El presente trabajo est enfocado a cualquier persona quedeseeadquirirlosconocimientosbsicossobre lasprogresionesgeomtricasconsusrespectivas conclusionescomotambinejemplos.Ademsde las demostraciones de cada una de estas. En las siguientes pginas de este informe encontrara como paso a paso son resueltos algunos ejemplos de cada tema que se est tratando. Esevidentequeelintersporlasmatemticasno respondeaestanecesidad.Creemosqueengran parteesporlafaltadetcnicasdidcticasal momento de ensear o presentar un libro. Es por ello que el presente trabajo sobre progresiones tiene unaspectodidcticoconmuchosejemplosyejercicios propuestos. 1.INTRODUCCIN 2.NDICE3.REVICIN BIBLIOGRAFICA 4.PROBLEMAS RESUELTOS 5.CONCLUSIONES 6.RECOMENDACIONES 7.BIBLIOGRAFIA8.ANEXO Dentrodelassucesionesexistendosmodelosmuyimportantesy corresponden al nombre genrico de progresiones. Progresiones aritmticas Unasucesindenmerosreales,esunaprogresinaritmtica(P.A)si la diferenciaentre cada trmino y el anterior es constante. La constante en una P.A se llamadiferencia comn y la simbolizaremos con la letra d. Para que una P.A. quede completamente definida, adems de especificar sudiferenciacomnd,debemosespecificarelprimertrminodela progresin que usualmente se denota u1. Cmo reconocer una progresin aritmtica? Paraasegurarsedequeunasucesinesunaprogresin aritmticasehadecomprobarqueladiferenciaentrecada trminoysuanterioressiemprelamisma.Adems,esta comprobacinelementaldeterminaelvalordeladiferenciadela progresin. Ejemplo 1 (a) 0, 1, 2, 3, 4,............, u1 = 0d= 1 (b) 7, 14, 21, 28,35,....., u1 = 7d= 7 (c) 10, 1,-8,-17,-26,......, u1 = 10d=-9 Ejemplo 2 La sucesin: 5; 8; 11; 14; ... d = 8 5 = 11 8 = 14 11 = 3 Unaprogresinaritmticaesunasucesinenlaquecada elementoseobtienesumandoalanteriorunnmerofijollamado diferencia, que se representa por la letra d. Nota:EnelprogramaBachillerato,seutilizalaletraupara designar un elemento de una progresin As, si (un) es una progresin aritmtica, se verifica que: un = un - 1 + d Trmino general de una progresin aritmtica Lafrmuladeltrminogeneraldeunaprogresinaritmtica(un) se encuentra sin ms que observar que: u2 = u1 + d u3 = u2 + d = (u1 + d) + d = u1 + 2 d u4 = u3 + d = (u1 + 2d) + d = u1 + 3d u5 = u4 + d = (u1 + 3d) + d = u1 + 4d Ntesequeentodosloscasoseltrminocorrespondienteesla suma de dos cantidades: - La primera es siempre u1 - La segunda es el producto (n - 1) d . un = u1 + (n - 1) d Siladiferenciadeunaprogresinaritmticaespositiva,la progresinescreciente;esdecircadatrminoesmayorque el anterior. Siladiferenciadeunaprogresinaritmticaesnegativa,la progresinesdecreciente,esdecir,cadatrminoesmenor que el anterior. Ejemplo Sea la sucesin 1, 3, 5, 7, 9, ... Cul es su trmino general? Solucin: ) 1 n ( 2 1 u...... .......... .......... ..........3 2 1 6 1 7 u2 2 1 4 1 5 u2 1 1 2 1 3 u2 0 1 0 1 1 un4321 + = + = + = = + = + = = + = + = = + = + = = Se trata de una progresin aritmtica de diferencia d = 2 y primer trmino u1 = 1. El trmino general es, por tanto: un = 1 + (n - 1) 2 = 2n-1 Trminosequidistantesdeunaprogresin aritmtica Elintersdelasprogresionesaritmticasnoacabaenelclculo deltrminogeneral.Estudiandomsdetalladamentealgunos modelosdeprogresionesaritmticas,sepuedendeducir propiedades de enorme inters: Encadaunodeestostresmodelossehanelegidoalazardos