pdv: matemática guía n°25 [4° medio] (2012)

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 19

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONESFUNCIONES

DEFINICIÓN

Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento xdel conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.

Se expresa como:

f: A Bx f(x) = y

Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es pre-imagen de f(x) = y.

Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y sedenota Dom f.

Codominio: Es el conjunto de llegada (conjunto B) y se denota Codom f.

Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y), y sedenota Rec f.

Función Inyectiva: Una función es inyectiva si a pre-imágenes distintas le correspondenimágenes diferentes (uno a uno).

Si x1 x2 f(x1) f(x2)

Función Epiyectiva: Una función es epiyectiva si el codominio es igual al recorrido de lafunción.

codom f = Rec f

Función Biyectiva: Una función es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la vez. Siempreadmite la función inversa.

EJEMPLOS

1. Sea f : lR lR una función definida por f(x) = x – 3, entonces se cumple que

A) f(2) < f(1)

B) f32

< f(2)

C) f(1) > f32

D) f(2) < f32

E) f(1) > 0

x y

12345

5,56

233

2,5345

1 2 3 4 5

12345

6 x

y

Rec

orr

ido

Dominio

0

C u r s o : Matemática

Material N° 25

2

2. ¿Cuál de los siguientes valores no pertenece al dominio de f(x) =2x

x + 1?

A) 1B) 0

C)12

D) -12

E) -1

3. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función continua en el intervalo [-1, 1]?

A) B) C)

D) E)

4. Si f(x) es la función representada en el gráfico de la figura 1, entonces ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La pre-imagen de 0 es -2.II) Dom f = [-2, 3]

III) Rec f = ]-6, 6]

A) Sólo IB) Sólo I y IIIC) Sólo II y IIID) Todas ellasE) Ninguna de ellas

y

x1-1

1

-1

y

x1-1

1

-1

y

x1-1

1

-1

y

x1-1

1

-1

y

x1-1

1

-1

-11 2 3 4-1-2-3-4

1234

y

x-6 -5 5 6

-2

fig. 1

3

5. Si se define f(x) =2x 12x + 1

, entonces el dominio de la función es

A) lR

B) lR –1

-2

C) lR –1 1

- ,2 2

D) lR –12

E) lR – {-1, 1]

6. Si se define f(x) = x, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) Dom f = lRII) Rec f = ]-, 0[

III) f(x) es función inyectiva.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

7. ¿Cuál de las siguientes funciones es sobreyectiva?

A) f : lR lR, f(x) = x + 1B) f : lR lR, f(x) = x2

C) f : lR lR, f(x) = xD) f : lR lR, f(x) = x2 – 1E) f : lR lR, f(x) = x3

4

TIPOS DE FUNCIONES

Función Constante: Para x1 x2 se cumple f(x1) = f(x2).

Función Creciente: Si x2 > x1, entonces f(x2) > f(x1).

Función Decreciente: Si x2 > x1, entonces f(x2) < f(x1).

EJEMPLOS

1. Si f(x) es la función representada en el gráfico de la figura 1, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) f(x) es decreciente sólo en el intervalo [-4, -2].II) Dom f = [-4, 3]

III) Rec f = [-1, 3]

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) Sólo I y II

2. Si se define la función g(x + 1) =3x + 52x + 1

, x -12

, entonces el valor de g(-2) es igual a

A) -45

B) -13

C)13

D)45

E)73

1 2 3 4-1-2-3-4

123

4

y

x-1

fig. 1

5

3. Si f(3x) =13

f(x) y f(1) = 3, ¿cuál es el valor de f(3) – f(9)?

A)23

B)13

C) 0D) 6E) -6

4. Con respecto al gráfico de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)falsa(s)?

I) h(x) es decreciente.II) f(x) es creciente.

III) g(x) es creciente.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

5. Si se define f(x) = ax, los puntos (2, 9) y (3, b) pertenecen a la función, entonces ¿cuáles el posible valor de b?

A) -27B) -3C) 3D) 6E) 9

g(x)

f(x)

h(x)

y

xfig. 2

6

TRASLACIÓN DE FUNCIONES

Sea y = f(x) una función.

La función y = f(x – h) es la función f(x) trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 eldesplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo (fig. 1 y 2).

