pdv: matemática guía n°17 [4°medio] (2012)

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13

UNIDAD: GEOMETRÍA

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS

DEFINICIONES

CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O y una distancia r,se llama circunferencia de centro O yradio r al conjunto de todos los puntosdel plano que están a la distancia r delpunto O.

RADIO: Trazo cuyos extremos son el centro dela circunferencia y un punto de ésta(OA ).

CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos puntosde una circunferencia (DE).

DIÁMETRO: Cuerda que contiene al centro de lacircunferencia, mide 2 radios, es decird = 2r en la figura, (BC ).

SECANTE: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)

TANGENTE: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (TM). T punto detangencia.

ARCO: Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos

de ella, por ejemplo arco CE (CE ).

ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia(EOD).

Observación:El triángulo formado por dos radios y una cuerda tiene por lo menos dos lados iguales

r

O1

0: Centror: RadioC(O,r) = (O,r)

cuerda

diámetro

secante

tangente

radio

arco

CA

QM

P

B

D E

T

O

E

DO

r

r

C u r s o : Matemática

Material N° 17

2

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera?

A) Una cuerda y una secante forman un ángulo del centro.B) El radio de una circunferencia mide el doble del diámetro.C) La mayor secante es el diámetro.D) Por tres puntos en el plano siempre pasa una circunferencia.E) Dos cuerdas son congruentes si los arcos que subtienden son congruentes.

2. Dos circunferencias son concéntricas si

A) sus diámetros son congruentes.B) la misma secante contiene a los centros de ambas circunferencias.C) tienen el mismo centro.D) sus radios son congruentes.E) comparten una tangente.

3. En la circunferencia de centro O de figura 1, AC y BD son diámetros. Si AO = 2x + 4 y2BO = 6x - 8, entonces AC =

A) 6B) 8C) 16D) 28E) 40

4. En la circunferencia de centro O de la figura 2, AB es diámetro. ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) = II) = +

III) 180 - = +

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

DA

O

fig. 1

CB

C

O fig. 2A B

3

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO

En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centroque subtiende dicho arco.

ÁNGULO INSCRITO: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de lacircunferencia y parte de sus rayos son cuerdasde ésta (FHG).

TEOREMA

Todos los ángulos inscritos en unacircunferencia que subtienden un mismoarco tienen igual medida.

TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centroque subtiende el mismo arco.

EJEMPLOS

1. En la circunferencia de centro O de la figura 1, ¿cuánto mide ?

A) 37,50ºB) 43,75ºC) 75,00ºD) 77,50ºE) 207,50º

DE = EOD =

G

H

F

O centro de lacircunferencia

E

DO

O: centro de la circunferencia

O

C

A B

O

A B

D

O

A B

E =

12

x + 40º

2x

fig. 15x + 20°

O

=

4

2. En la circunferencia de centro O de la figura 2, 3 - = 60º. Entonces, la medida de es

A) 12ºB) 30ºC) 60ºD) 75ºE) 90º

3. Si en la circunferencia de la figura 3, 2 + + 3 = 120°, entonces la medida de es

A) 15ºB) 20ºC) 24ºD) 40ºE) 60º

4. En la circunferencia de centro O de la figura 4, el ABC mide 80º, luego la medida de es

A) 10ºB) 15°C) 20ºD) 70ºE) 80º

5. En la circunferencia de centro O de la figura 5, AC es diámetro y el ABD está inscritoen la circunferencia. Entonces la medida del x es

A) 20ºB) 30°C) 35ºD) 55ºE) 70º

Ofig. 2

A

BC

fig. 4

O

125°

x

O110°

A

B

CD

fig. 5

fig. 3

P Q

5

TEOREMA

Dos cuerdas paralelas en una circunferencia,determinan entre ellas arcos iguales.

TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto (subtiende un arco de 180º).

TEOREMA

En todo cuadrilátero inscrito en unacircunferencia, los ángulos opuestos sonsuplementarios.

TEOREMA

La recta tangente a una circunferencia esperpendicular al radio en el punto detangencia.

EJEMPLOS

1. Si en la circunferencia de centro O de la figura 1, BC // ADy el CAD = 40º, entonces DA BC =

A) 160ºB) 200ºC) 280ºD) 300ºE) 320º

O

P

Qr

QP tangente en P QP OP

+ = 180º + = 180º

A

C

B

D

BCA = 90ºOA B

C

O: centro de la circunferencia

AB // CD AC DB

A

B

D

O

C

fig. 1

AD

BC

40°

6

2. En la figura 2, AC es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto mide el ángulox?

A) 20ºB) 30ºC) 40ºD) 50ºE) 60º

3. En la figura 3, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si = 2 y – = 50, entonces + =

A) 175°B) 145°C) 135°D) 125°E) 95°

4. En la figura 4, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuánto mide elQPT?

A) 10ºB) 20ºC) 40ºD) 50ºE) 80°

5. Si en la figura 5, TQ es diámetro, TQR = 20º. ¿Cuánto mide el RPQ?

A) 35ºB) 40ºC) 55ºD) 70ºE) Falta información.

