SUCESIONES PROGRESIONESSUCESIONES PROGRESIONES

Se llama progresiones a ciertas Se llama progresiones a ciertas sucesiones cuya ley de sucesiones cuya ley de formación es simple como son formación es simple como son las progresiones aritméticas, las progresiones aritméticas, progresiones geométricas y progresiones geométricas y progreprogre

1,4,7,10...................Progresione1,4,7,10...................Progresiones aritméticass aritméticas

4,12 ,36...................Progresione4,12 ,36...................Progresiones geométricass geométricas

1,1/4,1/7,1/10...........Progresione1,1/4,1/7,1/10...........Progresiones armónicass armónicas

SERIESSERIES

Se llama serie a la suma indicada de Se llama serie a la suma indicada de una sucesión .una sucesión .

a1,a2........ana1,a2........an a1+a2......+ana1+a2......+an Si la sucesión es infinita la serie Si la sucesión es infinita la serie

correspondiente es un polinomio correspondiente es un polinomio como el binomio de newton.como el binomio de newton.

(a+b)5= (a+b)5= a5+5a4+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a5+5a4+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Para obtener la formula de Para obtener la formula de subíndice de una progresión subíndice de una progresión hacemos que el an sea igual a hacemos que el an sea igual a cualquier numero entero cualquier numero entero positivo.positivo.

Progresión aritméticaProgresión aritmética

Es la secuencia de números que Es la secuencia de números que crecen o decrecen en una crecen o decrecen en una cantidad fija llamada razón, de cantidad fija llamada razón, de manera que cualquier número de manera que cualquier número de la sucesión es la media la sucesión es la media aritmética o término medio del aritmética o término medio del número anterior y el siguiente.número anterior y el siguiente.

SUMASUMA

Los números 22, 19, 16, 13, 10, 7 Los números 22, 19, 16, 13, 10, 7 están en progresión aritmética están en progresión aritmética de razón -3. Para calcular la de razón -3. Para calcular la suma de los términos de una suma de los términos de una progresión aritmética, se progresión aritmética, se multiplica la suma del primer y el multiplica la suma del primer y el último término por la mitad del último término por la mitad del número de términos.número de términos.

. De este modo, la suma de los . De este modo, la suma de los diez primeros números naturales diez primeros números naturales es (1 + 10) × (10 : 2) = 55.es (1 + 10) × (10 : 2) = 55.

La suma de los términos de a0 a La suma de los términos de a0 a an es: y (n + 1)(a0 + an).an es: y (n + 1)(a0 + an).

Es una secesión cuyos términos Es una secesión cuyos términos se desarrollan a partir de una se desarrollan a partir de una suma o diferencia llamada razón suma o diferencia llamada razón la misma que nos permite ir la misma que nos permite ir encontrando los demás términos encontrando los demás términos y se lo representa con la letra y se lo representa con la letra (d).(d).

(d) puede ser un numero positivo (d) puede ser un numero positivo o negativo o nulo cuando (d) es o negativo o nulo cuando (d) es positivo la progresión es positivo la progresión es creciente.creciente.

1,4,7,10........ La razón 1,4,7,10........ La razón seria 3seria 3

FORMULA PARA ENCONTRAR FORMULA PARA ENCONTRAR CUALQUIER TERMINO DE UNA CUALQUIER TERMINO DE UNA

PROGRESIÓNPROGRESIÓN

an = a+(n-1)d.an = a+(n-1)d. a= primer términoa= primer término n= número de términosn= número de términos d=. diferenciad=. diferencia

En progresiones con un numero En progresiones con un numero finito , numero de términos n finito , numero de términos n representa el numero total de representa el numero total de términos en ese caso vamos a términos en ese caso vamos a representar por la letra lrepresentar por la letra l

l=a+(n-1)d.l=a+(n-1)d.

EJEMPLOEJEMPLO Encontrar el séptimo termino de la Encontrar el séptimo termino de la

progresión aritméticaprogresión aritmética cuyo primer termino es 2 y cuya cuyo primer termino es 2 y cuya

diferencia común es 4.diferencia común es 4. n=7 n=7

l=a+(n-1)d. l=a+(n-1)d. a=2 a=2

l=2+(7-1)4 l=2+(7-1)4 d=4 d=4

l=2+(6)4 l=2+(6)4

l=2+24l=2+24

l=26l=26

Medios AritméticosMedios Aritméticos

Es una progresión finita el Es una progresión finita el primer termino y el ultimo primer termino y el ultimo termino se llaman extremos y termino se llaman extremos y todos los demás términos que todos los demás términos que están en los extremos se laman están en los extremos se laman medios .medios .

