pdv: matemática guía n°3 [4°medio] (2012)

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 3

UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDADNÚMEROS RACIONALES

NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son todos aquellos números que se pueden expresar en la formaab

con a y b números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales serepresenta por la letra Q.

FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIA

Sean a y b enteros positivos.

i) Si a b ab

es una fracción propia.

ii) Si a > b ab

es una fracción impropia.

OBSERVACIÓN: Toda fracción impropia se puede escribir como número mixto.

IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número racional?

I) 3 – 32

II)30

III)0

4

2 1

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

= a / a,b Z y b 0

b

Seanab

,cd

. Entonces:ab

=cd

a · d = b · c

C u r s o : Matemática

Material N° 03

2

2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es impropia?

A)1030

B)23

C)12

D)1721

E)53

3. Con respecto a la igualdad pq

=13

, es siempre verdadero que

A) p + q = 4B) pq = 3C) 3q = pD) 3p = qE) p = 2 y q = 6

4. Si a la fracción32

el numerador y el denominador se aumenta en dos, entonces la

fracción resultante

A) es equivalente a la fracción original.B) es menor que la fracción original.C) es mayor que la fracción original.D) es siempre negativa.E) es uno.

5. Al simplificar la fracciónyx

, con x y, se obtiene

I) siempre una fracción propia.

II) un racional equivalente ayx

.

III) un número entero.

Es (son) verdadera(s)


3

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Siab

,cd

, entonces:

OBSERVACIONES

El inverso aditivo (u opuesto) deab

es -ab

, el cual se puede escribir también como-ab

o

a-b

.

El número mixto Abc

se transforma a fracción con la siguiente fórmula:

EJEMPLOS

1. 3 +25

=

A)12

B) 212

C) 4

D) 512

E) 11

2.95

+39

=

A)4512

B)4527

C)1412

D)1427

E)4596

ab

cd

=ad bc

bd

Abc

=A · c + b

c, con A 0

4

3. El inverso aditivo de3 14 5

es

A) -2

B) -2011

C) -1120

D) -12

E)2011

4. ¿Cuántos sextos son 265

?

A) 5B) 10C) 12D) 16E) 17

5. El valor de la expresión 4 –

52

23

es

A) -1510

B) -17

C)2110

D)175

E)237

6. Si x = -213

e y = 2 +16

, entonces el valor de x + y es

A) -209

B) -16

C)36

D)63

E)209

5

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Siab

,cd

, entonces:

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

OBSERVACIÓN

El inverso multiplicativo (o recíproco) deab

es-1a

b

=ba

, con a y b 0

EJEMPLOS

1.12 5

·15 6

=

A)23

B)7275

C)7572

D)32

E)18030

2. -4 16

: -7 49

=

A) -74

B) -47

C)47

D) 1

E)74

ab

·cd

=acbd

ab

:cd

=ab

·dc

=adbc

, c 0

6

3. La tercera parte del doble de5 5

: · 84 12

es igual a la cuarta parte de

A) 1

B)169

C) 16D) 32E) 64

4. Si p = q rr q

, con q = 213

y r = 112

, entonces el valor de (p – 1)3 es

A) -8B) -6C) 0D) 6E) 8

5. El opuesto del inverso multiplicativo de8 1 1 1 5 1

· : ·7 3 4 5 7 3

es igual a

A) -2

B) -12

C)12

D) 1E) 2

6. Si x = 0,04, y = 0,0002 y z = 0,000016, el valor de zxy

es

A) 0,002B) 0,02C) 0,2D) 2E) 20

7

RELACIÓN DE ORDEN EN

OBSERVACIONES

Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientesprocedimientos:

Igualar numeradores. Igualar denominadores. Convertir a número decimal.

Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

EJEMPLOS

1. El orden creciente de los números x =154

, y =159

y z =157

es

A) x, z, yB) x, y, zC) z, x, yD) y, z, xE) y, x, z

2. El orden decreciente de los números a = 216

, b = 313

y c =56

es

A) c, a ,bB) b, a ,cC) b, c ,aD) c, b ,aE) a, c ,b

Seanab

,cd

y b, d Z+. Entonces:ab

cd

ad bc

8

3. El orden decreciente de los números p =56

, q =89

y r =1011

es

A) p, q , rB) q, r , pC) r, q , pD) p, r ,qE) r, p, q

4. ¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor?

