Teoria

Problemas propuestos

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Sea una sucesin cualquiera, formada por los elementos: 2, 5, 8, 11, ... Cualquiera sera capaz de decirme, cual es el elemento siguiente. Seguro que me dir que el nmero 14. Y el siguiente, el 17. Vemos que si sumamos 3 al ltimo nmero, encontramos el siguiente. Lamamos a1 al nmero 2, que es el primer trmino; a2, al 5, que es el segundo trmino... Si al segundo trmino le restamos el primero, encontramos el nmero 3 que es la clave para

hallar los siguientes nmeros. Por lo tanto a2 - a1 = 3; a ste nmero le llamaremos diferencia. o tambien "d". a1 a1= 2 a2= a1 + d a2= 2 + 3 = 5 a3= a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d a3= 2 + 2.3 = 2 + 6 = 8 a4= a1 + 3d a4 = 2 +3.3 = 2 + 9 = 11 a5= a1 + 4d a9= a1 + 8d a157= a1 + 156d an= a1 + (n-1)d Esta frmula es fundamental para hallar el ltimo trmino de una progresin aritmtica.

...oooOOOooo...Vamos a averiguar otra frmula fundamental: la de la suma. Sean los elementos: 2, 5, 8, 11, 14; creo que la suma da 40. Por lo tanto podemos escribir: 40 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 o tambin 40 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2 ---------------------------------------- Por lo tanto, si sumamos miembro a miembro, resulta: 80 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 Oh! que casualidad, siempre grupos de 16. Precisamente 5 grupos. Tantos como trminos.

Vamos a hacerlo con letras: S = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an S= an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a1 ---------------------------------------------------------2S = (a1+an) + (a2+an-1) + (a3+ an-2)+...+(an-2+a3) + (an-1+a2) + (an+a1) Como que hay n grupos iguales, resulta: 2S = (a1+an) * n S = (a1+an) * n / 2 ...oooOOOooo...

Y no hay ms teora en las progresiones. Todo est aqu. Falta hablar de la interpolacin, pero si te fijas en la etimologa de la palabra, observars que si inter = entre y polar = polos, extremos, resulta que interpolar 5 trminos, nos da una progresin con siete trminos, los cinco ms los dos extremos. Cuando tengamos que interpolar, ser una progresin con dos trminos ms.

...oooOOOooo... Comiezo

Problemas propuestos128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 128. Conociendo el ltimo trmino 199, de una progresin aritmtica Solucin (p.a.), el nmero de ellos 100, y la suma de sus trminos 10.000, Resolucin calcular el primero y la razn.

Solucin

129. Calcular la suma y el ltimo trmino de una p.a. de razn 4, sabiendo que consta de 12 trminos y el primero vale 7. 130. Calcular la suma y el nmero de trminos de una p.a., cuyo primer trmino es 4, el ltimo 40 y la razn 3. 131. Conociendo el primer trmino de una p.a. 3, el ltimo 25 y el nmero de trminos 12, determinar la razn y la suma. 132. Conociendo el primer trmino 3, el ltimo 39 y la suma 210 de las trminos de una p.a., calcular la razn y el nmero de trminos.

Resolucin

Solucin

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Solucin

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Solucin

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Solucin

133. Formar una p.a. de trminos positivos de razn 2, el ltimo 18 y Resolucin 88 la suma de sus trminos. 134. Determinar el nmero de trminos de una p.a. y el ltimo, sabiendo que el primero vale 3, la razn es 2 y la suma 120.

Solucin

Resolucin

135. Cual ser la profundidad de un pozo si por el primer metro se Solucin han pagado 760 duros y por cada uno de los restantes, 150 duros ms Resolucin que por el anterior. El pozo ha costado 43.700 duros. 136. Hallar el nmero de trminos de una p.a. que tiene por primer trmino 7, por ltimo 112 y por razn 3. 137. Hallar los cuatro ngulos de un cuadriltero, sabiendo que forman p.a. de razn igual a 25.

Solucin

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Solucin

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138. La suma de cierto cantidad de nmeros impares consecutivos Solucin tomados a partir de 1, es 11.025. Calcular el ltimo de los citados nmeros impares.

Resolucin

139. Calcular la distancia que recorre un pen que arroja un cubo de agua en cada uno de los 30 rboles de un lado de la calzada, sabiendo Solucin Resolucin que el primer rbol dista del pozo 10 m. y entre s distan 6 m. y al final deja el cubo al lado del pozo. 140, Calcular la suma de todos los nmeros que, teniendo tres cifras, Resolucin son mltiplos de 7.

Solucin

Solucin

141. Cuntas campanadas da diariamente un reloj que suena solamente las horas. 142. Calcular el valor de cada uno de los ngulos de un tringulo rectngulo, sabiendo que estn en p.a. 143. Los ngulos de un tringulo estn en p.a., valiendo uno de ellos 100. Hallar el valor de los dems. 144. Hallar la suma de los nmeros pares que estan comprendidos entre 99 y 1001. 145. Hallar la suma de todos los nmeros mltiplos de 4 comprendidos entre 122 y 1.418. 146. Hallar la suma de los cincuenta primeros nmeros que son mltiplos de cinco. 147. Hallar la suma de los cincuenta primeros nmeros que son mltiplos de siete. 148. Hallar la suma de los trminos de la siguiente progresin: 5, 8, 11, 14, ... , 338. 149. Interpolar 10 elementos entre los nmeros 3 y 25, para que formen progresin. 150. Interpolar 5 medios aritmticos entre los nmeros 1/2 y 1 para que formen una progresin. 151. Interpolar 13 medios aritmticos entre 22a2 y 8a2 para que formen progresin. 152. Interpolar cinco medios aritmticos entre el octavo y el noveno trmino de la p.a., cuyo primer trmino es 1/2 y el segundo 7/12.

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Solucin 153. Hallar el nmero de bolas que contiene una pila triangular

Resolucin

completa, teniendo sobre cada lado 20 bolas. 154. Hallar el nmero de bolas que contiene una pila triangular cuya base inferior tiene 25 bolas y la superior 13 bolas.

Solucin

Resolucin

155. Un coronel que manda 2.485 soldados los quiere formar en tringulo, de tal forma, que la primera fila tenga un soldado, la Solucin segunda 2, la tercera 3, y as sucesivamente. Cuntas filas podr formar ?

Resolucin

Solucin

156. Un hexgono tiene un ngulo recto y los restantes, a partir de l, Resolucin estn en p.a. Hallar el valor de cada uno de ellos.

157. Un coronel coloca un soldado en la primera fila, 3 en la segunda, 5 en la tercera, etc., hasta colocar 1024 soldados. Se desea saber: a) Solucin Cuntos soldados tiene la fila 10. b) Cuntas filas hay. c) Qu Resolucin superficie hubiera ocupado si los hubiera dispuesto en filas y columnas de igual nmero de soldados, distantes entre s un metro. 158. Calcular la suma de los mltiplos de 5 comprendidos entre 1243 Resolucin y 4728.

Solucin

159. Encontrar tres nmeros en p.a. de razn 5 sabiendo que el Solucin trmino central es igual a la media geomtrica de los extremos mas uno.

Resolucin

160. En un parque hay 50 filas de rboles y se sabe que la diferencia entre el nmero de rboles de una fila y el del anterior es constante y Solucin adems que en la fila ocho hay 41 y en la quince 62. Hallar; 1) La Resolucin diferencia entre le nmero de rboles de dos filas consecutivas; 2) Valor de la plantacin si cada rbol vale 100 pesetas. 161. Formar una p.a. de 6 trminos, sabiendo que su suma es 69 y la diferencia entre los extremos es 15.

