1

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 9

UNIDAD: GEOMETRÍA

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A SU MEDIDA

Ángulo nulo : Es aquel que mide 0°.

Ángulo agudo : Es aquel que mide más de 0° y menos de 90°.

Ángulo recto : Es aquel que mide 90°.

Ángulo obtuso : Es aquel que mide más de 90° y menos de 180°.

Ángulo extendido : Es aquel que mide 180°.

Ángulo completo : Es aquel que mide 360°.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera?

A) La suma de tres ángulos obtusos es un ángulo completo.B) La suma de un ángulo obtuso con un ángulo agudo es un ángulo extendido.C) La mitad de un ángulo obtuso más la mitad de un ángulo agudo es un ángulo

extendido.D) La suma de dos ángulos rectos es un ángulo extendido.E) La suma de dos ángulos agudos es un ángulo obtuso.

2. En la figura 1, ¿cuánto mide15

del ∡ COB?

A) 12ºB) 15ºC) 75ºD) 90ºE) 105º

OA B

7 5

C

fig. 1

C u r s o : Matemática

Material N° 13

2

3. En la figura 2, L1, L2 y L3 son rectas. Si = 3 y = 4, entonces + es igual a

A) 22,5ºB) 67,5ºC) 90ºD) 112,5º E) 157,5º

4. En la figura 3, si ∡x = 8a + 24º, entonces el ∡x mide

A) 144ºB) 180ºC) 192ºD) 216ºE) 336º

5. En la figura 4, ¿cuánto mide el ∡BOC, si = 176º?

A) 23ºB) 69ºC) 115ºD) 176ºE) 184º

6. En la figura 5, si AD es una recta y - = . Entonces, el ∡COD mide

A) 24ºB) 72ºC) 90ºD) 168ºE) 180º

fig. 2

L1

L2

L3

a

3a 2a

Ox

fig. 3

D

C

B

A

fig. 4

O

B

C

A

3x

5x

A

D

BC

O

fig. 5

3

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN

Ángulos consecutivos : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común, y susregiones interiores no se intersectan.

Ángulos adyacentes o : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común y lospar lineal otros dos lados sobre una misma recta.

Ángulos opuestos por el : Son aquellos que tienen el vértice en común y losvértice lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados

del otro.

OBSERVACIONES

Bisectriz de un ángulo : Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igualmedida (congruentes).

Rectas perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo recto.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, OC

es bisectriz del ángulo DOB y OB

es bisectriz del ángulo AOC y

∡DOB = 80º, Entonces ¿cuánto mide el ángulo COA?

A) 30°B) 40°C) 60°D) 80°E) 120°

y consecutivos

A

B

C

O

y adyacentes

A

B

C O

y opuestos por el vértice,

L1

L2

L1 L2

C

O A

Bfig. 1

D

4

2. En la figura 2, ,OA OC OB OD

, Si ∡AOB= 45º, entonces ¿cuál es la medida de 2?

A) 20ºB) 30ºC) 45ºD) 90ºE) 135º

3. En la figura 3, si L1 y L2 son rectas, entonces 2 + 4 + 3 + =

A) 180ºB) 540ºC) 720ºD) 900ºE) 980º

4. En la figura 4, OM OQ , ∡MON = 2x + 25º y ∡NOQ = x + 35º. ¿Cuánto mide el

∡MON?

A) 10ºB) 45ºC) 55,5ºD) 60ºE) 60,5º

5. En la figura 5, los puntos X, O e Y son colineales . Si OS OZ y ∡ZOY =13∡XOS,

¿cuánto mide el ∡SOX?

A) 22,5ºB) 40ºC) 45ºD) 67,5ºE) 90º

fig. 2

O

B

CA

D

L1

L2

fig. 3

fig. 4

MO

N

Q

fig. 5

O YX

S

Z

5

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS

Ángulos complementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. Si y sonángulos complementarios, es el complemento de y es el complemento de . El complemento de un ángulo xes 90° – x.