A)23

B)34

C)45

D)56

E)67

5. Si x es un número racional mayor que 3, ¿cuál es la relación de orden correcta entre

las fracciones p =4

x 3, q =

4x

y r =4

x + 3?

A) r < q < pB) p < q < rC) r < p < qD) q < r < pE) q < p < r

6. El orden de los números mixtos r = 243

, s = 287

, y t= 276

, de menor a mayor es

A) r, s, tB) t, s, rC) r, t, sD) t, r, sE) s, t, r

7. Sean las fracciones: a =58

, b =23

y c =75

, entonces se cumple que

A) c > b > aB) b > a > cC) c > a > bD) a > b > cE) b > c > a

9

NÚMEROS DECIMALES

Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene undesarrollo decimal, el cual puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN

DECIMAL FINITO : Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el númerodecimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimalestenga dicho número.

DECIMAL INFINITO PERIÓDICO : Se escribe en el numerador la diferencia entre elnúmero decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas lascifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueve como cifras tenga elperíodo.

DECIMAL INFINITO SEMIPERIÓDICO : Se escribe en el numerador la diferencia entre elnúmero completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras queanteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueve como cifras tenga elperíodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga el ante período.

EJEMPLOS

1. El desarrollo decimal de la fracción5

400es

A) 0,00125B) 0,0125C) 0,125D) 1,25E) 80

2. El desarrollo decimal de la fracción9034

es

A) 0,307

B) 0,307C) 0,37D) 0,37

E) 0,370

10

3. La fracción equivalente a 0,275 es

A)950

B)1150

C)940

D)935

E)1140

4. La fracción equivalente a 1,02 es

A)4650

B)101100

C)5150

D)4645

E)10190

5. (0,6 )2 =

A) 0,3B) 0,36

C) 0,36

D) 0,4

E) 2,7

6. Las fracciones equivalentes a los números 2,1 y 0,13 son respectivamente

A)21 13

y9 90

B)19 13

y9 90

C)20 13

y9 90

D)19 12

y9 90

E)21 13

y10 100

11

OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES

Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números

decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras , las comas bajo las comas, la

parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.

Multiplicación de números decimales : Para multiplicar dos o más números decimales,

se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de

derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en

conjunto.

División de números decimales : Para dividir números decimales, se puede

transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia

en base 10

EJEMPLOS

1. El valor de (0,14 – 0,4) · 3 =

A) -1,08B) -1,02C) -0,78D) 0,78E) 1,02

2. 0,30 · 0,02 · 1,4 es igual a

A) 0,000084B) 0,00084C) 0,0084D) 0,084E) 0,84

12

3. 1,6 : 2 – 0,04 · 2 =

A) -0,78B) -0,72C) 0,72D) 0,78E) 1,52

4. El valor de 0,03 · 0,60,02

es igual a

A) 0,0009B) 0,009C) 0,09D) 0,9E) 9

5. Si al doble de 5,4 se le resta la mitad de 4,5 se obtiene

A) -8,65B) -8,55C) 8,55D) 8,65E) 46,35

6. La expresión 4,2 : 6 + 0,65 · 21,4 · 2 1,9

=

A)920

B)1820

C)2018

D)1810

E)209

13

APROXIMACIONES

Frecuentemente conviene redondear o truncar un número, dejando una aproximación

con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente.

REDONDEO

Para redondear un número decimal finito o infinito se agrega 1 al último dígito que se

conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dígitos eliminados es mayor o igual a

5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el último dígito que se conserva se

mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto , como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al

redondear a la centésima los números 7,148 y 4,2135 se obtiene 7,15 y 4,21

respectivamente.

TRUNCAMIENTO

Para truncar un número decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la derecha

de la última cifra a considerar. De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las

centésimas el número 4,8267 resulta 4,82.

ESTIMACIONES

Realizar un cálculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas por

redondeo a las dadas, reemplazando dígitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad

de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra). Por lo tanto

estimar con una cifra significativa el número 1.999 se obtendrá 2.000.

