pdv: matemática guía n°14 [4°medio] (2012)

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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 11

UNIDAD: GEOMETRÍA

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN

Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices,de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.

EJEMPLOS

1. Los triángulos ABC y DEF de la figura 1, son isósceles congruentes de base AB y DE ,respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias es (son) verdadera(s)?

I) CBA FDEII) BCA FDEIII) BAC EFD

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

2. Los triángulos ABC y PQR de la figura 2, son escalenos. Si ABC PQR, entonces ¿cuálde las siguientes proposiciones es falsa?

A) PQAB

B) RQAC

C) QRBC

D) ∡ACB ∡PRQ

E) ∡ABC ∡PQR

A

BC

E F

D

fig. 1

A

R

P Q

C

B

AB PQ

AC PR

CB RQ

∡A ∡P

∡B ∡Q∡C ∡R

ABC PQR

A B

C

P Q

R

fig. 2

C u r s o : Matemática

Material N° 14

2

3. Los triángulos ABC y FED de la figura 3, son escalenos. Si ABC FED, entonces ¿cuál es elvalor de x?

A) 7B) 9C) 12D) 15E) Ninguna de las anteriores

4. Si en la figura 4, se cumple que MNO PQR, entonces ¿cuál de las siguientes opcioneses verdadera?

A) MN PR

B) ON RP

C) ∡MON ∡QPR

D) ∡NMO ∡QPR

E) ∡NOM ∡RPQ

5. Dados los siguientes triángulos, ¿cuáles son congruentes?

I) II) III)

A) Sólo I con IIB) Sólo I con IIIC) Sólo II con IIID) Todos ellos.E) Ninguno de ellos.

6. Si los polígonos ABCD y EFGH de la figura 5 son congruentes en ese orden, ¿cuál de lassiguientes alternativas es falsa?

A) AB EF

B) ∡DAB ∡HEF

C) DC GH

D) ∡ADC ∡GFE

E) AD EH

80º

10 cm70º

G

E

F

B

C

D

A H

fig. 5

80º

10 cm 70º80º

10 cm70º

fig. 3

C

A B

9

12

D

F

E

12

x

M N

O

Q P

R

fig. 4

3

a b

c

a80º 80º

60º

fig. 1

40º60º 40ºE

F

B D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

b<c

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes parejas de triángulos es (son) siempre congruentes?

I) II) III)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

2. Los triángulos escalenos de la figura 1, son congruentes por el criterio

A) ALAB) LALC) LLLD) LLA>E) AAA

ALA: Dos triángulos son congruentes si tienenrespectivamente iguales un lado y los dos ángulosadyacentes a ese lado.

LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienendos lados y el ángulo comprendido entre ellosrespectivamente iguales.

LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus treslados respectivamente iguales.

LLA>: Dos triángulos son congruentes cuando tienedos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos ladosrespectivamente iguales.

c

C

BA

c

C’

B’A’

C

BA c

b a

c

C’

B’A’

b a

C

BA c c

C’

B’A’

b b

c

C’

B’A’

C

BA c

bb

C

A

4

3. En la figura 2, AB AD y ∡CAD ∡CAB. ¿Qué criterio permite demostrar que elABC ADC?

A) LLLB) LALC) ALAD) LLA>E) Falta información

4. Si en la figura 3, el FAR EAR, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) RA es bisectriz del ∡FREII) FBA EBA

III) EAR es isósceles


5. En la figura 4, los triángulos QNP y NQM son isósceles y rectángulos en P y en M,respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) MT + PQ = QM + QT

II) PM QN

III) ∡QPM = ∡PMN

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

M

P

Q NT

fig. 4

fig. 3

F

A

B E

R

D

CA

B fig. 2

5

ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO

ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o laprolongación de éste.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, el ABC es escaleno, CD es altura, entonces, ¿cuál de de las siguientesalternativas es siempre verdadera?

A) – = 30°B) + = 90°C) + < 90°D) – > 0°E) + > 90°

2. En el triángulo ABC de la figura 2, H es el ortocentro. El ángulo ABC mide 35°, entoncesel ángulo EHC mide

A) 125°B) 90°C) 55°D) 45°E) 35°

A B

C

EF

D

Hfig. 2

C

A B

H

H = ORTOCENTRO (puntode intersección de lasalturas o susprolongaciones)

FE

D

ha hc

hb

A D B

C

fig. 1

6


BISECTRIZ: Es el rayo que divide un ángulo en dos ángulos congruentes.

