pdv: matemática guía n°18 [4°medio] (2012)

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 14

UNIDAD: GEOMETRÍA

PERÍMETROS Y ÁREAS

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de lahipotenusa.

a2 + b2 = c2

TRIOS PITAGÓRICOS TRIÁNGULOS NOTABLES

EJEMPLOS

1. En la figura 1, FA = 4 cm. ¿Cuánto mide CB ?

A) 9 cmB) 12 cmC) 13 cmD) 15 cmE) 17cm

2. El ABC de la figura 2, es isósceles rectángulo en A. Si la altura AD = 2 cm, entonces AB =

A)21

2 cm

B) 2 cm

C) 2 2 cmD) 2 cmE) 4 cm

a b c1. 3 4 5

2. 5 12 13

3. 8 15 17

PP2

2

P2

2a

a a 230º

a3

2

a

a2

60º

C

D

BA

fig. 2

E

B

A

C

D

4

12

3

fig. 112

F

c

b a

45º

45º

45º

45º

A B

D C

P Q

I, II, III y IVTriángulos congruentes

II

III IV

I

C u r s o : Matemática

Material N° 18

2

3. En el ABC rectángulo en C de la figura 3, D es punto medio de AB . SiBC = 4 cm, entonces ACmide

A) 2 cmB) 4 cmC) 6 cm

D) 2 3 cm

E) 4 3 cm

4. En la figura 4, ABCD es un rombo de diagonales 10 cm. y 24 cm. Si FC = FD , entonces EF mide

A) 5 cmB) 6 cmC) 6,5 cmD) 8 cmE) 8,5 cm

5. En la figura 5, ABCD es un cuadrado de lado 2 cm y DCE es equilátero. Entonces, la suma de lossegmentos que forman el cuadrilátero achurado es

A) (2 + 2 2 + 2 3) cm

B) (2 + 2 + 3 + 5) cm

C) (2 + 2 2 + 2 3 + 5) cm

D) (3 + 2 2 + 3 + 5) cm

E) (2 + 2 2 + 3 + 5) cm

6. ¿Cuánto suman los lados del cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de los lados de unrombo de lado 10 cm y diagonal mayor 16 cm?

A) 14 cmB) 20 cmC) 26 cmD) 28 cmE) 40 cm

7. En el trapecio ABCD de la figura 6, DC = EB , CE AB y CE = 3 cm. ¿Cuánto suman sus lados?

A) 3( 2 + 3 + 5) cm

B) 3(2 2 + 3 + 5) cm

C) 3( 2 + 2 3 + 5) cm

D) 3( 2 + 3 + 15) cmE) Ninguna de las anteriores

fig. 3

120º

A D B

C

A B

D C

E

F

fig. 4

A B

E

D CF

fig. 5

30º 45º

A B

D C

E

fig. 6

3

Nombre Figura Perímetro Área

Cuadrado 4a

a2

2d2

Rectángulo 2a + 2b a b

Rombo

a

4a

a · h

1 2d d2

Romboide 2a + 2b a · h1 = b · h2

Triángulo a + b + c a b cb ha h c h2 2 2

Trapecio a + b + c + da c

h2

Circunferencia yCírculo

D = 2r

D:diámetror2

Sector circularArco AB + 2r

Arco AB =2 r

360º

2r360º

PERÍMETROS Y ÁREAS

Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados. El perímetro sedenotará por p.

Área es la medida que le corresponde a toda la región poligonal. El área se denotará por Á.

a

a

a

a

a

b b

h

a

d b

c

a

a a

Or

a

b b

a

h1h2

Áreabase por la

altura

Áreabase por la

alturadivididopor dos

d

O

AB

h

A B

C

ab

cha

hchb

d1

d2

4

EJEMPLOS

1. Si el perímetro de un cuadrado es 4 10 cm, ¿cuál es el área de dicho cuadrado?

A) 10 cm2

B) 20 cm2

C) 40 cm2

D) 100 cm2

E) 160 cm2

2. Si el área del rectángulo ABCD de la figura 1, es 25a2 -16b2 y su ancho mide 5a – 4b,entonces la expresión que representa el perímetro del rectángulo es

A) 20aB) 20a + 12bC) 20a – 12bD) 20a + 16bE) 20a – 16b

3. En el triángulo isósceles de base AB de la figura 2, si65

=AB

CAy AB = 18 cm, entonces

el perímetro y área del ΔABC son respectivamente

A) 39 cm y 108 cm2

B) 48 cm y 72 cm2

C) 48 cm y 108 cm2

D) 48 cm y 216 cm2

E) 58 cm y 108 cm2

4. En el trapecio de la figura 3, CB =12 cm., sus bases AB y CD miden 30 cm. y 8 cm.respectivamente, entonces su área es

A) 114 3 cm2

B) 114 cm2

C) 84 3 cm2

D) 57 3 cm2

E) 57 cm2

A B

D C

fig. 1

A B

CD

30o

fig. 3

fig. 2

BA

C

5

5. Si el ABC de la figura 4 es rectángulo en B, BE es transversal de gravedad y CB = 3cm, entonces ¿cuál es el perímetro del ABE ?

