PROGRESIONES PROGRESIONES GEOMETRICASGEOMETRICAS

Mg. ARACELLI SALDAÑA Mg. ARACELLI SALDAÑA ARBAIZAARBAIZA

Definición Definición

Se denomina Se denomina progresión progresión geométricageométrica a aquella a aquella sucesiónsucesión en la que cada término se en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada por una constante llamada razón.razón.

EJEMPLO: En lEJEMPLO: En la progresión a progresión geométrica: geométrica:

se observa que:se observa que: El segundo término que es 12, se El segundo término que es 12, se obtuvo de multiplicar por 4 el primer obtuvo de multiplicar por 4 el primer término.término.El tercer término que es 48, se El tercer término que es 48, se obtiene de multiplicar el segundo obtiene de multiplicar el segundo término por 4 y así sucesívamente.término por 4 y así sucesívamente.

;...768;192;48;12;3

TÉRMINO GENERALTÉRMINO GENERAL

Según la definición anterior y el ejemplo de progresión geométrica que se ha presentado, se verifica: a2 = a1 · r

a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 ·r 2

a4 = a3 · r = a1 · r 2 · r = a1 · r

3

Donde a1 ; a2 ; a3 ;… son los términos de la

progresión geométrica. Luego reemplazando se tiene: a1 ; a1 · r ; a1 ·r

2 ; a1 · r 3; …; aa11 · · rr nn - 1 - 1

Es decir que el término nésimo o término general se obtiene de la siguinet forma. aann = a = a11 · · rr nn - 1 - 1

Ejemplo: ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 5;15;45;135;405;…?Solución:La razón se obtiene dividiendo cualquiera de los términos por el anterior, por ejemplo: 15:3=5. Si dividimos otro par de números tenemos:135:45=5.Observamos que el cociente de cualquier término entre el anterior es siempre 5. Por lo que la razón es r= 5

Ejemplo 2. Cuál es el quinto término de una progresión geométrica en la que el primer término es 2 y la razón es 3? Solución.Una forma sería multiplicado el primer término por la razón, y seguir el mismo procedimiento con el siguiente término hasta obtener el quinto término:2x3 = 6, 6x3 = 18 , 18x3 = 54, 54x3= 162Luego el quinto término es 162.

Otra forma de obtener el quinto Otra forma de obtener el quinto término sería utilizando la fórmula del término sería utilizando la fórmula del n-ésimo término: n-ésimo término: an = a1 · r

n – 1

donde: an :es el quinto término,

a1 :es el primer término

r :es la razónn :es la cantidad de términos que en esta

caso son 5 términos. Luego se reemplaza en la fórmula:

a5 = 2 (3)5 – 1 = 2 (3)4 = 2 (81)= 162

Observando extremos: a5 = 162.

Interpolación de términos: Consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Para poder realizar esta operación se necesita hallar la razón. Los términos interpolados se denominan medios geométricos.Ejemplo: Supongamos que queremos intercalar entre 3 y 96 cuatro números a, b, c y d de manera que 3, a, b, c, d, 14 estén en progresión geométrica. Tenemos que a1 = 3, a6 = 96 y el número de términos n = 6.

Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica, se tiene que: a6 = a1 · r

5 entonces 96 = 3 · r 5 ; dividiendo 96 entre 3 se

tiene que 32 = r 5 , 2 5 = r 5 de lo que se deduce que r = 2.Ahora podemos multiplicar cada término para obtener el siguiente y resulta la progresión geométrica : 3, 6, 12, 24, 48, 96.

El número de bacterias de un cultivo está aumentando un 25 % cada hora. Si al principio había 300000 ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas? Rpta: 915527,34

Un padre proyecta colocar en un baúl $ 1 el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl luego? Rpta: a) $131072 b) $262143

PRÁCTICA1. Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual a 4 y la diferencia es 5. 2. El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia es 4. Halla el primer término. 3. Sabiendo que el primer término de una progresión aritmética es 4, la diferencia 7 y el término n-ésimo 88, halla el número de términos. 4. Halla el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, sabiendo que a3 = 24 y a10 = 66.

5. El término sexto de una progresión aritmética es 4 y la diferencia 1/2. Halla el término 20.

6. Interpola cuatro medios aritméticos entre los números 7 y 27.

7. Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3.

8. Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9.