Observación: El incentro equidista de los lados del triángulo ID IE IF

EJEMPLOS

1. En la figura 1, el ABC es escaleno, BD es bisectriz, entonces, ¿cuál es la medida delángulo ?

A) 5°B) 10°C) 15°D) 20°E) 25°

2. Si en un triángulo rectángulo escaleno se traza la bisectriz del menor de los ángulosinteriores, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones con respecto a algunos delos triángulos que se forman es (son) verdadera(s)?

I) Se forma un triángulo acutánguloII) Se forma un triángulo obtusángulo

III) Se forma un triángulo rectángulo

A) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II, III

I = INCENTRO (punto deintersección de las bisectrices)

A B

C

I

FE

D

A B

C

D

fig. 1

80°

95°

7

G = CENTRO DE GRAVEDAD(punto de intersección de lastransversales de gravedad)

A D

F

B

C

GE


TRANSVERSAL DE GRAVEDAD: Es el trazo que une el vértice con el punto medio del ladoopuesto.

OBSERVACIÓN: Si ABC es rectángulo en C, entonces DBADCD .

EJEMPLOS

1. En el triángulo de la figura 1, CE es transversal de gravedad y 2 CE = AB entonces lamedida del ángulo ACB es

A) 40°B) 45°C) 55°D) 90°E) 95°

2. En el triángulo ABC de la figura 2, el segmento CD es transversal de gravedad, entonces

A) DCAD

B) DCDB

C) DBAD D) ∡CDB = 90°E) ADC es equilátero

A

fig. 2

B

C

D

A B

C

E

fig. 1

95°

8


SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado deltriángulo.

OBSERVACIÓN: El circuncentro equidista de los vértices del triángulo: AO OC OB

EJEMPLOS

1. En el ABC de la figura 1, EF es simetral del segmento AB . Si el ángulo ABC mide 35°,¿cuánto mide el ángulo EFC?

A) 35°B) 45°C) 55°D) 90°E) 125°

2. El triángulo ABC de la figura 2, O es el circuncentro. Si EBAE EF , entonces el ánguloABC mide

A) 30°B) 40°C) 45°D) 50°E) 55°

O = CIRCUNCENTRO(punto de intersecciónde las simetrales)

A B

C

O

A B

C

E

F fig. 1

A B

C

D

E G

fig. 2

O

F

9


MEDIANA: Es el segmento que une los puntos medios de cada lado del triángulo.

OBSERVACIONES:

EJEMPLOS

1. En el triángulo PQR de la figura 1, ∡PRQ = 30°, ∡PQR = 40° y MN es mediana. ¿Cuántomide el ángulo PMN?

A) 30°B) 35°C) 40°D) 65°E) 70°

2. En el triángulo ABC de la figura 2, los puntos M, N, O son punto medios de los ladosrespectivos. Entonces, + =

A) 30°B) 60°C) 70°D) 90°E) 150°

ADF DBE FEC EFD

P Q

R

M N

fig. 1

FE // AB y AB = 2 FE

FD // BC y BC = 2 FD

DE // AC y AC = 2 DE

A D B

F E

C

30°

A B

C

N

O

M

fig. 2

10

CD = hc = tc = b = sc

AC = BC

AB BC

ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO

En todo triángulo isósceles no equilátero coinciden los elementos secundarioscorrespondientes al lado distinto.

En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes acualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, ABC es isósceles de base AB . Si D es punto medio del trazo AB ,entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ∡ACD ∡BCDII) ADC BDC

III) ∡ADC = 90°

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

A

BD

C

A D B

F E

C

G30°

30°

30°30°

30°

30°

A B

C

fig. 1

D

11

2. El triángulo ABC de la figura 2, es isósceles de base AB . Si CD AB , entonces ¿cuál(es)de los siguientes pares de triángulos son congruentes?

I) ADE con BDEII) AEC con BEC

III) ADC con BDC


3. El ABC de la figura 3, es isósceles de base AB . Si CEDC y BEAD , se puede afirmarque ADC BEC por el (los) criterio(s)

I) LLLII) LAL

III) ALA

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) I, II y III

4. El ABC de la figura 4, es isósceles de base BC . Si BD y CE son bisectrices de losángulos basales, ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) CE BDB) PBC es isóscelesC) EBC DCBD) E y D son puntos medios de AB y AC

E) DC EB

5. En la figura 5, DB es perpendicular a AC y ∡ADB ∡CDB. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ABD CBDII) ADB es escaleno.

