Sucesiones. ProgresionesMatemáticas B4º ESO

1Mariano Benito

Sucesión de números realesEs una secuencia de números reales,

como: -3, -5, 5, -7, 7, -9, 9, …-2, 0, 2, 4, 6, 8, …4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, …0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, …2, 5, 10, 17, 26, 37, …

A los términos se les designa: a1, a2, a3, …

Mariano Benito 2

Término generalA veces se puede averiguar qué

término es el siguiente en una sucesión, pero otras no.

Si supiéramos que el término n-ésimo, es decir, el que ocupa el lugar n, cualquiera, es: an = 3n-1

la sucesión sería (an ): 2, 5, 8, 11, …Esta es la manera de expresar una

sucesión (an ): a1, a2, a3, …, y a an se le llama término general o n-ésimo.

Mariano Benito 3

Ejemplo 1Escribe los primeros términos de:

Mariano Benito 4

:n1)(

:1/2

:(1/n)

:3)(2n

:1)(n

n

1n

2

Ejemplo 2Halla el término general de las sucesiones:

1, 8, 27, 64, 125, …-2, 4, -6, 8, -10, …3, -3, 3, -3, 3, …-5, -3, -1, 1, 3, …4, -8, 16, -32, 64, …9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, …1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, -1/32, …

A partir de ahora, a las sucesiones (an ) las denotaremos sólo mediante su término general y evitaremos ponerlo entre paréntesis, an .

Mariano Benito 5

Progresiones aritméticasSon sucesiones en las que cada

término es igual al anterior más una cantidad constante que llamamos diferencia, d.

Ejemplos:◦1, 3, 5, 7, 9, …. d=2◦4, 1, -2, -5, -8, … d=-3◦2, 2, 2, 2, 2, … d=0

Mariano Benito 6

Término general de una progresión aritméticaSi tenemos: a1, a2, a3, …

progresión aritmética, se cumple:◦a2 = a1 +d

◦a3 = a2 +d = a1 +d+d = a1 +2d

◦a4 = a3 +d = a2 +d+d = … = a1 +3d

………..◦an = an-1 +d = ….. = a1 +(n-1)d

Es decir an = a1 +(n-1)d

Mariano Benito 7

EjerciciosHalla el octavo término de una progresión

aritmética cuyo primer término es 3 y la diferencia es 5.

Calcula el primer termino de una p. a. que consta de 20 términos sabiendo que el último es 83 y la diferencia es 4.

¿Cuántos términos tiene una p. a. que empieza por 15 y termina por -90, si la diferencia es -3?.

Halla la diferencia de una p. a. de 12 términos siendo 6 el primero y 39 el último.

Mariano Benito 8

Suma de dos términos equidistantes de los extremos una progresión aritméticaEn una p. a. limitada, la suma de

dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.Ejemplo: -4, -1, 2, 5, 8, 11, 14

Mariano Benito 9

5+5

2+8

-1+11

-4+14=10

Suma de n términos de una progresión aritmética limitadaLlamamos Sn a la suma de los n

términos de la p. a. a1, a2, a3, … an-2, an-1, an

Sn = a1+ a2 + a3 +…+ an-2+an-

1+an

Sn = an+an-1+an-2+…+ a3 + a2

+a1

a1+ an a1+ an a1+ an a1+ an

2·Sn = (a1+ an )·n,

Mariano Benito 10

n2

aaS n1n

EjerciciosHalla la suma de los 100

primeros números naturales.Halla la suma de los 50 primeros

números impares.¿Cuántos términos he de sumar

de la p. a. -3, -1, 1, 3, 5, 7, …..para que su suma sea 221?

Halla la suma de los términos que van del 4º al vigésimo de la progresión anterior.

Mariano Benito 11

Interpolación aritmética Interpolar m medios aritméticos entre dos

términos conocidos a y b es intercalar m términos entre a y b de modo que todos ellos formen una progresión aritmética de m+2 términos.

Ejemplo: Interpolar 3 medios aritméticos entre 6 y 8.Busco a1, a2, a3 tal que 6, a1, a2, a3, 8 sea una p. a.Calculo la diferencia: 8=6+(5-1)d; d=0.5La progresión es: 6, 6.5, 7, 7.5, 8.

Ejercicio: Interpola, entre -2 y 4, siete medios aritméticos.

