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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 5

UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN

Es una comparación entre dos cantidades mediante una división o formando el cuociente

entre ellas. Se escribe a : b oab

, se lee “a es a b”; donde a se denomina antecedente y b

consecuente.

El valor de la razón es el cuociente entre las cantidades:ab

= k Valor de la razón

EJEMPLOS

1. Un sitio rectangular cuyas dimensiones son 0,06 km de largo y 20 m de ancho, la razónentre el largo y el ancho, respectivamente

A) 3 : 1.000B) 3 : 100C) 3 : 10D) 3 : 1E) 3 : 0,1

2. Si el antecedente de la razón 3 : 4 se duplica y el consecuente aumenta en dosunidades, se obtiene la razón

A) 1 : 1B) 5 : 6C) 5 : 8D) 9 : 6E) 6 : 9

3. La escala de un plano es 1 : 1500. Un terreno representado en este plano tiene unlargo de 6 cm y de ancho 3 cm. Las medidas reales del largo y ancho, respectivamenteson

A) 45 m y 90 mB) 90 m y 45 mC) 250 m y 500 mD) 500 m y 250 mE) 9000 m y 45000 m

C u r s o : Matemática

Material N° 06

2

4. En un jardín infantil el valor de la razón entre niños y niñas es 3,5. Si el número deniños es 140, entonces, el número de niñas es

A) 80B) 40C) 30D) 20E) 10

5. Paula tiene 18 años y su hermana 6 años. ¿ En qué razón están las edades de Paula ysu hermana, respectivamente ?

A) 1 : 3B) 2 : 3C) 3 : 1D) 3 : 2E) 2 : 1

6. A una función de teatro asistieron 80 personas, 16 eran de la tercera edad, 24 eranadultos y el resto eran niños. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) Por cada 2 personas de la tercera edad asisten 3 adultosII) La razón entre niños y el total de asistentes a la función de teatro es 1 : 2.

III) La razón entre adultos y niños es 3 : 5.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3

PROPORCIÓN

Es una igualdad formada por dos razones:a c

=b d

o a : b = c : d y se lee

“a es a b como c es a d”, donde a y d son los extremos; b y c son los medios.

TEOREMA FUNDAMENTAL: “En toda proporción el producto de los extremos es igual alproducto de los medios”.

OBSERVACIÓN: Dada la proporcióna c =

b d, existe una constante k, tal que

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes parejas de razones conforman una proporción?

I)5 10

y4 8

II) 6 : 3 y 18 : 9

III)3,5 21

y2 8

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

a c= a d = b c

b d

a = c · k, b = d · k, k ≠ 0

4

2. El valor de x en la proporción0,25 1,5

=3 x

es

A)18

B)12

C) 6D) 8E) 18

3. El trazo AB de la figura 1, mide 90 cm y está dividido interiormente por un punto P enla razón 2 : 3. ¿Cuánto mide la mitad del segmento mayor?

A) 18 cmB) 27 cmC) 36 cmD) 45 cmE) 54 cm

4. La razón entre hombres y mujeres que asisten a una reunión es 4 : 3 respectivamente.Si las mujeres son 24, ¿ cuántos hombres asistieron a la reunión ?

A) 8B) 24C) 32D) 42E) 56

5. Las edades de dos personas están en la razón 4 : 6. Si el mayor tiene 36 años, ¿quéedad tiene el menor?

A) 18B) 24C) 36D) 54E) 72

6. Si la variable p es a la variable q como 3 : 4, ¿ cuál de las siguientes igualdades essiempre verdadera ?

A) p + q = 7B) p - q = 1C) p . q = 12D) 4p - 3q = 0E) 4p + 3q = 0

A BPfig. 1

5

SERIE DE RAZONES

Es la igualdad de más de dos razones. La serie de razonesx y z

= =a b c

, también se escribe

como x : y : z = a : b : c.