III) B es punto medio de AC .

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

fig. 2

A D B

E

C

A D E B

C

fig. 3

A

B

E

D

P

fig. 4

C

B

A

C

D

fig. 5

12

EJERCICIOS

1. En la figura 1, ABC isósceles y rectángulo en C. Si AB CD , ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ABC CBDII) ABC ACD

III) ADC BDC

A) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

2. En el ABC, isósceles de base AB de la figura 2, BD es bisectriz del ∡ABC. Si

∡CAB = 70º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 40ºB) 60ºC) 75ºD) 90ºE) 105º

3. En el triángulo PQR de la figura 3, SQSP y QRS isósceles de base QR . ¿Cuál es la

medida del ∡x?

A) 30ºB) 45ºC) 65ºD) 75ºE) 85º

4. En el triángulo ABC de la figura 4, AB = AC . ¿Cuál de las siguientes igualdades esverdadera?

A) = 180º + 2B) = 180° – 2C) = 90° – D) = 90° – 2E) = 2

A B

C

D x

fig. 2

BA

C

fig. 4

A

C

D

fig. 1

B

xP Q

R

S

15º fig. 3

13

5. En la figura 5, L1, L2, L3 y L4 son rectas. Si L3 // L4, entonces + =

A) 180°B) 180° – x°C) 360° – x°D) 360° – 2x°E) 360° – 3x°

6. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 6, CD es altura. ¿Cuál es la medida delángulo x?

A) 100ºB) 105ºC) 115ºD) 125ºE) 135º

7. Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, entonces se forman2 triángulos

A) isósceles rectángulos congruentes.B) acutángulos escalenos congruentes.C) acutángulos congruentes.D) escalenos rectángulos congruentes.E) equiláteros congruentes.

8. En el rectángulo AETD de la figura 7, ABCD es un cuadrado. Si CF CT , ¿cuál(es) delas afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) FGC FHBII) DFT AFE

III) BETC cuadrado.


C E

B

D

x

fig. 6

A

35º

45º

fig. 5

x

L1 L2

L3

L4

fig. 7

A B E

D C T

FG

H

14

fig. 8

D C

E

A B

9. En la figura 8, AC BD y AD BC . ¿Cuál de los siguientes postulados permiteafirmar que DCA CDB?

A) LLLB) LALC) ALAD) LLA>E) AAA

10. En la figura 9, los triángulos BUT y AND son congruentes en ese orden. Si BU // AN ,

entonces el ∡GFN mide

A) 144ºB) 140ºC) 76ºD) 68ºE) 36º

11. En la figura 10, los segmentos AE y BD se intersectan en C, BC CD y AC EC .Si el segmento GF pasa por el punto C, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son)siempre verdadera(s)?

I) GC FC

II) ∡BAC ∡DECIII) GC AB y CF DE

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

12. En la figura 11, PTR y SVQ son congruentes en ese orden. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) TR // VQ

II) PR // SQ

III) PT SV

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

fig. 11

Q

S

V

P

TR

G

A

B E

D

FC

fig. 10

68ºfig. 9

B

U

T

A

N

D

F

G76º

15

13. El PQR de la figura 12, es rectángulo en P y ED es simetral del lado QR . Si ∡QRP = 70º,¿cuál es la medida del EDP?

A) 70ºB) 50ºC) 30ºD) 20ºE) 10º

14. En la figura 13, ABC es isósceles de base AB y ABD es equilátero. ¿Cuál(es) de lassiguientes igualdades permite(n) determinar que el ángulo ACB mide el doble que elángulo DAC?

