Sucesiones, Sumatorias y Progresiones (Aritméticas y Geométricas)

Matemática IProfa.: Milagros Corazpe

Elaborado por:Manuel Fernández C.I.: 26,933,341Maria cabello C.I. 27.476.019 Sección 41Maturín,

07/02/2017

Universidad de OrienteNúcleo de Monagas

Unidad de Estudios BásicosDpto. Socio- Humanístico

Ciencias Sociales

Introducción

En 1.787, un maestro de aritmética en una la escuela de primaria, propuso como actividad sumar todos los números naturales del 1 al 100. Un niño de casi 10 años, se paró a pensar, y en lugar de sumar todos, uno por uno, resolvió el problema en pocos segundos de la manera siguiente: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050. Es decir, descubrió el principio de la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. Se trataba de Carl Friedrich GAUSS y a consecuencia de estos éxitos sus maestros se interesaron por él. Gauss estudió matemáticas y llegó a ser catedrático de matemáticas de Kazán, catedrático de astronomía y director del Observatorio Astronómico de Gotinga. Es uno de los más grandes matemáticos que han existido y conocido como el príncipe de las matemáticas.

En esta presentación se dan a conocer los términos de sucesiones, sumatorias y progresiones , en primer lugar se tiene que una sucesión matemática es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos o ℤ+∪{0} y su codominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números, figuras geométricas o funciones

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma ) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos. En matemáticas una progresión es una sucesión de números entre los cuales hay una ley de formación constante. Se distinguen dos tipos: Progresión aritmética: aquella en que la diferencia entre sus términos es constante. Progresión geométrica: aquella en que la razón o cociente entre sus términos es constante.

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro. a3, a5, a7, a9,...,anLos números a3, a5, a7, a9...;an se llaman términos de la sucesión, el subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión y el término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Sucesiones

Clasificación del las Sucesiones

Hay varios tipos de sucesiones como:ConvergentesDivergentesOscilantesAlternadasMonótonasConstantesAcotadas inferiormenteAcotadas superiormenteAcotadas

Tipo

s

Sucesiones Convergentes.-Son aquellas que tienen un límite finito ej: {a, b, c, d,....z} {5, 6, 7, 8, 9, 10}

Sucesiones Divergentes.-Las sucesiones divergentes son las que no tiene un límite finito ej:{1, 2, 3, 4,....∞}

Sucesiones Oscilantes.-Las sucesiones oscilantes no son ni convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa. Ej:{1, 0, 3, 0, 5, 0,7,....}

Sucesiones Alternadas.-Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser: Sucesiones alternadas convergentes y Sucesiones alternadas divergentesSucesiones Alternadas Convergentes:Son tanto los pares como los impares con el limite “0”. Ej: {1, -1, 0.5, -0.5, 0.25, -0.25,.....}

Sucesiones Alternadas Divergentes:Las sucesiones alternadas divergentes son tanto así los pares como los impares que tienen un limite +∞{2, 4, 3, 6, 5, 10, 9, 18,....+ ∞}

Sucesiones Estrictamente Crecientes:Se le dice a una sucesión que es estrictamente creciente si cada termino es mayor al termino anterior. Ej: An+1 < An 2, 5, 8, 11, 14, 17,... 2 < 5; 8 < 5; 11 < 8;...

Sucesiones Crecientes:La sucesión es creciente si los términos de dicha sucesión es mayor o igual al término anterior. An+1 ≤ An 2, 2, 4, 4, 8, 8,... 2 ≤ 2; 4 ≤ 2; 4 ≤ 4;...

Sucesiones Estrictamente Decrecientes:Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada uno de los términos de esta sucesión es menor que el anterior. An+1 > An 100, 90, 80, 50,...

100 > 90; 90 > 80; 80 > 50;.

Sucesiones Decrecientes:Se dice que es una sucesión decreciente a la sucesión que cada uno de los términos es igual o menor al numero anterior. An+1 ≥ An 50, 50, 40, 40, 30, 30,... 50 ≥ 50; 50 ≥ 40; 40 ≥ 40; 40 ≥ 30; 30 ≥30;..