Mariano Benito 12

Progresiones geométricasSon sucesiones en las que cada

término es igual al anterior por una cantidad constante que llamamos razón, r.

Ejemplos:◦4, -8, 16, -32, 64, … r=-2◦9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, … r=1/3◦0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, …

r=1/10◦1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, -1/32, …

r=-1/2◦-2, 2, -2, 2, -2, 2, … r=-1◦7, 0, 0, 0, 0, … r=0

Mariano Benito 13

Término general de una progresión geométricaSi tenemos: a1, a2, a3, …

progresión geométrica, se cumple:◦a2 = a1·r

◦a3 = a2·r= a1·r·r= a1·r²

◦a4 = a3·r = a2·r·r= … = a1·r³

………..◦an = an-1·r = ….. = a1·r

Es decir an = a1·rMariano Benito 14

n-1

n-1

EjerciciosCalcula el séptimo término de la

progresión: 3, 9, 27, …Halla el primer término de un p. g. de

8 términos cuya razón es 2 y el último término 1280.

¿Cuántos términos tiene una p. g. de razón 3 en la que el primero es 1 y el último 81?

Encuentra la razón de una p. g. de 10 términos sabiendo que a=16 y a=1/32.

Mariano Benito 15

Producto de dos términos equidistantes de los extremos una progresión geométrica

Mariano Benito 16

En una p. g. limitada, el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos.Ejemplo: 8, 4, 2, 1, 1/22·2

4·1

8·1/2=4

Producto de n términos de una progresión geométrica limitadaLlamamos Pn al producto de los n

términos de la p. g. a1, a2, a3, … an-2, an-1, an

Pn = a1· a2 · a3 · …· an-2· an-1· an

Pn = an· an-1· an-2· …· a3 · a2 · a1

a1· an a1· an a1· an a1· an

Pn = (a1· an ),

Mariano Benito 17

nn1n a·aP 2 n

EjerciciosHalla producto de los 5 términos

de la p. g. 3, 6, 12, 24, 48.¿Cuántos términos he de

multiplicar de la p. g. 8, 4, 2, 1, …para que su producto sea 1?

Halla el producto de los términos que van del 4º al 7º de la progresión anterior.

Mariano Benito 18

Llamamos Sn a la suma de los n términos de la p. g. a1, a2, a3, … an-2, an-1, an

Sn = a1+ a2 + a3 +…+ an-2+ an-1 + an

r·Sn = r· a1+r· a2 +…....+r· an-2+r· an-

1+r· an

Restamos la 2ª-1ª expresión: r·Sn - Sn = r· an – a1 ; es decir,

o bienMariano Benito 19

Suma de n términos de una progresión geométrica limitada

1rar·a

S 1nn

1r1r·a

Sn

1n

EjerciciosHalla la suma de la p. g. 5, 10,

…,20480.Calcula la suma de los 10

primeros términos de la p. g. 8/9, 4/3, 2, 3, 9/2, …

En una p. g. de razón 1/2, ¿cuántos términos he de sumar para que me dé 15, sabiendo que el primer término es 8?

La suma de 3 términos consecutivos de una p. g. es 7/8. Si el primero es 1/2, calcula la razón.

Mariano Benito 20

Suma de todos los términos de una progresión geométrica ilimitada

En la expresión de la suma de n términos

Si /r/<1 y n ─>+∞, es decir, el número de términos es muy, muy, muy grande, la expresión r tiende a valer 0. Así:

Mariano Benito 21

1r

1r·aS

n1

n

n

r1

a

1r

a

1r

10·aS 111

EjercicioHalla la suma de todos los

términos de la progresión geométrica:

2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ………..

Como r=1/2 < 1,

Mariano Benito 22

r1

aS 1

4

212

21

1

2S

Interpolación geométrica

Mariano Benito 23

Interpolar m medios geométricos entre dos términos conocidos a y b es intercalar m términos entre a y b de modo que todos ellos formen una progresión geométrica de m+2 términos.

Ejemplo: Interpolar 3 medios geométricos entre 2 y 32.Busco a1, a2, a3 tal que 2, a1, a2, a3, 32 sea una p. g.Calculo la razón: 32=2·r ; r = 2 ó -2La progresión es: 2, 4, 8, 16, 32,

o bien 2, -4, 8, -16, 32Ejercicio: Interpola, entre 1/3 y -1/81, dos medios geométricos.

5-1