Ángulos suplementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Si y sonángulos suplementarios, es el suplemento de y es elsuplemento de . El suplemento de un ángulo x es180° – x

EJEMPLOS

1. El suplemento de 45° es

A) 22,5ºB) 45ºC) 67,5ºD) 90ºE) 135º

2. El complemento de 54º es

A) 27ºB) 36ºC) 44ºD) 54ºE) 126º

3. El triple del suplemento de un ángulo es 144°. ¿Cuánto mide ?

A) 36°B) 48°C) 54°D) 132ºE) 144°

6

4. El suplemento de ( – 20º) es igual a . ¿Cuánto mide ?

A) 0ºB) 20°C) 80°D) 100°E) 160°

5. El suplemento de ( – 25º) más el complemento de (3 – 12º) es igual a

A) 205º – 4B) 102º – 4C) 385º – 4D) 307º – 4E) 295º – 4

6. La diferencia entre un ángulo y su complemento es 20°. ¿Cuánto es el suplemento de?

A) 55ºB) 115ºC) 125ºD) 145ºE) 160º

7. Si el suplemento del ángulo (35° – ) es 160°, entonces el complemento de es

A) 15ºB) 35ºC) 75ºD) 145ºE) 165º

7

PARES DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNATRANSVERSAL

ÁNGULOS ALTERNOS:

Los ángulos alternos entre paralelas tienen la misma medida.

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES

Los ángulos correspondientes entre paralelas tienen la misma medida.

ÁNGULOS COLATERALES

Los ángulos colaterales entre paralelas suman 180°.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, L1 // L2. Entonces, la medida del ∡x es

A) 55ºB) 70ºC) 80ºD) 110ºE) 140º

ALTERNOS EXTERNOS ALTERNOS INTERNOS

∡1 con ∡7

∡2 con ∡8

∡3 con ∡5

∡4 con ∡6

∡1 con ∡5 ∡2 con ∡6 ∡3 con ∡7 ∡4 con ∡8

COLATERALES EXTERNOS COLATERALES INTERNOS

∡1 con ∡8

∡2 con ∡7

∡4 con ∡5

∡3 con ∡6

x

110º L2

L1

fig. 1

1

3

24

6

78

5

L1

L2

L1 L2T

8

2. Si en la figura 2, L1 // L2, ¿cuál es la medida del ∡x?

A) 5ºB) 10ºC) 20ºD) 70ºE) 100º

3. En la figura 3, L1 // L2. ¿Cuál es la medida del ∡x?

A) 35ºB) 50ºC) 55ºD) 70ºE) 125º

4. En la figura 4, L1 // L2 y L3 // L4. Si = 135º, ¿cuál es la medida de + ?

A) 45ºB) 145ºC) 150ºD) 180ºE) 270º

5. En la figura 5, L1 // L2 // L3. Si = 129º, entonces el ∡x mide

A) 20ºB) 30ºC) 37ºD) 43ºE) 47º

fig. 3

125º

70º

x

L1

L2

fig. 4

L1

L2

L3 L4

fig. 2

150º

40º

x

L1

L2

fig. 5

x

2 L1

L2

L3

9

ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS

TEOREMAS

La suma de las medidas de los ángulos interiores esigual a 180°.

La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°.

La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulosinteriores no adyacentes a él.

EJEMPLOS

1. En el ABC de la figura 1, la medida de (∡x + ∡y) es

A) 180ºB) 125ºC) 110ºD) 70ºE) 55°

2. En el ABC de la figura 2, ¿cuál es la medida del ángulo ?

A) 40ºB) 80ºC) 120ºD) 140ºE) 160º

’ + ’ + ’ = 360º

’ = + ’ = + ’ = +

+ + = 180º

’’

’