La función y= f(x) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 eldesplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el sentidonegativo (fig. 3 y 4).

La función y = f(x – h) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y, y h unidades en eleje x.

Si h y k son positivos, entonces:

y = f(x – h) y = f(x + h) y = f(x) + k y = f(x) – k

La función y = -f(x) es la función f(x) reflejada respecto al eje Ox ( eje de las abscisas)

EJEMPLOS

1. En la figura 1, está representada la función f(x) = -x. ¿Cuál es la gráfica de la función f(x) = -x – 2?

A) B) C) D) E)

x

y

fig. 1

x

y

fig. 2

x

y

fig. 3

x

y

fig. 4

y

y = f(x)

y = -f(x)

xO

-2

-1 -

1

1

2

1

f(x)

x

y

fig. 1

-2 2

2

x

y

-2

-2 2

2

x

y

-2

-2 2

2

x

y

-1-2 2

2

x

y

-2

-1 1

2

x

y

-2

7

2. La gráfica de la función y = -x2 está en la figura 2, ¿cuál es la representación gráfica dey = -x2 + 2?

A) B) C) D) E)

3. En la figura 3 esta representada la función f(x) = x3, ¿cuál es la representación gráfica ay = -(x + 1)3 – 3?

A) B) C) D) E)

4. Al trasladar la función f(x)= - x se obtuvo el gráfico de la función g(x) representada en la

figura 4. ¿A qué función corresponde g(x)?

A) g(x) = - x - 2 + 3

B) g(x) = - x - 2 - 3

C) g(x) = - x + 2 - 3

D) g(x) = x - 2 - 3

E) g(x) = x - 2 + 3

x

yfig. 2

x

y2

x

y

-2

y

x-2

x

y

2

y

x

-2

y

x1

1 fig. 3

y

x-1

-3

y

x1

-3

y

x-1

-3

y

x1

-3

y

x-1

3

1

-1

2 3

g(x)

-1-2-3

123

y

x

fig. 4

f(x)

8

FUNCIONES PARES: Una función f : A lR es par f(x) = f(-x)

FUNCIONES IMPARES: Una función f : A lR es impar f(-x) = -f(x)

OBSERVACIONES: Las funciones pares son simétricas respecto al eje de las ordenadas.Las funciones impares son simétricas respecto al origen del sistema decoordenadas.

FUNCIÓN AFÍN

Es la función definida por f(x) = mx + n, m y n lR; m y n ≠ 0.La recta no pasa por el (0,0)

FUNCIÓN LINEAL

Toda función lineal es de la forma f(x) = mx y cumple: f(a + b) = f(a) + f(b)f(a) = f(a)

La recta pasa por el (0,0).

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos puede representar la función f(x)= - x + 5 ?

I) II) III)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

2. ¿Cuál de las siguientes funciones es par?

A) f(x) =

B) f(x) =1x

C) f(x) = -x2

D) f(x) = (x + 1)2

E) f(x) = -x

y

x

y

x

y

x

9

3. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función par?

A) B) C)

D) E)

4. En el gráfico de la figura 1, están representadas las funciones h(x), q(x) y p(x), ¿cuál(es)de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) h(x) es función lineal.II) p(x) es función afín.

III) q(x) es función afín.

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo II y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas

5. ¿Cuál de las siguientes funciones es impar?

A) f(x) = x3 + 2B) f(x) = x3 + xC) f(x) = 3x + 2x5

D) f(x) = 3xE) f(x) = x2 + 3x4

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

h(x)q(x)

p(x)

fig. 1

10

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real x, denotado por x, es siempre un número real nonegativo.

f(x) = x =x si x 0

-x si x < 0

, x lR

Representaciones gráficas

f(x) = x f(x) = -x

EJEMPLOS

1. ¿Cuál es la gráfica de la función y = -x + 2?

A) B) C)

D) E)

2. ¿Cuál es la función que está representada por el gráfico de la figura 1?

