GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 6

UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD

PORCENTAJE

TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de lostérminos de la proporción es 100:

EJEMPLOS

1. El 40 % de 450 es

A) 185B) 180C) 150D) 100E) 45

2. 54 es el 60% de

A) 32,4B) 54C) 90D) 100E) 324

3. El la figura 1, todos los sectores circulares son iguales. ¿Qué tanto por ciento es laparte achurada de la parte no achurada?

A) 12,5 %B) 30 %C) 33,33…%D) 37,5 %E) 60 %

QC

= P100

Q = P100

· C

Q = P% · C

fig. 1

C u r s o : Matemática

Material N° 07

2

4. ¿Qué tanto por ciento es825

de45

?

A) 12 %B) 20 %C) 25 %D) 40 %E) 60 %

5. Si el 30% de m es 40. ¿Cuál es el 15% de m?

A) 15B) 20C) 25D) 30E) 35

6. Si la mitad del 40% de p3 es igual 25, entonces, el 20% de p es

A) 25B) 20C) 5D) 3E) 1

7. ¿Qué porcentaje de 50 es w?

A) 2w%

B)2w

%

C)50w

%

D)w2

%

E)w50

%

3

TANTOS POR CIENTOS NOTABLES EXPRESADOS EN FRACCIÓN Y EN NÚMERO DECIMAL

TANTO POR CIENTO FRACCIÓN DECIMAL

1% de C1

100 C 0,01 C

10% de C110

C 0,1 C

12,5% de C18

C 0, 125 C

20% de C15

C 0,2 C

25% de C14

C 0,25 C

3313

% de C13

C 0,3 C

50% de C12

C 0,5 C

6623

% de C23

C 0,6 C

75% de C34

C 0,75 C

120% de C65

C 1,2 C

EJEMPLOS

1. ¿Cuál es el setenta y cinco por ciento de 56?

A) 14B) 32C) 42D) 52E) Ninguna de las anteriores.

2. El 6623

% de un número es igual a 72. ¿Cuál es la sexta parte del número?

A) 144B) 108C) 72D) 48E) 18

4

3. El 50% de la cuarta parte de un número es 16. ¿Cuál es el número?

A) 2B) 8C) 32D) 64E) 128

4. En la figura 2, todos los cuadrados son congruentes. Si se achuran dos cuadrados más,¿qué porcentaje es la región en blanco de la achurada?

A) 62,5 %B) 60 %C) 37,5 %D) 20 % fig. 2E) 12,5 %

5. El 60% de (5 – 10x2) es

A) 3x2 – 3B) 5x2 – 1C) 6x3 – 3D) 3 – 6x2

E) 6 – 3x2

6. El 80% de 8 . 103

A) 6400B) 640C) 64D) 0,064E) 0,0064

5

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS

Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar.

El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantospor cientos.

EJEMPLOS

1. La diferencia entre el 75% de z y el 12,5% de z es

A) 52,5% de zB) 62,5% de zC) 63% de zD) 67,5% de zE) 85,5% de z

2. El 20% de 60 más el 55% de 60 es

A) 35B) 36C) 45D) 55E) 78

3. Se repartieron 160 láminas entre Carlos, Andrés y Pedro. Carlos recibió el 40 % de lasláminas y Andrés el 12,5 % de las que recibió Carlos. ¿Cuántas láminas recibió Pedro ?

A) 8B) 64C) 72D) 76E) 88

a% de C b% de C = (a b)% de C

El a% del b% de C =a

100·

b100

· C

6

4. El p% del q% de la cuarta parte de 400 es

A) p · q · 104

B) p · q ∙ 102

C) p · q · 10-1

D) p · q ∙ 10-2

E) p · q · 10-4

5. El 3313

% del 66 23

% de 144p es

A) 16% de pB) 32% de pC) 16pD) 32pE) 48p

6. El 19% de $ 200.000 es igual al doble de la mitad de

A) $ 48.000B) $ 38.000C) $ 19.000D) $ 9.500E) $ 9.000

7. El 35 % de A más el 15 % de A es 70. ¿ Cuál es el valor de A ?

A) 10,5B) 24,5C) 35D) 140E) 350

7

VARIACIÓN PORCENTUAL

AUMENTO : Al aumentar una cantidad C en su P por ciento se obtiene:

DISMINUCIÓN : Al disminuir una cantidad C en su P por ciento se obtiene lacantidad:

EJEMPLOS

1. Lorena desea vender su notebook con un 15% de ganancia. ¿Cuánto será el precio deventa, si el costo fue de $ 210.000?

A) $ 221.500B) $ 231.500C) $ 241.500D) $ 251.500E) $ 341.500

2. Pedro compró un televisor en una oferta. Si su precio sin rebaja era de$ 380.000 y se le hizo un 20% de descuento, ¿cuánto pagó Pedro por el televisor?