A B

C

C

A B

fig. 1

125º

A B

C

y x

x

fig. 2

2 4

3

10

3. En la figura 3, si = 125º y = 50º, entonces la medida del ∡x es

A) 75°B) 70°C) 60°D) 55°E) 50°

4. Si en la figura 4, CD es bisectriz del ∡BCE, ∡ = 55º, ∡ = 85°, entonces el ∡x mide

A) 40ºB) 50ºC) 70ºD) 90ºE) 140º

5. El ABC de la figura 5, es rectángulo en C. Si y = 130°, entonces el ∡x mide

A) 30ºB) 40ºC) 50ºD) 60ºE) 130º

6. En el ABC de la figura 6, AD es bisectriz del ∡CAB. Entonces, la medida del ∡x es

A) 75ºB) 90ºC) 120ºD) 125ºE) 130º

x

fig. 3

x

A

C

B

D

fig. 4

E

y

C

x

fig. 5

BA

130º

C

x

fig. 6

BA

70ºE D

11

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

OBSERVACION:

En un triángulo isósceles, que solamente tiene dos lados de igual medida, al lado distinto sedenomina base.

EJEMPLOS

1. Si en la figura 1, el ABC es isósceles de base AB y AEAB , entonces la medida del

∡x es

A) 9ºB) 36ºC) 45ºD) 54ºE) 60°

2. En el ABC de la figura 2, AB BC y AD = CD . Entonces, el ∡x mide

A) 10ºB) 15ºC) 20ºD) 30ºE) 35º

3. En el ABC de la figura 3, AB = BC , L // AC y L1 // BC . Entonces, el ∡x mide

A) 40ºB) 70ºC) 80ºD) 110ºE) 140º

Según sus lados Según sus ángulos interiores

Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida.

Isósceles: Tiene dos lados de igual medida.

Equilátero: Tiene sus tres lados de igual medida.

Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos.

Rectángulo: Tiene un ángulo recto.

Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.

fig. 154º

xA B

E

C

35º

x

D BA

C

fig. 2

fig. 3

40º

BA

C

L1 L

x

12

4. En la figura 4, L1, L2 y L3 son rectas. Si el ∡DAF = y es suplementario con el ∡ABG,entonces se puede asegurar que

A) AC = BC

B) AB = BC

C) AC = BC = AB

D) AC > BC

E) AB = AC

5. En la figura 5, el ABC es escaleno. ¿Cuál (es) de las siguientes relaciones es (son)verdadera(s)?

I) x yII) x 2

III) y 2

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II, III

6. En la figura 6, AD y BD son bisectrices de los ángulos exteriores del ABC. Entonces,el ángulo mide

A) 25ºB) 35ºC) 45ºD) 50ºE) 90º

fig. 5

C

A B2

yx

fig. 6

C

A B

D

40º

fig. 4

A B

C

D E

F G

L1 L2

L3

13

|c – b| < a < b + c|c – a| < b < a + c|a – b| < c < a + b

> si y solo si a > b

OTROS TEOREMAS REFERENTEA A UN TRIÁNGULO CUALQUIERA

En todo triángulo, la medida de cada lado es menor que la suma de las medidas delos otros dos y mayor que la diferencia positiva de las medidas de los otros dos.

En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de los siguientes valores es una posible medida del lado AB del triángulo ABC dela figura 1?

A) 6B) 7C) 9D) 17E) 20

2. En la figura 2, ¿cuál es el orden creciente de la medida de los lados del triángulo ABC?

A) a, b, cB) a, c, bC) b, a, cD) b, c, aE) c, b, a

AB

C

b

c

a

A B

C

512

fig. 1

A B

C

ab

c

fig. 2

80° 70°

60°

14

3. En el triángulo PQR de la figura 3 el orden creciente de la medida de los ángulosinteriores es

A) , , B) , , C) , , D) , , E) , ,

4. Si un triángulo tiene un lado que mide 3 cm, otro lado mide 4 cm. Si el tercer ladomide un número entero, ¿Cuantos triángulos es posible construir con estas tresmedidas?

