pdv: matemática guía n°15 [4°medio] (2012)

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12

UNIDAD: GEOMETRÍA

POLÍGONOS – CUADRILÁTEROS

POLÍGONOS

DEFINICIÓN: Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y quese intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).

POLIGONO CONVEXO: Es un polígono donde cada ángulo interior mide menos de 180º

NOMBRE DE POLÍGONOS

PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS:

Suma de los ángulos interiores = 180º · (n – 2) Diagonales desde un vértice = n – 3

Suma de los ángulos exteriores = 360º Total de diagonales =n(n 3)

2

EJEMPLOS

1. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un heptágono?

A) 1.080ºB) 900ºC) 720ºD) 540ºE) 360º

2. El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un pentágono es

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

TRIÁNGULO 3 LADOSCUADRILÁTERO 4 LADOSPENTÁGONO 5 LADOSHEXÁGONO 6 LADOSHEPTÁGONO 7 LADOSOCTÓGONO 8 LADOSENEÀGONO 9 LADOSDECÁGONO 10 LADOSENDECÁGONO 11 LADOSDODECÁGONO 12 LADOS

C u r s o : Matemática

Material N° 15

2

3. El número total de diagonales de un hexágono es

A) 6B) 7C) 9D) 18E) 27

4. La suma de los ángulos exteriores de un octágono es

A) 1.440ºB) 1.080ºC) 900ºD) 540ºE) 360º

5. ¿En cuál de los siguientes polígonos, la suma de los ángulos interiores es igual a la suma delos ángulos exteriores?

A) CuadriláteroB) PentágonoC) HexágonoD) TriánguloE) Ninguno de los anteriores

6. ¿Qué polígono es tal que el número total de sus diagonales es igual al número de sus lados?

A) OctógonoB) HexágonoC) PentágonoD) CuadradoE) No existe tal polígono

7. ¿Cuál es el número de lados de un polígono, si de cada uno de sus vértices se pueden trazar12 diagonales?

A) 9B) 10C) 12D) 14E) 15

3

POLÍGONO REGULAR

DEFINICIÓN: Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes. En casocontrario se dice que es irregular.

EJEMPLOS

1. ¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo interior de un hexágono regular?

A) 60ºB) 120ºC) 140ºD) 160ºE) 180º

2. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones, es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si en un polígono sus ángulos exteriores suman 360º, entonces se sabe que elpolígono es un cuadrilátero.

II) Si un polígono tiene todos sus lados iguales, entonces dicho polígono es regular.III) Si en un polígono regular se trazan todas las diagonales posibles desde un

vértice, los ángulos formados en dicho vértice son iguales entre sí.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

3. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores miden 150º?

A) 6B) 8C) 10D) 12E) 14

a

a

a a

aa a a

aaa a

Hexágono regular

360° =

n

a

a

a

a

a

’

Pentágono regular

180º (n 2) =

n

4

4. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 1.800º, ¿cuántas diagonales sepueden trazar en dicho polígono?

A) 9B) 18C) 35D) 54E) 65

5. El hexágono de la figura 1, es regular. ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 22,5ºB) 45ºC) 67,5ºD) 90ºE) 112,5º

6. La razón entre las medidas de los ángulos interiores y exteriores de un cierto polígono es3 : 2. ¿Cuántas diagonales tiene dicho polígono?

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

7. En el pentágono regular de la figura 2, ¿cuál es la medida del ángulo ?

A) 36ºB) 54ºC) 60ºD) 72ºE) 75º

x fig. 1

fig. 2

5

CUADRILÁTERO

DEFINICIÓN

Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados.

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS

Los cuadriláteros convexos se clasifican en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES.

PROPIEDADES

La suma de los ángulos interiores es 360º.

La suma de los ángulos exteriores es 360º.

EJEMPLOS

1. En el cuadrilátero ABCD de la figura 1, CM y AM son bisectrices de ∡DCB y ∡DAB,respectivamente. Entonces, el ángulo x mide

A) 220ºB) 140ºC) 110ºD) 80ºE) 20º

2. En el cuadrilátero PQRS de la figura 2, ∡ = 60º y ∡ = 100º. Entonces, la medida de12

(x + y) es

A) 200ºB) 160ºC) 100ºD) 90ºE) 80º

A

B

CD120º

80º

fig. 1

x

M

x

y

Q

SR

P

fig. 2

6

3. Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sí como 4:9:11:12. Entonces el mayorde ellos mide

A) 10ºB) 60ºC) 90ºD) 110ºE) 120º

4. En la figura 3, el ABD es isósceles de base AB . Si ABCD es un rombo y DE CE(A, D y E son colineales), entonces mide

A) 30ºB) 45ºC) 60ºD) 75ºE) 80º

5. Si en el cuadrilátero de la figura 4, + = , entonces ∡ es igual a

A) 80ºB) 85ºC) 90ºD) 95ºE) 105º

6. Si en la figura 5, L1, L2, L3 y L4 son rectas, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 30ºB) 40ºC) 50ºD) 80ºE) 100º

170º

fig. 4

100º60º

70º

xL1

L2L3

L4

fig. 5

fig. 3

BA

CD

E

7

PARALELÓGRAMO

DEFINICIÓN: Paralelógramo es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestosparalelos.

CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelógramo?

A) B) C) D) E)

CUADRADO ROMBO RECTÁNGULO ROMBOIDE

NOMBRE

PROPIEDADES

Lados opuestoscongruentes

Ángulos opuestoscongruentes

Las diagonalesse dimidian

Ángulos contiguossuplementarios

Diagonalesperpendiculares

Diagonalesbisectrices

Diagonalescongruentes

OBSERVACION: Si un cuadrilátero cumple con alguna de las siguientes propiedades entonces es unparalelogramo.

- Ángulos opuestos congruentes- Diagonales se dimidian- Sus lados opuestos congruentes- Ángulos contiguos suplementarios

45º

45º

a45º

45º

45º

45º

45º

45ºa

a a

aa

a a

a

b

a

b

a

bb

a

50º

130º

130º 130º50º

50º

130º 130º

50º 130º

130º 50º

130º

50º 50º

8

2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Todo paralelógramo tiene sus lados opuestos congruentes.II) Todo paralelógramo tiene sus ángulos opuestos congruentes.

III) Dos ángulos contiguos de un paralelógramo son complementarios.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III

3. En la figura 1, L1 // L2. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) siempreverdadera(s)?

I) ACDF es un paralelógramoII) Si = 90º entonces BCDE es un rectángulo

III) Si AB = BE y = 90º, entonces ABEF es un cuadrado.

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

4. Para que un cuadrilátero convexo sea un paralelógramo, se debe cumplir necesariamenteque

A) sus diagonales sean congruentes.B) sus ángulos opuestos sean suplementarios.C) sus diagonales se dimidien.D) sus diagonales sean perpendiculares.E) tengan un par de lados paralelos.

5. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) necesariamente verdadera(s) en unparalelógramo ABCD de diagonales AC y BD ?

I) Si AC BD y AC BD , entonces ABCD es un rombo.

II) Si AC BD y AB = BC , entonces ABCD es un cuadrado.

III) Si AC BD y AB BC , entonces ABCD es un romboide.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

F E D

A B C

L1

L2

fig. 1

9

TRAPECIO

DEFINICIÓN: Trapecio es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, llamadosbases.

PROPIEDADES:

En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases ( AB y CD) sonsuplementarios.

EJEMPLOS

1. En el trapecio de la figura 1, AB // CD y BC = CD . Si el ∡BDC = 35º, entonces el ∡ABCmide

A) 180ºB) 140ºC) 110ºD) 100ºE) 70º

2. Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 2, AB // CD y ∡ADC = 40º, entonces el ánguloABC mide

A) 210ºB) 140ºC) 110ºD) 70ºE) ninguna de las anteriores.

Trapecio Rectángulo

BA

CD

AB // CD

D C

BA

AB // CD

Trapecio Escaleno Trapecio Isósceles

BA

CD

AB // CD

+ = 180º + = 180º

+ = 180º + = 180º- Ángulos basales congruentes- Diagonales congruentes- Ángulos opuestos

suplementariosMediana: Es el segmento que une lospuntos medios de los lados no paralelos

D C

A B

fig. 1

fig. 2

D C

A B

10

3. Si en la figura 3, ABCD es un cuadrado y EG // AB , ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses (son) siempre verdadera(s)?

I) BFC isósceles.II) FG es altura del BFC.

III) Los trapecios ABFE y DCFE son congruentes.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

4. La mediana de un trapecio mide 60 cm. Si una de las bases es el doble de la otra, entoncesla base mayor mide

A) 30 cmB) 40 cmC) 60 cmD) 80 cmE) 100 cm

5. En el trapecio de la figura 4, AD DC BC y AB // DC . Entonces, siempre se cumpleque

A) AC BD

B) AD ABC) AC AB

D) ∡A ∡C

E) ∡D ∡B

6. En la figura 5, DC // AB . Si AD BC DC , ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses (son) verdadera(s)?

I) BDC es isósceles.

II) AC es bisectriz ∡DAB.III) CAD DBC

A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

D C

A B

fig. 4

D C

A B

fig. 5E

fig. 3

A B

D C

E GF

11

TRAPEZOIDE

DEFINICIÓN: Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene pares de lados paralelos.

CLASIFICACIÓN: Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos.

( AD DC )

PROPIEDADES DEL DELTOIDE

Diagonales perpendiculares.

