progresiones aritmÉticas. - fiquimat

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS. Son sucesiones construidas añadiendo una cantidad constante a un primer término. Ejemplo: 3, 7, 11, 15, 19… El primer término es 3 y le añadimos de 4 en 4.

FÓRMULAS 𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 + 𝐝. (𝐧 − 𝟏) 𝐚𝐤 = 𝐚𝐩 + 𝐝. (𝐤 − 𝐩)

𝐒𝐧 =(𝐚𝟏 + 𝐚𝐧). 𝐧

𝟐=[𝟐. 𝐚𝟏 + 𝐝. (𝐧 − 𝟏)]. 𝐧

𝟐

1.- De las siguientes sucesiones hallar: a1, d, an, a10, S15. a. 4, 11, 18, 25, 32… b. – 4, – 1, 2, 5, 8…

a. a1 = 4 d = 7 an = 4 + 7.(n – 1) → an = 7n – 3 a10 = 7.10 – 3 = 67

S15 =[2.4 + 7. (15 − 1)]15

2= 795.

B a1 = – 4 d = 3 an = – 4 + 3.(n – 1) → an = 3n – 7 a10 = 3.10 – 7 = 23

S15 =[2. (– 4) + 3. (15 − 1)]15

2= 255.

ANTONIO ANGULO PARRA

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2 2. a.) ¿Qué lugar ocupa el nº 81 en la progresión 1,a.?

b.) ¿Qué lugar ocupa el nº 82 en la progresión 1,b.?

a. Sustituimos an por 81 y despejamos n: 81 = 7n – 3 → n = 12 b. Sustituimos an por 82 y despejamos n: 83 = 3n – 7 → n = 30

3. ¿El nº 181 forma parte de la progresión 1,a.? ¿y el 137?

Sustituimos an por 181 y despejamos n: 181 = 7n – 3 → n = 26’27 no es natural, el nº 181 no es un elemento de la prpgresión 1,a. Sustituimos an por 137 y despejamos n: 137 = 7n – 3 → n = 20. El 137 es el vigésimo término de la progresión 1,a.

4.- Escribe los 5 primeros términos de las siguientes progresiones.

a.) a1 = 3 y a4 = 15

b.) b1 = 19 y b6 = 4

a.

Hallar a1 y d. {a1 = 3

a4 = a1 + 3. d → 15 = 3 + 3. d → d = 4→ 3,7,11,15,19…

b.

Hallar b1 y d. {b1 = 19

b6 = b1 + 5. d → 4 = 19 + 5. d → d = −3→ 19,16,13,10,7…


a.) a3 = 5 y a7 = 21

b.) b2 = 7 y b6 = 23

a.

Hallar a1 y d. {a7 = a3 + 4. d → 21 = 5 + 4. d → d = 4a3 = a1 + 2. d → 5 = a1 + 2.4 → a1 = −3

→ −3,1,5,9,13…

b.

Hallar b1 y d. {b6 = b2 + 4. d → 23 = 7 + 4. d → d = 4b6 = b1 + 5. d → 23 = a1 + 5.4 → a1 = 3

→ 3,7,11,15,19…


a.) a1 = 4 y S6 = 69

b.) b1 = 18 y S8 = 3

a. Hallar a1 y d.

{

a1 = 4

Sn =[2. a1 + d. (n − 1)]. n

2→ S6 =

[2. a1 + d. (6 − 1)]. 6

2→ 69 =

[2.4 + d. (6 − 1)]. 6

2→ d = 3

4,7,10,13,16…



3 b. Hallar b1 y d.

{

b1 = 18

Sn =[2. b1 + d. (n − 1)]. n

2→ S8 =

[2. b1 + d. (8 − 1)]. 8

2→ 3 =

[2.18 + d. (8 − 1)]. 8

2→ d = −5

18,13,8,3, –2…

7. De una progresión aritmética sabemos que a2 + a5 = 29 y a3 – a1 = 14, hallar los 5 primeros términos.

¿Pertenece el 60 a dicha progresión?

{a2 + a5 = 29 → a1 + d⏞

a2

+ a1 + 4. d⏞ a5

= 29 →⏞si d=7

a1 = −3a3 − a1 = 14 → a1 + 2. d⏟

a3

− a1 = 14 → d = 7 → −3,4,11,18,25 →

an = 7. n − 10 60 = 7.n – 10 → n = 10 → el 60 sí pertenece a la progresión.

8. En un cine, la 3ª fila está a 11 m. de la pantalla y la 6ª a 17 m. ¿En qué fila estoy sentado si estoy a 35

metros de la pantalla?

{a3 = 11a6 = 17

→ {a6 = a3 + 3d → 17 = 11 + 3d → d = 2a3 = a1 + 2d → a1 = 7

→ {an = 7 + 2(n − 1)

35 = 7 + 2(n − 1)→

n = 14

9. En un edificio de planta baja y 6 pisos, el suelo del 2º piso se encuentra a 5,5 m. de altura y el del 4º a

10,5 m. Calcula la altura del edificio.

