Progresiones Se presentarán una serie de ejercicios resueltos paso a paso, referentes al tema de

progresiones, tanto aritméticas como geométricas, además de proporcionar la teoría necesaria para encarar cada uno de los ejercicios resueltos y propuestos.

Objetivo del Aprendizaje:

Manejar la definición de una progresión aritmética y/o geométrica, sus propiedades y la posibilidad de aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas de diferente índole. Además, de proporcionar una inducción natural al tema de sucesiones de Cálculo.

Definición (Progresión)

Una progresión, es una sucesión ordenada de números o letras relacionados entre sí mediante una ley de formación. Podemos clasificar a las progresiones según su forma de generar los términos siguientes, estas son: Aritméticas, Geométricas y Armónicas.

Progresión Aritmética (PA):

Es una progresión, en la que dado un término cualquiera el siguiente se obtiene sumando (o restando) una cantidad constante denominada razón o diferencia. Entonces, si , son los términos de la progresión, el término general se obtiene mediante la fórmula:

( )

Donde corresponde al primer término de la sucesión, corresponde al -ésimo término de la sucesión, representa el número de términos requerido y es la razón o diferencia de la progresión.

Ejemplo Calculemos el término de la progresión . Sabemos que la razón es la diferencia de dos términos cualesquiera, entonces

Si consideramos , en la fórmula anterior obtenemos:

( )

Ahora bien, la fórmula anterior se puede entender simplemente como la relación existente entre dos términos de la progresión, el primero y el -ésimo vía la distancia entre ellos (posición). Entonces, dados dos elementos cualesquiera de la progresión, la relación entre ellos puede darse mediante la fórmula:

( )

Ejemplo

Si sabemos que el cuarto término de una progresión aritmética de razón

es , entonces calcule

el decimosexto término.

Empleando ahora la fórmula de relación para dos términos cualesquiera, sabemos que la distancia entre estos dos términos es , por tanto,

( )

▪ Propiedades de la Progresión Aritmética:

1. En una PA siempre se debe cumplir que la diferencia entre dos términos consecutivos es igual a la razón:

para .

2. La propiedad fundamental de las PA, es justamente que la semisuma de términos equidistantes es constante. A esta semisuma se le denomina término central. Veamos un ejemplo de esto, consideremos la siguiente PA: . Entonces, se debe cumplir que:

3. La suma de los primeros términos de una PA, es justamente:

∑ ∑[ ( ) ]

[ ( ) ]

[ ( ) ]

Desarrollando esta última expresión obtenemos que:

( )

Problema Resuelto

La suma de tres números consecutivos que se encuentran en PA es y su producto es . Determinar la Progresión Aritmética.

Solución.

Consideremos los números consecutivos, escritos de la manera más conveniente, a saber, partiendo del término central, es decir:

Donde es la razón de la PA. Entonces tenemos que:

( ) ( )

Para determinar la razón, consideremos el otro dato del problema. A saber,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Finalmente,

Al obtener dos posibles razones, tenemos entonces dos posibles ternas de números que cumplen con las condiciones: una creciente y otra decreciente

Problema Resuelto

En la PA: . Determinar:

a) La expresión del término general b) c) d) La suma de los primeros términos.

Solución.

a) Sabemos que la razón la obtenemos con la diferencia de cualquier par de términos consecutivos, entonces:

Entonces, tenemos que:

( )

Para verificar que esta expresión es correcta, podríamos sustituir y obtenemos:

( )

Que en efecto es el tercer término.

b) Para calcular el término número 27, usamos la expresión obtenida en la parte a), con . Veamos,

( )

c) Para calcular el término número 51, volvemos a usar la fórmula obtenida pero con y nos queda:

( )

d) La suma de los primeros 50 términos amerita el uso de la fórmula de la suma de los primeros términos con . Entonces, usando directamente la fórmula obtenemos que:

[ ( ) ]

[ ] [ ]

Progresión Geométrica (PG):

Es una progresión, en la que dado un término cualquiera el siguiente se obtiene multiplicando una cantidad constante denominada razón. Entonces, si , son los términos de la progresión, el término general se obtiene mediante la fórmula:

Donde corresponde al primer término de la sucesión, corresponde al -ésimo término de la sucesión, representa el número de términos requerido y es la razón de la progresión.