D

P Q

RT

fig. 5

fig. 2

B

OA C

50º

x

fig. 3

C

B

A

fig. 4

T

P

O40º

Q

7

ANGULO SEMI - INSCRITO

Es aquel ángulo que tiene su vértice en la circunferencia, un lado es una secante (AB) y el otroes una tangente (CB)

La medida de todo ángulo semi - inscrito en una circunferencia es igual a:i) la mitad del arco comprendido entre sus lados

ii) la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco (arco AB)iii) al ángulo inscrito que subtiende el mismo arco

ANGULO INTERIOR DE LA CIRCUNFERENCIA

El ángulo interior de la circunferencia es aquel que se forma al cortarse interiormente doscuerdas, y su medida corresponde a la semisuma de los arcos que subtiende.

ANGULO EXTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA

El ángulo exterior, está formado por dos rectas secantes, o tangentes o una recta secante yuna tangente, que se intersectan en un punto exterior a la circunferencia, y su medidacorresponde a la semidiferencia de los arcos que subtiende.

EJEMPLOS

1. Si en la circunferencia de centro O de la figura 1, AD es tangente en A y DAB = 50°,entonces ¿cuánto mide ACB + OBA?

A) 50ºB) 70ºC) 90ºD) 100ºE) 110°

P

A

B

C

D

B

A

C

D

B

= BA + CD

2

= DC AB

2

=AB2 O

B

A

C

2

O

A

CB

fig. 150º

D

8

2. En la figura 2, AB = 100° y CD = 30°, entonces el valor de x es

A) 35ºB) 65ºC) 105ºD) 115ºE) 145º

3. En la circunferencia de la figura 3, DP y PA son secantes, DA = 150°, entonces el valor

de BC es

A) 55°B) 70°C) 95°D) 115°E) 120°

4. En la circunferencia de centro O de la figura 4, el valor de (4x – y) es

A) 70ºB) 100ºC) 120ºD) 140ºE) 200º

5. En la figura 5, CT es tangente y AB es diámetro, entonces la medida del x es

A) 48ºB) 52ºC) 68ºD) 96ºE) 104º

B

fig. 2A C

D

x

B

fig. 5B

AT

C

O x

52°

A

PC40°

B

D

fig. 3

20°80°

xy

S

Q

N

O

fig. 4P

M

9

EJERCICIOS

1. En la circunferencia de centro O de la figura 1, el ángulo ONM mide 48º. ¿Cuál es lamedida del ángulo LON?

A) 24ºB) 48ºC) 96ºD) 132ºE) 156º

2. En la circunferencia de centro O de la figura 2, BC =13DA . Si DOA mide 90º, ¿cuánto

mide BEA?

A) 60ºB) 90ºC) 100ºD) 120ºE) 130º

3. En la circunferencia de centro O de la figura 3, AB es diámetro y AO = CD . ¿Cuál(es) delas siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) AB // CD

II) AB = 2CDIII) OCD es equilátero.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

fig. 3

B

C D

AO

fig. 1

O

M

NL

fig. 2

A

B

C

D

EO

10

4. Si en la circunferencia de centro O de la figura 4, AC es diámetro, la medida del ángulo xes

A) 30ºB) 35ºC) 50ºD) 70ºE) 90º

5. En la circunferencia de centro O de la figura 5, AC es un diámetro y BD es una secante,entonces la medida de AOB – BDC es

A) 60ºB) 90ºC) 120ºD) 150E) 180°

6. En la figura 6, AB BC y O es el centro de la circunferencia. Si AD = EB , entonces lamedida del ángulo es

A) 10ºB) 20ºC) 40ºD) 60ºE) 80º

7. En la figura 7, CD es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el AOD = 40º,

AD y DB son congruentes, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)falsa(s)?

I) CAO = 20º

II) CBO = BOD

III) 2AOB = ACB

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

x

O

A

B C

fig. 4

70º

C

DA

B

O

fig. 5

150°

C

E

30º

fig. 6

AB

O

D

A

B

O C

fig. 7

D

11

8. En la circunferencia de la figura 8, PT es tangente en T. ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 65°B) 75°C) 100°D) 130°E) 150°

9. En la circunferencia de la figura 9, el DEC es

A) 10ºB) 20ºC) 40ºD) 60ºE) 120º

10. En la figura 10, los arcos AB, BC y CD son congruentes. Si el ángulo AFD mide 84º, lamedida del ángulo BEC es

A) 168ºB) 84ºC) 42ºD) 28ºE) 14º

11. En la figura 11, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Entonces, x =

A) 35ºB) 40ºC) 45ºD) 85ºE) Faltan datos.

