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La distribución de los números primos (línea azul) hasta el 400

Número primoDe Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemáticas, particularmente en Teoría de números o Aritmética, unnúmero primo es un número natural mayor que 1 que se descomponeexactamente, en dos factores diversos: él mismo y el 1.1 2 3 Los númerosprimos se contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienenpor lo menos un divisor natural distinto de sí mismos y de 1. El número 1,por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Los números primos menores que 100 son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89y 97.4

La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primomayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por . En la teoríaalgebraica de números, a los números primos se les conoce como números racionales primos para distinguirlos de los números gaussianosprimos 5

El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, rama de las matemáticas que versa sobre las propiedades,básicamente aritméticas, 6 de los números enteros. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales como lahipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach, recientemente resuelta por el peruano Harald Helfgott en su forma débil. La distribución delos números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primos parecenestar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes bien definidas.

Índice

1 Historia de los números primos1.1 Matemáticas anteriores a la Antigua Grecia1.2 Antigua Grecia1.3 Matemáticas modernas

2 Aprimalidad del número 13 Propiedades de los números primos

3.1 Teorema fundamental de la aritmética3.2 Otras propiedades3.3 Números primos y funciones aritméticas

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3.3 Números primos y funciones aritméticas4 Características del conjunto de los números primos

4.1 Infinitud de los números primos4.1.1 Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos

4.2 Frecuencia de los números primos4.3 Diferencia entre dos primos consecutivos4.4 Conclusión

5 Encontrar números primos5.1 Tests de primalidad5.2 Algoritmos de factorización5.3 Fórmulas que sólo generan números primos

6 Clases de números primos6.1 Primos primoriales y primos factoriales6.2 Números primos de Fermat6.3 Números primos de Mersenne6.4 Otras clases de números primos

7 Conjeturas7.1 Hipótesis de Riemann7.2 Otras conjeturas

7.2.1 Infinitud de ciertos tipos de números primos7.2.2 Distribución de los números primos7.2.3 Teoría aditiva de números

7.3 Los cuatro problemas de Landau8 Generalización del concepto de número primo

8.1 Elementos primos en un anillo8.2 Ideales primos8.3 Primos en teoría de la valoración8.4 Nudos primos

9 Aplicaciones en la computación10 Números primos en el arte y la literatura11 Véase también12 Referencias13 Enlaces externos

Historia de los números primos

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Imagen del hueso deIshango expuesto en elReal Instituto Belga deCiencias Naturales.

Matemáticas anteriores a la Antigua Grecia

Las muescas presentes en el hueso de Ishango, que data de hace más de 20.000 años (anterior por tanto a laaparición de la escritura) y que fue hallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt,7 parecen aislarcuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogos interpretan este hecho como la prueba delconocimiento de los números primos. Con todo, existen muy pocos hallazgos que permitan discernir losconocimientos que tenía realmente el hombre de aquella época.8

Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo en Mesopotamia a lolargo del II milenio a.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los conocimientos de laépoca. Los cálculos requerían conocer los inversos de los naturales, que también se han hallado en tablillas.9 En elsistema sexagesimal que empleaban los babilonios para escribir los números, los inversos de los divisores depotencias de 60 (números regulares) se calculan fácilmente; por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicarpor 150 (2·60+30) y correr la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babiloniosnecesitaba una sólida comprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los naturales.

En las matemáticas egipcias, el cálculo de fracciones requería conocimientos sobre las operaciones, la división denaturales y la factorización. Los egipcios sólo operaban con las llamadas fracciones egipcias, suma de fraccionesunitarias, es decir, aquellas cuyo numerador es 1, como , por lo que las fracciones de numeradordistinto de 1 se escribían como suma de inversos de naturales, a ser posible sin repetición en lugar de

.10 Es por ello que, en cierta manera, tenían que conocer o intuir los números primos.11

Antigua Grecia

La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. y se encuentra en losElementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define el máximo comúndivisor y el mínimo común múltiplo y proporciona un método para determinarlos que hoy en día se conoce como el algoritmo de Euclides. LosElementos contienen asimismo el teorema fundamental de la aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un númeroprimo de Mersenne.

La criba de Eratóstenes, atribuida a Eratóstenes de Cirene, es un método sencillo que permite encontrar números primos. Hoy en día, empero,los mayores números primos que se encuentran con la ayuda de ordenadores emplean otros algoritmos más rápidos y complejos.

Matemáticas modernas

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Un fragmento de los Elementos deEuclides encontrado en Oxirrinco.

Pierre de Fermat.

Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances en el estudio de los números primos hasta elsiglo XVII. En 1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración) el pequeño teorema deFermat, posteriormente demostrado por Leibniz y Euler. Es posible que mucho antes se conociera uncaso especial de dicho teorema en China.