Solucin

Resolucin

Solucin

162. La suma de los once trminos de una p.a. es 220. Sabiendo que Resolucin la diferencia entre el ltimo y el primero es 30, formar la progresin. Resolucin

Solucin 163. La suma de 10 trminos de una p.a. es 205. La diferencia entre

el ltimo y el primero es 27. Formar la progresin. 164. En una p.a. de once trminos, la suma de stos es 176, y la diferencia entre el ltimo y el primero es 30. Formar la progresin.

Solucin

Resolucin

165. En una p.a. creciente la diferencia entre el ltimo y el primer Solucin trmino es 20. La razn es igual al nmero de trminos y la suma de stos es 65. Hallarla. 166. El segundo y el noveno trmino de una p.a. suman 29 y el tercero con el duodcimo suman 41. Calcular los cuatro trminos.

Resolucin

Solucin

Resolucin

167. Una p.a. de doce trminos es tal que la suma de sus once Solucin primeros trminos es 253. Sabiendo que la semidiferencia entre dos trminos consecutivos es 2, hallar el ltimo termino.

Resolucin

168. La razn de una p.a. aritmtica creciente es 2 y 11 el nmero de Solucin trminos. Averiguar el primer trmino y la suma de los 11, sabiendo Resolucin que el ltimo termino es igual al cuadrado del primero. 169. Los tres lados de un tringulo rectngulo estn en p.a. de razn 3. Hallarlos. 170. Los lados de un tringulo rectngulo estn en p.a. de razn 2, calcula las medidas. 171. La suma de los 5 primeros trminos de una p.a. es 75 y la suma de los 7 primeros es 129'5. Calcular el primer trmino y la razn.

Solucin

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Solucin

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Solucin

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172. Los tres primeros trminos de una p.a. son 12, 16 y 20. Calcular Solucin el nmero de trminos que hay que aadirle para que la suma total Resolucin sea 300. 173. La suma de los 12 primeros trminos de una p.a. es 157'8 y el cuarto trmino es 8'9. Calcular el sptimo y el onceavo.

Solucin

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174. La suma de los trminos de una p.a. de trminos positivos es Solucin 199'5, el ltimo trmino es 24 y la diferencia entre dos trminos consecutivos es 1'5. Calcular el nmero de trminos y el primero.

Resolucin

Solucin

175. Tres nmeros en p.a. creciente tienen por producto 45 y el ms pequeo es 1. Cules son los otros dos ? 176. La suma de tres nmeros en p.a. es 21 y el producto 280. Formarla. 177. Hallar tres nmeros en p.a. siendo su suma 33 y su producto 1287.

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Solucin

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178. Hallar un nmero de tres cifras que, dividido por la suma de las Solucin mismas, d 15; las cifras estn en p.a. y sumando al nmero 396 se obtiene el nmero invertido. 179. El volumen de un paraleleppedo es 1.232 cm3. Calcular sus Solucin aristas, sabiendo que estn formadas por tres nmeros en p.a. de razn 3.

Resolucin

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180. Las tres aristas de un ortoedro que concurren en un mismo Solucin vrtice tienen longitudes en p.a. cuya suma es 78 metros. El volumen Resolucin del ortoedro es 16.640 m3. Hallar las longitudes de las aristas. Solucin 181. En un paraleleppedo rectngulo las tres dimensiones estn en Solucin p.a. y su suma vale 24 metros. Sabiendo que el rea total mide 366 m2, calcular: a) sus dimensiones, y b) su volumen. Resolucin

182. Dado un ortoedro cuyas dimensiones son tres nmeros naturales Solucin en p.a. de razn 2, determinar su volumen, sabiendo que su rea total Resolucin mide 142 m2. 183. Encontrar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma vale 15 y la suma de sus cuadrados 107.

Solucin

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Solucin

184. Hallar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 12 Resolucin y la suma de sus cuadrados 56. 185. Encontrar cuatro nmeros en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 92 y la suma de sus cuadrados es 2.136.

Solucin

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Solucin

186. La suma de los cuatro trminos de una p.a. es 2, y la suma de sus Resolucin cuadrados es 46. Averiguar la progresin. 187. Calcular los 10 trminos de una p.a., sabiendo que la suma de Resolucin los seis trminos centrales es 93 y el producto de sus extremos es 58.

Solucin

188. La suma de los seis trminos centrales de una p.a. creciente de Solucin 16 trminos es 141, y el producto de sus extremos es 46. Escribir la progresin.

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189. La suma de los cuatro trminos centrales de una p.a. creciente de Solucin ocho trminos es 70 y el producto del primero por el ltimo 196. Resolucin Formar la progresin 190. La suma de 5 nmeros en p.a. es 45 y la suma de sus inversos 137/180. Formar la progresin.

Solucin

Resolucin

191. En una p.a. la razn y el nmero de trminos son iguales. La Solucin suma de los trminos es 120 y la diferencia de los extremos es 20. Construir la progresin.

Resolucin

Solucin

192. Una p.a. tiene un nmero impar de trminos. El central vale 44 y Resolucin el producto de los extremos 336. Calcular los extremos.

193. Un nmero compuesto de tres cifras es igual a 26 veces la suma Solucin de sus cifras; stas estn en p.a.; y si al nmero dado se le suman 396, Resolucin resulta el mismo nmero invertido: Cul es el nmero ?. 194. Si a, b y c estn en p.a., los A= a2+ b2+ ab, B= a2+ c2 + ac, C= b2+c2+bc estn tambin en p.a. Comprobarlo. 195. Hallar la suma de los n primeros nmeros impares. 196. Hallar la suma de los n primeros nmeros pares. 197. Hallar la suma de los n primeros mltiplos de 3.

Solucin

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Solucin Solucin Solucin

Resolucin Resolucin Resolucin

Solucin

198. Calcular cuatro enteros en p.a. conocida su suma 26 y el producto del segundo trmino por el cuarto 55. 199. El n trmino de una p.a. es (3n - 1)/6: Hallar el primer trmino, la razn y la suma de n trminos. 200. Hallar la suma de los p primeros nmeros positivos de la forma 4p + 1.

Resolucin

Solucin

Resolucin

Solucin

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Solucin

201. La suma de n trminos de una p.a. es n (3n + 2): hallar el octavo Resolucin trmino.

Solucin 202. En una p.a. am = m y an = m, calcula ap en funcin de m, n y p. Resolucin 203. Hallar el primer trmino y la razn de una p.a. sabiendo que la Solucin suma de los n primeros trminos es igual al cudruplo de n2, para cualquier valor de n.

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Solucin

204. Encontrar una p.a. tal que la suma de n trminos sea igual a 5n2, Resolucin para todos los valores de n. 205. Hallar la p.a. en la que la suma de sus n primeros trminos es n2/2, para todos los valores de n. 206. Hallar una p.a. tal que la suma de sus n primeros trminos sea igual a n ( 3n + 1), para todos lo valores de n.