parejasdistintasdetrminos,deformaquelasumadelos subndicesesigualenamboscasos.Sumandoelvalordelos trminosencadaunadelasdosparejas,seobservaquelos resultados coinciden. Estoconducealapreguntadesi,elegidascualesquierados parejasdetrminoscuyassumasdesubndicescoincidan, tambin coincidirn las sumas de sus trminos correspondientes. Dicho en lenguaje matemtico, cabe preguntarse si ser cierto que el hecho de ser r + s = t + v, se desprende la igualdad ur + us = ut + uv. Larespuestaesafirmativa,yesteresultadoseconoceconel nombredepropiedaddelostrminosequidistantesdeuna progresin aritmtica. Propiedad:Si un es una progresin aritmtica de diferencia d y r + s = t + v, entonces ur + us = ut + uv. Demostracin: d v t u u u d s r u u ud v u u d s u ud t u u d r u uv t s rv st r) 2 ( 2 ) 2 ( 2______ __________ _____ __________) 1 ( ) 1 () 1 ( ) 1 (1 11 11 1 + + = + + + = + + = + = + = + = Estos dos resultados son iguales por ser r + s = t + v. Ejemplo En una progresin aritmtica se sabe que: a1 = -2, a32 = 91, a16 = 43. Encontrar a17. Solucin: Puestoque1+32=16+17=33,porlapropiedaddelos trminos equidistantes, u1 + u32 = u16 + u17 -2 + 91 = 43 + u17u17=46 Interpolacin de medios aritmticos Interpolar(deinter=entreypolos=ejes)nnmerosentreotros dosconocidosayb;consisteenconstruirunaprogresin aritmtica a, u1, u2, ..., un, b. Pararesolveresteproblemabastaconconocerladiferenciaque ha de tener la progresin, la cual se deduce sin ms que tener en cuenta dos cosas: La sucesin tiene n + 2 trminos El primer trmino es a y el trmino un + 2es b. Aplicandolafrmuladeltrminogeneraldeunaprogresin aritmtica, se tiene que: b = a + [(n + 2) - 1] d , Unavezconocidoelvalordeladiferencia,a1seobtienecomola suma de a y d ;u2 es la suma de a1 y d , y as sucesivamente. Losnmerosu1,u2,...,unrecibenelnombredemedios aritmticos. Ejemplo Interpolar cinco medios aritmticos entre -18 y 25. Solucin: La progresin es: -18, u1, u2, u3, u4, u5, 25. Aplicando la frmula obtenida con a = -18 y b = 25. La progresin aritmtica que se buscaba es: Sumadetrminosconsecutivosdeunaprogresin aritmtica Se denotar por Sn a la suma u1 + u2 + ... + un Se tiene entonces: Sn = u1 + u2 + u3+ ... + un - 2 + un - 1+ an Invirtiendo el orden, Sn = un + un - 1 + un - 2+ ... + u3 + u2+ u1 y sumando, 2Sn = (u1 + u2) + (u2 + un - 1) + ... + (un - 1 + u2) + (un + u1) Ahora bien, por la propiedad de los trminos equidistantes se sabe que: u1 + un = u2 + un - 1 = u3 + un - 2= ... = un + u1 Por tanto, 2 Sn = n(u1+ un), y despejando: nu uSnn-+=21 Estafrmulanoslosirveparasumarlosprimerostrminosde unaprogresinaritmticasinoparasumarcualesquieran trminos consecutivos. Para sumar, por ejemplo, u5 + u6 ... + u83, es necesario constatar que hay (83 - 4 = 79) 79 trminos (faltan los cuatro primeros). La suma es: 79283 5-+ u u EsmuyconocidalaancdotasegnlacualaCarlFrederich Gauss(1777-1855),cuandocontabacondiezaosdeedad,le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los100primerosnmerosnaturales.Anteelasombrodel profesor, apenas ste haba acabado de dictar el problema, Gauss dio la solucin: 5 050. Lo que este insigne matemtico observ fue que la suma 1 + 100 eraiguala2+99,iguala3+98,...etc.esdecir,slotuvoque darsecuentadequecontabacon50parejasdenmeros,cada unadelascualessumaba101.As,selimitamultiplicar:50 101 = 5 050. Nota: Otra de las frmulas