A) f(x) = 1 – xB) f(x) = -1 – xC) f(x) = x – 1D) f(x) = x + 1E) f(x) = -x + 1

-1

-2

1 2-1-2

y

x0

1

2

0 1 2-1-2

y

x

y

x2-2

y

x-2

y

x-2

y

x

2

y

x

2

fig. 1

y

x

1

-1-2 21

2

-1

-2

11


A) g(x) = x + 2

B) g(x) = - x + 2 fig. 2

C) g(x) = 2 + x

D) g(x) = 2 - x

E) g(x) = x - 1

4. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la función f(x) = x + 3 + 2?

A) B) C)

D) E)

5. Si M(x) =2x + 1

3, entonces M

1-3

– M1

-4

=

A) -12

B) -118

C)118

D)23

E)56

6. Se define f(x) = x + 2 2 si x 3

x 5 si x > 3

, entonces f(-2) – f(-1) – f(4) =

A) 4B) 2C) 0D) -2E) -8

y

x

1

-3 1

2

y

x2

3

y

x

-2

-3 1

y

x-3 1

y

x-1 1

y

x-2 2

12

FUNCIÓN PARTE ENTERA

Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x.

Dado que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo el número 6,215,esta función persigue que al número real 6,215 se le asocie el número real 6.

Su representación gráfica es

f(x) = x

OBSERVACIÓN: A la gráfica de esta función se le llama “función escalonada”.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál es el valor de la expresión [1 – 1,3] + [-3 + 1,7]?

A) 1B) -1C) -2D) -3E) -4

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas(s)?

I) [-1,9 ] = 2II) [0,9 ] = 0

III) [-0,3] = -1

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

f(x) = x con x lR

x f(x)-1,7-1-0,300,511,622,3

-2-1-1001122

1 2 3 4-1-2-3-4-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

y

x

13

3. ¿Cuál es la función representada en el gráfico de la figura 1?

A) f(x) = [1 – x]B) f(x) = [x – 1]C) f(x) = [-x] – 1D) f(x) = -[x + 1]E) f(x) = [x] + 1

4. El gráfico que corresponde a la función g(x) = 2[1 – x] es

A) B) C)

D) E)

1 2 3-1-2

-1-2

1

-3

-3

y

x

fig. 1

2

-1-2 1-3-4

1

-5

y

x

3

4

1

2

-1-2 1

y

x

3

4

-1-2

1

2

-1-2 1

y

x

3

4

-1-2

2

2

-1-2 1-3-4

1

2

y

x3-1

-2

-3

-4

2

6

-1-2 1-3

5

2

y

x3

4

3

1

14

APLICACIONES

En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, es

necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La

función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación.

EJEMPLOS

1. El fabricante de una cierta mercancía tiene un costo total que consta de un costo generalsemanal de $ 150.000 y un costo de fabricación de $ 1.250 por unidad. Si se producen Aunidades a la semana y B es el costo semanal total, entonces se cumple que

A) B = 1.250A + 150.000B) A = 1.250B + 150.000C) 1.250 A = B + 150.000D) 1.250 B = 150.000A

E)AB

= 120

2. Un fabricante de relojes puede producir un cierto reloj a un costo unitario de 15 dólares.Se estima que si el precio de venta de un reloj es x, entonces el número de relojesvendidos por semana es 125 – x. ¿Cuál es la fórmula que permite calcular el monto deutilidades semanales del fabricante en función de x?

A) x(125 – x)B) 15(125 – x)C) (125 – x)(x + 15)D) (125 – x)(x – 15)E) (125 + x)(x – 15)

3. El número de abejas en una colmena al cabo de w semanas es H(w) = 2.700 + 1.000 wpara valores de w de 0 a 8, tiempo en que las abejas se multiplican. Si al cabo de wsemanas hay 7.200 abejas, entonces w es igual a

A) 3 semanasB) 3,5 semanasC) 4 semanasD) 4,5 semanasE) 5 semanas

15

4. El agua se congela a 32 ºF o 0 ºC y hierve a 212 ºF o 100 ºC. Entonces, ºF expresadocomo función lineal de ºC es

A) ºF =95

ºC – 32º

B) ºF =95

ºC + 32º

C) ºF =59

ºC + 32º

D) ºF =59

ºC – 32º

E) ninguna de las expresiones anteriores.

