GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 7

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

ÁLGEBRA DE POLINOMIOS

EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASEvaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos dados paraluego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis.

TÉRMINOS SEMEJANTESSon aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismosexponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTESPara reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factorliteral.

USO DE PARÉNTESIS

En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesisse pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:

Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signosde los términos que están dentro del paréntesis.

Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signosde cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.

Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez seencuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a losparéntesis desde adentro hacia fuera.

EJEMPLOS

1. Si a = -4 , b = -2 y c = -3 , entonces 2 3 2a b :b c

A) -180B) -52C) -20

D)49

E) 20

2. t 4m 2u 6 2t 3m 3u 7

A) 3t m u 1 B) 3t m u 1 C) 3t m u 1 D) 3t m u 1 E) 3t m u 1

C u r s o : Matemática

Material N° 08-A

2

3. 2 2 2 2 2 22 3 11 x y x y x y x y 2

5 5 6

A) 2 2 21 5x y x y 1

5 6

B) 2 2 21 5x y x y 1

5 6

C) 4 4 21 5x y x y 1

5 6

D) 2 2 2 21 5x y x y 1

5 6

E) 2 2 21 5x y x y 1

5 6

4. 2 k 2 3k 2 1

A) 3 2kB) 3 2kC) 2k 1 D) 2k 1 E) 4k 3

5. 11x + [(7,2x – 1,3) – (6,1x – 2,6)] -0,3 =

A) 12,1x – 1B) 12,2x –1,6C) 12,1x –4,2D) 12,1x +1E) 12,1x + 3,9

6. Si F 2 a y E a 2 . Entonces la diferencia entre el antecesor de F y el sucesor de E es

A) 6B) 4C) 2aD) 2a 2E) 2a 2

3

OPERATORIA ALGEBRAICA

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términossemejantes y uso de paréntesis.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

MONOMIO POR MONOMIO:

Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usandopropiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto demonomios se multiplica sólo por uno de ellos.

Es decir: a (b c) = (a b) c

MONOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

Es decir: a(b + c + d) = ab + ac + ad

POLINOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio yse reducen los términos semejantes, si los hay.

EJEMPLOS

1. Si P = 5x2 + 2x -5 y Q = 3x2 – 4x – 3, entonces1

(Q P)2

=

A) x2 – 3x – 1B) -x2 – x – 4C) -x2 – 3x + 1D) -x2 + 3x – 1E) -x2 – x + 4

2. Al restar la expresión x y de y x , se obtiene

A) 2x 2yB) 2y 2xC) -2yD) -2xE) x y

4

3. Salvador compra 6x – y caramelos. Le regala a su tía Lorena y – x y luego se come3x– y . ¿Cuántos caramelos le quedan a Salvador?

A) 8x– 3yB) 4x – yC) 9x – 3yD) 2x – 3yE) 2x – y

4.2 4 217t r 36t r

9 34

A) 2 32t rB) 2 32t rC) 2 32t rD) 2 32t rE) 2 22t r

5. 2 33pq pq 2p q

A) 2 3 4 23p q 6p q

B) 3 4 23pq 6p q

C) 3 4 23pq 6p q

D) 3 4 23pq 6p q

E) 2 3 3 23p q 6p q

6. 2 3t 1 t t

A) 5t tB) 4tC) 54tD) 5 3t 2t t E) 5 3t 2t t

5

PRODUCTOS NOTABLES

CUADRADO DE BINOMIO

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más o menos el doble

producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo

término.

EJEMPLOS

1. (2 + 3t)2 =

A) 4 + 9t2

B) 12t +4 + 9t2

C) 4 + 6t + 9t2

D) 4 + 12t + 3t2

E) 4 + 6t + 3t2

2. El cuadrado de la diferencia entre u y 9k es igual a

A) u2 +81k2

B) u2 – 81k2

C) u2 +81k2 –18ukD) u2 + 18uk +81k2

E) u2 – 9ku +81k2

3.21

44m

=

A)2

2 116

m 16m

B) 22 116 m

m 16

C)2

2 116

m 16m

D) 16 +2m

+2

1

4m

E) 16 –2

1

16m

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

6

4. (5 – 2 3 )2 =

A) 31 – 20 3

B) 37 – 20 3

C) 37 – 10 3D) 37E) 13

5. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) con (-2 + x)2?