para obtener la suma de trminos en un progresin aritmtica es: | | d n unSn + = ) 1 ( 221 Suma de trminos de una progresin aritmtica Ejemplo Sumar los veinte primeros trminos de la progresin: -5, 4, 13, 22, 31, 40 Solucin: La diferencia es d = 9 u20 = -5 + (20 - 1) 9 u20 = -5 + 199 = 166 1610202166 520=-+ = S Progresiones geomtricas du uS -+=220 120 Una sucesin de nmeros reales es una progresin geomtrica (P.G) si el cocientede cada trmino con el anterior es constante. Esta constante se llama razncomny la denotaremos con la letra r. Adems, para que una P.G quede completamente definida, debemos especificar el primer trmino de la progresin que denotaremos u1. Ejemplo de P.G -1,2, 4, 8,.........,u1 = 1;,r = 2 -(b) 3, 3,-3, 3 ,.....,u1 = -3, r = -1 -(c) x, mx, m2x, m3x,......, u1 = x, r = m Observacin: Si u1es el primer trmino de una progresin geomtrica cuya razn comn es r, entonces: un= u1rn-1 Otra de las definiciones es: Unaprogresingeomtricaesunasucesinenlaquecada elementoseobtienemultiplicandoelanteriorporunnmerofijo llamado razn, y que se representar por la letra r . As, si (un) es una progresin geomtrica, se verifica un = un - 1 r Cmo reconocer una progresin geomtrica? Paraasegurarsedequeunasucesinesunaprogresin geomtrica se ha de comprobar que el cociente entre cada trmino ysuanterioressiempreelmismo.Ademsestacomprobacin elemental determina el valor de esta razn de la progresin. Ejemplo 1 Es 5, 15, 45, 135, 405 ... una progresin geomtrica? Solucin: Ejemplo 2 Solucin: geomtrica progresin una es No51125252511251Pero515125115151255)`= = == == Trmino general de una progresin geomtrica La frmula del trmino general de una progresin geomtrica (un) se encuentra sin ms que observar que: u2 = u1 r u3 = u2 r = (u1 r) r = u1 r2 u4 = u3 r = (u1 r2) r = u1 r3 u5 = u4 r = (u1 r3) r = u1 r4 ....................................................... Nteseque,entodosloscasos,eltrminocorrespondienteesel producto de dos cantidades: La primera es siempre u1 La segunda es una potencia de base r y exponente un cierto nmero, que se obtiene restando una unidad al subndice. En definitiva, la expresin del trmino general es: un = u1 rn - 1 1.Si larazn de unaprogresin geomtrica esmayor que uno, laprogresinescreciente,esdecir,cadatrminoesmayor que el anterior. 2.Silarazndeunaprogresingeomtricaestcomprendida entre cero y uno, la progresin es decreciente, es decir, cada trmino es menor que el anterior. 3.Si la razn de una progresin geomtrica es menor que cero, laprogresinesalterna,esdecir,sustrminosson alternativamente positivos y negativos. Clculodeltrminogeneraldeunaprogresin geomtrica Ejemplo 1 Calcular el trmino general de la progresin,........ 9 , 3 , 1 ,31 Solucin: Setratadeunaprogresingeomtricaderaznr=3yprimer trmino El trmino general es, por tanto: 1331- =nnu un = 3n - 2 Ejemplo 2 Cul es el trmino general de la progresin -1, 2, -4, 8, -16, ...? Solucin: Es una progresin geomtrica en la que el primer trmino a1 vale -1, y la razn es: Su trmino general es, pues: un = -1 (-2)n - 1 Estetipodeprogresionesgeomtricasrecibeelnombrede progresin geomtrica alternada. Nteselasimilitudquehastaelmomentosedaentrelas progresionesaritmticasylasgeomtricas.Seseguirn comprobando todas las propiedades, sin ms que cambiar sumas por productos. Trminosequidistantesdeunaprogresin geomtrica