Una diagonal es bisectriz.

La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetralde la otra diagonal.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, DEFG es un deltoide con GD DE . Si ∡DGF = 109º y ∡FDE = 14º,entonces el ángulo GFE mide

A) 33ºB) 57ºC) 76ºD) 109ºE) 114º

2. En el deltoide ABCD de la figura 2, DC = BC . Si ∡ABC = 135º y ∡DCB = 70º,

entonces ∡CDB + ∡CAD =

A) 45ºB) 55ºC) 65ºD) 90ºE) 125º

D

C

ABTRAPEZOIDE

ASIMÉTRICO

D

A

C

B

TRAPEZOIDESIMÉTRICO (DELTOIDE)

AB AD y CD CB

a a

bb

a b

G

D

F

E fig. 1

D

A

C

B

fig. 2

12

3. En el deltoide ABCD de la figura 3, AB = AD . Si ∡BAD = 50º y ∡ADC = 150º,entonces la medida del ángulo x es

A) 95ºB) 85ºC) 75ºD) 65ºE) 55º

4. Al unir los puntos medios de los lados de un trapezoide en forma consecutiva se obtienesiempre

A) un trapezoide.B) un trapecio.C) un paralelogramo.D) un cuadrado.E) un rombo.

5. En el trapezoide ABCD de la figura 4, ∡DCB = 120º, ∡DAB = 60º y ∡CDB = 40º, entoncesla medida del ∡DBA es

A) 20ºB) 40ºC) 60ºD) 80ºE) 120º

6. Si en la figura 5, ABCD es un deltoide, AD = CD , AF : FD = 1 : 2 y DF = 8. Entonces, ACmide

A) 8B) 7C) 6D) 5E) 2 5

AB

CD

xfig. 3

B

CA

D

fig. 5

F

fig. 4

A

B

D

C

3

13

EJERCICIOS

1. Si en un polígono convexo la suma de sus ángulos interiores es igual a 1.440º, entonces elpolígono es un

A) hexágonoB) octógonoC) decágonoD) dodecágonoE) eneágono

2. Si la diferencia entre el número total de diagonales y el número de lados de un polígono estres, entonces el polígono tiene

A) 9 ladosB) 8 ladosC) 7 ladosD) 6 ladosE) 5 lados

3. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) En un pentágono regular, el suplemento de un ángulo interior mide 72º.II) El total de diagonales que se pueden trazar en un octógono son 24.

III) La suma de los ángulos interiores de un heptágono es 720º.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

4. ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares, el ángulo interior mide el triple del ánguloexterior correspondiente?

A) TriánguloB) PentágonoC) HexágonoD) DecágonoE) Octógono

14

5. En el rectángulo ABCD de la figura 1, AC diagonal y PQ AC . Si ∡DPQ = 113º. ¿Cuántomide ?

A) 23ºB) 43ºC) 67ºD) 76ºE) 113º

6. En el pentágono regular de la figura 2, los puntos A, B y F son colineales. Entonces, ∡mide

A) 60ºB) 72ºC) 80ºD) 90ºE) 108º

7. Si en la figura 3, ABCD es un rectángulo y L es una recta, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

LI) sº + uº = tº + vº

II) sº + vº = uº + tºIII) sº = vº y uº = tº

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

8. La diagonal del cuadrado ABCD de la figura 4, se prolonga de modo que CE = AB , entonces

la medida del ∡x es

A) 18ºB) 22,5ºC) 24ºD) 45ºE) 135º

Q

113º

A P D

B C

fig. 1

A

B

CD

E

F

fig. 2

A

BC

D

E

fig. 4

x

vº

Dtº

C

A B

fig. 3

sº

uº

15

9. Si en el polígono de la figura 5, BE CD , AB CF y AE DF DE , ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ABE FCDII) FED isósceles

III) ∡CFB = 45º

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

10. Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 6, AB // CD y el ∡y = 60º, ¿cuál es la medida

del ∡x?

A) 160ºB) 140ºC) 120ºD) 60ºE) Ninguna de las anteriores

11. En la figura 7, ABCDE es un pentágono regular y los lados de la estrella son lasprolongaciones del pentágono, entonces el ángulo x mide

A) 72ºB) 54ºC) 36ºD) 30ºE) 18º

12. En el rectángulo ABCD de la figura 8, ∡ = 67º, ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 23ºB) 67ºC) 117ºD) 127ºE) 157º

y

x

fig. 6

A BA B

D C

fig. 8

x

fig. 5

C D

AE

F

B 60º30º

xfig. 7

A

B

C

D

E

D C

A B

16

13. Si se trazan las diagonales de un paralelógramo, formando 4 triángulos. ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Se obtienen cuatro triángulos congruentes.II) Se obtienen cuatro triángulos semejantes.