F

A

B C

D

84ºx

E

fig. 10

TP

x40° fig. 8

25°

fig. 11

35º x

40º

A B

D C

60º

D

A C

E 60º

80º

fig. 9

12

12. Los puntos A, B y C pertenecen a la circunferencia de centro O de la figura 12. Entonces,el ángulo mide

A) 120ºB) 160ºC) 180ºD) 240ºE) 300º

13. Si en la figura 13, A, B, C y D son puntos que pertenecen a la circunferencia, BC

secante,DAB = 210°, entonces se cumple que

A) = 210 - B) = 180 - C) = 2D) = - 10E) = + 10

14. En la circunferencia de centro O de la figura 14, AD es diámetro, DE = 90º y L estangente en E. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) – = 25ºII) + = 90º

III) + = – + 50º


15. En la circunferencia de centro O de la figura 15, BD es diámetro, APB = 10º y

CBA = 10°. Entonces, la medida del AOB es

A) 40ºB) 60ºC) 90ºD) 120ºE) Falta información.

A

B

C

70º50º

fig. 12

O

CO

LD

E

AB

65º

fig. 14

A

B

C

D

fig. 13

85°

O

A

B

C

PD

fig. 15

13

16. Si en la circunferencia de la figura 16, L es tangente en P y QP : RQ : PR = 4 : 3 : 2,entonces la medida del ángulo x

A) 80ºB) 120ºC) 160ºD) 170ºE) Ninguna de las anteriores.

17. PA y PD secantes que intersectan a la circunferencia de centro O de la figura 17. SiDPA = 15° y DEA = 80°, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdaderas?

I) AOD = 80°

II) BC = 65°

III) ∡AEB = 80º


18. Si en la circunferencia de centro O de la figura 18, AB es un diámetro y el ABD = 37º,

entonces el BCD mide

A) 53°B) 74ºC) 84ºD) 90ºE) Faltan datos.

19. Si en la circunferencia de centro O de la figura 19, AC es el diámetro, FB AC ,FB = 80º y CE = 40º, entonces ¿cuánto mide el ángulo ACB?

A) 50ºB) 25ºC) 20ºD) 15ºE) Faltan datos.

C D

A BO

fig. 18

A C

D

B fig. 19

E

O

F

LP

Q

R

x

fig. 16

EB

P

O

fig. 17

C

A

DE

14

20. En la circunferencia de centro O de la figura 20, AB y CF son diámetros. ¿Cuál(es) delas siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) 2ODC = DOF

II) AE OE

III) AB DC

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

21. El ABC está inscrito en la circunferencia la figura 21, y A’, B’ y C’ son los puntos en quela circunferencia es cortada por las bisectrices de los ángulos , y . Entonces, elángulo mide

A) +

B) +2

C) 2( + )

D) +4

E)2( + )

3

22. En la circunferencia de centro O de la figura 22, AD y BE son diámetros. Si DE = BC yel = 72º, entonces la medida del es

A) 9ºB) 18ºC) 36ºD) 72ºE) 108º

B

AO

fig. 20

D

C

E

F

fig. 21

A B

C

A’B’

C’

OA

B

E

D

C

fig. 22

15

23. Si en la circunferencia de centro O de la figura 23, AD es diámetro, DOC = 40° y

AOB = 50°, entonces el BEC mide

A) 45ºB) 60ºC) 90ºD) 115ºE) 135°

24. En la figura 24, se dibuja el segmento AE tal que CAE = 50°. Si AOB = 60°, ¿cuánto

mide el ADB?

A) 60ºB) 70ºC) 80ºD) 90ºE) 110º

25. En la circunferencia de la figura 25, la medida del ángulo exterior AGC es

A) 120ºB) 100ºC) 80ºD) 40ºE) 20º

26. En la circunferencia de centro O de la figura 26, AC es diámetro. Se puede conocer elvalor de si :

(1) BOC = 2

(2) ABO =

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

A

B

C

D

GE

F

C

BA

Ofig. 26

O

AB

C

fig. 23

D

E

O

A

B

C fig. 24D

E

20º

60ºfig. 25

16

27. Siendo A, C y D puntos que pertenecen a la circunferencia de centro O de la figura 27, sepuede conocer el valor del ángulo DCO si :

(1) DBA = 40º

(2) COA = 100º y BA tangente en A.


28. En la circunferencia de centro O de la figura 28, AC y BD son diámetros. Se puede

conocer el valor del ángulo x si :

(1) CD = 120º(2) CDB + BAC = 60º


29. Si AB es diámetro de la circunferencia de centro O y L es tangente en C (fig. 29).La medida del CBA se puede determinar si :

(1) AB = 2 AC(2) ACL = 150º


30. En la figura 30, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Se puededeterminar la medida del CDA si :

(1) BCD = 120º

(2) DAB = 60º


fig. 28

A B

CD

xO

D

C

B

A

fig. 30

A

B

C

D

O

fig. 27

C

O

A

Bfig. 29

L

17

RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 9

DMDOMA17

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EjemplosPágs. 1 2 3 4 5

2 E C E D

3 Y 4 D C B A A

5 y 6 B C D A D

7 y 8 C D B B B

1. C 11. C 21. B

2. D 12. D 22. C

3. D 13. E 23. E

4. B 14. D 24. C

5. B 15. C 25. D

6. D 16. A 26. E

7. D 17. B 27. C

8. A 18. A 28. D

9. B 19. C 29. D

10. D 20. A 30. E

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