Solucin

Resolucin

Solucin

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Comiezo

128. Conociendo el ltimo trmino 199, de una progresin aritmtica (p.a.), el nmero de ellos 100, y la suma de sus trminos 10.000, calcular el primero y la razn. an = 199; n = 100; S = 10.000; a1 = ?; d = ? 10.000 = (a1 + 199) * 100 / 2 20.000 = (a1 + 199) * 100 200 = a1 + 199; a1 = 1 199=1+(100-1)*d.....198=99*d.....d=2 a1 = 1 y d = 2 Volver

129. Calcular la suma y el ltimo trmino de una p.a. de razn 4, sabiendo que consta de 12 trminos y el primero vale 7. S = ?; an = ?; d = 4; n = 12; a1 = 7 an = 7 + (12 - 1) * 4 an = 7 + 11 * 4; an = 51 S = (7 + 51) * 12 / 2 S = 58 * 6; S = 348 S = 348 y an = 51

Volver

130. Calcular la suma y el nmero de trminos de una p.a., cuyo primer trmino es 4, el ltimo 40 y la razn 3. S = ?; n = ?; a1 = 4; an = 40; d = 3 40 = 4 + (n - 1) * 3; 40 - 4 = (n - 1) * 3; 36 = (n - 1) * 3; 12 = n - 1 ; n = 13 S = (4 + 40) * 13 / 2 S = 44 * 13 / 2; S = 22 * 13; S = 286 S = 286 y n = 13 Volver

131. Conociendo el primer trmino de una p.a. 3, el ltimo 25 y el nmero de trminos 12, determinar la razn y la suma. a1 = 3; an = 25; n = 12; d = ?; S = ? 25 = 3 + (12 - 1) * d; 25 - 3 = 11 * d; 22 = 11 * d; d = 2 S = (3 + 25) * 12 / 2 S = 28 * 12 / 2; S = 14 * 12; S = 168 S = 168 y d = 2 Volver

132. Conociendo el primer trmino 3, el ltimo 39 y la suma 210 de las trminos de una p.a., calcular la razn y el nmero de trminos. a1 = 3; an = 39; S = 210; d = ?; n = ? 210 = (3 + 39) * n / 2; 210 = 42 * n / 2; 210 = 21 * n; n = 10 39 = 3 + (10 - 1) * d; 39 - 3 = 9 * d; 36 = 9 * d; d = 4 n = 10 y d = 4

Volver

133. Formar una p.a. de trminos positivos de razn 2, el ltimo 18 y 88 la suma de sus trminos. d = 2; an = 18; S = 88 18 = a1 + (n - 1) * 2 ; 18 = a1 + 2n - 2; 20 = a1 + 2n; a1 = 20 - 2n 88 = (a1 + 18) * n / 2; 176 = ( a1 + 18) * n 176 = (20 - 2n + 18)*n; 176 = (38 - 2n) * n; 2n2 - 38n + 176 = 0; n2 - 19n + 88 = 0 Resolviendo le ecuacin de segundo grado hallamos los valores de n; n = 11; n = 8 Para n = 11; a1 = 20 - 2n; a1 = 20 - 22; a1 = - 2; No cumple el enunciado Para n = 8; a1 = 20 - 2n; a1 = 20 - 16; a1 = 4 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 Volver

134. Determinar el nmero de trminos de una p.a. y el ltimo, sabiendo que el primero vale 3, la razn es 2 y la suma 120. n = ?; an = ?; a1 = 3; d = 2; S = 120 an = 3 + (n - 1) * 2 ; an = 3 + 2n - 2; an = 1 + 2n; 120 = (3 + an) * n / 2; 240 = ( 3 + 1 + 2n) * n; 240 = 4n + 2n2; n2 + 2n - 120 = 0 Resolviendo le ecuacin de segundo grado hallamos los valores de n; n = 10; Para n = 10; an = 1 + 2n; an = 1 + 20; an = 21 n = 10; an = 21 Volver

135. Cual ser la profundidad de un pozo si por el primer metro se han pagado 760 duros y por cada uno de los restantes, 150 duros ms que por el anterior. El pozo ha costado 43.700 duros. n = ?; a1 = 760; d = 150; S = 43.700 an = 760 + (n - 1) * 150 ; an = 760 + 150n - 150; an = 610 + 150n;

43700 = (760 + an) * n / 2; 87400 = ( 760 + 610 + 150n) * n; 87400 = 1370n + 150n2; 15n2 + 137n - 8740 = 0 Resolviendo le ecuacin de segundo grado hallamos los valores de n; n = 20; n = 20 Volver

136. Hallar el nmero de trminos de una p.a. que tiene por primer trmino 7, por ltimo 112 y por razn 3. n = ?; a1 = 7; an = 112; d = 3 112 = 7 + (n - 1) * 3 112 = 7 + 3n - 3 112 = 4 + 3n 3n = 108; n = 36 n = 36 Volver

137. Hallar los cuatro ngulos de un cuadriltero, sabiendo que forman p.a. de razn igual a 25. n = 4; d = 25; S = 360 360 = (a1 + an) * 4 / 2; 360 = (a1 + an) * 2; 180 = a1 + an; an = 180 - a1 an = a1 + (n - 1) * d; 180 - a1 = a1 + 3 * 25; 180 = 2a1 + 75; 2a1 = 105; a1 = 52'5; 52 30'; 77 30'; 102 30'; 127 30' Volver

138. La suma de cierto cantidad de nmeros impares consecutivos tomados a partir de 1, es 11.025. Calcular el ltimo de los citados nmeros impares. a1 = 1; d = 2; S = 11.025; an = ? an = 1 + (n - 1) * 2; an = 1 + 2n - 2; an = 2n - 1 11.025 = (1 + an) * n / 2; 22.050 = (1 + 2n - 1) * n; 22.050 = 2n2; n2 = 11.025; n = 105 an = 2n - 1; an = 210 - 1; an = 209 an = 209 Volver

139. Calcular la distancia que recorre un pen que arroja un cubo de agua en cada uno de los 30 rboles de un lado de la calzada, sabiendo que el primer rbol dista del pozo 10 m. y entre s distan 6 m. y al final deja el cubo al lado del pozo. a1 = 20 por ser ida y vuelta; n = 30; S = ?; d = 12 an = 20 + (30 - 1) * 12; an = 20 + 29 * 12; an = 20 + 348; an = 368 S = (20 + 368) * 30 / 2; S = 388 * 15;

S = 5820 Volver

140, Calcular la suma de todos aquellos nmeros que, teniendo tres cifras, son mltiplos de 7. debemos buscar el primer nmero de tres cifras que sea divisible por 7, da 105 y luego debemos buscar el nmero ms grande de tres cifras que sea divisible por 7, veremos que da 994 a1 = 105; an = 994; d = 7 994 = 105 + (n - 1) * 7; 994 - 105 = (n - 1) * 7; 889 / 7 = n - 1; n = 128 S = (105 + 994) * 128 / 2; S = 1099 * 64; S = 70.336 Volver

141. Cuntas campanadas da diariamente un reloj que suena solamente las horas. Calcularemos primero las campanadas que da un reloj en medio da, y luego lo multiplicaremos por dos. a1 = 1; an = 12; d = 1; n = 12; S = ? S = (1 + 12) * 12 / 2; S = 13 * 6; S = 78 campanadas en doce horas S = 156 campanadas Volver

142. Calcular el valor de cada uno de los ngulos de un tringulo rectngulo, sabiendo que estn en p.a. Deberemos recordar que la suma de los tres ngulos de un tringulo cualquiera vale 180 grados, y que por ser rectngulo, hay un ngulo que vale 90 grados, el mayor an = 90; n = 3; S = 180

180 = (a1 + 90) * 3 / 2; 360 = (a1 + 90) * 3; 120 = a1 + 90; a1 = 30 an = a1 + (n- 1) * d; 90 - 30 = 2d; 60 = 2d; d = 30 30, 60 y 90 Volver

143. Los ngulos de un tringulo estn en p.a., valiendo uno de ellos 100. Hallar el valor de los dems. Deberemos recordar que la suma de los tres ngulos de un tringulo cualquiera vale 180 grados, y que hay un ngulo que vale 100 grados, el mayor an = 100; n = 3; S = 180 180 = (a1 + 100) * 3 / 2; 360 = (a1 + 100) * 3; 120 = a1 + 100; a1 = 20 an = a1 + (n - 1) * d; 100 - 20 = 2d; 80 = 2d; d = 40 20, 60 Volver

144. Hallar la suma de los nmeros pares que estan comprendidos entre 99 y 1001. Deberemos recordar que los nmeros pares: 2, 4, 6, 8, ... aumentan de dos en dos, por lo tanto la diferencia entre dos nmeros consecutivos es dos. a1 = 100; an = 1000; d = 2; S = ? an = a1 + (n - 1) * d; 1000 = 100 + (n - 1) * 2; 900 = (n - 1) * 2; 450 = n - 1; n = 451 S = (100 + 1000) * 451 / 2; S = 1100 * 451 / 2; S = 550 * 451; 248.050 Volver