5. Una agencia de viajes advirtió que cuando el precio de un recorrido turístico es US $6, elnúmero promedio de boletos que se venden por viaje es 30, y cuando es US $10, elnúmero de boletos vendidos es únicamente 18. Si la ecuación de demanda es lineal, elgráfico que representa mejor esta situación es

A) B) C)

D) E)

6

10

Boletos

$

6

10

Boletos

$

18

Boletos

$

48

16

Boletos

$

48

17,5

Boletos

$

48

16

EJERCICIOS

1. Si f(x) = está representada en la figura 1, entonces ¿cuál es el gráfico que representaa la función f(x) = x 1 ?

Fig. 1

A) B) C)

D) E)

2. Se define f: lR lR una función que asocia a cada número real la suma de él con surecíproco, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) dom f = lR – {0}

II) La pre-imagen de52

es12

.

III) f(x + 1) = x + 2

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIE) I, II y III

x

y

1

x

y

1

-1

x

y

-1

y

x

x

y

1x

y

1-1

17

3. ¿Cuál es el dominio de la función g(x) =1

x 3?

A) [3, +∞[B) ]3, +∞[

C) lR – ]-∞13

[

D) lR – [3, +∞[E) lR – [0, 3]

4. Sea f : lR lR, una función definida por f(x) = log x + 3. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La imagen de 10 es 4.II) La pre-imagen 100 es 5.

III) dom f = lR

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

5. ¿Cuál de los siguientes gráficos no representan una función en el intervalo [a, b]?

A) B) C)

D) E)

6. De acuerdo al gráfico de la función f(x) en la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) falsa(s)?

I) f(0) = f(3)II) dom f = [-2, 4]

III) f(x) es creciente

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

a b

y

x a b

y

x a b

y

x

a b

y

xa b

y

x

fig. 2

y

x

1

-1-2 21

2

-13 4

3f(x)

18

7. Si el consumo de energía en un hogar tiene un cargo fijo de $ 1.200 y por 378 kwh deconsumo el valor de su cuenta fue de $ 39.000 el mes pasado. Si x corresponde a lacantidad de kwh y E al total de su cuenta, ¿cuál es la función que corresponde al calcularx kwh?

A) E(x) = 1.200 +39.000 1.200

378

x

B) E(x) = 1.200 + 378x

C) E(x) = 1.200 +39.000

378x

D) E(x) =39.000 1.200

378

x

E) E(x) = 1.200 + 37.800x

8. Si f(x) =2x + 13x 5

, entonces f(0) – f(1) es igual a

A)1710

B)1310

C) 0

D) -1310

E) -1710

9. Si f(x)= 1 +1x

y g(x) =1x

, x 0, entonces f(g(-2)) es igual a

A) 3

B)32

C) 1

D)12

E) -1

19

10. Si f(x) =2x ax 3

, x 3 y f(4) = 0, entonces f(a) =

A) -13

B)13

C)85

D) 7E) 8

11. Si g(x) =1x

, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) dom g = lR – {0}II) g(a + b) = g(a) + g(b)

III) g(a2) – g(b2) = g(a + b) · g(a – b)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

12. Si x representa el largo de un rectángulo y su ancho es la mitad del largo, entonces ¿cuáles la función que representa el área del rectángulo en función de x?

A) A(x) =2x4

B) A(x) =2x

2C) A(x) = x2

D) A(x) = 2 x2

E) A(x) =x2


A) h(x) = -2 – x

B) h(x) = 2 – x

C) h(x) = x + 2

D) h(x) = -2x

2E) h(x) = -log x

fig. 3

y

1

-2

x-1-2 21

2

-1

h(x)

20

14. La función que está representada en el gráfico de la figura 4 es

A) g(x) = x – 1B) g(x) = x + 1C) g(x) = 21 – xD) g(x) = x – 1E) g(x) = x + 1

15. En la figura 5, está representada la función afín f(x). ¿Cuál de los siguientes puntospertenece a la recta representada por f(x)?

