MATEMATICAS

ÁNGEL ABEL ALEGRÍA LÓPEZ

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA PARA EL DESARROLLO

CAMPUS JUCHITAN

LIC. EN INGENIERIA EN SISTEMAS DE LA INFORMACION

JUCHITAN DE ZARAGOZA OAXACA

2014

Índice

FUNCIONES Y GRAFICAS ......................................................................................... 3

CONCEPTO DE FUNCION...................................................................................... 3

TIPOS DE FUNCIONES Y SUS GRAFICAS ........................................................... 3

Función lineal ........................................................................................................ 3

Función cuadrática................................................................................................ 6

Función polinomial de grado superior ................................................................... 9

Función racional ................................................................................................. 13

Función exponencial ........................................................................................... 15

Función logarítmica............................................................................................. 18

PROGRESIONES ..................................................................................................... 21

PROGRESIONES ARITMETICAS ......................................................................... 21

PROGRESIONES GEOMETRICAS ....................................................................... 22

Bibliografía ................................................................................................................ 23

FUNCIONES Y GRAFICAS

En muchas situaciones encontramos que dos o más objetos o cantidades

están relacionados por una correspondencia de dependencia, como por ejemplo: el

área de un círculo depende del radio del mismo, la temperatura de ebullición del

agua depende de la altura del lugar, la distancia recorrida por un objeto al caer

libremente depende del tiempo que transcurre en cada instante. Esto nos conduce al

concepto matemático de función.

CONCEPTO DE FUNCION

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos, de tal

forma que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un elemento y sólo

uno del conjunto final.

Se relacionan así dos variables numéricas que suelen designarse con x e y.

F: x → y=f(x)

x es la variable independiente

y es la variable dependiente

Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder

a cada elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto

B, llamado imagen de x por f, que se denota y=f (x).

En símbolos, se expresa f : A→ B , siendo el conjunto A el dominio de f, y el conjunto

B el condominio

TIPOS DE FUNCIONES Y SUS GRAFICAS

Función lineal

Las funciones lineales son polinomios de primer grado.

Una función lineal puede ser llevada a la forma:

y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 , a,b∈ IR

Propiedades

1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.

2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b.

Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es

decreciente.

También recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma

explícita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor

conjunto posible en cada caso.

Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que

f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los

números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.

Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"

Ejemplos:

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

F(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos

siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy

sencillas:

Función polinomial de grado superior

Un polinomio es una suma de números finitos, la expresión de una función

polinomial es: f(x)= an xn +an-1 xn-1+… +a2 x2 + a1 x+a0 donde n es un número

real entero no negativo al igual que cada una de las constantes an ,an – 1, …, a2 ay

a0.

El grado del polinomio es n y su coeficiente de mayor grado, o sea, an, es su

coeficiente principal. Si a0 es diferente de 0 y n=0, entonces f(x)=a0 es una función

de grado 0 y se llama función constante. Si n=1 la función polinomial es de primer

grado y se llama función lineal. La expresión de esta función es de la forma: f(x)=

a1x+a0; donde a1 es diferente de cero. Los ceros de una función polinomial

Definidos por la ecuación y=f(x) son aquellos valores de x que son la solución de la

ecuación f(x)=0. Teorema del residuo Si un polinomio P(x) se divide entre x-a hasta

obtener un residuo en el que no aparece la variable x, el residuo resultante es igual

P(a). Si dividimos P(x) entre x-a y designamos por Q(x) el coeficiente y por r el

residuo, entonces P(x)= Q(x)(x-a)+r. Teorema del factor Si x=a es una raíz de la

ecuación P(x)=0, donde P(x) es un polinomio entonces x entre a es un factor de P(x)

y recíprocamente, si x-a es un factor de P(x), entonces x=a es una raíz de la

ecuación P(x)= 0. División sintética Dado que el teorema del residuo nos permite

hallar el valor de un polinomio f(x) mediante la división de este entre un binomio,

existe un método más sencillo para efectuar rápidamente dicha operación. Este

procedimiento se conoce como división sintética y este método se justifica cuando se

compara con el de la división usual. Teorema fundamental del algebra Su expresión

algebraica es f(x)= an (x-r1)(x-r2)(x-r3)…(x-rn)=0 Concluimos f(x) de grado n>0 se

puede expresar como el producto de factores lineales. Cabe precisar que las raíces

de f(x)=0 pueden ser reales o complejas y se pueden repetir, como lo hemos

señalado. Una raíz de multiplicidad k se cuenta n veces. La forma factorizada de un

polinomio con coeficientes reales nos permite construir una ecuación si conocemos

sus raíces.