I) 24 xII) 22 x

III) 22 x

A) Sólo IIB) Sólo I y IIC) Sólo II y IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

6. 23n 3n4 4

A) 6n 6n4 4B) 9n 9n4 4C) 6n 6n4 4 2 D) 9n 9n4 4 2 E) 6n 6n4 4 2

7. Si N =23

a - 25

y M =23

- a + 25

, entonces M - N =

A)36

a 165

B) 218 24a a

25 5

C)24

a5

D)24

a5

E) 0

7

SUMA POR DIFERENCIA

El producto de la suma por la diferencia entre dos términos es igual al cuadrado del primertérmino menos el cuadrado del segundo.

BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común,más el producto del término común con la suma algebraica de los otros dos términos, más elproducto de los términos no comunes.

EJEMPLOS

1. (3 – 3 ) (3 + 3 ) =

A) 6B) -6C) 6 3 3

D) 9 3 3

E) 2 3

2.2 2

1 5 1 52y 2yx x

A)4 2

1 25x 2y

B)4

1 254yx

C)4 2

1 25x 4y

D)2 2

1 25x 4y

E)4 2

1 5x 4y

3. (x – 6) (x + 2) =

A) x2 +4x – 12B) x2 – 4x + 12C) x2 – 4x – 12D) x2 – 12E) x2 – 4x

(x + y)(x – y) = x2 – y2

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

8

4. 1 1 - t t +

k k

=

A) 22

1t

k

B) 22

1t

k

C)2k

D) 22

1t

k

E) 22

1 2tt

kk

5. (3w + 1) 13w

3

=

A) 2 19w 2w

3

B) 2 2 19w w

3 3

C) 2 19w 2w

3

D) 2 19w 6w

3

E) 2 13w 2w

3

6. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalentes a (5m – 3n)(5m + 3n)?

I) 2m 2n5 3II) m 2n25 3III) 2m n5 9

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo II y IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

7. El producto de 5 2 5 20,3k t 0,3k t es equivalente a

A) 25 40,9k t

B) 10 40,9k t

C) 10 49k t D) 25 40,09k t

E) 10 40,09k t

9

CUADRADO DE TRINOMIO

CUBO DE BINOMIO

EJEMPLOS

1. (3x – y + z)2 =

A) 9x2 + y2 + z2

B) 9x2 + y2 + z2 – 6xy – 6xz – 2yzC) 9x2 + y2 + z2 – 6xy + 6xz – 2yzD) 9x2 – y2 + z2 – 6xy + 6xz + 2yzE) 9x2 + y2 + z2 + 6xy + 6xz + 2yz

2. (b + 5)3 =

A) 3b 125B) 3 2b 15b 75b 125 C) 3 2b 15b 75b 125 D) 3 2b 15b 75b 125 E) 3 2b 15b 25b 125

3. (4 – b – a)2 =

A) 2 216 + b a 8b 8a 2ba B) 2 216 + b a 8b 8a 2ba C) 2 216 + b a 4b 4a 2ba D) 2 216 + b a b a ba E) 2 216 + b a 8b 8a 2ba

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

10

4. 32 2z w

A) 6 6z w B) 6 4 2 2 4 6z 3z w 3z w w C) 6 2 4 2 4 6z 3z w 3z w w D) 8 4 2 2 4 8z 3z w 3z w w E) 8 6 2 4 4 6z 3z w 3z w w

5.3m

+ 13

=

A)3 2m m

m 127 3

B)3 2m m

m 127 9

C)3 2m m

3m 19 3

D)3 2m m

3m 19 9

E)3m

127

6.2

1 y + z

y

=

A) 2 22

1y z

y

B) 2 22

1 zy z 2 2 2yz

yy

C) 2 22

1 zy z 1 2 2yz

yy

D) 2 22

1 zy z 2 2yz

yy

E) 2 22

1 zy z 2 2 2yz

yy

11

FACTORIZACIÓN

FACTORIZAR

Es el proceso de escribir un polinomio como producto de sus factores.