Laanalogaobservadahastaahoraconducealapreguntadesi, elegidascualesquieradosparejasdetrminoscuyassumasde subndicescoincidan,tambincoincidirnlosproductosdesus trminos correspondientes. Dicho en lenguaje matemtico, cabe preguntarse si ser cierto que del hecho de serw + s = t + v, se desprende la igualdad uw us = ut uv. Larespuestaesafirmativa,yesteresultadoseconoceconel nombredepropiedaddelostrminosequidistantesdeuna progresin geomtrica. Propiedad:Sienunaprogresingeomtricaw+s=t+v, entonces uw us = ut uv Demostracin: 2 212 2111111111___ __________ ___ __________ + + = = = = = =v tv ts ws wvvssttwwr u u u r u u ur u u r u ur u u r u u Al ser w + s = t + v, estas dos expresiones coinciden. Clculo de trminos de una progresin geomtrica Ejemplo 1 Encontrar el trmino u1 deuna progresin geomtrica de la que se sabe que: 7291811, 911 9 3= = = u y u u Solucin: Puesto que 3 + 9 = 1 + 11 = 12, u3 u9 = a1 a11 7291a81191 = 9729u7291u911 1= = u1 = 81 Interpolacin de medios geomtricos Interpolarnmediosgeomtricosentreotrosdosconocidosayb, consiste en construir una progresin geomtrica a, u1, u2, ..., un, b. Para resolver este problema basta con conocer la razn que ha de tener la progresin, la cual se deduce sin ms que tener en cuenta dos cosas: La sucesin tiene n + 2 trminos. El primer trmino es a y el n + 2 es b. Aplicandolafrmuladeltrminogeneraldeunaprogresin geomtrica se tiene que: b = a rn + 2 - 1, de donde Unavezconocidoelvalordelarazn,a1seobtienecomoel productoderpora;u2eselproductodeu1porr,yas sucesivamente. Ejemplo 1 Interpolar cuatro medios geomtricos entre 128 y 4. Solucin: La progresin es 128, u1, u2,u3, u4,4. Aplicando la frmula obtenida con a = 128 y b = 4: 8211616213232216464211284321= == == == =uuuu La progresin geomtrica que se buscaba es: 128, 64, 32, 16, 8, 4, ... Ejemplo 2 Interpolar tres medios geomtricos entre 3 y 48. Solucin: Aplicando la frmula: Recurdesequeunarazdendicepartienedossoluciones,una positivayunanegativa.Aspues,enestecaso,haydos posibilidades. Si r = 2, la progresin es 3, 6, 12, 24, 48, ... Si r= -2, la progresin es: 3, -6, 12, -24, 48, ... Producto de trminos consecutivos de una progresin geomtrica Continuandoconlaanalogaobservada,seencuentralafrmula del producto de trminos de una progresin geomtrica. Se denotar por Pn al producto u1 u2 ... un. Se tiene entonces: Pn = u1 u2 u3 ... un -2un - 1 un Invirtiendo el orden Pn = un un- 1 un - 2 ... u3u2 u1 ______________________________ y multiplicando Pn 2 = (u1 un )(u2 un- 1) ... (un- 1 u2)(un u1 ) Ahora bien, por la propiedad de los trminos equidistantes se sabe que: u1 un= u2 un -1 = u3 un -2 = ... = unu1 Por tanto Pn 2 = (u1 un )n y despejando: nn nu u P ) (1 = Esta frmula no slo sirve para multiplicar los primeros trminos deunaprogresingeomtrica,sinoquetambinesvlidapara multiplicarcualesquierantrminosconsecutivos,aligualquese hace en las progresiones aritmticas. Clculodelproductodetrminosconsecutivosde una progresin geomtrica Ejemplo 1 Solucin: Es una progresin geomtrica de razn r = 2 Para poder escribir dicho nmero seran necesarias 34 cifras, lo que daideadelagranvelocidaddecrecimientoquetienenlas progresiones geomtricas. ( )11010112201542020 1 2015 19 191 202 2 221) (2 2161= = |.|