A) $ 314.000B) $ 308.800C) $ 308.500D) $ 304.500E) $ 304.000

C’ = C +P

100· C

C’ = C -P

100· C

8

3. Los pasajes en avión a Sudáfrica subieron de US$10.000 a US$12.500. ¿En quéporcentaje se incrementó su valor?

A) 20%B) 22%C) 25%D) 35%E) 45%

4. Para una celebración fueron invitados 200 personas, asistieron 120. ¿Qué porcentaje delos invitados no asistieron?

A) 20%B) 30%C) 40%D) 45%E) 48%

5. El porcentaje de aumento de 400 a 500 supera al porcentaje de disminución de 500 a400 en un

A) 0 %B) 5 %C) 15 %D) 20 %E) 25 %

6. El precio del kilo de limones disminuyó de $ 150 a $ 100. ¿Cuál fué el tanto por cientode disminución?

A) 20%B) 30%C) 33%

D) 3313

%

E) 75%

9

INTERÉS SIMPLE

Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un período de n unidades,en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo.La cantidad final CF después de cumplido el período n está dada por:

EJEMPLOS

1. Un capital de $ 500.000 se deposita en un banco que ofrece un 3% de interés mensual.Al cabo de 9 meses, en un régimen de interés simple, ¿cuánto es el nuevo capital?

A) $ 535.000B) $ 545.000C) $ 590.000D) $ 630.000E) $ 635.000

2. Aldo realiza un depósito de $ 3.500.000 en un banco a un interés simple mensual deun 2,5%. ¿Qué ganancia obtendrá en un período de medio año?

A) $ 402.000B) $ 515.000C) $ 525.000D) $ 625.000E) $ 635.000

3. ¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde el 15% anual de interés simple,para obtener $ 2.400.000 de utilidad en 4 años?

A) $ 400.000B) $ 460.000C) $ 4.000.000D) $ 4.500.000E) $ 6.000.000

CF = C

i1 + n

100

Ganancia =n · i · C100

10

4. ¿Qué interés simple anual se aplicó a un capital de $ 8.000.000 depositado durante8 años, si se obtiene una ganancia de $ 80.000?

A) 0,125%B) 1,25%C) 12,5%D) 25%E) 125%

5. Si se deposita $ 9.000.000 a un interés simple mensual del 0,5% durante 9 años, elcapital acumulado es

A) $ 14.860.000B) $ 13.860.000C) $ 12.130.000D) $ 11.430.000E) $ 10.143.000

6. ¿Durante cuánto tiempo Carmen debe depositar un capital de $ 10.000.000 a unrégimen de interés simple de 3% anual, para obtener una ganancia de $ 150.000?

A) 5 añosB) 2 añosC) 1,5 añosD) 1 añoE) 6 meses

7. Julio presta tres millones y medio de pesos a un régimen de interés simple del 18%anual. Si le devuelven el préstamo al cabo de 6 meses, ¿qué cantidad habría quepagarle a Julio por concepto de intereses?

A) $ 315.000B) $ 270.000C) $ 180.000D) $ 31.500E) $ 27.000

11

INTERÉS COMPUESTO

Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un período de n unidades,en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo seagrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el período n es:

EJEMPLOS

1. Karla invierte $ 5.000.000 a un interés compuesto anual del 16%. ¿Cuánto es el capitalfinal de Karla, al cabo de 5 años?

A) $ 5.000.000·(0,016)5

B) $ 5.000.000· (0,16)5

C) $ 5.000.000·(1,16)5

D) $ 5.000.000·(11,6)5

E) $ 5.000.000·(116)5

2. Carlos deposita $ 8.000.000 en una entidad bancaria a un interés compuesto semestraldel 4,5%. ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero acumulado por Carlos, alcabo de 36 meses?

A) $ 8.000.000 · (1,0045)6

B) $ 8.000.000 · (1,045)6

C) $ 8.000.000 · (1,45)6

D) $ 8.000.000 · (1,045)36

E) $ 8.000.000 · (5,5)6

3. El crecimiento de una población es del 4 % anual. ¿Qué población habrá dentro de dosaños si en la actualidad hay 100.000 habitantes?