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

5. En el triángulo ABC de la figura 4, el orden creciente de la medida de los lados deltriángulo es

A) a, b, cB) a, c, bC) b, a, cD) c, a, bE) c, a, b

6. En el triángulo ABC de la figura 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) ABC es isósceles

II) CBAC

III) BCAB

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

P Q

R

95

8

fig. 3

A B

ab

c

Cfig. 4

130° 110°

120°

A B

Cfig. 5

50°

70°

15

EJERCICIOS

1. Los ángulos y son suplementarios. Si > , entonces ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) es un ángulo obtuso.II) es un ángulo agudo.

III) Los ángulos2

y2

son complementarios.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

2. En la figura 1, CF FE y los puntos A, F y B son colineales. Entonces, la medida de es

A) 35ºB) 45ºC) 55ºD) 65ºE) 70º

3. En la figura 2, L1 // L2 . Entonces, la medida del ángulo es

A) 130ºB) 73ºC) 65ºD) 50ºE) 33º

4. En la figura 3, ¿qué valores deben tomar x e y, para que el ABC sea equilátero?

A) x =52

, y =52

B) x = 5, y = 5

C) x =52

, y = 5

D) x = 10, y =52

E) x = 5, y =52

fig. 1

F BA

C E

35º

fig. 2130º57º

L1 L2

fig. 3

BA

C

102x + 5

y + 5

16

5. En la figura 4, el CAD es isósceles de base CD . Entonces, la medida del ∡CAD es

A) 20°B) 30°C) 40°D) 50°E) 100°

6. En la figura 5, el ABC es isósceles de base AB . Si AC = 4x + 6 y BC = x + 18,entonces x es igual a

A) 22B) 18C) 14D) 8E) 4

7. En la figura 6, PQR es tal que PR = a + b, PQ = c + d y QR = b + c. ¿Cuál(es) delas siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si a = c y b d, entonces PQR es isósceles.II) Si a = c y b = d, entonces PQR es equilátero.

III) Si a, b, c y d son números enteros distintos entre sí, entonces PQR esescaleno.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

8. En la figura 7, el ABC es rectángulo en B. Entonces, la medida del ángulo x es

A) 12ºB) 26ºC) 38ºD) 68ºE) 78º

fig. 7

x

3

104º

BA

C

fig. 5

BA

C

QP

R

a + b b + c

c + d

fig. 6

fig. 4

30° 50°BA

C

D

17

9. En la figura 8, el ABC es isósceles de base BC . Si CF = FG , = 4 y =2

,

entonces la medida del ∡FED es

A) 120ºB) 60ºC) 45ºD) 30ºE) 15º

10. En la figura 9, L1 // L2 // L3. Entonces, la suma de los ángulos , y es

A) 120ºB) 140ºC) 160ºD) 180ºE) 200º

11. En el ABC de la figura 10, + =

A) 50ºB) 70ºC) 130ºD) 230ºE) 260º

12. En la figura 11, AB CB , AC es bisectriz del ∡DAB y AD = AB . Entonces, la medida

del ∡x es

A) 25ºB) 30ºC) 45ºD) 65ºE) 70º

fig. 9

120º L3

L2

L140º

fig. 10

50º

BA

C

fig. 11

BA

CD

E

25º

x

fig. 8C

BA

E

F

G

D

18

13. En la figura 12, el AED es isósceles de base AD . Si DE // CB , la medida del ∡DAF es

A) 27ºB) 31ºC) 33ºD) 58ºE) 64º

14. En la figura 13, el ∡BEF = 130º. Entonces, el ∡x es igual a

A) 40ºB) 50ºC) 100ºD) 120ºE) 130º

15. En la figura 14, AE es una recta y ∡EOD =12∡COD =

13∡AOB =

23∡BOC. Entonces,

∡BOD =

A) 24ºB) 36ºC) 72ºD) 84ºE) 110º

16. En el PQR de la figura 15, ¿cuánto mide el ∡PRQ?

A) 20ºB) 40ºC) 60ºD) 80ºE) 100º

fig. 12

116º

85º

A E B

F

D C

fig. 13

130º

A D E B

F

C

x

fig. 14

OEA

D

CB

fig. 15

100º

P Q

3

RC

3

19

17. En la figura 16, los puntos E, A y B son colineales. ¿Cuál es la medida del ∡x?

A) 50ºB) 65ºC) 90ºD) 115ºE) 165º

18. En el ABC de la figura 17, los puntos A, B y D son colineales, = 50º, ∡z = 4∡x y

∡x =13∡y. ¿Cuál es la medida del ∡v?