\| = == = =u u Pr u u Sumadevariostrminosconsecutivosde unaprogresin geomtrica Se denotar por Sn a la suma de n trminos consecutivos de una progresin geomtrica: Sn= u1 + u2+ ... + un- 1 + un Paraobtenerunafrmulaquepermitahaceresteclculodeun modorpido,semultiplicanambosmiembrosdelaigualdadpor la razn: Sn r = (u1 + u2+ ... + un- 1 + an ) r Sn r = u1r+ u2 r+ ... + un- 1 r+ un r, Yteniendoencuentaquealmultiplicaruntrminoporlarazn se obtiene el trmino siguiente, Sn r = u2 + u3+ ... + un + un r Restando ahora a esta igualdad la primera: Sn r = u2 + u3+ ... + un + un rSn= u1 + u2+ ... + un- 1 + un Sn r - Sn= -u1 + un r Sn (r - 1) =un r- u1 Despejando Sn 11 =ru r uSnn Estafrmulaquedalasumadentrminosconsecutivosdeuna progresingeomtricatieneotraversinigualmentetilsise expresa el trmino general an como u1 rn - 1: 111 =rru Snn Suma de trminos de una progresin geomtrica Ejemplo Sumarlosquinceprimerosdelaprogresingeomtrica .. ,.........227,29,23 Solucin: ( ) 1 3431 31 323151515 = = S PROBLEMAS RESUELTOS 1.Es la sucesin7;5;1;-1;-3;-5. Una progresin aritmtica? Si lo es Cul es la diferencia? 5 7 = -2 ;3 5 = -2;1 3 = -2.. 2.Calcular a qu altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en unsexto piso, sabiendo que los bajos del edificio tienen una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de 2,8 m. Tn = 4 + (n - 1) 2,8 T6 = 4 + (6 - 1) 2,8-T6 = 18 3.En una progresin aritmtica se sabe queT1 = -2, T32 = 91, T16= 43. EncontrarT17. T1 + T32 = T16 + T17 -2 + 91 = 43 + T17 -T17 = 46 4.Interpolar 6medios aritmticos entre 64 y 15, hallar la razn. r = 15 64 6+ 1 -r= -7 5.Es 5, 15, 45, 135, 405..una progresin geomtrica? 6.Cul es el trmino general de la progresin -1, 2, -4, 8, -16, ...? r = -Tn = -1. (-2)n 2 7.Interpolar tres medios geomtricos entre 3 y 48. Aplicando la frmula: -Si r = 2, la progresin es 3, 6, 12, 24, 48,.... -Si r = -2, la progresin es: 3, -6, 12, -24, 48,... 8.Multiplicar los veinte primeros terminos de la progresin

r =2 9.Calcular el producto de los siete primeros trminos de la progresin1, -2, 4, -8, ... r = -2 Tn = 1.(-2)n - 1;T7 = 1.(-2)6 = 64 -P7 = -221 10. Sumar los trminos comprendidos entre el tercero y el vigsimo lugar de la progresin geomtrica 8, 4, 2, 1, , PROBLEMAS PROPUESTO 11. CALCULA: S = 28 + 32 + 36 + 40 ++428 12. Dada la P.A: 5;..47;159 donde el nmero de trminos que hay entre 47 y 159 es el triple del nmero de trminos que hay entre 5 y 47. Cul es el nmero de trminos de la P.A? 13. Hallar la razn de una progresin aritmtica en la cual la suma de los n primeros trminos est dado por: Sn =(5n + 7)n 14. El guardin del pozo de una hacienda ha plantado a partir del pozo cada 5m un total de 30 rboles, y puede sacar agua del pozo cada vez, para el riego de un solo rbol. cuantos metros camina diariamente, hasta regar el ltimo rbol y tener que regresar al pozo? 15. De los tres primeros trminos de una P.A el trmino medio es 15 y el producto de ellos es 2415. Hallar el trmino 60 de la P.A. 16. Si la suma de los nmeros consecutivos desde ab hasta 50 es 1122. Hallar: (a + b). 17. Las edades de 6 hermanos se encuentran en P.A cuya suma vale 120, cuando naci el menor el mayor tena 20 aos. cuntos aos hace que la edad del tercero fue el triple de la edad del menor? 18. En una progresin aritmtica, el sexto trmino vale10,5;y la diferencia es1,5.Calcula el primer trmino y la suma de los9primeros trminos. 