PROPIEDAD BÁSICA

Para la serie de razones:a c e a + c + e = = =

b d f b + d + f

EJEMPLOS

1. Si a : b = 2 : 3 y b : c = 6 : 7, entonces, a : b : c =

A) 2 : 6 : 7B) 4 : 6 : 7C) 6 : 9 : 21D) 4 : 3 : 7E) 6 : 18 : 21

2. Un premio es repartido entre tres amigas, las cantidades recibidas por cada una deellas son entre si como 3 : 4 : 7, respectivamente. Si el premio es de $ 420.000,entonces, la cantidad de dinero de la amiga que recibe menos es

A) $ 210.000B) $ 120.000C) $ 90.000D) $ 60.000E) $ 30.000

3. Si a b c2 3 4

y c = 36, entonces, a + b – c es igual a

A) 4B) 9C) 12D) 45E) 81

6

4. En el ABC de la figura 2, : : = 3 : 7 : 2. Si + + = 180º, entonces,2 – + 5 =

A) 105ºB) 135ºC) 180ºD) 220ºE) 315º

5. Los ángulos interiores de un cuadrilátero, cuya suma es 360º, son entre sí como3 : 4 : 5 : 6. Entonces, la suma del ángulo menor con el ángulo mayor es

A) 60ºB) 120ºC) 140D) 180ºE) 220º

6. En una nueva empresa cada uno de tres socios aportan al capital inicial en la razón de3 : 4 : 5. Después del primer mes deciden que las ganancias, que ascienden a la sumade $ 840.000, serán repartidas en la misma razón de sus aportes, ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?

I) La constante de proporcionalidad es 70.000II) El socio que menos aporto recibió $ 210.000

III) Entre los dos socios que más aportaron al capital inicial recibieron el 75 %de las ganancias.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I , II y III

A

B

C

fig. 2

7

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos variables x e y son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valorescorrespondientes es constante.

1 2 3 n

1 2 3 n

x x x x = = = ... = = k

y y y y(k constante)

Así por ejemplo, la tabla muestra la elaboración de jugo de manzana, de cada 15 kg demanzana se obtiene 9 litros de jugo.

Podemos observar que xy

=53

EJEMPLOS

1. P y Q son magnitudes directamente proporcionales. Respecto a la siguiente tabla

, a + b =

A) 5B) 16C) 64D) 69E) 128

En una proporción directa, si unamagnitud aumenta (disminuye) n veces,la otra aumenta (disminuye) el mismonúmero de veces

Dos magnitudes son directamenteproporcionales si al representar los paresde valores, los puntos se sitúan en unarecta que pasa por el origen (fig. 3)

Peso (kg) 5 10 15 x

Volumen (Lt) 3 6 9 y

P a 8 3

Q 40 b 24

5 10 15 kg. demanzanas

Litros de jugo

0

3

6

9

Aumenta

Aum

enta

fig. 3

8

2. Se sabe que 2a y 3b representan números directamente proporcionales. Cuandoa = 6, b vale 8, entonces, ¿cuál es el valor de 2b cuando a = 12?

A) 48B) 32C) 24D) 16E) 12

3. Según el gráfico de la figura 4, x e y son magnitudes directamente proporcionales.Entonces, ¿cuál es el valor de c + d?

A) 6B) 12C) 18D) 24E) 42

4. 250 gramos de cierto alimento aporta 0,5 calorías. ¿Cuántas calorías aporta 4,5 kg dealimento, similar al anterior?

A) 2,25B) 7,5C) 8D) 9E) 10

5. Si 3 p varía directamente con q y cuando p = 8, q vale 4, entonces, ¿cuál es el valor de

p cuando q = 6?

A)6427

B) 9C) 27D) 64E) 216

fig. 44

x

y

3 c

8

9

d

9

PROPORCIONALIDAD INVERSA Y COMPUESTA

Dos variables x e y son inversamente proporcionales cuando el producto entre lascantidades correspondientes se mantiene constante.

x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = … = xn · yn = k (k constante)

Así por ejemplo, la tabla de la figura 5 muestra las medidas posibles de los lados de unrectángulo de área 24 cm2.

Podemos observar que x · y = 24

El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hoja de una hipérbolaequilátera. (fig. 5)

La proporcionalidad compuesta es la combinación de proporcionalidades directas,inversas o ambas

EJEMPLOS

1. Las cantidades ubicadas en las columnas A y B en la tabla de la figura 6, soninversamente proporcionales. ¿Cuál es el valor de P – Q?

A) 1,5B) 3,0C) 4,5D) 7,5E) 30,0

2. Las variables x e y son inversamente proporcionales y cuando x vale 9, y vale 20.¿Cuál es el valor de y, cuando x vale 15?

A) 12B) 24C) 30D) 40E) 60

fig. 6

A B

5 6

P 4

10 Q

Largo 2 3 4 6 x

Ancho 12 8 6 4 yfig. 5

Largo

1

1 3 4 6 82

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Ancho

Aumenta

Dis

min

uy

e

10

3. El gráfico de la figura 7, representa una hipérbola. De acuerdo a la informaciónentregada, ¿cuál es el valor de D – 2C?