FACTOR COMÚN

MONOMIO:

BINOMIO

EJEMPLOS

1. 48 – 36y =

A) 12(4 – 3y)B) 16(3 – 2y)C) 6(8 – 3y)D) 12(4 + 3y)E) 12(3y – 4)

2. El factor común de las siguientes expresiones 2 2a 2ab b , b2 – a2, 5b – 5a es

A) 5b - 5aB) b2 – a2

C) b – aD) b2 + a2

E) 25(b - a)

3. Al factorizar 2 2 4 2 3 44x y 16x y 12x y se obtiene

A) 2 2 34x y (y - 4x y + 3xy )

B) 2 2 2 24x y (1 - 4x - 3xy )

C) 2 2 2 32x (2xy - 8x y - 6x y )

D) 2 2 2x y (4 - 16x - 12x)

E) 3 24xy (xy - 4x y - 3x y)

4. 3 a b t a b

A) a+3 t b

B) a+b 3 t

C) -3t a+b

D) ab 3 t

E) ab t 3

ac + ad = a(c + d)

(a + b)c + (a + b)d = (a + b)(c + d)

12

5. Uno de los divisores de 12x3 – 3x es

A) 3x3

B) 2x – 3C) 2x2 – 1D) (2x – 2)2

E) 2x + 1

6. 2 30,8c 4,4c 5,2c

A) 1,6c

B) 61,6c

C) 2 34c 0,2c 1,1c 5,2c

D) 24c 0,2 1,1c 1,3c

E) 44c 0,2c 1,2c

7. Si en la expresión m 3my y uno de sus factores es my , entonces el otro factor es

A) 3my

B)2my1

C) 2my1

D) 3y1

E)3my1

8. m – 1 – x(m – 1) =

A) -xB) -x(m – 2)C) (x – 1)(m – 1)D) (1 – x)(m – 1)E) (1 + x)(m + 1)

9. 2k 2 t 2k 2 t

A) 2 t k 1 2k

B) 2 t k 1 2k

C) 2k 2 t

D) 23k 2 t

E) 2k 2 t

13

DIFERENCIA DE CUADRADOS:

DIFERENCIA DE CUBOS:

SUMA DE CUBOS:

EJEMPLOS

1. 2100 t

A) t 10 t 10

B) 10 t 10 t

C) 10 t 10 t

D) 10 t 10 t

E) 210 t

2. 2 29m 16n

A) 9m 16n 9m 16n

B) 16n 9m 16n 9m

C) 3n 4m 3n 4m

D) 3m 4n 3m 4n

E) 3n 4m 3n 4m

3. 2 2 5 2 5 2

A) 22B) 20C) 18D) 8E) 0

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

14

4. 22

10,01b

a

A) 1 1 1 1a 10b a 10b

B) 1 b 1 ba 10 a 10

C) b 1 1 b10 a a 10

D) 1 10,01b 0,01b

a a

E)2

10,1b

a

5. a3 + 1 =

A) (1 – a)(1 – a + a2)B) (1 + a)(1 + a + a2)C) (1 + a)(a2 – a + 1)D) (1 – a)(1 + a + a2)E) (1 – a)2(1 – a)

6. Uno de los factores de 27z3 – 8 es

A) 3z + 2B) 3z – 8C) 3z3 + 2D) 27z – 2E) 3z – 2

7. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a x3 – 125?

I) (x – 5)(x2 + 5x + 25)II) (x – 5)3

III) (x2 – 5)(x + 25)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Ninguna de ellas

15

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

TRINOMIO DE LA FORMA:

TRINOMIO DE LA FORMA:

EJEMPLOS

1. 2 29a 30ab 25b

A) 23a 5b

B) 23a 5b

C) 25a 3b

D) 29a 25b

E) 225a 9b

2. Al factorizar x2 + 2x – 35 se obtiene

A) x 7 x 5

B) x 7 x 5

C) x 7 x 5

D) x 1 x 35

E) x 7 x 5

3. 25a 3a 2

A) (a + 1)(5a – 2)B) (a – 1)(5a – 2)C) (2a+ 1)(5a + 2)D) (a – 1)(5a + 3)E) (a + 1)(5a – 3)

4. Si t 29x 3x y s 4 9x , entonces t + s es igual a

A) (3x – 2)2

B) (3x + 2)2

C) (9x – 4)2

D) (9x + 2)2

E) (3x + 4)2

a2 2ab + b2 = (a b)2

x2 + px + q = (x + a) (x + b) con p = a + b, q = ab

ax2 + bx + c =(ax + p)(ax + q)

acon b = p + q, ac = pq

16

5. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de la expresión algebraicax2 – 5x + 6?

I) x + 2II) x + 1

III) x – 3

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

6. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a 23b 2b 5 ?