19. La razn de una progresin geomtrica es3,y el tercer trmino vale45.Halla la suma de los ocho primeros trminos. 20. Un estudiante de primer semestre se propone el da1de septiembre repasar matemticas durante una quincena, haciendo cada da2ejercicios ms que el da anterior. Si el primer da empez haciendo un ejercicio: Cuntos ejercicios le tocar hacer el da15de septiembre? CONCLUSIONES Problema uno: Se determina si la diferencia entre cada dos trminos consecutivos es la misma. Problema dos: Es claro que si se considera la sucesin de las alturas de los pisos, la diferencia entre cada vivienda y la anterior es constante e igual a 2,8 m. Se est en el caso de una progresin aritmtica en la que el primer trmino es 4 (altura a la que se encuentra el primer piso) y la diferencia es 2,8. El problema se resuelve calculando el sexto trmino. Problema tres. Puesto que 1 + 32 = 16 + 17 = 33, se resuelvepor la propiedad de los trminos equidistantes. problema cuatro: Solo se tuvo que aplicar la siguientedatos a =1 ;b = 15 ; m = 6 y de ah aplicarlas en la frmula: Problema cinco: Se determina si la diferencia entre cada dos trminos consecutivos es la misma de la cual se concluye que es una progresin geomtrica. Problema seis. Es una progresin geomtrica en la que el primer trmino a1 vale -1, y la razn es igual a -2 Este tipo de progresiones geomtricas recibe el nombre de progresin geomtrica alternada. Problema siete. Recurdese que una raz de ndice par tiene dos soluciones, una positiva y una negativa. As pues, en este caso, hay dos posibilidades, si r =2 si r = -2. Problema ocho: Para poder escribir dicho nmero seran necesarias 34 cifras, lo que da idea de la gran velocidad de crecimiento que tienen las progresiones geomtricas. Problema nueve: Para determinar el signo, obsrvese que hay tres trminos negativos y al ser este nmero impar, el producto de todos ellos es negativo. Problema diez: La relevancia de este apartado es que se trata de sumar todos los trminos de la progresin y no una parte de ellos. Obsrvese que en el caso de una progresin creciente (cada trmino mayor que el anterior), la suma de todos los trminos de la misma ser infinito, independientemente del valor de los trminos. No ocurre as para el caso de progresiones decrecientes RECOMENDACIONES Los valores 1, 2, 3, etc. Quele damos a n expresan: -Primer trminot1 -Segundo trmino t2 -Tercer trmino t3 -Cuarto trmino t4 : : -Ensimo trminotn Por definicin: t3 = t2 + r. (1) pero:t2 = t1 + r. (2) Entonces reemplazamos (2) en (1) y obtenemos: t3 = t1 +r +r t3 =t1 + 2r De igual modo ocurre con t4, t5 etc. Dada una sucesin como al siguiente 1, 0, -1/6, -2/7,. Cmo hallar el trmino ensimo ( trmino de lugar n)? -Para esto analizamos primero el numerador de cada trmino, as: Para n = 1 el num. Es 1 2 1 Para n = 2 el num. Es 0 2 - 2 Para n = 3 el num. Es -1 2 3 Para n = n el num. Es 2 n -Ahora en el denominador. Para n = 1 el denominador es 4 3 +1 Para n = 2 el denominador es 5 3 + 2 Para n = 3 el denominador es 6 3 + 3 Para n = n el denominador es 3 + n Si en una P.A, r > 0, entonces decimos que la progresin es creciente Si en una P.A, r < 0, entonces decimos que la progresin es decresiente. Por definicin: t3 = t2q..(1) Pero: t2 = t1q Entonces reemplazamos (2) en(1) y obtenemos:t3 = t1qq t3 = t1

De igual modo ocurre con t4, t5, etc.