PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y

GEOMÉTRICAS E INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Estudiante: Carmita Hilda Castillo DuránCarrera: Licenciatura en Ciencias de la

EducaciónMateria: Matemática General I

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS E INDUCCIÓN MATEMÁTICA

En el siguiente capítulo de PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS E INDUCCIÓN MATEMÁTICA trataremos con conjuntos de números que tienen la propiedad de seguir una regla dada, pero antes de iniciar establezcamos algunas definiciones.Progresión (serie): es una sucesión de términos formados de acuerdo a una ley sí por ej. 1,3,5,7…… es un progresión cuya ley es que cada término se le suma 2 para obtener el siguiente.

Las progresiones se clasifican en: progresión aritméticas y progresión geométrica.

1. Progresiones aritméticas: es toda progresión aritmética una secesión de números, tales que cada uno es igual al anterior aumentado en una cantidad llamada diferencia de la progresión.La diferencia de la progresión se designa con la letra d. Si la diferencia es +, los términos van aumentando llamándose progresión creciente; si la diferencia es -, los términos disminuyen llamándose progresión decreciente.

• Fórmula de cualquier término de la progresión aritméticaLos términos de una sucesión generalmente se notan como El n-ésimo término se nota como En conclusión cuyo caso de una progresión aritmética con el primer término según definición tenemos.

Podemos deducir la siguiente ley.“Para obtener el término K-ésimo de una progresión aritmética hay que sumar al primer término la diferencia d multiplicada por el número de

términos que proceden al que se determina”

• Media aritmética Suponiendo que son tres términos sucesivos de una progresión aritmética. En tal caso, por propiedad de la progresión aritmética obtenemos

Nota: dados dos números cualesquiera, se llama media aritmética a la semisuma de dichos números; por los tanto cualquier término de una progresión aritmética (excepto el primero y el último) es la media aritmética de sus términos contiguos. • Suma de los primeros términos de una progresión aritméticaLa suma de n primeros términos de una progresión aritmética la notaremos como Sn y es igual a la semisuma de los términos extremos multiplicada por el número de términos; es decir

o

2. Progresiones Geométricas Se llama progresión geométrica a una sucesión de números, tales que cada uno es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón de la progresión.

A la razón se le asigna la letra r ; si el primer término es + y la razón mayor que 1, los términos aumentan y se llama progresión creciente; en cambio si la razón esta entre 0 y 1, los términos disminuyen y se llama progresión decreciente. Si la razón es negativa, la progresión es oscilante.• Fórmula de cualquier término de la progresión geométrica.En conclusión si el primer término de una progresión geométrica essegún definición tenemos.

Podemos deducir la siguiente ley.“Para obtener el término K-ésimo de una progresión geométrica hay que

multiplicar el primer término con la razón r de la progresión con exponente igual al número de términos que preceden al que se

determina.”

• Media GeométricaSuponiendo que son los términos de una progresión geométrica. En tal caso tenemos.

Ya que cada uno de estos cocientes es igual a la razón r. Por una propiedad de las progresiones obtenemos.

• Suma de los primeros términos de una progresión geométricaLa suma de los n primeros términos de una progresión geométrica la notaremos como Sn y es igual a:

o

3. Inducción a la MatemáticaLa inducción Matemática fue empleada por el ciérigo Franciscus Maurolicus (1494-1575) demostrando que si n ϵ N entonces 1+3+5+…….+(2n-1)=

En Matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero tiene la propiedad P.Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero n

tenga la propiedad P implica que (n+1)también la tiene (que se anota n=>n+1 ).

Conclusión: Todos los números enteros a partir de a tienen la propiedad P• El MétodoLa inducción Matemática se implica cuando se desea probar afirmaciones que dependen del número natural n Ej. La afirmación: la suma de los n primeros números impares es igual a contiene las siguientes afirmaciones

para n=1: el primer natural, es decir la unidad, es igual a para n=2: la suma de los 2 primeros números impares es

igual a para n=3: la suma de los 3 primeros números impares es

igual a ……………..

Para demostrar una afirmación dependiente de un número natural n hacemos los siguiente (principio de inducción matemática).

Se comprueba la validez de la afirmación para n=1 Se supone la validez de esta afirmación para n=k Se demuestra la validez de esta afirmación para n=k+1,

tomando en consideración su validez supuesta para n=k, después de lo cual se saca la conclusión de que la afirmación es válida para cualquier número natural n

• Método generalizadoEl método de inducción matemática también se emplea en la demostración de afirmaciones válidas no para todos los números naturales, sino solo para n superiores a cierto número natural m expresado de la siguiente manera.

Pm es verdadera para algún m ϵ N Si Pk verdadera implica Pk +1 verdadera Entonces, se concluye que Pn es verdadera tal que

• El Símbolo de sumatoriaEn inducción matemática es muy útil utilizar el símbolo sumatoria para simplificar la escritura de las sumas. Teniendo.

(Suma finita de n términos)

(Suma infinita)

Gracia

s