A) 6 cmB) 9 cmC) 3 + 3 cmD) (3 + 3 3 ) cmE) (6 + 3 3 ) cm

6. Las circunferencias de la figura 5, son concéntricas de radios 6 cm y 8 cm. ¿Cuál es elperímetro de la región achurada?

A) (2 + 7π) cmB) (4 + 7π) cmC) (2 + 14π) cmD) (4 + 14π) cm

E) 7 cm

7. En la figura 6, ABCD es un cuadrado de lado 8 cm y DB es arco de circunferencia concentro en C. ¿Cuál es el perímetro de la región achurada?

A) (16 + 8 2 + 4) cmB) (8 + 8 2 + 4) cmC) (16 + 8 2 + 8) cmD) (16 + 4 2 + 8) cmE) (16 + 8 2 ) cm

8. ¿Cuál es el área de la región achurada del problema anterior (fig. 6)?

A) (64 – 16) cm2

B) (64 – 8) cm2

C) (32 – 8) cm2

D) (16 + 8) cm2

E) 32 cm2

A B

C

E

30º

fig. 4

fig. 6

A B

CD

fig. 5

6

FIGURAS EQUIVALENTES Y FIGURAS CONGRUENTES

Equivalentes son aquellas que tienen igual área.

En todo triángulo:

Cada transversal de gravedadlo divide en dos triángulosequivalentes.

Las tres transversales lodividen en seis triángulosequivalentes.

Todos los triángulos quetienen igual base y altura sonequivalentes. (L1// L2 )

Triángulos congruentes

Al trazar las medianas segeneran cuatro triánguloscongruentes.

En todo paralelogramo siP y Q son puntos medios,se generan 4 triánguloscongruentes.

Paralelogramos y triángulos

Todo triángulo con igual basey altura que un paralelogramotiene la mitad de su área.

A1

A2

A B

C

D D es el punto medio de BCA1 = A2

A D

C

E

B

F G

A1 A2

A3

A4A5

A6

D, E, F puntos medios

A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6

II

b b b bL2

L1

h

A1 = A2 = A3

A1A1 A2 A3 A2 A3

III

IIIIV

I, II, III, y IVTriángulos Congruentes

Ar() =12

Ar(#)

I

IIIIV

7

EJEMPLOS

1. En el triángulo ABC de la figura 1, MN es mediana. Entonces, ¿qué porcentaje es elárea del MNC del área del trapecio ABNM ?

A) 20%B) 25%C) 30%

D) 1623

%

E) 3313

%

2. En el ΔABC de la figura 2, D y E son puntos medios , el área del cuadrilátero ADFE es12 cm2. Entonces, el área del ΔABC es

A) 24 cm2

B) 28 cm2

C) 32 cm2

D) 36 cm2

E) 38 cm2

3. El ABC de la figura 3 es isósceles de base AB = 8 cm, D es punto medio de BC yFE = 4 cm. ¿Cuál es el área del ADC?

A) 18 cm2

B) 24 cm2

C) 36 cm2

D) 48 cm2

E) 96 cm2

A

C

M N

fig. 1

B

A D B

C

EF

fig. 2

A E B

C

F

D

fig. 3

B

8

4. En la figura 4 L1//L2. Entonces, la razón entre el área del paralelogramo ABCD y lasuma de las áreas de los triángulos ABF y ABG es

A) 1:1B) 2:1C) 3:1D) 3:2E) No se puede determinar

5. En la figura 5, el lado de cada cuadrado es 2 cm. Entonces el área de la región achuradaes

A) 2 cm2

B) 4 cm2

C) 8 cm2

D) 2 2 cm2

E) no se puede calcular

6. En la figura 6, ABCD es un paralelogramo donde P, Q y R son puntos medios de los ladosrespectivos. ¿Qué fracción es la región achurada de la no achurada?