EJEMPLOS

1. Al redondear a la décima el número 3,8654, resulta

A) 3,86B) 3,867C) 3,87D) 3,9E) 4

14

2. Al truncar a la centésima el número 5,4875, resulta

A) 5,4B) 5,48C) 5,488D) 5,49E) 5,5

3. Al redondear a la centésima el número 4,5712, resulta

A) 4,57B) 4,571C) 4,58D) 4,6E) 5

4. Al truncar a la milésima el número el número 16,56 , resulta

A) 16,5B) 16,565C) 16,566D) 16,57E) 16,6

5. En relación al número837

, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Redondeado a la centésima es 11,86.II) Truncado a la milésima es 11,857.

III) Redondeado a la unidad es 11,8.


15

EJERCICIOS

1.3 1 1

+4 8 2

=

A) -32

B) -12

C)18

D)98

E)118

2.4 5 2 1

· -3 6 5 5

=

A) -15

B)320

C)930

D)56

E)1312

3.3

31

33

=

A) -153

B) -32

C)32

D)158

E)218

16

4. El inverso aditivo de12

sumado con el recíproco de -2 es igual a

A) -52

B) -32

C) -1D) 0

E)23

5. Si al doble de 3,4 se le resta el triple de 4,3 resulta

A) -6,1B) -5,51C) 5,51D) 6,1E) 19,7

6.

3 14 43 65 9

=

A) -813

B) -21

C)21

D)87

E)313

7. Si a 600 se le restan los20100

de su mitad, entonces el resultado es

A) 299,9B) 500C) 540D) 560E) 599,99

17

8. 1-1

-1 +1

113

=

A) -2

B) -12

C)12

D) 1E) 2

9. ¿Cuál es el triple de la mitad de los23

de 1,2?

A)215

B)815

C)65

D)103

E)245

10. A las 7ºº A.M. se vendió la mitad de los pasajes, a las 715 se vendió la mitad de lo quequeda y a las 730 se vende un tercio del resto, quedando 5 pasajes por vender. ¿Cuáles la cantidad total de pasajes vendidos?

A) 5B) 25C) 30D) 45E) 55

11. Si los1220

de una cantidad corresponden a 240.000, ¿cuál es la cuarta parte de la

cantidad?

A) 36.000B) 40.000C) 100.000D) 144.000E) 400.000

18

12. Si el precio de un artículo que es $ 300.000 se aumenta en sus dos tercios y el nuevoprecio se disminuye en su quinta parte, entonces el precio final es

A) $ 20.000B) $ 40.000C) $ 100.000D) $ 400.000E) $ 500.000

13. Dados los racionales x =59

, y =1199

y z =411

, entonces se cumple que

A) y > z > xB) x > z > yC) x > y > zD) z > y < xE) y > x > z

14. Alicia comparte sus dos barras de chocolate iguales con sus dos amigas Francisca y

Claudia. A Francisca le da89

de una barra y a Claudia79

de la otra barra, quedándose

Alicia con el resto del chocolate. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son)falsa(s)?

I) Alicia se quedó con13

de la cantidad de chocolate que tenía.

II) Entre Alicia y Claudia recibieron más chocolate que Francisca.III) Quién recibió más chocolate fue Francisca recibió más chocolate que sus

amigas.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo II y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas.

15. -0,3 · [(0,3 + 0,3) · -0,3 + 0,3] =

A) -0,18B) -0,036C) 0D) 0,36E) 0,084

19

16. 0,002 + 0,1 + 0,030,1 + 0,01

=

A) 0,012B) 0,102C) 1,02D) 1,2E) 12,0

17. Los atletas Pedro, Javier y Diego demoran en llegar a la meta en promedio 9,07, 9,15y 9,09 segundos, respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) Pedro llegó dos centésimas antes que Diego.II) Javier llegó seis centésimas después que Diego.

III) El que primero llegó fue Pedro.

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

18. ¿Cuánto se obtiene si el producto (0,002 · 0,08) se divide por el producto(0,4 · 0,0002)?