I) b 1 3b 5

II) 1 b 5 3b

III) 1 b 5 3b

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

7. 228x 49x 4

A) (4 – 7x)(4 – 7x)B) (7x – 2)(7x + 2)C) (7x + 2)(7x + 2)D) (2 – 7x)(7x + 2)E) (2 – 7x)(2 – 7x)

8. 2x3y3 + 16x2y4 + 32xy5 =

A) y3(2x2 + 4y)2

B) 2xy3(x + 4y)2

C) 2x(x + 4y4)2

D) 2x3y(x + 4y)2

E) 2xy3(2x + 8y)2

17

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Para factorizar polinomios de cuatro o más términos, éstos se deben agruparconvenientemente de manera de hacer factorizaciones parciales y llegar a una factorizaciónfinal.

OBSERVACIÓN: Los casos anteriores de factorización nos conducen a la siguienteestrategia general para factorizar un polinomio.

1. Intente factor común.2. Cuente los términos del polinomio.2.1. Si tiene 2 términos, intente: suma por diferencia, suma de cubos o restas de cubos.2.2. Si tiene 3 términos, intente cuadrado de binomio inicialmente, si no, aplique trinomios

que no son cuadrados.2.3. Si tiene más de 3 términos agrupe convenientemente.3. El polinomio debe quedar totalmente factorizado.

EJEMPLOS

1. ma a mc c

A) m 1 c - a

B) m 1 a c

C) a c m 1

D) m 1 a c

E) ac m 1

2. ab 1 a b

A) 1 b 1 a

B) 1 a b a

C) a b 1 a

D) 1 b 1 a

E) 1 b 1 a

3. 2x 3z 3x zx

A) z x 3 x

B) x z x 3

C) x z x 3

D) x z z 3

E) x z x 3

18

4. tn 10 5n 2t

A) n 2 t 5

B) n 2 t 5

C) n 2 t 5

D) n 2 t 5

E) t 2 5 n

5. Al factorizar 2 2 2 27pqy 5y 5x 7pqx se obtiene

A) (x2 – y2)(7pq – 5)B) (x2 + y2)(5 – 7pq)C) (x2 + y2)(7pq – 5)D) (x2 – y2)(5 – 7pq)E) (x2 + y2)(7pq + 5)

6. ax – bx + by + cy – cx – ay =

A) (a – b)(c – x)(x – y)B) (a – b – c)(x + y)C) (a – b + c)(x – y)D) (a – b – c)(x – y)E) (a + b + c)(x + y)

7. 2 2p qpq + + - + pqr2

A) p q r p q r

B) p q r p q r

C) r p q r p q

D) p p q r r pq

E) p p q r r pq

19

EJERCICIOS

1. Si m = -2 y n = -1, entonces el valor de (m2 + 2mn + 3) : (m3 – mn – 1) es

A) -115

B) -35

C) -311

D) -1

E)35

2. 5t -{-[-(t2 – 2) + 3] – t (t – 8)} =

A) 13t + 5B) 2t2 – 3t + 5C) 2t2 – 3t + 1D) 5 – 3tE) -3t + 1

3. 3 2 5 121 4 mnm n m n

16 7 6

A) 11m

8

B) 1 21m n

8

C) 11m n

8

D) 11m

8

E) 7 21m n

8

4. Si en la sucesión: 2 k 3 , 4 k 6 , 6 k 9 , 8 k 12 ,…, se suman el sexto y séptimo

término, resulta

A) 22k – 66B) 26k + 78C) 52k + 78D) 52k + 3E) 26k – 510

20

5. En el rectángulo ABCD de la figura 1, el área del rectángulo achurado es

A) (4m + 3)2

B) (4m – 3)2

C) (4m + 3) (4m – 3)D) 4m2 – 9E) 7m(4m – 3)

6. Al multiplicar 16x y

3

16x + y

6

el coeficiente numérico del término xy es

A) 1

B)13

C)118

D)13

E) -1

7. 2 p 3

A) 26p p 9

B) 2p 6p 9

C) 2p 6p 9

D) 2p 9

E) 2p 9

8. 220 5

A) 5B) 15C) 45D) 75E) 15

A B

D C

fig. 14m

3

34m

21

9. 2 3 5 3 5 2

A) 0B) 13C) 45D) 43E) -43

10. Si el área de un rectángulo es 24x 16x 7 y su ancho es 2x 7 , entonces su largo es

A) 2x 1

B) 2x 7

C) 1 2x

D) 2x 2

E) 2x 1

11. Si x = 1972 + 2 · 197 · 3 + 32, y = 2002 – 22 y z = 199 · 201, ¿cuál de las siguientesopciones es verdadera?

A) y < x < zB) y < z < xC) x < y < zD) x < z < yE) z = y < x

12. Si p q p 2q y p q p 2q , entonces 2x y x y x y

A) 4 xy-

B) 2y-8

C) 24xy 8y

D) 24xy 8y

E) 0

22

13. 2 21 5 1 5

A) 4B) -4C) 16

D) 21 5

E) 36 4 5

14. Un factor del trinomio x2 + x – 6 es

A) x – 3B) x + 2C) x + 3D) x – 1E) x + 6

15. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) factor(es) de la expresión algebraica26b 13b 6 ?