A) 10ºB) 30ºC) 40ºD) 50ºE) 90º

19. En la figura 18, los puntos A,B, y C son colineales, ∡ACD = ∡BDC. Entonces, el ∡EBC =

A) 35ºB) 55ºC) 80ºD) 110ºE) 170º

20. En el PQR de la figura 19, los puntos V, P, S y Q son colineales QT y RS son

bisectrices de los ángulos PQR y PRQ, respectivamente. ¿Cuál es la medida del ∡x?

A) 40ºB) 50ºC) 100ºD) 130ºE) 150º

fig. 17

100º

v

zyx

A B D

C

fig. 18

70º

A B C

E

D

fig. 19

T

R

x

QSPV100º

x

50ºE A B

C

Dfig. 16

20

21. En el ABC de la figura 20, AE y BF son bisectrices de los ángulos CAB y ABC,

respectivamente. Entonces, el ∡EAF mide

A) 18ºB) 27ºC) 36ºD) 54ºE) 72º

22. El triple del complemento de ( – 10º) es igual al suplemento de ( – 20º). ¿Cuántomide el complemento del ángulo ?

A) 130ºB) 100ºC) 80ºD) 50ºE) 40º

23. En la figura 21, L1, L2, L3 y L4 son rectas, donde L1 // L2 y L1 es bisectriz del ángulo

obtuso formado por las rectas L3 y L4. Entonces, el ∡x mide

A) 30ºB) 40ºC) 60ºD) 70ºE) 120º

24. Uno de los ángulos interiores de un triángulo mide 40º más que el otro, y 40º menosque el tercer ángulo. ¿Cuál es la medida del ángulo mayor?

A) 80ºB) 100ºC) 120ºD) 150ºE) 160º

25. En la figura 22, el ángulo es igual a

A) 2 – B) 2 + C) 2D) 2E)

fig. 20

DA

72º

B

C

EF

fig. 21

L3 L4

L2

L1

x

3+20

fig. 22

R

T

S QP

21

26. En la figura 23, AC = x + 5 y AB = 2x – 3. Se puede determinar que el ABC esequilátero si:

(1) =

(2) x = 8

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada un por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

27. Se puede determinar que L1 // L2 (fig.24) si:

(1) + = 180º

(2) =

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada un por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

28. En la figura 25, se puede determinar que el ABC es equilátero si:

(1) AC = BC y + =

(2) AE BC , CD AB y AE = CD

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada un por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

LL1

L2

fig. 24

fig. 25

D BA

C

E

fig. 23

BA

C

x + 5

2x – 3

22

29. En la figura 26, L1 // L2 si:

(1) =

(2) + = 200°

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada un por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere de información adicional

30. En el PQR de la figura 27, se puede determinar la medida del ∡RPQ si:

(1) ∡a = ∡c y ∡c = 2∡b

(2) ∡PQR = 60º

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada un por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere de información adicional

fig. 26

L1

L2

80º

fig. 27R

P Q

ab

c

23

RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 15

DMDMA13

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra webhttp://www.pedrodevaldivia.cl/

EjemploPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 D B C D C C

3 y 4 D D D B D

5 y 6 E B D D D C C

7 y 8 B D C E D

9 y 10 B A A C B C

11 y 12 D C D A E C

13 y 14 C E E E B C

1. E 11. D 21. B

2. C 12. A 22. E

3. B 13. A 23. A

4. C 14. E 24. B

5. A 15. D 25. E

6. E 16. E 26. C

7. C 17. D 27. B

8. A 18. E 28. A

9. C 19. B 29. D

10. C 20. B 30. C