A) -6B) 0C) 6D) 12E) 24

4. Se envasa cierta cantidad de líquido en 12 bidones de 20 litros. Si el líquido seenvasara en bidones de 15 litros, ¿cuántos bidones más se necesitarían?

A) 32B) 16C) 12D) 4E) 3

5. En un taller se han fabricado 1.000 piezas, trabajando 8 horas diarias durante 6 días.¿Cuántos días son necesarios para fabricar 2.000 piezas trabajando 12 horas diarias?

A) 2B) 8C) 12D) 18E) 24

6. Diez obreros, trabajando 8 horas diarias, demoran 12 días en efectuar una cosecha.¿Cuántos obreros se necesitarán para ejecutar la misma cosecha en 4 días, trabajando6 horas diarias?

A) 12B) 15C) 20D) 24E) 40

fig. 7

2 C 8 x

4

3

D

y

11

EJERCICIOS

1. Una razón equivalente a3240

es

A)165

B)1610

C)108

D)810

E)8

16

2. Si6 8

=x 12

, entonces, 2x =

A) 81B) 18C) 12D) 9E) 6

3. ¿Cuál(es) de los siguientes pares de razones forman una proporción?

I) 15 : 36 y 20 : 12II) 21 : 9 y 35 : 15

III) 16 : 12 y 20 : 15

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

12

4. Si A : B = 5 : 3 y A + B = 16, entonces, A · B es igual a

A) 15B) 16C) 24D) 40E) 60

5. Si a : 7 = 5 : 17 ¿ Qué parte es a de 7 ?

A)517

B)1735

C)175

D)3517

E)8517

6. La razón entre el número de preguntas de una prueba y la cantidad de minutosasignados para responderla es 14 : 27. Si la prueba consta de 70 preguntas, ¿cuántosminutos son los asignados para responderla?

A) 27B) 36C) 41D) 82E) 135

7. Si a : b = 3 : 4 y b : c = 12 : 20, entonces, a : b : c =

A) 9 : 12 : 20B) 3 : 12 : 20C) 9 : 12 : 60D) 3 : 4 : 20E) 9 : 4 : 60

13

8. Six 3

=10 5

y21 y

=12 4

, entonces, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son)

verdadera(s)?

I) y = 2x – 5II) x – y = 1

III) x 12 =

y 14

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

9. Se sabe que a : b = 2 : 3 y que a : c = 4 : 5. ¿Cuál es el valor de b cuando c = 10?

A) 4B) 6C) 8D) 12E) 42

10. Sean A y B enteros positivos. Si el valor de la razónAB

es 0,6, entonces, ¿ cuál (es) de

las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) A + B es múltiplo de 8.II) 6A = 10B

III) A = 3k y B = 5k, siendo k una constante.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

14

11. Si x : y : z = 4 : 3 : 2 y (x + 2y) · z = 20, entonces, el valor de 2y es

A) 10B) 6C) 3D) 0,6E) 0,3

12. Si p, q y r son enteros positivos tales que p : q = 2 : 1 y q : r = 2 : 1, entonces,¿cuál(es) de las aseveraciones siguientes es (son) verdadera(s)?

I) p : r = 8 : 2II) q : 2r = 1 : 2

III) p : q : r = 4 : 2 : 1

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

13. Sia b c = =

3 5 2y a + b + c = 40, entonces, 3a + b – 2c =

A) 0B) 16C) 22D) 32E) 40

14. En la tabla de la figura 1, A y B son magnitudes directamente proporcionales, entonces,x2 – y =

A) -34B) -1C) 1D) 7E) 48

fig. 1A x 8 2

B 42 y 12

15

15. En el gráfico de la figura 2, x e y son variables directamente proporcionales, entonces,el valor de (2a – 1) es

A) 0,5B) 1,0C) 1,5D) 2,0E) 2,5

16. ¿Cuál(es) de las siguientes tablas corresponde(n) a dos variables inversamenteproporcionales?