Sucesiones Constantes:Se dice que una sucesión es constante cuando todos sus términos son el mismo. Ej: 5, 5, 5, 5,...

Sucesiones Acotadas Inferiormente:Una sucesión esta acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto numero K que le llamaremos cota inferior de la sucesión. Ej: An ≥ k K=6 6, 7, 8, 9, 10,... 6 ≥ K; 7 ≥ K; 8 ≥ K; 8 ≥ K; 9 ≥ K; 10≥ K;...

Sucesiones Acotadas Superiormente:Una sucesión esta acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto numero K que llamaremos cota superior de la sucesión. Ej: an ≤ k K= 8 2, 3, 4,... K ≥ 2; K ≥ 3; K ≥ 4; K ≥..

Sucesiones Acotadas:A una sucesión se le dice acotada si está, acotada superior o inferiormente. Es decir si hay un número K menor o igual qué todos los términos de la sucesión y otro K mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre K y K. k ≤ an ≤ K'

Sumatoria o Notación Sigma

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma ) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:

Expresión que se lee: " sumatoria de Xi,  donde i toma los valores desde 1 hasta n ".

i es el valor inicial, llamado límite inferior.n es el valor final, llamado límite superior.Pero necesariamente debe cumplirse que: i ≤ n

Propiedades de las SumatoriasLa suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la sumatoria de la variable.

La sumatoria hasta N de una constante, es igual a N veces la constante.

La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término. La sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias de cada término.La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a la sumatoria de la variable elevado al cuadrado.

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, su expresión se puede simplificar:

Es frecuente el uso del operador sumatoria en Estadística.

La suma de las frecuencias absolutas se puede expresar como:

Y la media como:

Ejemplo: En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la media.

Progresiones Aritméticas Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión

8, 3, -2, -7, -12….3 - 8 = -5-2 - 3 = -5-7 - (-2) = -5-12 - (-7) = -5d= -5.

Una progresión aritmética es un caso particular de las sucesiones. Lo que tienen de particular es que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. Es decir, supongamos la siguiente sucesión

-3,-1,1,3,5,....

Si restamos un término con el anterior tenemos que

1-(-3)=21-(-1)=23-1=2......Se tiene, entonces, que dado un término y la diferencia se puede obtener la progresión aritmética, ya que

an=an-1+d

En concreto si tenemos el primer término

an=a1+(n-1)d

-Hay muchas sucesiones con sus reglas de correspondencias o formula del n-esimo termino.CALCULO DEL TERMINO N-ESIMO.LA NOTACION DE UNA PROGRESION ARITMETICA P.A. ES: T 1.t2.t3.t4….tn

La diferencia aritmética entre dos términos cualesquiera sucesivo es:D = t2-t1 o D =t4-t3D = tn – tn-1

Cualquier término podemos expresar así:T1= t1T2= t1+dT3=t2+d= (t1+d) +d=t1+2dT4=t3+d= (t1+2d) +d=t1+3d

La formula es:Tn = t1+ (n-1) dMuchos textos utilizan esta notación de manera diferente pero para mayor comprensión lo haremos de la manera explicada aquí arriba para poder entender lo que significa tendremos que cada palabra significa: Tn: es el n-esimo numeroT1: es el primer terminon: es el numero de términosd: es la razón o diferencia aritmética

Una progresión aritmética puede ser:·Creciente·Decreciente·ConstantesLa progresión es creciente si la diferencia aritmética es positiva, es decir, el termino sucesor va aumentando.La progresión es decreciente si la diferencia aritmética es negativa es decir, el termino sucesor va disminuyendo.La progresión es constante si todos los términos son iguales.

TIPOS DE PROGRECIONES ARIGMETICAS

PROGRESION GEOMETRICA

Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.Así, Descripción: 5, 15, 45, 135, 405,...\, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque: 15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 405 = 135 × 3

Ejemplos de Progresiones Geométricas La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4. La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que

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Manuel A. Fernández H. .