Ejemplo Calculemos el término de la progresión . Sabemos que la razón es el cociente de dos términos cualesquiera (siguiente sobre anterior), entonces

Si consideramos , en la fórmula anterior obtenemos:

( )

Ahora bien, la fórmula anterior se puede entender simplemente como la relación existente entre dos términos de la progresión, el primero y el -ésimo vía la distancia entre ellos (posición). Entonces, dados dos elementos cualesquiera de la progresión, la relación entre ellos puede darse mediante la fórmula:

Ejemplo

Si sabemos que el cuarto término de una progresión aritmética de razón

es , entonces calcule

el noveno término.

Empleando ahora la fórmula de relación para dos términos cualesquiera, sabemos que la distancia entre estos dos términos es , por tanto,

(

)

(

)

(

)

▪ Propiedades de la Progresión Geométrica:

1. En una PG siempre se debe cumplir que el cociente entre dos términos consecutivos es igual a la razón:

para

2. La propiedad fundamental de las PG, es justamente que el producto de términos equidistantes es constante y el término central de una PG, es la raíz cuadrada de este

producto. Veamos un ejemplo de esto, consideremos la siguiente PG: . Entonces, se debe cumplir que:

√ √ √ √ 3. La suma de los primeros términos de una PG, se puede calcular de la siguiente manera:

Consideremos la suma de los primeros términos

Multiplicando a esta expresión por la razón , nos queda:

Luego, si tomamos la diferencia de estas dos expresiones obtenemos:

( )

O bien,

(

)

,

Problema Resuelto

El producto de tres números consecutivos que se encuentran en PG es y la suma de sus recíprocos es . Determinar los números.

Solución.

Se sabe que la razón es no nula, en virtud de que el producto dado es distinto de cero. En consecuencia, consideremos los números consecutivos y escritos de la manera más conveniente, es decir, partiendo del término central. A saber,

Entonces, tenemos que se debe cumplir que:

Ahora bien, se determinó el término central, faltaría determinar la razón , utilizando la segunda condición:

Amplificando lo anterior por , nos queda que:

Aplicándole a esta ecuación la resolvente (fórmula general), obtenemos que:

√( ) ( )

√

√

Finalmente, obtenemos las dos raíces de este polinomio:

√ √

Se tienen dos soluciones distintas para las cuales se cumplen las condiciones de

. Estas

son:

√ √

√ √

Problema Resuelto

El tercer término de una PG es

y el sexto

. Determine la suma de los diez primeros

términos de la progresión.

Solución.

Sabemos que:

Entonces, tenemos que la razón verifica la ecuación:

Entonces, para poder usar la fórmula de la suma de los primeros términos, debemos hallar el primer término de la sucesión. A partir del tercer término tenemos que:

(

)

Tenemos que la suma de los 10 primeros términos está dada por:

( )

(( )

)

( )

[

] [

]

Finalmente:

Progresión Armónica (PH):

Decimos que una progresión de términos , están en Progresión Armónica, si sus recíprocos

forman una PA.

En este tipo de progresiones, no existe ninguna fórmula elemental como lo hay para las PA y las PG.

Problema Resuelto

Interpolar dos medios armónicos entre 6 y 15.

Solución.

Interpolar, significa intercalar términos entre dos dados. En este caso debemos intercalar términos cuyos recíprocos verifiquen estar en PA. Entonces, debemos hallar dos términos y , tales que: , estén en PH. A saber, debemos verificar que los términos:

Estén en PA. Entonces, a estos últimos se le pueden aplicar las propiedades de las PA, en especial la de la resta entre dos términos consecutivos. Veamos,

( )

( )

En ( ), se pueden ordenar las fracciones a cada lado y luego despejar :

En ( ), se puede realizar un proceso similar y despejando , nos queda:

Entonces, se puede reemplazando en , obtenemos:

( )

( )

((

) ) (

) (

)

De donde sacando el m.c.m en la expresión anterior y simplificando, nos queda:

Con este valor de , se puede determinar

de esta forma, los números:

están en PA. Por consiguiente, los números están en PH

ING-ALG-I/Progresiones/APT/2019