GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 7

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONESECUACIÓN DE PRIMER GRADO

CONCEPTOS

ECUACIÓN es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen elementosdesconocidos llamados incógnitas.

RAÍZ O SOLUCIÓN de una ecuación es (son) el (los) valor(es) de la(s) incógnita(s) quesatisface(n) la igualdad.

CONJUNTO SOLUCIÓN es el conjunto cuyos elementos son las raíces o soluciones de laecuación.

RESOLVER UNA ECUACIÓN es encontrar valores que reemplazados en la ecuación en lugar dela incógnita, hace que la igualdad sea verdadera. Para ello se debe despejar o aislar laincógnita.

ECUACIONES EQUIVALENTES son aquellas que tienen el mismo conjunto solución.

Nota: Dada la solución sustituir en la ecuación y verificar la igualdad

EJEMPLOS

1. Una balanza queda perfectamente equilibrada cuando en uno de sus platillos hay tres libros yen el otro, un libro y un estuche con lápices que pesa medio kilo. Sabiendo que todos los librospesan exactamente lo mismo, ¿cuál es la ecuación que permite determinar el peso x, en kilos,de cada libro?

A) 3x = x – 0,5B) 3x = -x + 0,5

C) 3x + x =1

-2

D) 3x = x +1

2E) 3x = x + 2

2. Para resolver la ecuación 3x+2=6. ¿Cuál de las siguientes opciones se debe realizar?

A) En ambos miembros se debe multiplicar por el recíproco de tres y luego sumar el opuestode dos.

B) Se debe pasar el tres dividiendo y luego el dos restando.C) En ambos miembros se debe sumar el opuesto de dos y luego multiplicar por el recíproco

de tres.D) Se debe pasar el dos restando y luego el tres multiplicando.E) Igualar la ecuación al neutro multiplicativo.

C u r s o : Matemática

Material N° 09

2

3. El valor opuesto de x en la ecuación 15 – 6x = 30 – x es:

A) -7B) -3C) 3D) 4E) 7

4. ¿Cuál es la solución o raíz de la ecuación-x 1 -4

+ =x - 5 x - 5 x - 5

?

A) -5B) 8, 3

C) 8, 3

D) 5E)

5. Dada la ecuación 0,01x = -2,5. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra una ecuaciónequivalente a ella?

A) 10 · x = -250B) 0,1 · x = -250C) 10-3 · x = -25 · 10-1

D) 10-2 · x = -2,5 · 10-1

E) 10-3 · x = -25 · 10-2

6. La ecuación que permite calcular el área A de un círculo es 2A r , donde r es el radio delcírculo y es un valor constante. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular el radio r delcírculo?

A)A

r

B) Ar

C)A

r

D) r A E) r A

7. En la ecuación 2(x + t) = 5t + 3 (x – 2), ¿cuál debe ser el valor de t, para que la solución seax = 3?

A) -3B) -1

C)34

D) 1E) 3

3

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la incógnita es 1,siendo esta una ecuación con exponentes cardinales. Toda ecuación de primer grado en unavariable puede expresarse en la forma:

donde a y b son números reales y x la incógnita que hay que determinar.

ECUACIÓN CON COEFICIENTES LITERALES

Es una ecuación que además de la incógnita tiene otras letras que representan cantidadesconocidas.

EJEMPLOS

1. El valor de x en la ecuación 3(3x + 1) – (x – 1) = 6(x + 10) es:

A) 29B) 28C) 5D) 4E) -5

2. ¿Qué número se debe restar de p + 3 para obtener 7?