I) 2b 3II) 3b 2III) 6

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

16. Si 25a 3a 2 5a x a y , entonces los valores de x e y son, respectivamente

A) -2 y 1B) 2 y -1C) -2 y -1D) 5 y -2E) -5 y -2

23

17. 364k 1

A) 4k 1 16k 4k 1

B) 24k 1 1 16k 4k

C) 24k 1 16k 4k 1

D) 64k 1 64k 4k 1

E) 216k 1 16k 4k 1

18. x4 – 13x2 + 36 =

A) x 3 x 3 x 2 x 2

B) x 3 x 3 x 2 x 2

C) x 3 x 3 x 2 x 2

D) x 3 x 3 x 2 x 2

E) x 3 x 3 x 2 x 2

19. La suma de los tres números impares consecutivos anteriores al impar 2a – 1, es

A) -9aB) 6a 15C) 6a 9D) 6a 6E) 6a 15

20. Se tiene una cuerda de x 2y centímetros de largo la cual se cortó en tres partes. El

primer segmento de (x – 2) centímetros, el segundo segmento de (3 – y) centímetros.¿Cuántos centímetros mide el tercer segmento de la cuerda?

A) y 1B) 3y 1C) 3y 1D) 1 3yE) 1 y

24

21. Un litro de bencina cuesta (5k – 2t) pesos. Se hace una rebaja de 2t pesos en cada litro,¿cuántos pesos valen 5 litros de bencina con rebaja?

A) 25kB) 5k 4tC) 25k 2tD) 25k 10tE) 25k 20t

22. Para obtener un trinomio cuadrado perfecto a partir de la expresión53

x + x2 se debe

sumar

A)56

B)2536

C)256

D)536

E)109

23. Al factorizar x2 + 2ax – bx – 2ab se obtiene

A) (x + 2a) (x – b)B) (x + 2a) (x + b)C) (x – 2a) (x + b)D) (x – 2a) (x – b)E) ninguna de las anteriores

24. x4 – y4 =

A) (x2 – y2)2

B) (x2 + y2)(x + y)(x – y)C) (x2 + y2)(x + y)(x + y)D) (x2 + y2)(x – y)(x – y)E) (x + y)(x + y)(x – y)(x + y)

25

25. La expresión 2y 3y 2 2x xy es equivalente con

A) y 2 x y 1

B) 2 23y 2x y 2

C) 33y 3xy 2

D) 3 46x y 2

E) 2y 1 x 2 y

26. La suma entre el cubo del natural t y el cubo del sucesor del doble de t, resulta

A) 23t 1 3t 3t 1

B) 23t 1 3t 1

C) 3 28t 7t 6t 1 D) 3 28t 7t 6t 1 E) 23t 1 7t 5t 1

27. Se puede determinar el valor numérico de 2 2x y si:

(1) Se conoce el valor de x y

(2) x y

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

28. Se puede determinar el valor numérico de ax – by – ay + bx si:

(1) a + b = 3 y x + y = 4

(2) x = y

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

26

29. Se puede determinar el valor numérico de 3a – 5b – 3 si:

(1) a = -3

(2) 3a = 5b

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30. La expresión 2 24a 12ab xb es un trinomio cuadrado perfecto, si:

(1) 2x 81

(2) x es un número positivo.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

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RESPUESTAS

EJERCICIOS CLAVES PÁG. 19

DMONMA08-A

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EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 y 2 B A B A D E

3 y 4 C B B C A A

5 y 6 B C C B A C E

7 y 8 A C C B A E E

9 y 10 C D E B A B

11 y 12 A C B B E D C D A

13 y 14 B D C B C E A

15 y 16 A E A B C D E B

17 y 18 B A E A C D A

1. D 11. B 21. E

2. D 12. D 22. B

3. B 13. C 23. A

4. B 14. C 24. B

5. C 15. B 25. A

6. E 16. A 26. A

7. A 17. B 27. B

8. A 18. A 28. B

9. D 19. B 29. B

10. E 20. C 30. C