A) (0,-2)B) (4,0)C) (-2,4)D) (-1,5)E) (-1,2)

16. Si el volumen de un cilindro es V = r2h y h es el doble del radio r, entonces V enfunción del radio es

A) V = 2r2

B) V = r2

C) V = 2r3

D) V = r3

E) V = 2 r

17. Si una función f : lR lR está definida por f(x) =

2 si x es racional51

si x es irracional2

, entonces el valor

de f( 2) + f(0,9)f( )

es igual a

A)4

10

B)920

C)85

D)95

E) 2

fig. 4

y

x

1

-1-2 21

2

-13

3

fig. 5

y

x

1

-1-2 21

2

3

4

f(x)

21

18. Si f es una función f : lR lR se define f(x) = 5 y g(x) = f(x) · f(x) · f(x) · f(x), entoncesg(2) es igual a

A) 45

B) 25

C) 54

D) 24

E) 52

19. Una bacteria se duplica cada 10 minutos. Si al comenzar el número de bacterias es 5.000,siendo t el tiempo en minutos y P el número de bacterias en función del tiempo, ¿cuántasbacterias habrá dentro de 3 horas?

A) P = 5 · 103 ·2t10

B) P = 5 · 103 · 2tC) P = 5 · 103 · 2t

D) P = 5 · 103 · 218t

E) P = 5 · 103 · t

20. Si se define la función f(x) = a · 2bx, siendo a y b constantes, f(0) = 4 y f(1) = 32,

entonces f23

es igual a

A) 24

B) 44

C) 82

D) 4E) 3

21. En la figura 6, están representadas las funciones f(x) y g(x), ¿cuál(es) de las afirmacionessiguientes es (son) falsa(s)?

I) a – b = 3II) f(x) = es creciente.

III) g(x) es función lineal.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Ninguna de ellas

a

2

3

3

fig. 6y

x21 b

f(x)

g(x)

22

22. Un alumno responde una prueba de 70 preguntas, sin omitir ninguna. Si por cadarespuesta correcta obtiene 5 puntos y se restan 3 puntos por cada incorrecta, ¿cuál es lafunción P(x) que permite calcular el puntaje final para x respuestas correctas, sinconsiderar un puntaje base?

A) P(x) = 350 + 8xB) P(x) = 5(x – 3) + 210C) P(x) = 210 – 8xD) P(x) = -8x + 350E) P(x) = 8x – 210

23. Si f(x) cumple con la relación f(a) + f(b) = f(a + b), entonces la función puede ser

A) f(x) = xB) f(x) = x2

C) f(x) = 2x

D) f(x) = x + 1E) f(x) = x2 + 1

24. Si h(2) = 5 y h(3) = 10, entonces la función es

A) h(x) = 2x + 1B) h(x) = 3x – 1C) h(x) = 3x + 1D) h(x) = x – 1E) h(x) = x2 + 1

25. Si g(a) = 5 y g(3) = b, entonces se puede determinar la función lineal que correspondesi :

(1) Se conoce a

(2) Se conoce b

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

23

26. Si f(x) = mx + n, entonces se puede determinar que f(x) es función afín si :

(1) n = 0 y m < 0

(2) n 0 y m 0


27. En el gráfico de la figura 7, se puede determinar la región del área achurada si :

(1) Se conoce a y b.

(2) Se conoce c.


28. Si f(x) = -6 + x + x2, entonces se puede determinar f(m) si se conoce :

(1) m = 6

(2) f(m) = m2


29. La gráfica de la función f(x) = ax + b + c, se puede obtener si :

(1) Se conoce a y b.

(2) Se conoce b y c.


y

x

g(x)

f(x)b

ca

fig. 7

24

30. En la función g(x) =2

2

x 4

x 2x

se puede determinar el dominio si:

(1) x 0

(2) x 2


RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 16

DMDOMA19

EjerciciosPágina 1 2 3 4 5 6 7

1, 2 y 3 B E D E B A A

4 y 5 E D A D A

6 y 7 B C A A

8 y 9 B C D B D

10 y 11 E A C A B D

12 y 13 D D B C

14 y 15 A D D B C

1. C 11. A 21. A

2. C 12. B 22. E

3. B 13. A 23. A

4. A 14. C 24. E

5. B 15. E 25. C

6. D 16. C 26. B

7. A 17. D 27. C

8. B 18. C 28. D

9. E 19. D 29. C

10. C 20. A 30. C

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra webhttp://www.pedrodevaldivia.cl/

pdv: matemática guía n°25 [4° medio] (2012)

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