A) p – 4B) 4 – pC) 4D) p + 4E) p + 10

3. En la ecuación x – pq = pr, ¿cuál es el valor de x?

A) p(q – r)

B) pr - qr

C) p(q + r)

D)rq

E)qr

ax + b = 0

4

4. Si a2x – a = 4x - 2, entonces x es igual a:

A)1

a + 2si a 2 y a -2

B)1

a + 2si a 2

C)1

a + 2si a - 2

D)1

a + 2si a = 2

E)1

a + 2para todo a real

5. Si a(x + b) = a2 – b2 – b(x – a) con a -b y a b entonces el opuesto del recíproco de(a – b) es:

A) –x

B)1

-x

C)1x

D) xE) x2

6. En la ecuación (x + a)2 = (x – a)2 + (a + b)2, el valor de 4ax es:

A) 2a - b

4a

B) 2- a - b

4a

C) -

2a + b

4a

D) 2a + b

4a

E) 2ba +

7. Si la ecuación a(x + b) = b(x + a) con a = 2, b = -2, entonces el opuesto del valor de x es:

A) -2B) -0,5C) 0D) 0,5E) Se indetermina

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ECUACIONES FRACCIONARIAS

Una ecuación es fraccionaria cuando alguno de sus términos o todos tienen denominadores.

Para resolver este tipo de ecuaciones se aplica el siguiente método:

Multiplicar los miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadoresque aparecen.

Efectuar las operaciones indicadas en los paréntesis. Agregar y reducir términos en los miembros de la igualdad. Colocar los términos en x en un miembro y los numéricos en otro. Resolver la ecuación equivalente de primer grado obtenida. Comprobar el resultado con la ecuación dada.

EJEMPLOS

1. En la ecuación3x - 1

4- 2 = 3, el opuesto de x es igual a:

A) -7B) -5C) 0,2D) 5E) 7

2. ¿Cuál es la raíz o solución de la ecuaciónx5

- 2 =x3

+ 4?

A) -45B) -3C) -1

D)14

E) 3

3. Sia a

- = 1b c

, entonces c =

A) abb - a

B) a + bab

C) a - bab

D) aba + b

E)

aba - b

6

4. En la ecuación, 6 102 + =x x el recíproco de x es

A) 2B) -0,5C) 0D) 0,5E) 2

5. En la ecuación 2x + 3 x - 1 x + 3- = 45 2 , el valor de x es

A)13

-7

B)1

-7

C) 1

D)137

E)377

6. ¿Cuál es el valor del inverso multiplicativo de x en la ecuación2 1

- = 13(x - 1) 2(x -1 )

?

A)67

B)76

C)6

-7

D)7

-6

E) 0

7. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación -x x 1

4 2- = 03 2 ?

A) 2B) 0,5

C)27

D) -0,5E) -2

8. Dada la ecuación en 2x x + c=x + 2 x + 2 ¿Cuál(es) de los siguiente(s) planteamiento(s) es(son)

verdaderos?I) Si c -2, entonces la solución es vacía.

II) Si c = x, entonces el conjunto solución son los reales menos el opuesto de 2.III) Si c = 4, entonces la solución es x = 4.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

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ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

El número de soluciones de la ecuación 0ax b depende de los valores de a y b . Se puedendar tres casos:

Caso 1: Si a 0 la ecuación tiene SOLUCIÓN ÚNICA.

Caso 2: Si a = 0 y b = 0 la ecuación tiene INFINITAS SOLUCIONES.

Caso 3: Si a = 0 y b 0 la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La ecuación,2x + 1 = 3x + 2 , tiene solución única.II) La ecuación, 4x + 5= +x + 2 3x + 2 no tiene solución.

III) La ecuación, 2x + 2 = 2 x + 1 tiene infinitas soluciones.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) Sólo I, II y III

2. ¿Cuál de las siguientes opciones no es una ecuación con una sola solución?

A) 2 + 4x + 3x – 1 = 0B) 2x + 3 = 3(x + 2) – 2xC) (x + 4) (x + 2) = (x + 1) (x – 1)D) 4( x + 1) = 3x + 4E) 3(x – 2) – 2x = x - 6

3. ¿Qué condiciones debe cumplir el parámetro t para que la ecuación

x(1 + 4t) – 24 = 3xt -x2

, tenga solución única?