III) Se obtienen sólo triángulos rectángulos.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) Ninguna de ellas

14. En el trapecio ABCD de la figura 9, AB // CD , ECBF , DA//FB , BF y EC son bisectrices.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) BCFC

II) ∡BCE = 30º

III) EBFE

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

15. En la figura 10, ABCD es un trapecio isósceles, AB // CD , AE = EB . Si AB : BC = 2 : 1 y

EC // AD , ¿cuál es la medida del ∡BAD?

A) 70ºB) 60ºC) 55ºD) 30ºE) 20º

16. Si en la figura 11, MNP QOR, ∡NMP = 50º y ∡NPM = 70º, entonces la medida del

∡OQP es

A) 130ºB) 120ºC) 110ºD) 70ºE) 50º

fig. 10

A E

D C

B

fig. 11

50º

P

M Q

ON

70º

R

A B

CD F

Efig. 9

60°

17

17. En la figura 12, ABCD es romboide. Si H es punto medio de DF y AD GD GF EF ,entonces se cumple que

I) AEFD es un rombo

II) ∡DGH ∡HGFIII) HG DF

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

18. En la figura 13, ABCDEF es un hexágono regular, EA , EB y EC son diagonales. ¿Cuál(es) delas siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) AEF CEDII) ABE CBE

III) ∡ABE ∡BED

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

19. En el polígono de la figura 14, AB // PC , AP // BC , AP y CP son bisectrices de los ángulosinteriores respectivos, entonces la medida del ángulo es

A) 160ºB) 140ºC) 120ºD) 100ºE) 60º

20. En el cuadrado ABCD de la figura 15, se ha trazado la diagonal AC y el ∡ABE mide la tercera

parte del ∡ABC. ¿Cuál de las siguientes opciones no es correcta?

A) ∡ACB = 45º

B) ∡EFA = 60º

C) ∡AEB = 60º

D) ∡EFC = 105°

E) ∡DEB = 120º

80º

60º

A

B

C

D

PE

fig. 14

fig. 15

F

C

D

B

A

E

C

A BG

D FH

E

fig. 12

fig. 13

CB

EF

A D

18

21. Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 27 diagonales. ¿Cuánto mide cadaángulo exterior de este polígono?

A) 12ºB) 15ºC) 24ºD) 30ºE) 168º

22. En la figura 16, ABCD es un paralelógramo, ∡DCA = 40º y ∡ABD = 50º. ¿Qué tipo deparalelógramo es?

A) RectánguloB) TrapecioC) RomboD) RomboideE) Cuadrado

23. Al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero se forman dos triángulos isósceles cuyasbases son la diagonal, y los ángulos basales de un triángulo miden el doble de los ángulosbasales del otro. Entonces dicho cuadrilátero es un

A) CuadradoB) TrapecioC) RomboideD) RomboE) Deltoide

24. En un trapecio isósceles los ángulos opuestos están en la razón 2:7. ¿Cuánto es la semi-diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor, respectivamente?

A) 50ºB) 60ºC) 100ºD) 120ºE) 140º

25. En la figura 17, ABCD es un trapecio rectángulo en A y D, ∡ABD = 40º, y BDC es isósceles

de base BC . ¿Cuál es la medida del ∡?

A) 70ºB) 30ºC) 90ºD) 45ºE) 120º

100º

A B

CD

fig. 16

D C

A B

fig. 17

19

26. Se puede determinar la longitud de los lados de un polígono regular si:

(1) Se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.

(2) Sus ángulos exteriores suman 360º.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

27. En la figura 18, ABCD es rectángulo. Se puede afirmar que ADE BCE si:

(1) ∡BAE = 45º(2) E es punto medio.


28. Se puede determinar la medida del ∡BCD del cuadrilátero de la figura 19, si:

(1) ABCD es un paralelógramo y triángulo ABD es equilátero.

(2) El ángulo DAB mide 60º.


29. Se puede determinar el número de lados de un polígono convexo, si:

(1) Se conoce la suma de los ángulos interiores.

(2) Se conoce el número total de diagonales.


A B

CD

fig. 19

fig. 18

A B

D CE

20

30. En la figura 20, se puede determinar la medida del ángulo si :

(1) + + = 300º

(2) ABCD es un romboide y + = 180º.


RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 13

DMDMA15

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A

B

C

D

fig. 20

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 B A C E A C E

3 y 4 A C D D D D A

5 y 6 E E E A D A

7 y 8 A D D C D

9 y 10 E B B D A E

11 y 12 E C B C C A

1. C 11. C 21. A

2. D 12. E 22. C

3. A 13. E 23. E

4. E 14. E 24. A

5. C 15. B 25. A

6. B 16. A 26. E

7. C 17. E 27. B

8. B 18. E 28. A

9. E 19. D 29. D

10. C 20. B 30. A

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