PROGRESIONES GEOMETRICASPROGRESIONES GEOMETRICAS

Progresión geométrica, es la Progresión geométrica, es la sucesión de números tales que la sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija que le precede es una cantidad fija llamada razón.llamada razón.

Por ejemplo, la secuencia de Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón una progresión geométrica con razón 2; .2; .

Medios geométricosMedios geométricos

Los términos de una progresión Los términos de una progresión geométrica entre ai, y aj, con i < j, se geométrica entre ai, y aj, con i < j, se denominan medias geométricas. La denominan medias geométricas. La media geométrica de dos números media geométrica de dos números positivos x e y es la media positivos x e y es la media proporcional de dichos números Ë. En proporcional de dichos números Ë. En cualquier progresión geométrica, an cualquier progresión geométrica, an es la media geométrica o es la media geométrica o proporcional de an-1 y an+ 1.proporcional de an-1 y an+ 1.

Medios geométricosMedios geométricos

Los términos de una progresión Los términos de una progresión geométrica entre ai, y aj, con i < j, se geométrica entre ai, y aj, con i < j, se denominan medias geométricas. La denominan medias geométricas. La media geométrica de dos números media geométrica de dos números positivos x e y es la media positivos x e y es la media proporcional de dichos números Ë. En proporcional de dichos números Ë. En cualquier progresión geométrica, an cualquier progresión geométrica, an es la media geométrica o es la media geométrica o proporcional de an-1 y an+ 1.proporcional de an-1 y an+ 1.

Si la serie converge, el límite S es Si la serie converge, el límite S es igual aigual a

El símbolo se lee como "límite de Sn El símbolo se lee como "límite de Sn cuando n tiende hacia infinito". cuando n tiende hacia infinito".

Una progresion geometrica es una Una progresion geometrica es una susecion cuyos terminos son tales susecion cuyos terminos son tales que cualquiera de ellos despues del que cualquiera de ellos despues del primero es igual al termino anterior primero es igual al termino anterior multiplicado por un numero fijo que multiplicado por un numero fijo que se llama razon y reprecentado por la se llama razon y reprecentado por la letra r.letra r.

NOTACIONNOTACION

Para indicar que una sucesion es una progresion Para indicar que una sucesion es una progresion geometrica se antepone la division del posterior para el geometrica se antepone la division del posterior para el anterior.anterior.

EJEMPLOSEJEMPLOS

Dada la progresion geometrica 3,6,12...........encontrar el Dada la progresion geometrica 3,6,12...........encontrar el sexto termino.sexto termino.

DatosDatos a1=3 l= ar n-a1=3 l= ar n-

11 r=2 r=2

l=3*26-1l=3*26-1 n=6 l=3*25 n=6 l=3*25 l=6 l=3*32l=6 l=3*32 l=96l=96

Medios AritméticosMedios Aritméticos

Se definen de la misma manera Se definen de la misma manera que los medios aritméticos o que los medios aritméticos o geométricos es decir son todos geométricos es decir son todos los términos de una progresión los términos de una progresión armónica que se encentran entre armónica que se encentran entre dos términos dados (extremos).dos términos dados (extremos).

INTERPOLACIÓN DE MEDIOS INTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARMÓNICOSARMÓNICOS

Para interpolar varios medios Para interpolar varios medios armónicos entre dos puntos armónicos entre dos puntos numéricos dados se interpolan numéricos dados se interpolan medios aritméticos entre los medios aritméticos entre los recíprocos de estos números y recíprocos de estos números y luego se toma los recíprocos de luego se toma los recíprocos de los números obtenidos.los números obtenidos.

Interpolar 4 medios armónicos entre 2/3 y Interpolar 4 medios armónicos entre 2/3 y 1/14.1/14.

DATOSDATOS a=3/2 l=a+(n-a=3/2 l=a+(n-

1)d1)d l=14 l=14

14=3/2+(6-1)d14=3/2+(6-1)d n=6 14-3/2=5dn=6 14-3/2=5d 28-3/2=5d28-3/2=5d 25/2=5d25/2=5d 25/2*5=d25/2*5=d 5/2=d5/2=d