A) t =3

-2

B) t 32

C) t 3

-14

D) t 12

E) t 12

8

4. ¿Qué condición debe cumplir el parámetro p para que la ecuación px – 1 = 4x + p no tengasolución?

A) p = -4B) P = -1C) p -1D) p = 4E) p 4

5. ¿Qué condición debe cumplir el parámetro m para que la ecuación mx + m = 2x + 2, tengainfinitas soluciones?

A) m = -2B) m = 2C) m -2D) m 2E) m = 2 ó m = -2

6. ¿Qué valor(es) debe tener p para que la ecuación en x,72

x – px = 3 -x2

tenga siempre

solución negativa?

A) p < -4B) p > 4C) p 4D) p < 4E) P = 4

7. Con respecto a la ecuación 3kx + 6k = 18, de incógnita x, ¿cuál(es) de las siguientesproposiciones es (son) verdadera(s)?

I) Si k = 0, existe solución única.II) Si k = 3, no existe solución.

III) Si k > 3, existe infinitas soluciones.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Todas ellas.E) Ninguna de ellas.

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EJERCICIOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de primer grado?

I) x2 + 3x + 5 = x2 – 1

II) 2 x – 3 = 3 x

III) x +35

= 0

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

2. En la ecuación23

x – 3x +25

= -2x +3115

, el valor del opuesto de x es:

A) -5B) -1

C)-513

D) 2E) 5

3. 2x + 1 = x – 5, entonces x2 + 1 es

A) 50B) 37C) 17D) 5E) -35

4. El valor de x en la ecuación - 3 - 3 - 3x - 2 + 5 = 12 – 4x es:

A) 5B) 6C) 9D) 12E) 15

5. El valor de x en la ecuación 0,1x + 0,5x – 0,25 = 0,75 es:

A) 0,3

B) 0,6

C) 1,3

D) 1,6

E) 2

10

6. Para que el valor de b en la ecuación a + 2b = 10 sea igual al opuesto de -3, el valor delinverso aditivo de a debe ser:

A) -16B) -4C) -8D) 4E) 16

7. Si la balanza de la figura 1, está en equilibrio ¿cuánto pesa cada frasco?

A) 0,125B) 0,25C) 0,375D) 0,5E) 0,625

8. El valor de x en la ecuación2x 3x x -1

- + =5 4 10 4

es:

A) -1B) -0,2C) 0D) 1E) 10

9. Si3t + 1

2= 5, entonces 2t + 1 es igual a

A) 8,3

B) 13C) 7D) 6E) 3

10. El valor de x en la ecuación 3ax – 2a = a + 3x, es:

A)a

a - 1para todo a real

B)a

a + 1para todo a real

C)a

a - 1para todo a real distinto de 1

D)a

a + 1para todo a real distinto de -1

E) Ninguna de las anteriores.

+0,75

Fig. 1

11

11. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación 2x + 3 = 7 ?

A) +2

B) 2,5

C) -5

D) 5E) -5,2

12. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones tiene(n) solución(es) igual a 1?

I) 3 + x + 2(x + 1) = 5 + (2x - 1)II) 3(x - 5) = 2(x - 7)

III) 0,5x + 2 = 5

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

13. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es equivalente 0,03x = 2,4?

A)3

1000x = 2,4

B)30100

x = 240

C) 0,3x = 240D) 3 · 10-3 · x = 24 · 10-2

E) 0,3 · 10-2 x = 0,24 · 10-1

14. ¿Cuál(es) de las siguiente(s) ecuaciones es (son) reductibles a una ecuación de primer grado?