I) II) III)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

17. Si 3m kilos de arroz valen $ p, entonces,34

kilo valdrá

A) $9p4m

B) $p

4m

C) $ 4mp

D) $pm

E) $ 4mp

fig. 2

a a + 1 x

y

3

7

x y

2 36

3 24

4 18

6 12

x y

40 1

20 2

10 4

5 8

x y

3 6

4 8

7 10

9 12

16

12

18. Las variables x e y de la figura 3, son inversamente proporcionales, entonces,3m – 2n es igual a

A) 10,5B) 14,0C) 17,5D) 21,0E) 42,0

19. Las cantidades a2 y b son inversamente proporcionales. Si para a = 2, se obtieneb = 3, ¿cuál sería el valor de a asociado a b = 27?

A)12

B)23

C)34

D)32

E) 3

20. En un instituto con solo dos carreras de 1.400 alumnos, por cada cinco alumnos queestudian Turismo hay dos que estudian Administración de Empresas. Si en Turismo larelación entre hombres y mujeres es 3 : 2, respectivamente, ¿cuántos alumnoshombres hay en Turismo?

A) 200B) 300C) 400D) 600E) 1.000

fig. 3

2 m x

n

4

18-

y

17

21. Si 15 obreros construyen un edificio en 8 meses, ¿cuánto tiempo se demorarían10 obreros en construir un edificio similar, trabajando el mismo número de horas al díay en igualdad de condiciones de trabajo?

A) 4,8 mesesB) 6 mesesC) 9 mesesD) 10 mesesE) 12 meses

22. La razón entre lo que gasta y lo que ahorra mensualmente una persona es 7 : 2. Si susahorros este mes fueron de $ 148.000, ¿cuál fué su sueldo?

A) $ 1.341.000B) $ 666.000C) $ 518.000D) $ 500.000E) $ 422.857

23. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las tablasA, B y C?

A B Cx y x y x y12 2 9 3 1 58 3 12 4 2 76 4 15 5 3 83 8 18 6 4 9

I) Las variables x e y en la tabla A, están en proporcionalidad inversa y laconstante de proporcionalidad es 24.

II) Las variables x e y en la tabla, B están en proporcionalidad directa y laconstante de proporcionalidad es 3.

III) Las variables x e y en la tabla C, están en proporcionalidad directa.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

18

24. En una fábrica, 6 operarias confeccionan 24 prendas de vestir en un día, utilizando3 máquinas. ¿Cuántas prendas de vestir iguales a las anteriores producen 3 operarias,trabajando en las mismas condiciones, pero con 4 máquinas?

A) 9B) 16C) 36D) 48E) 64

25. Veinte obreros realizan la construcción de un puente en 6 meses, trabajando 8 horasdiarias. ¿Cuántos meses se ocuparán en realizar la construcción del puente, en lasmismas condiciones de trabajo, si se duplicara el número de obreros y se redujera a lamitad el número de horas diarias?

A) 24 mesesB) 12 mesesC) 6 mesesD) 3 mesesE) 1,5 meses

26. Sean a y b números positivos. Se puede determinar en que razón están las cantidadesa y b si :

(1) El doble de a es equivalente al triple de b.

(2) La diferencia entre a y b es 10.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

27. Se puede determinar el valor numérico de x yy si :

(1) x – y = 4

(2) x : y = 5 : 3

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

19

28. A un grupo de estudiantes compuesto por hombres y mujeres que están en la razón5 : 7, respectivamente, se les hace una encuesta preguntándoles si les gusta o no laasignatura de matemática. Se puede determinar el número de mujeres que les gustamatemática si:

(1) La razón entre los que le gusta matemática y los que no les gusta es 1 : 1.

(2) Los estudiantes encuestados son 300.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

29. Las edades de dos personas están en la razón de 2 : 5 , se puede determinar susedades si:

(1) Se conoce la diferencia de sus edades.

(2) Se conoce el producto de sus edades.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30. En una jaula hay 80 nidos donde solo hay nidos con crías y sin crías, se puededeterminar el número de nidos sin crías si:

(1) La razón entre los nidos con crías y sin crías es 5:3.

(2) Los nidos con crías son 50.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

20

RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 11

DMDMA06

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1. D 11. B 21. E

2. B 12. D 22. B3. D 13. E 23. C4. E 14. C 24. B

5. A 15. A 25. C

6. E 16. D 26. A

7. A 17. B 27. B

8. C 18. D 28. E

9. D 19. B 29. D

10. D 20. D 30. D

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6

1 y 2 D A B B C E

3 y 4 C E B C B D

5 y 6 B C B B D E

7 y 8 D B C D C

9 y 10 C A B D B E