A)13

B)14

C)15

D)27

E)29

fig. 5

fig. 4

A B L2

D C FG L1

fig. 6

A B

D C

R

Q

P

9

EJERCICIOS

1. Si AC = 5 cm y BC = 4 cm, ¿cuál es el perímetro del ABC de la figura 1?

A) 10 cmB) 12 cmC) 15 cmD) 41 cmE) (9 + 41 ) cm

2. Si en la figura 2, el ángulo ABD mide 60º, entonces el perímetro del cuadrilátero ABCD es

A) 14 +7,5 3

B) 19 + 5 3

C) 19 + 15 3

D) 21 +5 3

E) 29 +5 3

3. En la figura 3, el perímetro del rectángulo ABCD es 26 cm y el área del cuadrado AEFD es16 cm2. ¿Cuánto mide el área del rectángulo EBCF?

A) 12 cm2

B) 16 cm2

C) 20 cm2

D) 24 cm2

E) 28 cm2

4. En el ABC de la figura 4, D y E son puntos medios de los lados respectivos. Si lasuperficie del DEC es 8 cm2, entonces el área del ABC es

A) 24 cm2

B) 28 cm2

C) 32 cm2

D) 36 cm2

E) 48 cm2

A B

D C

E

F

fig. 3

C

fig. 2D

A B

6

5 3

A BD

C

E

fig. 4

A B

fig. 1

C

10

5. En la figura 5, AB = BC = 5, CD = 4 y DA = 3 . El área del cuadrilátero ABCD es

A)425

3 + 6

B)425

3 + 12

C)225

3 + 6

D)225

3 + 12

E) Ninguna de las anteriores.

6. P1, P2, P3 y P4 corresponden a los perímetros de las figuras sombreadas formadas dentrode los rectángulos congruentes de la figura 6 . ¿Cuál (es) de las siguientes afirmacioneses (son) verdadera(s)?

I) P1 < P3

II) P3 > P2

III) P1 = P3

IV) P3 = P4

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo III y IV

7. La figura 7 es un cuadrado formado por tres rectángulos congruentes de perímetro 16 cmcada uno. ¿Cuánto mide el área del cuadrado ABCD?

A) 144 cm2

B) 81 cm2

C) 64 cm2

D) 36 cm2

E) 16 cm2

8. Si el área del paralelogramo ABCD de la figura 8 es 20 cm2 y B el punto medio de AE .¿Cuál es el área del ΔAED?

A) 18 cm2

B) 20 cm2

C) 25 cm2

D) 30 cm2

E) 40 cm2

D C

A B

fig. 7

A B

D

C

fig. 5

fig. 8

A B

CD

E

fig. 6

P1 P2 P3 P4

11

9. La figura 9 está formada por cuatro rombos congruentes de área 8 cm2 cada uno.

Si en el polígono achurado EHFG, los puntos G y H están sobre los lados DC y AB ,entonces el área de dicho polígono es

A) 8 cm2

B) 10 cm2

C) 12 cm2

D) 16 cm2

E) 24 cm2

10. En el paralelogramo ABCD de la figura 10,se han dibujado los triángulos AEI, EFH y FBG;La razón entre el área del paralelogramo y el área de la región sombreada es

A) 1 : 2B) 2 : 1C) 3 : 2D) 3 : 1E) 4 : 3

11. La figura 11 muestra cuatro triángulos rectángulos escalenos congruentes entre si. Alunirlos como piezas de un puzzle, ¿cuál(es) de las siguientes figuras es (son) siempreposible(s) de formar?

I) Romboide.II) Rombo.

III) Trapecio.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

12. Un carrete circular de hilo para elevar volantines, contiene 2,7 metros de hilo, el cual dacuatro vueltas y media. Si = 3, ¿cuál es el diámetro del carrete?


fig. 11

G

fig. 9

EF

A H B

CD

A B

CD

fig.10

E F

I H G

12

13. Si en un romboide aumentan uno de sus lados de 3a a 6a y la altura h correspondientea dicho lado en 4 unidades, la nueva área aumenta

A) al séxtupleB) doce vecesC) en 12aD) en 3a(h+4)E) en 3a(h+8)

14. En el paralelogramo ABCD de la figura 12, P y Q son puntos medios de los ladosrespectivos . ¿Qué porcentaje es la región achurada del paralelogramo ABCD?

A) 25%B) 30%

C) 3313

%

D) 40%E) No se puede determinar

15. Si E es punto medio de CD en el rectángulo ABCD de la figura 13. ¿Qué fracción es laparte achurada del rectángulo ABCD?

A)16

B)18

C)19

D)110

E)112

16. En la figura 14, los rectángulos son congruentes, en donde a =b4

. Entonces, el perímetro

de la figura es

A) 30aB) 26aC) 24aD) 18bE) No se puede determinar.

b

a

fig. 14

A B

D C

Q

R

P

fig. 12

A B

D CE

fig. 13

13

17. En el triángulo ABC de área 32 cm2 de la figura 15, se han trazado sus medianas, en elΔEBD se trazan nuevamente las medianas y en el ΔGBF se traza la transversal de

gravedad FH . ¿Cuánto mide el área achurada?