A) 8.160B) 108.160C) 160.000D) 196.000E) 1.081.600

n

F

iC = C · 1 +

100

Ganancia = CF – C

12

4. El banco ofrece el 8% de interés compuesto anual por depósitos recibidos. Si sedeposita $ 2.000.000, el capital total acumulado al cabo de 9 años es

A) $ 2.000.000 · (108)9

B) $ 2.000.000 · (10,8)9

C) $ 2.000.000 · (1,08)9

D) $ 2.000.000 · (0,108)9

E) $ 2.000.000 · (0,0108)9

5. El capital acumulado por un depósito que realizó Hugo de $ 5.000.000 a un régimen deinterés compuesto anual durante 48 meses, en una entidad financiera que da un 4%semestral es

A) $ 5.000.000 · (0,04)8

B) $ 5.000.000 · (1,004)8

C) $ 5.000.000 · (0,4)8

D) $ 5.000.000 · (1,04)8

E) $ 5.000.000 · (1,04)24

6. Al depositar $ C durante 2 años a un régimen de interés compuesto en un banco queda un 5% anual, se obtuvo $ 512.500 de ganancia. Entonces, el capital final fue

A) $ 5.515.500B) $ 5.515.000C) $ 5.513.500D) $ 5.512.600E) $ 5.512.500

7. Tomás y Constanza depositan en un Banco a interés compuesto las cantidades de$ 320.000 al 8% anual y $ 400.000 al 2% anual durante 3 años respectivamente.Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) Si ambos recibieran el 8% de interés anual, entonces, al cabo de los 3 añosrecibirían $ 720.000 · (1,08)3 entre los dos.

II) Si Constanza hubiera colocado $ 200.000 menos, recibiría $ 200.000 ·(1,002)3.

III) Si Tomás hubiera colocado $ 100.000 más, recibiría $ 420.000 · (1,08)3.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

13

EJERCICIOS

1. El 15 % del 5 % de 20.000 es

A) 150B) 400C) 1.500D) 4.000E) 7.500

2. Paula compró cuatro paquetes de galletas el día de la promoción “lleve cuatro y paguetres”, ¿qué porcentaje del precio total es la rebaja?

A) 80%B) 75%C) 40%D) 25%E) 20%

3. La fracción3

16equivale en porcentaje a

A) 81,25%B) 62,25%C) 18,75%D) 13,50%E) 12,50%

4. Si el 5% de S es T, ¿qué porcentaje es S de T?

A) 5%B) 20%C) 50%D) 200%E) 2.000%

14

5. Si el 20% de x equivale al 80% de y, ¿cuál de las siguientes expresiones expresa larelación de y en términos de x?

A)4

y= x25

B)1

y= x4

C)3

y= x5

D) y = xE) y = 4 x

6. La cuarta parte del doble del 20% de 375 es

A) 75B) 50C) 37,5D) 25E) 14,5

7. Paola tiene en su tarjeta BIP un saldo de $ 400 que ocupa para movilizarse en Metro oTransantiago. Si el pasaje cuesta $ 600, ¿qué porcentaje deberá agregar a su tarjetaBIP para comprar un pasaje?

A) 20%B) 25%

C)1

333

%

D) 50%

E)2

663

%

8. Carlos vende una estufa a gas en $ 34.000 si el pago es al contado y en $ 35.530 si elpago es en cuotas. El porcentaje de recargo al pagar en cuotas es

A) 4,7%B) 4,5%C) 4,3%D) 1,5%E) 1,05%

15

9. Pedro gastó $ 144.000 lo que equivale al 25% de su sueldo mensual, entonces, susueldo es

A) $ 555.000B) $ 569.000C) $ 570.000D) $ 576.000E) $ 602.000

10. ¿Qué porcentaje de números enteros entre 2 y 43 son múltiplos de 4?

A) 26%B) 25%C) 24%D) 21%E) 20%

11. En un corral hay pavos blancos y pavos castellanos. Si38

son blancos, ¿qué porcentaje

son los pavos blancos de los pavos castellanos?

A) 37,5%B) 40%C) 60%D) 62,5%E) 67,5%

12. La siguiente tabla nos muestra la estadística de lo que están realizando los 36 alumnosde un curso. ¿Qué tanto por ciento de los alumnos está estudiando Lenguaje?

A) 0,1%B) 0,5%C) 33%D) 33,3%E) 67,6 %

Alumnos estudiando Matemática 20Alumnos estudiando Lenguaje 12Alumnos estudiando Inglés 4

16

13. Si en un curso el puntaje promedio en Matemática aumentó de una Jornada a otra de480 a 540 puntos, ¿cuál fue el porcentaje de aumento?

A) 9%B) 11,1%C) 12,5%D) 30%E) 60%

14. Andrés realiza 2 depósitos de $ 200.000 cada uno a tres meses plazo, con un interésdel 5 % mensual. Uno de los depósitos es a interés simple y el otro depósito es ainterés compuesto. Entonces, la ganancia con ambos depósitos es

A) $ 30.000B) $ 31.525C) $ 60.000D) $ 61.525E) $ 63.050

15. De su dinero, el abuelo Jorge prestó a su nieto Patricio $ 30.000, quedándose con$ 90.000. ¿Con qué porcentaje de su dinero se quedó el abuelo?

