales que cada trmino es igual al anterior ms un nmeroconstante, llamado razn o diferencia.

Ejemplo:5 7 9 11 13 15 17

+2

El 1er trmino: a 1 = 5

Razn : r = 2 Nmero de trminos: 7Termino general:

an = 2n + 3

+2 +2 +2 +2 +2


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TRMINO GENERAL:

a 1 1er. trmino

a 2 = a 1 + d 2do trmino

a 3 = a 2 + d = a 1 + d + d 3er. trmino

a 4 = a 3 + d = a 2 + d + d = a 1 + 3d 4to. trmino

a n = a 1 + (n 1) d trmino generalDe la expresin anterior hallamos:

d naa n )( 11 = 11

=

n aad n 11

1+

+

=

d aa

n n

Sugerencia: Es necesario tener en cuenta la importancia que el

estudiante maneje con mucha destreza las expresiones anteriores


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Ejemplo:

La frmula an = 5n, define una progresin aritmtica?

Solucin:

Hallamos los primeros trminos (por ejemplo los 6 primeros), enla expresin: a n = 5n, cuyos resultados son:

a1= 5(1) = 5 ; a 2 = 5(2) = 10 ; a 3 = 5(3) = 15 .

1er ter 2do ter 3er ter ..

{an} = {5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 : 30 }.Observamos que cada trmino posterior al primero es igual alanterior ms una constante, d = 5 (razn o diferencia).

Por lo tanto, afirmamos que a n = 5n , s define una Progresinaritmtica.


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Suma de los trminos equidistantes de los extremos

{an} = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 } {bn} = {2 ; 5 ; 8 ; 11; 14 }a1 a2 a3 a4 a5 a6 b1 b2 b3 b4 b5

1 3 5 7 9 11 2 5 8 11 14

12 16

12 16

12

De donde: a 1 + a 6 = a 2 + a 5 = a 3 + a 4 = 12 b1 + b 5 = b 2 + b 4 = 2b 3 = 16

En general se cumple: a 2 + a n-1 = a 3 + a n-2 = a 4 + a n-3 .... = a 1 + a n


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Suma de los n trminos de Progresin Aritmtica

La suma de los trminos de una P.A, la denotamos por S n . Para hallar laexpresin de la suma hacemos:

Sn = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n-2 + a n-1 + a n

Sn = a n + an-1 + a n-2 + .... + a 3 + a 2 + a 1

2 S n = (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + ... + (a n-2 + a 3) + (a n-1 + a 2) + (a n + a 1)

En el segundo miembro existe n parntesis y cada uno de ellos es igual a:

(a1 + a n).

Por lo tanto: 2 S n = (a 1 + a n) n.

De donde: 21 naaS nn+= )(


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Interpolacin de medios aritmticos

Interpolar p trminos entre dos nmeros a 1 y a n es intercalar

p nmeros entre a 1 y a n de modo que formen una P.A.

a1 an

p trminos

n = (p + 2) trminos

Para resolver problemas de ste tipo, es suficiente hallar larazn d de la P.A. que tiene por extremos a 1 y a n cuyonmero de trminos es p + 2.

112 1

1+

=++=

paa

d d paa nn )(

Para lo cual usamos:


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PROGRESIN ARITMTICA DE 2DO ORDEN

Consideremos la sucesin: {a n} = {5 ; 11 ; 19 ; 29 ; 41 ; 55 ; ... }

5 11 19 29 41 55

+ 6 +8 +10 +12 +14

+2 +2 +2 +2

La ltima fila (2da) representa la caracterstica de unaprogresin aritmtica de 2do orden.


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a1 a2 a3 a4 a5

+p +q +r +s

+d +d +d

Trmino General:Para hallar el trmino general, primero se halla el trmino (a 0)

anterior al primer trmino y luego se aplica la frmula (**).Sea la sucesin: {a n} = {a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 5 ; ... }

C

B

C n A

Bn A

a n +

+

=22

2De donde:

A

a0

+ m

+d

(**)


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Ejemplo:Hallar el trmino general de: {a n} = {5 ; 11 ; 19 ; 29 ; 41 ; 55 ;... }

5 11 19 29 41 55

+ 6 +8 +10 +12 +14

+2 +2 +2 +2+2

4

1C

B

A

De modoque: 1

224

22

22

22 +

+

=+

+

= nnC n A Bn Aa n

Por tanto el trmino general es: 122 ++= nna n


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Espero que nuestros nietos me estarn

agradecidos, no solamente por las cosasque he explicado aqu, sino tambin por las que he omitido intencionadamente a

fin de dejarles el placer de descubrirlas. Descartes

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