progresiones y sucesiones_ejercicios resueltos 2

Sucesiones y progresiones

Sucesiones y progresiones. Ejercicios

1 Hallar el trmino general de las siguientes sucesiones:

123456782Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones:

1233 El primer trmino de una progresin aritmtica es -1, y el dcimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros trminos.

4 El cuarto trmino de una progresin aritmtica es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesin.

5 Escribir tres medios artmticos entre 3 y 23.

6 Hallar la suma de los quince primeros mltiplos de 5.

7 Hallar la suma de los quince primeros nmeros acabados en 5.

8 Hallar la suma de los quince primeros nmeros pares mayores que 5.

9El 1er trmino de una progresin geomtrica es 3, y el 8 es 384. Hallar la razn, y la suma y el producto de los 8 primeros trminos.

10 El 2 trmino de una progresin geomtrica es 6, y el 5 es 48. Escribir la progesin.

11 Interpolar tres medios geomtricos entre 3 y 48.

12 Encontrar la fraccin generatriz de 3.2777777...

13Hallar los ngulos de un cuadriltero convexo, sabiendo que estn en progresin aritmtica, siendo d = 25.

14El cateto menor de un tringulo rectngulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del tringulo forman una progresin aritmtica.

Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

1

Hallar el trmino general de las siguientes sucesiones:

1 El numerador es constante.

El denominador es una progresin aritmtica de d= 1.

2 El numerador es una progresin aritmtica con una d= 1.

El denominador es una progresin aritmtica con una d = 1.

3 En esta sucesin se han simplificado algunas fracciones.

El numerador es una progresin aritmtica con una d= 1.


4 Si prescindimos del signo es una progresin aritmtica con una d= 1.

Por ser los trminos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

5

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresin aritmtica con una d= 1.


Por ser los trminos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.

6 Es una sucesin oscilante.

Los trminos impares forman progresin aritmtica con una d= 1, si no tenemos en cuenta los trminos pares.

El denominador de los trminos pares forman progresin aritmtica con una d= 1.

7

Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresin aritmtica con una d= 1.

Por estar los trminos al cuadrado, tenemos que elevar el trmino general al cuadrado.

Por ser los trminos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

8

Es una sucesin oscilante.

El numerador de los trminos impares forman progresin aritmtica con una d= 1, si no tenemos en cuenta los trminos pares.

Por estar los trminos al cuadrado, tenemos que elevar el trmino general al cuadrado.

El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresin aritmtica de d= 1 (sin contar los trminos pares).

El trmino general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3.

Los trminos pares forman una sucesin constante.


2

Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones:

1 Monotona

3, 4/3, 1, 6/7,...

Es monotona estrictamente decreciente.

Lmite

a1= 3

a3= 1

a1000= 0.5012506253127

a1000 000 = 0.5000012500006

El lmite es 0.5

Sucesin convergente

Cotas

Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el mximo.

0.5 es una cota inferior, el nfimo o extremo inferior.

Por tanto la sucesin est acotada.

0.5 < a n 3

22, 4, 8, 16, ...

No es montona.No es convergente ni divergente.

No est acotada.

3No es montona.Es convergente porque el lmite = 0.Est acotada superiormente, 1 es el mximo.

Est acotada inferiormente, -1 es el mnimo.

Est acotada.

1 a n 1


3

El primer trmino de una progresin aritmtica es -1, y el dcimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros trminos.

a 1 = 1; a 15 = 27;

a n = a 1 + (n - 1) d27= -1 + (15-1) d; 28 = 14d; d = 2

S= (-1 + 27) 15/2 = 195 Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

4

El cuarto trmino de una progresin aritmtica es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesin.

a 4 = 10; a 6 = 16

a n = a k + (n - k) d16 = 10 + (6 - 4) d;d= 3

a1= a4 - 3d;

a1 = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ... Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

5

Escribir tres medios artmticos entre 3 y 23.

a= 3, b= 23;

d= (23-3)/(3+1) = 5;

3,8, 13, 18,23.