{a2 = 5,5 a4 = 10,5

→ {a4 = a2 + 2d → 10,5 = 5,5 + 2d → d = 2,5a2 = a1 + d → a1 = 3

El edificio tiene 3 + 6·2,5 = 18 m.

10. a. ¿Cuánto suman los 15 primeros múltiplos de 3?

b. ¿Cuánto suman los múltiplos de 3 de 4 cifras?

a.

{3, 6, 9… {a1 = 3d = 3

→ Sn =[2 · a1 + d · (n − 1)] · n

2;

S15 =[2 · 3 + 3 · (15 − 1)] · 15

2= 360

b.

{1002, 1005,… ,9999 → {n = 3000 a1 = 1002d = 3

→ Sn =[2 · 𝑎1 + d · (n − 1)] · n

2

Sn =[2 · 1002 + 3 · (3000 − 1)] · 3000

2= 13497504

11. Hallar la suma de los múltiplos de 11 comprendidos entre 100 y 570.



4 100

11= 9′091 → 11 · 10 = 110

570

11= 51,81 → 11 · 51 = 561

110,… , 561 {𝑎1 = 110𝑑 = 11

→ 𝑎𝑛 = 110 + 11(𝑛 − 1) → 561 = 110 + 11(𝑛 − 1) →

n = 42

Sn =[2 · 𝑎1 + d · (n − 1)] · n

2→ S42 =

[2 · 110 + 11 · (42 − 1)] · 42

2= 14091



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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. Son sucesiones construidas multiplicando por una cantidad constante a un primer término. Ejemplo: 3, 6, 12, 24, 48… El primer término es 3 y lo vamos multiplicando por 2.

FÓRMULAS

𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 · 𝐫𝐧−𝟏

𝐒𝐧 = 𝐚𝟏 ·𝐫𝐧 − 𝟏

𝐫 − 𝟏

𝐒∞ =𝐚𝟏

𝟏 − 𝐫; 𝐬𝐢 𝐫 < 𝟏

1.- De las siguientes progresiones hallar: a1, r, an, a10, S15 y S∞

a.- 3, 6, 12, 24, 48, 96…

b.- 2, 6, 18, 54, 162…

c.- 1280, 640, 320, 160, 80…

a. Al dividir cada término por el anterior nos da siempre 2 a1 = 3 r = 2 an = a1.rn – 1 ; an = 3.2n – 1 a10 = 3.210 – 1 = 1536

𝑆15 = 3.215−1

2−1= 98301

S∞ = ∞, r > 1 b. Al dividir cada término por el anterior nos da siempre 3 a1 = 2 r = 3 an = a1.rn – 1 ; an = 2.3n – 1 a10 = 2.310 – 1 = 118098

𝑆15 = 2.315−1

3−1= 14348906



2 S∞ = ∞, r > 1 c. Al dividir cada término por el anterior nos da siempre 1/2 a1 = 1280 r = ½ = 0’5 an = a1.rn – 1 ; an = 1280.0’5n – 1 a10 = 1280.0’510 – 1 = 2’5

𝑆15 = 1280.0′515−1

0′5−1= 2559′9218

S∞ = a1

1−r=

1280

1−0′5= 2560, r < 1

2. ¿El nº 384 pertenece a la progresión 3, 6, 12, 24, 48, 96…?

a1 = 3; r = 2; an = a1.rn – 1; an = 3.2n – 1 → 384 = 3.2n – 1 → 128 = 2n – 1 = 27 → n – 1 = 7; n = 8. El 384 si pertenece a la progresión y ocupa el octavo lugar.

3. ¿El nº 230 pertenece a la progresión 2, 6, 18, 54, 162…?

a1 = 2; r = 3; an = a1.rn – 1 ; an = 2.3n – 1 → 230 = 2.3n – 1 → 115 = 3n – 1; 115 no es potencia de 3, el nº 230 no pertenece a la progresión.

4. Hallar a1 y r en las siguientes progresiones geométricas.

a) a1 = 3; a5 = 48 b) a1 = 1280; a4 = 160

a) a5 = a1.r4 → 48 = 3.r4 → 16 = r4 → r = 2

b) a4 = a1.r3 → 160 = 1280.r3 → 160/1280 = r3 → r = ½

5. Hallar a1 y r en las siguientes progresiones geométricas.

a) a2 = 6; a5 = 162 b) a2 = 9; S∞ = 36

a.

{a2 = 6 a5 = 162

→ a5 = a2 · r3; 162 = 6 · r3 ; r = 3 → a2 = a1 · r → 6 = a1 · 3; a1 = 2

b.

{a2 = 9 S∞ = 36

→ {a2 = a1 · r → 9 = a1 · r

S∞ =a1

1 − r→ 36 =

a1

1 − r

→ {

a1 = 18

r =1

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