145. Hallar la suma de todos los mltiplos de 4 comprendidos entre 122 y 1.418. Deberemos recordar que los mltiplos de 4 aumentan de 4 en 4, por lo tanto la diferencia entre dos nmeros consecutivos es cuatro. a1 = 124; an = 1416; d = 4; S = ? an = a1 + (n - 1) * d; 1416 = 124 + (n - 1) * 4; 1292 = (n - 1) * 4; 323 = n - 1; n = 324 S = (124 + 1416) * 324 / 2; S = 1540 * 324 / 2; S = 1540 * 162; 249.480 Volver

146. Hallar la suma de los cincuenta primeros nmeros que son mltiplos de cinco. Deberemos recordar que los mltiplos de 5 aumentan de 5 en 5, por lo tanto la diferencia entre dos nmeros consecutivos es cinco. a1 = 5; an = ?; d = 5; S = ?; n = 50 an = a1 + (n - 1) * d; an = 5 + (50 - 1) * 5; an = 5 + 49 * 5; an = 250 S = (5 + 250) * 50 / 2; S = 255 * 25; 6375

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147. Hallar la suma de los cincuenta primeros nmeros que son mltiplos de siete. Deberemos recordar que los mltiplos de 7 aumentan de 7 en 7, por lo tanto la diferencia entre dos nmeros consecutivos es siete. a1 = 7; an = ?; d = 7; S = ?; n = 50 an = a1 + (n - 1) * d; an = 7 + (50 - 1) * 7; an = 7 + 49 * 7; an = 350 S = (7 + 350) * 50 / 2; S = 357 * 25; 8.925 Volver

148. Hallar la suma de los trminos de la siguiente progresin aritmtica: 5, 8, 11, 14, ... , 338. a1 = 5; an = 338; d = 3; S = ?; an = a1 + (n - 1) * d; 338 = 5 + (n - 1) * 3; 333 = (n - 1) * 3; 111 = n - 1; n = 112 S = (5 + 338) * 112 / 2; S = 343 * 56; 18.208 Volver

149. Interpolar 10 elementos entre los nmeros 3 y 25, para que formen progresin aritmtica. Debemos recordar que interpolar, quiere decir meter entre los extremos, por lo tanto la progresin tendr 12 trminos a1 = 3; an = 25; n = 12; d = ?;

an = a1 + (n - 1) * d; 25 = 3 + (12 - 1) * d; 22 = 11 * d; d=2 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 Volver

150. Interpolar 5 medios aritmticos entre los nmeros 1/2 y 1 para que formen una progresin. Debemos recordar que interpolar, quiere decir meter entre los extremos, por lo tanto la progresin tendr 7 trminos a1 = 1/2; an = 1; n = 7; d = ?; an = a1 + (n - 1) * d; 1 = 1/2 + (7 - 1) * d; 1/2 = 6 * d; d = 1/12 1/2 = 6/12, 7/12, 8/12, 9/12, 10/12, 11/12, 12/12 = 1 Volver

151. Interpolar 13 medios aritmticos entre 22a2 y 8a2 para que formen progresin. Debemos recordar que interpolar, quiere decir meter entre los extremos, por lo tanto la progresin tendr 15 trminos a1 = 22a2; an = 8a2; n = 15; d = ?; an = a1 + (n - 1) * d; 8a2 = 22a2 + (15 - 1) * d; - 14a2 = 14 * d; d = - a2 22a2, 21a2, 20a2; 19a2; ...; 8a2 Volver

152. Interpolar cinco medios aritmticos entre el octavo y el noveno trmino de la p.a., cuyo primer trmino es 1/2 y el segundo 7/12. Debemos recordar que interpolar, quiere decir meter entre los extremos, por lo tanto la progresin tendr 7 trminos a1 = 1/2; a2 = 7/12; d = 1/12; a8 = ?; y a9 = ? an = a1 + (n - 1) * d; a8 = 1/2 + (8 - 1) * 1/12; a8 = 1/2 + 7/12; a8 = 13/12; a9 = 14/12 La nueva progresin tendr como elementos: a1 = 13/12; an = 14/12; n = 7 14/12 = 13/12 + (7 - 1) * d; 1 / 12 = 6d; d = 1/ 72 13 / 12 = 78 /72, 79 / 72, 80 / 72, 81 /72, 82 /72, 83 /72, 84 /72 = 14 / 12 Volver

153. Hallar el nmero de bolas que contiene una pila triangular completa, teniendo sobre cada lado 20 bolas. Imaginemos un tringulo equiltero, que en la base tiene 20 bolas y en el vrtice superior, tiene una sola bola, a1 = 1; an = 20; d = 1; S = ?; an = a1 + (n - 1) * d; 20 = 1 + (n - 1) * 1; 19 = n - 1; n = 20 S = ( 1 + 20 ) * 20 / 2;

S = 21 * 10 210 Volver

154. Hallar el nmero de bolas que contiene una pila triangular cuya base inferior tiene 25 bolas y la superior 13 bolas. Imaginemos un trapecio issceles, que en la base tiene 25 bolas y en el lado superior tiene 13 bolas, a1 = 13; an = 25; d = 1; S = ?; an = a1 + (n - 1) * d; 25 = 13 + (n - 1) * 1; 12 = n - 1; n = 13 S = ( 13 + 25 ) * 13 / 2; S = 19 * 13 247 Volver

155. Un coronel que manda 2.485 soldados los quiere formar en tringulo, de tal forma, que la primera fila tenga un soldado, la segunda 2, la tercera 3, y as sucesivamente. Cuntas filas podr formar ? a1 = 1; an = ?; d = 1; S = ?; an = a1 + (n - 1) * d; an = 1 + (n - 1) * 1; an = n 2485 = ( 1 + n ) * n / 2; 4970 = n + n2; n2 + n - 4970 = 0 Resolviendo la ecuacin de segundo grado, encontramos que n vale 70 Volver

156. Un hexgono tiene un ngulo recto y los restantes, a partir de l, estn en p.a. Hallar el valor de cada uno de ellos. a1 = 90; n = 6; Pero podemos saber cunto vale la suma de todos los ngulos de un

exgono. Para ello dibujamos un exgono regular, lo descomponemos en 6 tringulos, formados al unir el centro con cada uno de los vrtices. Cada uno de los ngulos centrales valdr 60 grados. Por lo tanto, los otros dos ngulos del tringulo, valdrn 120 grados, y ser lo mismo que un ngulo interior del exgono. Como que hay 6 ngulos interiores, cada uno vale 120 grados, los 6 tendrn un valor de 720 grados. an = a1 + (n - 1) * d; an = 90 + (6 - 1) * d; an = 90 + 5d 720 = ( 90 + 90 + 5d ) * 6 / 2; 720 = (180 + 5d) 3; 240 = 180 + 5d; 5d = 60; d = 12 90, 102, 114, 126, 138, 150 Volver

157. Un coronel coloca un soldado en la primera fila, 3 en la segunda, 5 en la tercera, etc., hasta colocar 1024 soldados. Se desea saber: a) Cuntos soldados tiene la fila 10. b) Cuntas filas hay. c) Qu superficie hubiera ocupado si los hubiera dispuesto en filas y columnas de igual nmero de soldados, distantes entre s un metro. a1 = 1; d = 2; S = 1024; a10 = ?; n = ?; Superficie = ? an = a1 + (n - 1) * d; a10 = 1 + (10 - 1) * 2; a10 = 1 + 18; a10 = 19 an = a1 + (n - 1) * d; an = 1 + (n - 1) * 2; an = 1 + 2n - 2; an = 2n - 1 1024 = ( 1 + 2n - 1) * n / 2; 2048 = 2n2; n2 = 1024; n = 32; Habran formado un cuadrado de 31 metros de lado, o sea 961 metros cuadrados. a10 = 19; n = 32; Superficie = 961 metros cuadrados