6

Hallar la suma de los quince primeros mltiplos de 5.

a1= 5; d= 5; n = 15.

a n = a 1 + (n - 1) d

a15 = 5 + 14 5 = 75

S15 = (5 + 75) 15/2 = 600.


7

Hallar la suma de los quince primeros nmeros acabados en 5.

a1= 5; d= 10 ; n= 15.

a15= 5+ 14 10= 145

S15 = (5 + 145) 15/2 = 1125 Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

8

Hallar la suma de los quince primeros nmeros pares mayores que 5.

a1= 6; d= 2; n= 15.

a15 = 6 + 14 2 = 34

S15= (6 + 34) 15/2 = 300 Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

9

El 1er trmino de una progresin geomtrica es 3, y el 8 es 384. Hallar la razn, la suma y el producto de los 8 primeros trminos.

a 1 = 3; a 8 = 384;

384 = 3 r8-1 ; r7 = 128; r7 = 27; r= 2.S8 = (384 2 - 3 ) / (2 1) = 765


10

El 2 trmino de una progresin geomtrica es 6, y el 5 es 48. Escribir la progesin.

a2= 6; a5= 48;

an = ak r n-k48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.

a1= a2 / r; a1= 6/2= 3

3, 6, 12, 24, 48, ... Sucesiones y progresiones. Actividades

11

Interpolar tres medios geomtricos entre 3 y 48.

a = 3; b = 48;

3, 6, 12, 24, 48

Sucesiones y progresiones. Actividades

12

Encontrar la fraccin generatriz de 3.2777777...

3.2777777...= 3.2 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...

Tenemos una progresin geomtrica decreciente ilimitada.

a1= 0.07 r= 0.1;

3.2 + 0.07 / (1 - 0.1) = 32/10 + 7/90 = 59/18


13

Hallar los ngulos de un cuadriltero convexo, sabiendo que estn en progresin aritmtica, siendo d= 25.

La suma de los ngulos interiores de un cuadriltero es 360.

360= ( a1 + a4) 4/2

a4= a1 + 3 25

360= ( a1 + a1 + 3 25) 4/2

a1 = 105/2 = 52 30' a2 = 77 30' a3 = 102 30' a4 = 127 30'Sucesiones y progresiones. Actividades

14

El cateto menor de un tringulo rectngulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del tringulo forman una progresin aritmtica.

a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

d = 8

8, 16, 24.


8

Hallar la suma de los quince primeros nmeros pares mayores que 5.

a1= 6; d= 2; n= 15.

a15 = 6 + 14 2 = 34

S15= (6 + 34) 15/2 = 300 Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

9


a 1 = 3; a 8 = 384;

384 = 3 r8-1 ; r7 = 128; r7 = 27; r= 2.S8 = (384 2 - 3 ) / (2 1) = 765


10


a2= 6; a5= 48;

an = ak r n-k48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.

a1= a2 / r; a1= 6/2= 3


11


a = 3; b = 48;

3, 6, 12, 24, 48


12


3.2777777...= 3.2 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...


a1= 0.07 r= 0.1;

3.2 + 0.07 / (1 - 0.1) = 32/10 + 7/90 = 59/18


13



360= ( a1 + a4) 4/2

a4= a1 + 3 25

360= ( a1 + a1 + 3 25) 4/2


14


a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

d = 8

8, 16, 24.


9


a 1 = 3; a 8 = 384;

384 = 3 r8-1 ; r7 = 128; r7 = 27; r= 2.S8 = (384 2 - 3 ) / (2 1) = 765


10


a2= 6; a5= 48;

an = ak r n-k48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.

a1= a2 / r; a1= 6/2= 3


11


a = 3; b = 48;

3, 6, 12, 24, 48


12


3.2777777...= 3.2 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...


a1= 0.07 r= 0.1;

3.2 + 0.07 / (1 - 0.1) = 32/10 + 7/90 = 59/18


13



360= ( a1 + a4) 4/2

a4= a1 + 3 25

360= ( a1 + a1 + 3 25) 4/2


14


a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

d = 8

8, 16, 24.