A) 2 cm2

B) 2,5 cm2

C) 3 cm2

D) 4 cm2

E) 5 cm2

18. En el cuadrado de lado a de la figura 16, ¿cuál(es) de las siguientes expresionesrepresenta(n) el área de la región achurada?

I) a2 – b2

II) 2b2 + a2 – 2abIII) a2 – 2[b(a + b)]

A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

19. En la figura 17, ¿cuánto suman los perímetros de todos los cuadrados ubicados sobre lahipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 8 y 15?

A) 68B) 51C) 46D) 34E) No se puede determinar.

20. En la figura 18, ABCD es un rectángulo, AD = 3 cm, AB = 8 cm y E es punto medio deAB . Si FEDG es un cuadrado, ¿cuál es el perímetro del hexágono BCDGFE?


b

b

fig. 16

8

15

fig. 17

fig. 18

A B

D C

G

F

E

A B

F

C

E

D

HH

G

fig. 15

14

21. En el rectángulo ABCD de la figura 19 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) El área ΔDEF es el triple del área ΔAED

II) El área ΔDEF corresponde a83

del área del rectángulo ABCD

III) El área ΔDEF corresponde a43

del área del trapecio EBCF

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

22. En la circunferencia de centro O y radio 6 de la figura 20, OD y OC son arcos desemicircunferencia. ¿Cuál es el área de la región achurada?

A) 3 cm2

B) 6 cm2

C) 9 cm2

D)3

+ 32

cm2

E)3

+ 62

cm2

23. La figura 21 muestra tres círculos concéntricos en O, OA : AB : BC = 1 : 2 : 3,

BC = 6 cm, DE y CF diámetros y el ángulo DOC mide 60º, entonces el área de la regiónachurada mide

A) 8 cm2

B) 24 cm2

C) 48 cm2

D) 72 cm2

E) 96 cm2

24. Si el área del paralelogramo ABCD de la figura 22 es 52 cm2, EC = 4 cm y el ángulo ADCmide 135º. ¿Cuál es su perímetro?

A) (13 + 8 2 ) cm

B) (26 + 8 2 )cm

C) (28 + 8 2 )cmD) 34 cmE) 48 cm

D

C

fig. 20

A BO

O

fig. 21

F E

D CB

A

A B

D CC

fig. 22

E

D

fig. 19

A E

C

B

F

p

3p p

15

25. Si los lados de un triángulo son : p, p-q, p+q y p>q, para que este triángulo searectángulo debe ocurrir

A) p = 4qB) q = 4pC) 2q2 = p2

D) 2pq =q2

E) 22 p+q = (p+q)

26. En la figura 23, ABCD es un cuadrado. Se puede determinar el área del trapecio EBCD, si

(1) BE = 10(2) DC = 8

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

27. En la semicircunferencia de diámetro AE de la figura 24, se han dibujado cuatrosemicircunferencias. Se puede determinar el perímetro de la región achurada si :

(1) AE = 20 cm

(2) AB : BC : CD : DE = 3 : 5 : 1 : 1


28. Se puede determinar el área del rombo ABCD de la figura 25, si se sabe que :

(1) EF // AB y el área del FED mide 12 cm2.

(2) AC : BD = 4 : 3 y el perímetro del rombo es 40 cm.


A B

D CC

fig. 25F

E

A B C D E

fig. 24

D C

A B

fig. 23E

16

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29. Se puede determinar el área del hexágono de la figura 26, si :

(1) Se conoce la medida de BE .

(2) Se conoce la medida de uno de sus lados.


30. P es un punto cualquiera al interior del cuadrilátero ABCD en la figura 27. Se puede saberque porcentaje es la superficie achurada del cuadrilátero ABCD si:

(1) ABCD es un paralelogramo.

(2) ABCD es un rombo de área 60 cm2.


DOMDOMA18

1. E 11. E 21. E

2. B 12. D 22. A

3. C 13. E 23. C

4. C 14. A 24. B

5. A 15. E 25. A

6. C 16. B 26. C

7. D 17. C 27. A

8. B 18. A 28. D

9. A 19. A 29. E

10. B 20. E 30. D

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7 8

1 y 2 D D E C E D A

4 y 5 A A C B E B A E

7 y 8 E D B A B A

A B

E D

F C

fig. 26

A B

D CC

fig. 27P

EJERCICIOS PÁG.9RESPUESTAS

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