I) ∡DBC = 15°

II) ∡BAC = 75°

III) ∡BAD = 4∡CAD

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

15. En la figura 14, MRN DFE. Si MN NR , ¿cuánto mide el ángulo exterior HEF?

A) 56ºB) 64ºC) 112ºD) 118ºE) 124º

16. Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura 15 son congruentes, esnecesario saber que

A) AB DC

B) ∡BAO ∡DCOC) AB // CD

D) AO DO y AB DC

E) BO CO y AO DO

62º

N

M

R

fig. 14

F

H E D

Q

P

D R

E fig. 12

B

O

A

D

C

fig. 15

A

C

B

D

fig. 13

16

17. En la figura 16, ABC equilátero y AF BD CE. El criterio que permite demostrar que lostriángulos AFE, CED y BDF son congruentes es

A) ALAB) LALC) LLLD) LLA>E) AAA

18. En el cuadrilátero PQRS de la figura 17, PS = QS = RS , PQ = QR y ∡SQR =2∡QSR.

Entonces, ∡SPQ=

A) 144°B) 108°C) 90°D) 72°E) 36°

19. El ABC de la figura 18, es isósceles de base AB . Si AE y BF son bisectrices de los

∡CAB y ∡CBA, respectivamente y CD es altura, entonces es falso afirmar que

A) DPA DPBB) EBA FABC) DCA DCBD) BFC BFAE) CF CE

20. El ABC de la figura 19 es rectángulo en C. Si se traza la altura CD y la transversal de

gravedad CE , entonces el ∡DCE mide

A) 10ºB) 20ºC) 40ºD) 50ºE) no se puede determinar.

S

R

P Q

fig. 17fig. 12

C

E

D

F BA

fig. 16

P

B

E

C

F

A D

fig. 18fig. 12

BEDA

Cfig. 19fig. 12

55º

17

21. Los triángulos ABC y ABD de la figura 20, son congruentes en ese orden y se encuentranen distintos planos. Si E es un punto del lado común AB , entonces siempre se cumpleque:

I) ∡CAB ∡CADII) AE EB

III) CED es isósceles.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

22. En el triángulo ABC de la figura 21, AC es perpendicular a BC , ∡BAC = 2∡ABC y

∡ACD ∡BCD. ¿Cuánto mide el ángulo CDB?

A) 95ºB) 105ºC) 115ºD) 120ºE) 125º

23. En la figura 22, el MNP es isósceles de base MP, NQ es bisectriz del ∡MNP y MP MR .

Si ∡MPN = 4∡PNM, ¿cuánto mide el ∡MSQ?

A) 70ºB) 55ºC) 50ºD) 40ºE) 30º

24. En la figura 23, ED perpendicular a AB , BC perpendicular a CE . ¿Cuál es la medida delángulo si, =120º?

A) 20ºB) 30ºC) 45ºD) 60ºE) ninguna de las anteriores.

A E B

D

Cfig. 20fig. 12

BDA

Cfig. 21fig. 12

RQ

N

S

M

Pfig. 22fig. 12

A D B

C

E

fig. 23fig. 12

18

25. En la figura 24, se puede determinar cuánto mide el ∡x si :

(1) ABC es equilátero.

(2) ABD es isósceles y rectángulo en B.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por si sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

26. En la figura 25, se puede determinar que los triángulos ABD y BCD son congruentes si :

(1) AB = BC = CD = DA

(2) ∡BCD=60º

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

27. En la figura 26, CD // AB . Se puede determinar que el triángulo ABC es congruente conel triángulo DCB si :

(1) =

(2) AB CD

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

28. En la figura 27, se puede determinar cuánto mide el ángulo si :

(1) ABC es rectángulo en C.

(2) CD es altura del triángulo ABC.


x

BA

C

D

fig. 24fig. 12

A

fig. 25fig. 12

B

CD

fig. 26fig. 12

A B

DC

A BD

C

fig. 27fig. 12

19

29. En la figura 28, se puede determinar que el triángulo ABC es rectángulo si :

(1) + = 270°(2) = 120º


30. En la figura 29, se puede determinar que el triángulo PQR es isósceles si :

(1) + = 270°(2) PS QS


A B

C

fig. 28fig. 12

R

P Q

fig. 29fig. 12

S

20

RESPUESTAS

DMDMA14

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra webhttp://www.pedrodevaldivia.cl/

EjemploPágs.

1 2 3 4 5 6

1 y 2 A B B D A D

3 y 4 C A B D E

5 B E

6 C D

7 D C

8 E C

9 E E

10 Y 11 E E E D C

1. A 11. C 21. C

2. E 12. E 22. B

3. D 13. B 23. A

4. B 14. E 24. D

5. B 15. E 25. C

6. A 16. E 26. A

7. D 17. B 27. D

8. D 18. D 28. E

9. A 19. D 29. A

10. A 20. B 30. E

EJERCICIOS PÁGINA. 12

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