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158. Calcular la suma de los mltiplos de 5 comprendidos entre 1243 y 4728. Lo primero que tenemos que recordar es que los mltiplos de cinco, acaban en 0 en 5. Por lo tanto la sucesin estar comprendida entre 1245 y 4725. a1 = 1245; an = 4725; d = 5; S = ? an = a1 + (n - 1) * d; 4725 = 1245 + (n - 1) * 5; 3480 = (n - 1) * 5 n - 1 = 696; n = 697 S = ( 1245 + 4725) * 697 / 2; S = 5970 * 697 / 2; S = 2985 * 697 2.080.545 Volver

159. Encontrar tres nmeros en p.a. de razn 5 sabiendo que el trmino central es igual a la media geomtrica de los extremos mas uno. Recordarmos que la media geometrica de dos nmeros es la raiz cuadrada del producto. Sean a1, a2 y a3. La media geomtrica sera la raiz cuadrada de a1 * a3 a1 * a3 = (a2 - 1)2 ; d = 5; La progresin podramos escribirla: a1, a2, a3 tambin as: a - 5, a, a + 5 a1 * a3 = (a2 - 1)2; (a - 5)(a + 5) = (a - 1)2; a2- 25 = a2+ 1 - 2a - 25 = 1 - 2a; 2a = 26; a = 13 8, 13, 18 Volver

160. En un parque hay 50 filas de rboles y se sabe que la diferencia entre el nmero de rboles de una fila y el del anterior es constante y adems que en la fila ocho hay 41 y en la quince 62. Hallar; 1) La diferencia entre le nmero de rboles de dos filas consecutivas; 2) Valor de la plantacin si cada rbol vale 100 pesetas. Sabemos que es una progresin aritmtica, porque la diferencia es constante.

n = 50; a8 = 41; a15 = 62; d = ?; S = ? precio = ? Una progresin podra tener como primer trmino a8 = 41; ltimo termino a15 = 62 y n = 8 a15 = a8 + (n - 1) * d; 62 = 41 + 7d; 21 = 7d; d = 3 Como sabemos cunto vale a8, hacemos que ste sea el ltimo; 41 = a1 + (n - 1) * d; 41 = a1 + 7 * 3; a1 = 41 - 21; a1 = 20 an = 20 + 49 * 3; an = 20 + 147; an = 167; S = (20 + 167) * 50 / 2; S = 187 * 25; S = 4675 d = 3; 467.500 pesetas Volver

161. Formar una p.a. de 6 trminos, sabiendo que su suma es 69 y la diferencia entre los extremos es 15. n = 6; S = 69; an - a1 = 15 an= a1 + 5d; an - a1 = 5d; pero como an - a1 = 15, resulta que 15 = 5d; d = 3 69 = (a1 + an) * 6 / 2; 69 = (a1 + an) * 3; 23 = a1 + an; si an + a1 = 23, y an - a1 = 15, resulta que 2an = 38; an = 19; 19 - a1 = 15; a1 = 4 4, 7, 10, 13, 16, 19

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162. La suma de los once trminos de una p.a. es 220. Sabiendo que la diferencia entre el ltimo y el primero es 30, formar la progresin. n = 11; S = 220; an - a1 = 30 an= a1 + 10d; an - a1 = 10d; pero como an - a1 = 30, resulta que 30 = 10d; d = 3 220 = (a1 + an) * 11 / 2; 440 = (a1 + an) * 11; 40 = a1 + an; si an + a1 = 40, y an - a1 = 30, resulta que 2an = 70; an = 35; 35 - a1 = 30; a1 = 5 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35 Volver

163. La suma de 10 trminos de una p.a. es 205. La diferencia entre el ltimo y el primero es 27. Formar la progresin. n = 10; S = 205; an - a1 = 27 an= a1 + 9d; an - a1 = 9d; pero como an - a1 = 27, resulta que 27 = 9d; d = 3 205 = (a1 + an) * 10 / 2; 205 = (a1 + an) * 5; 41 = a1 + an; si an + a1 = 41, y an - a1 = 27, resulta que 2an = 68; an = 34; 34 - a1 = 27; a1 = 7 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34 Volver

164. En una p.a. de once trminos, la suma de stos es 176, y la diferencia entre el ltimo y el primero es 30. Formar la progresin. n = 11; S = 176; an - a1 = 30 an= a1 + 10d; an - a1 = 10d; pero como an - a1 = 30, resulta que 30 = 10d; d = 3 176 = (a1 + an) * 11 / 2; 352 = (a1 + an) * 11; 32 = a1 + an;

si an + a1 = 32, y an - a1 = 30, resulta que 2an = 62; an = 31; 31 - a1 = 30; a1 = 1 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31 Volver

165. En una p.a. creciente la diferencia entre el ltimo y el primer trmino es 20. La razn es igual al nmero de trminos y la suma de stos es 65. Hallarla. n = d; S = 65; an - a1 = 20 an= a1 + (n - 1) *n; an - a1 = n(n-1); pero como an - a1 = 20, resulta que n(n-1) = 20; y resolviendo la ecuacin de segundo grado resulta que n = d = 5 65 = (a1 + an) * 5 / 2; 130 = (a1 + an) * 5; 26 = a1 + an; si an + a1 = 26, y an - a1 = 20, resulta que 2an = 46; an = 23; 23 - a1 = 20; a1 = 3 3, 8, 13, 18, 23 Volver

166. El segundo y el noveno trmino de una p.a. suman 29 y el tercero con el duodcimo suman 41. Calcular los cuatro trminos. a2 + a9 = 29 a3 + a12 = 41 pongo a todos los trminos en funcin de a1, mediante an= a1 + (n - 1) *n; a1 + d + a1 + 8d = 29 a1 + 2d + a1 + 11d = 41 2a1 + 9d = 29 2a1 + 13d = 41 restando la primera ecuacin de la segunda, obtenemos 4d = 12; d = 3 sustituyendo en cualquiera, por ejemplo en la primera, resulta 2a1 + 27 = 29; 2a1 = 2; a1 = 1 y como a2 = a1 + d, resulta que a2 = 1 + 3; a2 = 4 a2 = 4; a3 = 7; a9 = 25; a12 = 34 Volver

167. Una p.a. de doce trminos es tal que la suma de sus once primeros trminos es 253. Sabiendo que la semidiferencia entre dos trminos consecutivos es 2, hallar el ltimo termino. n = 12; S11 = 253; (a2 - a1) / 2 = 2; an = ? (a2 - a1) / 2 = 2; d / 2 = 2; d = 4 mediante an= a1 + (n - 1) *n calculo a11; a11 = a1 + 40; S = (a1 + a1 + 40) * 11/ 2 = 253; 23 = (2a1 + 40) / 2; 23 = a1 + 20; a1 = 3 a12 = a1 + 11d; a12 = 3 + 11 * 4 a12 = 47 Volver

168. La razn de una p.a. aritmtica creciente es 2 y 11 el nmero de trminos. Averiguar el primer trmino y la suma de los 11, sabiendo que el ltimo termino es igual al cuadrado del primero. d = 2; n = 11; a1 = ?; S11 = ?;an = a12 mediante an= a1 + (n - 1) *n calculo an; a12 = a1 + 20; a12 - a1 -20 = 0; resolviendo la ecuacin resulta a1 = 5 an = 12; an = 25; S = (a1 + an) * n / 2; S = (5 + 25) * 11 / 2; S = 30 * 11 / 2; S = 165; a1 = 5

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169. Los tres lados de un tringulo rectngulo estn en p.a. de razn 3. Hallarlos. n = 3; d = 3; ;an = ?;a1 = ?; a2 = ? deberemos recordar el teorema de Pitgoras: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Los lados del tringulo sern: x - 3; x; x + 3 (x + 3) 2 = x2 + (x - 3)2; x2 + 9 + 6x = x2 + x2 + 9 - 6x x2= 12x; x = 12 9, 12 y 15 Volver