Teorema del valor medio Este teorema es gran utilidad cuando requerimos hallar

raíces reales de la ecuación polinimial f(x)=0. Su enunciado nos dice lo siguiente:

Sea f una función polinomial; si a y b son dos números reales del dominio de f tal que

a < b, y los signos de f(a) y f(b) son opuestos, entonces existe al menos una

intersección con el eje x entre a y b; o sea entre a y b, la función tiene al menos un

cero real. Ceros racionales de un polinomio Como cada entero tiene un número finito

de divisores enteros, entonces este teorema nos permite elaborar una lista finita de

posibles raíces racionales. Por ejemplo, si f(x)= 2x3+3x2-8x+3, entonces los divisores

de an, o sea, de 2, son ±1 y ±2 y los de a0, es decir, de 3, son ±1 y ±3.

Relación entre raíz, factor y divisor de un polinomio. Estos teoremas se relacionan

porque en cada uno de ellos calculamos el resultado del residuo y también podemos

sacar raíz.

Ejemplos:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Función racional

Una función racional h(x) es el cociente de dos funciones f(x) y g(x) se

representa con:

( ) ( )

( )

Donde f(x) y g(x) son funciones polinomiales y g(x) es una función diferente de cero,

es decir g(x) ≠ 0.

El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales con

excepción de los valores para los cuales: g(x) = 0.

Ejemplos:

Función exponencial

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la

base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas

funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología,

administración, economía, química, física e ingeniería.

La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y

diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone,

debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función

constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma

f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.

El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números

reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.

1. La función exponencial de base dos: y=f(x)=2x

La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 1/8 1/4 ½ 1 2 4 8

Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano,

uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena.

Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función a medida que:

x crece ilimitadamente

x decrece ilimitadamente.

2. La función exponencial de base 1/2

Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve

el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a +¥ y

cuando x tiene a -¥.

y=f(x)=(1/2)x

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 8 4 2 2 1/2 1/4 1/8

3. La función exponencial para cualquier valor de b

Utiliza la siguiente escena para analizar el comportamiento de otras funciones

exponenciales, para diferentes valores de b. Usa las flechas para modificar el

valor de la base b. Compara el comportamiento de la función para valores de b>1

y valores de comprendidos entre 0<b<1.

La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable

independiente x.

Toma valores positivos para cualquier valor de x.

El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números

reales.

Todas las funciones pasan por el punto (0,1).

Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con b>1 son

crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.

Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con 0<b<1

son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.

El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si b>1 y hacía la

derecha si b<1.

La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno.

Si b=0 la función se transforma en la función constante 0.

Ejemplos:

(

)

(

)

Función logarítmica

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.

Como la notación f-Se

utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este

tipo de inversas. Si f(x)= bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe log b (x)

para la inversa de la función con base b. Leemos la notación log b(x) como el

―logaritmo de x con base b‖, y llamamos a la expresión log b(x) un logaritmo.

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la

base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces

Log b y = x si y sólo si y = bx.

Nota: La notación log b y = x se lee ―el logaritmo de y en la base b es x‖.

Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya

que 52 = 25. Decimos que ―el logaritmo de 25 en la base 5 es 2‖. Simbólicamente

lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es

equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.)

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales

positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que,

log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor

del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.

Ejemplos:

PROGRESIONES

Toda progresión matemática es una sucesión de números o términos

algebraicos entre los cuales hay una ley de formación constante. Se distinguen dos

tipos:

PROGRESIONES ARITMETICAS

Termino general de una progresión aritmética

( )

( )

Interpolación de términos

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Suma de términos equidistantes

Suma de n términos consecutivos

( )

PROGRESIONES GEOMETRICAS

Término general de la progresión geométrica

Interpolación de términos

√

Suma de n términos consecutivos

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Producto de términos equidistantes

Producto de n términos equidistantes

√( )

Bibliografía

@vitutor. (2014). VITUTOR. Recuperado el 6 de 12 de 2014, de nexo@vitutor.com:

http://www.vitutor.com/al/sucesiones/p_f.html

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http://platea.pntic.mec.es/jarias/investiga/apuntes/1bcn/1bcm108.pdf

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Tenenbaum, P. S. (27 de 10 de 2010). edu.uy. Recuperado el 8 de 12 de 2014, de

http://www.x.edu.uy/lineal.htm