A) 80%B) 75%C) 72%D) 60%E) 25%

16. José recibe actualmente un sueldo mensual de $ 580.000 y el próximo mes éste seráincrementado en un 5%. ¿Cuál será su nuevo sueldo?

A) $ 609.000B) $ 619.000C) $ 696.000D) $ 870.000E) $ 1.102.000

17

17. Un canal de T.V. cable diariamente transmite un 30% de deportes, un 10% denoticias, un 40% de películas y el resto comerciales. Entonces, entre noticias ycomerciales, ¿cuánto tiempo transmite?

A) 7 horas 20 minutosB) 7 horas 12 minutosC) 7 horasD) 4,8 horasE) 2,4 horas

18. Hernán que tiene 18 años deposita un capital al 8% de interés simple anual. ¿Qué edadtendrá Hernán cuando el capital se triplique?

A) 25 añosB) 43 añosC) 48 añosD) 54 añosE) 68 años

19. Eduardo le vendió a su amigo Sebastián un libro de Sudoku en $ 5.600 con un 25% deganancia sobre el precio que lo había comprado. Entonces, Eduardo ganó

A) $ 920B) $ 1.020C) $ 1.100D) $ 1.120E) $ 4.480

20. Marysella recibe una herencia H y quiere cuadruplicar su valor, depositándola a interéscompuesto durante 5 años. Visita varios Bancos y Financieras y sólo una le ofrece losolicitado, pero no le indican el valor de la tasa de interés. Si ella quiere saberlo, ¿Cuálde las siguientes opciones lo indica?

A) 100 5 4 1 %

B) 100 5 4 1 %

C) 100 5 4 %

D) 100 4 5 1 %

E) 100 4 H%

18

21. El precio de un artículo es $C, si éste aumenta en un 15% y luego se rebaja en un10 %, ¿Por cuál número se debe multiplicar C para obtener el nuevo precio?

A) 1,005B) 1,035C) 1,35D) 1,09E) 1,05

22. En Chernobyl, una ciudad Rusa, se observo que su población había crecido un 20%anual durante 10 años, por efecto de su buen clima y bienestar económico, perodespués del desastre nuclear, su población había disminuido un 20% anualmentedurante 10 años. Si la población original era C. ¿Cuál de las siguientes opciones esverdadera?

A) Al final del primer decenio la población era de C.B) Al final del primer decenio la población era de C.(1,1)10

C) Al final del segundo decenio la población era de C(0,96)20

D) Al final del segundo decenio la población era de C.(0,96)10

E) Al final del segundo decenio la población era de C.(0,096)10

23. Juan deposita en un Banco $ 10.000.000 a un interés simple trimestral del 3,6%. Alcabo de 9 meses, ¿cuánto es el capital final?

A) $ 13.600.000B) $ 11.810.000C) $ 11.180.000D) $ 11.108.000E) $ 11.080.000

24. ¿Cuál es la ganancia que se obtiene al cabo de 2 meses al depositar 200 millones depesos a interés compuesto mensual del 5%?

A) $ 210.250.000B) $ 20.500.000C) $ 20.050.000D) $ 10.520.000E) $ 10.250.000

19

25. Se rebaja el precio de los celulares en un 25%, al día siguiente se aumenta el precio enun 20%, quedando el precio final en $ 36.000. ¿Cuál era el precio original?

A) $ 40.000B) $ 39.000C) $ 38.600D) $ 38.200E) $ 38.000

26. Se puede determinar qué porcentaje es p de q si :

(1) p + q = 100

(2) 80p – 50q = 0

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

27. Se puede determinar el perímetro de un sitio rectangular si:

(1) El ancho del sitio es igual al 50% del largo.

(2) El 300% del ancho, más el 50% de su largo es igual a 32 m.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

28. a equivale al 12,5 % de b si:

(1) 8a – b = 0

(2) a : b = 1 : 8

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

20

29. Se puede determinar el 60% de p si:

(1) El 45% de p es 27.

(2) El 300% de p es igual al 30% de q.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30. En un mall hay 2.500 empleados entre hombres y mujeres. Se puede determinar elnúmero hombres que trabajan en él si:

(1) El 80% de los empleados son mujeres.

(2) El número de hombres equivale al 25% del número de mujeres.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS EJERCICIOS PÁG. 13

DMDMA07

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EjemploPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 B C E D B E A

3 y 4 C E E B D A

5 y 6 B C E D D B D

7 y 8 C E C C B D

9 y 10 E C C A B E A

11 y 12 C B B C D E D

1. A 11. C 21. B

2. D 12. D 22. D

3. C 13. C 23. E

4. E 14. D 24. B

5. B 15. B 25. A

6. C 16. A 26. B

7. D 17. B 27. C

8. B 18. B 28. D

9. D 19. D 29. A

10. B 20. B 30. D