170. Los lados de un tringulo rectngulo estn en p.a. de razn 2, calcula las medidas. n = 3; d = 2; ;an = ?;a1 = ?; a2 = ? deberemos recordar el teorema de Pitgoras: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Los lados del tringulo sern: x - 2; x; x + 2 (x + 2) 2 = x2 + (x - 2)2; x2 + 4 + 4x = x2 + x2 + 4 - 4x x2= 8x; x = 8 6, 8, y 10 Volver

171. La suma de los 5 primeros trminos de una p.a. es 75 y la suma de los 7 primeros es 129'5. Calcular el primer trmino y la razn. S5 = 75; S7 = 125; ;an = ?;a1 = ?; Referiremos los ltimos trminos al primero. S5 = (a1 + a5) * 5 / 2; S5 = (a1 + a1 + 4d) * 5 / 2

S7 = (a1 + a7) * 7 / 2; S7 = (a1 + a1 + 6d) * 7 / 2 75 = (2a1 + 4d) * 5 / 2; 150 / 5 = 2a1 + 4d; 30 = 2a1 + 4d 129'5 = (2a1 + 6d) * 7 / 2; 259 /7 = 2a1 + 6d; 37 = 2a1 + 6d Restando miembro a miembro, resulta; 2d = 4; d = 3'5 Sustituyendo en 30 = 2a1 + 4d, resulta: 30 = 2a1 + 14; 2a1 = 16 a1 = 8; d = 3'5 Volver

172. Los tres primeros trminos de una p.a. son 12, 16 y 20. Calcular el nmero de trminos que hay que aadirle para que la suma total sea 300. a1 = 12; a2 = 16 ;a3 = 20;n = ?; S = 300 Podemos deducir facilmente que d = 4; an = a1 + (n - 1) * d; an = 12 + (n - 1) * 4; sustituimos este valor en la suma: S = (a1 + an) * n / 2; 300 = (12 + 12 + 4n - 4) * n / 2; 600 = (20 + 4n) * n 600 = 20n + 4n2; n2 + 5n - 150 = 0 Al resolver esta ecuacin, resulta que n = 10 Deberemos aadir 7 trminos a la sucesin Volver

173. La suma de los 12 primeros trminos de una p.a. es 157'8 y el cuarto trmino es 8'9. Calcular el sptimo y el onceavo. S12 = 157'8; a4 = 8'9 ;a7 = ?; a11 = ?; an = a1 + (n - 1) * d; a12 = a1 + 11 * d; sustituimos este valor en la suma: S = (a1 + an) * n / 2; 157'8 = (a1 + a1 + 11d) * 12 / 2; 157'8 = (2a1 + 11d) * 6 26'3 = 2a1 + 11d; y como a4 = a1 + 3d; 8'9 = a1 + 3d; o tambin 17'8 = 2a1 + 6d restando miembro a miembro, resulta: 5d = 8'5; d = 1'7 pero como 8'9 = a1 + 3d; si sustituimos: 8'9 = a1 + 5'1; a1 = 3'8 a7 = a1 + 6d; a7 = 3'8 + 10'2; y a11 = a1 + 10d; a11 = 3'8 + 17 a7 = 14; a11 = 20'8 Volver

174. La suma de los trminos de una p.a. de trminos positivos es 199'5, el ltimo trmino es 24 y la diferencia entre dos trminos consecutivos es 1'5. Calcular el nmero de trminos y el primero. S = 199'5; an = 24 ;d = 1'5; a1 = ?; n = ? an = a1 + (n - 1) * d; 24 = a1 + (n - 1) * 1'5; sustituimos este valor en la suma: S = (a1 + an) * n / 2; 199'5 = (a1 + 24) * n / 2; 399 = (24 - 1'5n +1'5 + 24) * n 1'5 n2- 49'5n + 399 = 0; 3 n2- 99n + 798 = 0; n2- 33n + 266 = 0; n = 14 pero como 24 = a1 + (n - 1) * 1'5; si sustituimos: 24 = a1 + 13 * 1'5; a1 = 24 - 19'5; a1 = 4'5; n = 14 Volver

175. Tres nmeros en p.a. creciente tienen por producto 45 y el ms pequeo es 1. Cules son los otros dos? (x- d) * x * (x + d) = 45 x - d = 1; x = 1 + d 1 * (1 + d) * (1 + 2d) = 45 1 + 2d + d + 2d2= 45; 2d2 + 3d - 44 = 0 rersolviendo la ecuacin resulta que d = 4 1; 5; 9

Volver

176. La suma de tres nmeros en p.a. es 21 y el producto 280. Formarla. (x- d) + x + (x + d) = 21; 3x = 21; x = 7 (x- d) * x * (x + d) = 280 (7- d) * 7 * (7 + d) = 280; 7 * (49 - d2) = 280; 49 - d2 = 40; d2= 9; d = 3 4, 7, 10 Volver

177. Hallar tres nmeros en p.a. siendo su suma 33 y su producto 1287. (x- d) + x + (x + d) = 33; 3x = 33; x = 11 (x- d) * x * (x + d) = 1287 (11- d) * 11 * (11+ d) = 1287; 11 * (121 - d2) = 1287; 121 - d2 = 117; d2= 4; d = 2 9, 11, 13 Volver

178. Hallar un nmero de tres cifras que, dividido por la suma de las mismas, d 15; las cifras estn en p.a. y sumando al nmero 396 se obtiene el nmero invertido. En el nmero 245, hay 200 + 40 + 5 unidades. Sea el nmero formado por las cifras:(x- d) , x, (x + d); El nmero tendr: 100(x- d) +10x +(x + d) unidades. Si invertimos el rden de las cifras, o sea: (x + d) , x, (x - d), el nmero tendr 100(x + d) + 10x + (x - d) unidades.

( 100(x- d) +10x +(x + d) ) / ( (x - d) + x + ( x + d) ) = 15; (100x - 100d + 10x + x + d) = 15 * 3x; 111x - 99d = 45x; 66x = 99d; 2x = 3d; 100(x- d) +10x +(x + d) + 396 = 100(x + d) + 10x + (x - d) ; 100x - 100d + 10x + x + d + 396 = 100x + 100d + 10x + x - d; 111x - 99d + 396 = 111x + 99d; 198d = 396; d = 2 2x = 3d; 2x = 6; x = 3; x - 2 = 1; x + 2 = 5 135 Volver

179. El volumen de un paraleleppedo es 1.232 cm3. Calcular sus aristas, sabiendo que estn formadas por tres nmeros en p.a. de razn 3. Un paralelepdpedo es una caja de zapatos. Tiene largo, ancho y alto: x - d; x; x + d; y el volumen ser el producto de las tres dimensiones (x- d) * x * (x + d) = 1232; (x- 3) * x * (x + 3) = 1232; x * (x - 9) = 1232; 1232 = 24 * 7 * 11; luego 1232 se puede dividir por 2, 4, 8, 18, 7 y 11 solamente. Preparando la ecuacin para aplicar Ruffini: x3 - 9x - 1232 = 0; Al aplicar los diferentes valores sobre la ecuacin, vemos que solamente 11, cumple. 8, 11, 14 Volver

180. Las tres aristas de un ortoedro que concurren en un mismo vrtice tienen longitudes en p.a. cuya suma es 78 metros. El volumen del ortoedro es 16.640 m3. Hallar las longitudes de las aristas. Un ortoedro es una caja de zapatos. Tiene largo, ancho y alto: x - d; x; x + d; y el volumen ser el producto de las tres dimensiones (x- d) + x + (x + d) = 78; 3x = 78; x = 26; (x- d) * x * (x + d) = 1232; (26 - d) * 26 * (26 + d) = 16.640; 676 - d2 = 640; d2 = 36; d = 6 20, 26, 32 Volver