A) 0,002B) 0,02C) 0,2D) 2E) 20

19. Una herencia de $ 7.200.000 será repartida entre los 6 hijos de un matrimonio enpartes iguales. Si uno de estos hijos a su vez repartirá su parte entre sus 5 hijos demanera equitativa, ¿cuánto recibirán 3 de estos nietos del matrimonio?

A) $ 240.000B) $ 480.000C) $ 600.000D) $ 720.000E) $ 1.200.000

20

20. Un bidón está con jugo hasta la tercera parte de su capacidad. Si se saca 4 litros,entonces queda sólo hasta la quinta parte de su capacidad, ¿cuál es la capacidad delbidón?

A) 5,625 litrosB) 8,571 litrosC) 16,5 litrosD) 23,8 litrosE) 30,00 litros

21. Don José vende53

de su fundo, posteriormente vende43

del resto al mismo precio el

metro cuadrado. Si por la venta total le recaudó $ 4.500.000, ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Vendió910

del fundo.

II) De vender lo que le queda, recaudaría un total de $ 49.500.III) El ingreso de la primera venta es el doble de la segunda.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

22. María, Ana y Elena inician una empresa, aportando María y Ana,35

y18

del capital

inicial, respectivamente, y Elena el resto. ¿Cuál es el decimal que representa la fracciónque aportó Elena?

A) 0,125B) 0,275C) 0,600D) 0,725E) 0,835

21

23. Se desea pintar una pandereta de 62 metros de largo por 1,9 metros de alto. Si el tarrode pintura tiene un valor de $ 7.100 y rinde 4,1 m2, agregando la mano de obra delmaestro que cobró $ 1.970 el metro cuadrado, ¿cuál sería, estimativamente, el costototal de este trabajo?

A) $ 210.000B) $ 240.000C) $ 330.000D) $ 436.000E) $ 450.000

24. En la vitrina de una panadería hay: “chilenitos, pan de huevo y empolvados”. Si25

de

la mitad son chilenitos, 24 son panes de huevo y éstos representan23

del total de los

empolvados, ¿cuántos dulces hay en total en la vitrina?

A) 25B) 36C) 50D) 75E) 108

25. Un tambor tiene capacidad para 90 litros y está lleno de agua. Se saca un sexto delcontenido, luego se restituye 3 litros; se vuelve a sacar un sexto del contenido y serepone 5 litros. Si por última vez se sacan un quinto del contenido, ¿cuál es la cantidadde agua que queda en el tambor?

A) 5 litrosB) 48 litrosC) 56 litrosD) 64 litrosE) 84 litros

26. La expresión rp · q

, con p, q y r números enteros, p y q 0 es positiva si :

(1) rp

> 0 y q > 0

(2) p · q < 0 y r no positivo.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

22

27. Se puede determinar el numerador de cierta fracción si :

(1) El valor de la fracción es 0,8.

(2) El denominador de la fracción es 15.


28. Los alumnos de un curso debían ver una película y luego analizarla, para ello teníanque elegir entre: Violeta se fue a los cielos, El planeta de los simios y Harry Potter 7. Si15

del curso eligió Violeta se fue a los cielos, se puede determinar el número de

alumnos que eligieron el planeta de los simios si se sabe que :

(1) El curso tiene 40 alumnos.

(2)45

del curso no eligió Violeta se fue a los cielos.


29. Se puede determinar la fracción de suero por minuto, que se le suministra a unpaciente desde una bolsa de 1.000 ml si :

(1) La mitad de la cuarta parte de la bolsa de suero se consume en 10 minutos.

(2) La bolsa de suero se consume en una 1 hora 20 minutos.


23

30. Si c ≠ de 0, se puede determinar el valor numérico decba

si :

(1)ca

= 5 y b=52

(2) ab es el doble de c


24

RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG.15

1. D 11. C 21. C

2. D 12. D 22. B

3. D 13. B 23. E

4. C 14. A 24. D

5. A 15. B 25. C

6. D 16. D 26. A

7. C 17. E 27. C

8. A 18. D 28. E

9. C 19. D 29. D

10. B 20. E 30. D

DMDOMA03

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 C E D C B

3 y 4 D E C E C B

5 y 6 A E E A E D

7 y 8 D B C E A C A

9 y 10 B C E D D D

11 y 12 C C C D C E

13 y 14 D B A B C

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