9


a 1 = 3; a 8 = 384;

384 = 3 r8-1 ; r7 = 128; r7 = 27; r= 2.S8 = (384 2 - 3 ) / (2 1) = 765


10


a2= 6; a5= 48;

an = ak r n-k48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.

a1= a2 / r; a1= 6/2= 3

3, 6, 12, 24, 48, ... Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

9


a 1 = 3; a 8 = 384;

384 = 3 r8-1 ; r7 = 128; r7 = 27; r= 2.S8 = (384 2 - 3 ) / (2 1) = 765


10


a2= 6; a5= 48;

an = ak r n-k48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.

a1= a2 / r; a1= 6/2= 3


11


a = 3; b = 48;

3, 6, 12, 24, 48


9


a 1 = 3; a 8 = 384;

384 = 3 r8-1 ; r7 = 128; r7 = 27; r= 2.S8 = (384 2 - 3 ) / (2 1) = 765


10


a2= 6; a5= 48;

an = ak r n-k48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.

a1= a2 / r; a1= 6/2= 3


11


a = 3; b = 48;

3, 6, 12, 24, 48


12


3.2777777...= 3.2 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...


a1= 0.07 r= 0.1;

3.2 + 0.07 / (1 - 0.1) = 32/10 + 7/90 = 59/18


9


a 1 = 3; a 8 = 384;

384 = 3 r8-1 ; r7 = 128; r7 = 27; r= 2.S8 = (384 2 - 3 ) / (2 1) = 765


10


a2= 6; a5= 48;

an = ak r n-k48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.

a1= a2 / r; a1= 6/2= 3


11


a = 3; b = 48;

3, 6, 12, 24, 48


12


3.2777777...= 3.2 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...


a1= 0.07 r= 0.1;

3.2 + 0.07 / (1 - 0.1) = 32/10 + 7/90 = 59/18


13



360= ( a1 + a4) 4/2

a4= a1 + 3 25

360= ( a1 + a1 + 3 25) 4/2

a1 = 105/2 = 52 30' a2 = 77 30' a3 = 102 30' a4 = 127 30'Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

9


a 1 = 3; a 8 = 384;

384 = 3 r8-1 ; r7 = 128; r7 = 27; r= 2.S8 = (384 2 - 3 ) / (2 1) = 765


10


a2= 6; a5= 48;

an = ak r n-k48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.

a1= a2 / r; a1= 6/2= 3


11


a = 3; b = 48;

3, 6, 12, 24, 48


12


3.2777777...= 3.2 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...


a1= 0.07 r= 0.1;

3.2 + 0.07 / (1 - 0.1) = 32/10 + 7/90 = 59/18


13



360= ( a1 + a4) 4/2

a4= a1 + 3 25

360= ( a1 + a1 + 3 25) 4/2


14


a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

d = 8

8, 16, 24.


14


a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

d = 8

8, 16, 24.


13



360= ( a1 + a4) 4/2

a4= a1 + 3 25

360= ( a1 + a1 + 3 25) 4/2


14


a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

d = 8

8, 16, 24.


12


3.2777777...= 3.2 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...


a1= 0.07 r= 0.1;

3.2 + 0.07 / (1 - 0.1) = 32/10 + 7/90 = 59/18


13



360= ( a1 + a4) 4/2

a4= a1 + 3 25

360= ( a1 + a1 + 3 25) 4/2


14


a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

d = 8

8, 16, 24.


11


a = 3; b = 48;

3, 6, 12, 24, 48


12


3.2777777...= 3.2 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...


a1= 0.07 r= 0.1;

3.2 + 0.07 / (1 - 0.1) = 32/10 + 7/90 = 59/18


13



360= ( a1 + a4) 4/2

a4= a1 + 3 25

360= ( a1 + a1 + 3 25) 4/2


14


a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

d = 8

8, 16, 24.

progresiones y sucesiones_ejercicios resueltos 2

Documents