181. En un paraleleppedo rectngulo las tres dimensiones estn en p.a. y su suma vale 24 metros. Sabiendo que el rea total mide 366 m2, calcular: a) sus dimensiones, y b) su volumen. Un paraleleppedo es una caja de zapatos. Tiene largo, ancho y alto: x - d; x; x + d; y el rea total, ser el rea de sus seis caras; y el volumen el producto de las tres dimensiones (x- d) + x + (x + d) = 24; 3x = 24; x = 8; Las caras sern (8 - d) * 8; 8 * (8 + d) y (8 - d) * (8 + d) El rea total 366 = 2 * ( (8 - d) * 8 + 8 * (8 + d) + (8 - d) * (8 + d) ); 183 = 64 - 8d + 64 + 8d + 64 + d2 183 = 192 - d2; d2 = 9; d = 3; (x- d) * x * (x + d) = V; 5, 8, 11; V = 440 Volver

182. Dado un ortoedro cuyas dimensiones son tres nmeros naturales en p.a. de razn 2, determinar su volumen, sabiendo que su rea total mide 142 m2. Un ortoedro es una caja de zapatos. Tiene largo, ancho y alto: x - d; x; x + d; y el rea total, ser el rea de sus seis caras; y el volumen el producto de las tres dimensiones Las caras sern (x - 2) * x; x * (x + 2) y (x - 2) * (x + 2) El rea total 142 = 2 * ( (x - 2) * x + x * (x + 2) + (x - 2) * (x + 2) ); 71 = x2 - 2x + x2 + 2x + x2 - 4;

71 = 3x2 - 4; 75 = 3x2; x2 = 25; x = 5; Los lados valdrn 5 - 2; 5 y 5 + 2; (x- d) * x * (x + d) = V; V = 105 Volver

183. Encontrar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma vale 15 y la suma de sus cuadrados 107. (a - d); a; (a + d); (a - d) + a + (a + d) = 15; 3a = 15; a = 5 ; (5 - d)2 + 25 + (5 + d)2 = 107 25 + d2 - 10d + 25 + 25 + d2 + 10d = 107; 75 + 2d2 = 107;2d2 = 32; d2= 16; d = 4; 1, 5, 9 Volver

184. Hallar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 12 y la suma de sus cuadrados 56. (a - d); a; (a + d); (a - d) + a + (a + d) = 12; 3a = 12; a = 4 ; (4 - d)2 + 16 + (4 + d)2 = 56 16 + d2 - 8d + 16 + 16 + d2 + 8d = 56; 48 + 2d2 = 56;2d2 = 8; d2= 4; d = 2; 2, 4, 6 Volver

185. Encontrar cuatro nmeros en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 92 y la suma de sus cuadrados es 2.136. (a - d); a; (a + d); (a + 2d)

(a - d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 92; 4a + 2d = 92; 2a + d = 46; d = 46 - 2a; (a - d)2 + a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 = 2136 a2 + d2 - 2ad + a2 + a2 + d2 + 2ad + a2 + 4d2 + 4ad = 2136; 4a2 + 6d2 + 4ad = 2136; 2a2 + 3d2 + 2ad = 1068; d = 46 - 2a; 2a2 + 3(46 - 2a)2 + 2a(46 - 2a) = 1068; 2a2 + 3(2116 + 4a2- 184a) + 92a - 4a2 = 1068 2a2 + 6348 + 12a2 - 552a + 92a - 4a2 =1068; 10a2- 460a + 5280 = 0; a2 - 46 a + 528 = 0; a = 22 d = 46 - 2a; d = 46 - 44; d = 2 20, 22, 24, 26 Volver

186. La suma de los cuatro trminos de una p.a. es 2, y la suma de sus cuadrados es 46. Averiguar la progresin. (a - d); a; (a + d); (a + 2d) (a - d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 2; 4a + 2d = 2; 2a + d = 1; d = 1 - 2a; (a - d)2 + a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 = 46 a2 + d2 - 2ad + a2 + a2 + d2 + 2ad + a2 + 4d2 + 4ad = 46;

4a2 + 6d2 + 4ad = 46; 2a2 + 3d2 + 2ad = 23; d = 1 - 2a; 2a2 + 3(1 - 2a)2 + 2a(1 - 2a) = 23; 2a2 + 3(1 + 4a2- 4a) + 2a - 4a2 = 23 2a2 + 3 + 12a2 - 12a + 2a - 4a2 =23; 10a2- 10a - 20 = 0; a2 - a - 2 = 0; a = 2; a = - 1 d = 1 - 2a; d = -3; d = 3 5, 2, - 1, - 4; Volver

187. Calcular los 10 trminos de una p.a., sabiendo que la suma de los seis trminos centrales es 93 y el producto de sus extremos es 58. a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 Los seis trminos centrales empiezan en a3 y acaban en a8 a3 = a1 + 2d; a8 = a1 + 7d; Luego la suma vendra expresada por: 93 = (a1 + 2d + a1 + 7d) * 6 / 2; 31 = 2a1 + 9d; 9d = 31 - 2a1; d = (31 - 2a1) / 9; El producto de los extremos a1 * (a1 + 9d) = 58; sustituimos 9d: a1 * (a1 + 9d) = 58; a1 * (a1 + 31 - 2a1) = 58; a12 - 31 a1 + 58 = 0 resolviendo la ecuacin de segundo grado, reesulta que a puede valer 29 y 2;

el valor 29, no es viable, por lo tanto a = 2; y sustituyendo en d = (31 - 2a1) / 9, resulta que d = (31 - 4) / 9; d = 3; 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 y 29 Volver

188. La suma de los seis trminos centrales de una p.a. creciente de 16 trminos es 141, y el producto de sus extremos es 46. Escribir la progresin. a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., a13, a14, a15, a16 Los seis trminos centrales empiezan en a6 y acaban en a11 a6 = a1 + 5d; a11 = a1 + 10d; Luego la suma vendra expresada por: 141 = (a1 + 5d + a1 + 10d) * 6 / 2; 47 = 2a1 + 15d; 15d = 47 - 2a1; d = (47 - 2a1) / 15; El producto de los extremos a1 * (a1 + 15d) = 46; sustituimos 15d: a1 * (a1 + 15d) = 46; a1 * (a1 + 47 - 2a1) = 46; a12 - 47 a1 + 46 = 0 resolviendo la ecuacin de segundo grado, reesulta que a puede valer 46 y 1; y sustituyendo en d = (47 - 2a1) / 15, por 1 resulta que d = (47 - 2) / 15;d = 3; 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 21, 23, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, y 46 Volver

189. La suma de los cuatro trminos centrales de una p.a. creciente de ocho trminos es 70 y el producto del primero por el ltimo 196. Formar la progresin a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 Los cuatro trminos centrales empiezan en a3 y acaban en a6 a3 = a1 + 2d; a6 = a1 + 5d; Luego la suma vendra expresada por: 70 = (a1 + 2d + a1 + 5d) * 4 / 2; 35 = 2a1 + 7d; 7d = 35 - 2a1; d = (35 - 2a1) / 7; El producto de los extremos a1 * (a1 + 7d) = 196; sustituimos 7d: a1 * (a1 + 7d) = 196; a1 * (a1 + 35 - 2a1) = 196; a12 - 35 a1 + 196 = 0 resolviendo la ecuacin de segundo grado, resulta que a puede valer 38 y 7; y sustituyendo en d = (35 - 2a1) / 7, por 7 resulta que d = (35 - 14) / 7;d = 3; 7, 10, 13, 16, 19, 21, 23, 25, 28 Volver