I) 2(x + 3)2 – 4x = 2x2 + 4II) (x – a) (x + a) = x(x – a)

III) (x – 2)3 + 2x = x3 + 6x2 + 1

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

12

15. El opuesto del inverso multiplicativo de x en la ecuación45x

- 3 =2x

es

A)2

5

B)5

2

C)1

5

D)2

5

E)5

2

16. La ecuación2bx ax + b

=a a

- b, con a 0, tiene solución única si:

I) a = bII) a b

III) a b

Es (son) verdadera(s)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

17. El reciproco de x en la ecuación3x + 2 2x - 3 x + 5

+ =6 2 5

es

A)3

-7

B)37

C)35

D)2

13

E)1

23

13

18. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), respecto de la ecuación en x;

2 2

2x c + = 0

x - 4 x - 4

I) Si c = 0 entonces x = 0II) Si c = 4 entonces x = -2

III) Si c = -4 entonces x = 2

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) Sólo I, II y III

19. Sea la ecuación 0,16x + 0,25x + 2 = 0,3 . Entonces, el inverso aditivo de x es

A) -25B) -4C) 4D) 15E) 25

20. Si2 - xx - 5

= 4, entonces5 - x2 - x

es igual a:

A) -4

B)-14

C)14

D) 4

E)145

21. Si12

x – 6q = kx, entonces x es siempre igual a:

A) 12q + 2k

B)12q

1 - 2kpara todo k

C)6q

1 - 2kpara todo k

D)6q

1 + 2ksi k -

12

E)12q

1 - 2ksi k

12

14

22. Si1 1 1

- =A B C

, entonces -1A es igual a

A)BC

B - C

B)BC

B + C

C)-BC

B + C

D)B - CBC

E)B + C

BC

23. Si y =2x + aax + 2

, con ax -2, entonces el reciproco de x es:

A)ay - 2a - 2y

con y real

B)ay - 2a - 2y

con y real distinto de2a

C)2 - ay2y - a

con y real distinto dea2

D)ay + 2a - 2y

con y real distinto dea2

E)ay + 22y + a

con y real distinto dea

-2

24. La fórmula ºK =59

(ºF – 32º) + 273 relaciona grados Kelvin (ºK) y grados Fahrenheit (ºF). Al

despejar ºF se tiene:

A) ºF =59

(ºK – 273º) + 32º

B) ºF =95

(ºK + 273º) – 32º

C) ºF =95

(ºK – 273º) + 32º

D) ºF =95

(ºK – 273º) – 32º

E) ºF =95

(ºK + 273º) + 32º

15

25. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsas, respecto de la ecuación de incógnitax; (a2 – 9) x = a2 – 3a?

I) Tiene solución única si a -3II) Tiene infinitas soluciones si a = 3

III) No hay solución si a = -3

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

26. En la ecuación x - 3b = -12, puede afirmar que x = b si:

(1) b = 6(2) x – 6 = 0

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional.

27. Sean a, b, x, y números reales positivos. Se puede determinar que a%x = b%y si:

(1)x b

=y a

(2) ax – by = 0

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional.

28. Se puede determinar que la expresión 2(a - 2c) +3b es igual a 5b si:

(1) a = b(2) c = a + b

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

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EjemploPágs. 1 2 3 4 5 6 7 8

1 y 2 D C C E E C D

3 y 4 B A C A B E C

5 y 6 A A E D C A A D

7 y 8 E E B D B B E

29. En la ecuación5a -

= -13 - x

, se puede determinar que el valor de x es 7 si:

(1) a = 9(2) a es un número comprendido entre 8 y 10

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30. Dada la ecuación2x + 2a 1

= b24x

. Se puede determinar que el valor de x es positivo si:

(1) a y b son números negativos.

(2)a

>0b - 1

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁGINA 9

DMDMA09

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1. D 11. E 21. E

2. E 12. B 22. E

3. B 13. D 23. C

4. E 14. C 24. C

5. D 15. E 25. A

6. B 16. C 26. D

7. C 17. C 27. D

8. D 18. A 28. E

9. C 19. C 29. A

10. C 20. B 30. D