190. La suma de 5 nmeros en p.a. es 45 y la suma de sus inversos 137/180. Formar la progresin. Si al trmino central, le llamamos a; a - 2d, a - d, a, a +d, a + 2d a - 2d + a - d + a + a +d + a + 2d = 45; 5a = 45; a = 9 El trmino central, sera 9 1 / (9 - 2d) + 1 / (9 - d) + 1 / 9 + 1 / (9 + d) + 1 / ( 9 + 2d) = 137 / 180; 1 / (9 - 2d) + 1 / (9 - d) + 1 / (9 + d) + 1 / ( 9 + 2d) = 117 / 180 resolviendo y simplificando queda la ecuacin; 52d4- 3465d2+ 26973 = 0 resolviendo la ecuacin de segundo grado, resulta que d2 puede valer 9 y d = 3; 3, 6, 9, 12, 15 Volver

191. En una p.a. la razn y el nmero de trminos son iguales. La suma de los trminos es 120 y la diferencia de los extremos es 20. Construir la progresin. d = n; S = 120; an - a1 = 20

S = (a1 + an) * n / 2; 240 = (a1 + an) * n; an = a1 + (n - 1) * n; an - a1 = n2- n; n2- n- 20 = 0; n = d = 5; a - 2d + a - d + a + a +d + a + 2d = 120; 5a = 120; a = 24 14, 19, 24, 29, 34 Volver

192. Una p.a. tiene un nmero impar de trminos. El central vale 44 y el producto de los extremos 336. Calcular los extremos. an * a1 = 336 El trmino central, ser igual que la mitad de la suma de los extremos: an + a1 = 88; Aprovechando la frmula de la ecuacin de segundo grado: x2- Sx + P = 0 resulta: x2- 88x + 336 = 0 resolviendo la ecuacin a1 = 4; an = 84 Volver

193. Un nmero compuesto de tres cifras es igual a 26 veces la suma de sus cifras; stas estn en p.a.; y si al nmero dado se le suman 396, resulta el mismo nmero invertido: Cul es el nmero ? a - d; a; a + d En un nmero se debe tener en cuenta el lugar que ocupan sus cifras. 26 * (a - d + a + a + d) = 100 (a - d) + 10 a + a + d 100 (a - d) + 10 a + a + d + 396 = 100 (a + d) + 10 a + a - d 78a = 111a - 99d; 33a = 99d; a = 3d 111a - 99d + 396 = 111a + 99d; 198d = 396; d = 2

468 Volver

194. Si a, b y c estn en p.a., los A= a2+ b2+ ab, B= a2+ c2 + ac, C= b2+c2+bc estn tambin en p.a. Comprobarlo. a - d; a; a + d A= (a - d)2+ a2+ (a - d) a; B= (a - d)2+ (a + d)2 + (a - d)(a + d) C= a2+ (a + d)2+ a (a + d) A = a2+ d2- 2ad + a2+ a2- ad B = a2+ d2- 2ad + a2+ d2+ 2ad +a2- d2 C = a2+ a2+ d2+ 2ad + a2+ ad A = 3a2 + d2 - 3ad B = 3a2 + d2 C = 3a2 + d2 + 3ad d = 3ad Volver

195. Hallar la suma de los n primeros nmeros impares. a1 = 1; d = 2; S = ? an = 1 + (n - 1) * 2; an = 2n - 1 S = (1 + 2n - 1) * n / 2; S = 2n2/2 S = n2 Volver

196. Hallar la suma de los n primeros nmeros pares. a1 = 2; d = 2; S = ? an = 2 + (n - 1) * 2; an = 2n

S = (2 + 2n) * n / 2; S = n (n + 1) Volver

197. Hallar la suma de los n primeros nmeros mltiplos de tres. a1 = 3; d = 3; S = ? an = 3 + (n - 1) * 3; an = 3n S = (3 + 3n) * n / 2; S = 3n (n + 1)/2 Volver

198. Calcular cuatro enteros en p.a. conocida su suma 26 y el producto del segundo trmino por el cuarto 55. n = 4; S = 26; a2 * a4 = 55 S = (a + a + 3d) * 4 / 2; 13 = 2a1 + 3d; d = (13 - 2a1) / 3 a2 * a4 = 55; (a1 + d) (a1 + 3d) = 55; a2+ 3ad + ad + 3d2= 55 a2+ 4a (13 - 2a) / 3 + 3((13 - 2a) / 3)2= 55 3a2+ 52a - 8a2+ 169 + 4a2- 52a = 55 a2 = 4; a = 2 d = (13 - 2a1) / 3; d = 9 / 3; d = 3 2, 5, 8, 11 Volver

199. El n trmino de una p.a. es (3n - 1)/6: Hallar el primer trmino, la razn y la suma de n trminos. A (3n - 1)/6, se le llama trmino general. si n = 1; a1 = (3 - 1 ) / 6; a1 = 2 / 6;a1 = 1 / 3

si n = 2; a2 = (6 - 1 ) / 6; a2 = 5 / 6 por lo tanto la razn ser: d = a2 - a1; d = 5 / 6 - 1 / 3; d = 1 /2 S = ( 1 / 3 + (3n - 1) / 6) n / 2; S = (2 + 3n - 1 ) n / 12; S = (1 + 3n) n / 12 a1 = 1 /3; d = 1 / 2; S = (n + 3n2) / 12 Volver

200. Hallar la suma de los p primeros nmeros positivos de la forma 4p + 1. A 4p + 1, se le llama trmino general. si p = 1; a1 = 4 + 1 ;a1 = 5 si p = 2; a2 = 8 + 1; a2 = 9 por lo tanto la razn ser: d = a2 - a1; d = 9 - 5; d = 4 S = ( 5 + 4p + 1) p / 2; S = (6 + 4p) p / 2; S = (3 + 2p) p S = 3p + 2p2 Volver

201. La suma de n trminos de una p.a. es n (3n + 2): hallar el octavo trmino. n ( 3n + 2) = (a1 + an) n / 2 6n + 4 = a1 + an; an = a1 + (n - 1) * d; a1 + a1 + (n - 1) * d = 6n + 4 2a1 + dn - d = 6n + 4 dn = 6n; d = 6 2a1 - d = 4; 2a1 = 10; a1 = 5 a8 = a1 + 7d a8 = 47 Volver

203. Hallar el primer trmino y la razn de una p.a. sabiendo que la suma de los n primeros trminos es igual al cudruplo de n2, para cualquier valor de n. a1 = ?; d = ?; S = 4n2 si n = 1; S = 4n2; S = 4; a1 = 4 si n = 2; S = 4n2; S = 16; a1 + a2 = 16; a2 = 16 - 4; a2 = 12 d = a2 - a1; d = 12 - 4; d = 8 a1 = 4; d = 8 Volver

204. Encontrar una p.a. tal que la suma de n trminos sea igual a 5n2, para todos los valores de n. si n = 1; S = 5n2; S = 5; a1 = 5 si n = 2; S = 5n2; S = 20; a1 + a2 = 20; a2 = 20 - 5; a2 = 15 d = a2 - a1; d = 15 - 5; d = 10 5, 15, 25, 35, ... Volver

205. Hallar la p.a. en la que la suma de sus n primeros trminos es n2/2, para todos los valores de n. si n = 1; S = n2/ 2; a1 = 1 /2 si n = 2; S = n2/ 2; S = 2; a1 + a2 = 2; a2 = 2 - 1 / 2; a2 = 3 / 2 d = a2 - a1; d = 3 / 2 - 1 / 2; d = 1 1/2, 3/2, 5/2, ... Volver

206. Hallar una p.a. tal que la suma de sus n primeros trminos sea igual a n ( 3n + 1), para

todos lo valores de n. si n = 1; S = n ( 3n + 1); a1 = 4 si n = 2; S = n ( 3n + 1); S = 2 (6 + 1); S = 14; a1 + a2 = 14; a2 = 14 - 4; a2 = 10 d = a2 - a1; d = 10 - 4; d = 6 4, 10, 16, ... Volver