Fermat conjeturó que todos los números de la forma 22n+1 eran primos (debido a lo cual se los

conoce como números de Fermat) y verificó esta propiedad hasta n = 4 (es decir, 216 + 1). Sinembargo, el número de Fermat 232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641), comodemostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no se conoce ningún número de Fermat que sea primoaparte de los que ya conocía el propio Fermat.

El monje francés Marin Mersenne investigó los números primos de la forma 2p − 1, con p primo. Ensu honor, se los conoce como números de Mersenne.

En el trabajo de Euler en teoría de números se encuentran muchos resultados que conciernen a losnúmeros primos. Demostró la divergencia de la serie , y en 1747 demostróque todos los números perfectos pares son de la forma 2p­1(2p ­ 1), donde el segundo factor es unnúmero primo de Mersenne. Se cree que no existen números perfectos impares, pero todavía es unacuestión abierta.

A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que, cuando ntiende a infinito, el número de primos menores o iguales que n es asintótico a , donde ln(n) es ellogaritmo natural de n. Las ideas que Bernhard Riemann plasmó en un trabajo de 1859 sobre lafunción zeta describieron el camino que conduciría a la demostración del teorema de los númerosprimos. Hadamard y De la Vallée­Poussin, cada uno por separado, dieron forma a este esquema yconsiguieron demostrar el teorema en 1896.

Actualmente no se comprueba la primalidad de un número por divisiones sucesivas, al menos no si elnúmero es relativamente grande.

Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un número es primo o no factorizandocompletamente el número siguiente (p+1) o el anterior (p­1). Dentro del primer caso se encuentra el test de Lucas­Lehmer, desarrollado apartir de 1856. Dentro del segundo caso se encuentra el test de Pépin para los números de Fermat (1877). El caso general de test de primalidadcuando el número inmediatamente anterior se encuentra completamente factorizado se denomina test de Lucas.

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Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con sólo obtener una factorización parcial de p+1 o p­1. Ejemplos de estos algoritmosson el test de Proth (desarrollado alrededor de 1878) y el test de Pocklington (1914). En estos algoritmos se requiere que el producto de losfactores primos conocidos de p­1 sea mayor que la raíz cuadrada de p. Más recientemente, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaronel test BLS de primalidad que sólo requiere que dicho producto sea mayor que la raíz cúbica de p. El mejor método conocido de esta clase es eltest de Konyagin y Pomerance del año 1997, que requiere que dicho producto sea mayor que p3/10.12 13

A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si cualquier número es primo o no concomplejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en números de miles de dígitos, aunque son mucho más lentos que los métodosanteriores. Ejemplos de estos algoritmos son el test APRT­CL (desarrollado en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con mejorasintroducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usan los factores de pm­1, donde el exponente m depende del tamaño del número cuyaprimalidad se desea verificar, el test de primalidad por curvas elípticas (desarrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A.O. L. Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de números que permite después confirmar rápidamente si el número es primoo no. El desarrollo más reciente es el test de primalidad AKS (2002), que si bien su complejidad es polinómica, para los números que puedemanejar la tecnología actual es el más lento de los tres.

Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada fuera de la matemática pura.14 15 Esto cambióen los años 1970 con el desarrollo de la criptografía de clave pública, en la que los números primos formaban la base de los primerosalgoritmos, tales como el algoritmo RSA.

Desde 1951, el mayor número primo conocido siempre ha sido descubierto con la ayuda de ordenadores. La búsqueda de números primos cadavez mayores ha suscitado interés incluso fuera de la comunidad matemática. En los últimos años han ganado popularidad proyectos decomputación distribuida tales como el GIMPS, mientras los matemáticos siguen investigando las propiedades de los números primos.

Aprimalidad del número 1

La cuestión acerca de si el número 1 debe o no considerarse primo está basada en la convención. Ambas posturas tienen sus ventajas y susinconvenientes. De hecho, hasta el siglo XIX, los matemáticos en su mayoría lo consideraban primo. Muchos trabajos matemáticos siguensiendo válidos a pesar de considerar el 1 como un número primo, como, por ejemplo, el de Stern y Zeisel. La lista de Derrick Norman Lehmerde números primos hasta el 10.006.721, reimpresa hasta el año 195616 empezaba con el 1 como primer número primo.17

Actualmente, la comunidad matemática se inclina por no considerar al 1 en la lista de los números primos. Esta convención, por ejemplo,permite una formulación muy económica del teorema fundamental de la aritmética: «todo número natural tiene una representación únicacomo producto de factores primos, salvo el orden».18 19 Además, los números primos tienen numerosas propiedades de las que carece el 1,tales como la relación del número con el valor correspondiente de la función φ de Euler o la función divisor.20 . Cabe también la igualdad paratodo entero positivo, , lo que permitiría decir que tiene factores. 21

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Esta ilustración muestra que el 11 esun número primo, pero el 12 no lo es.

Propiedades de los números primos

Teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representaciónúnica como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer variasveces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.

Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que se construye cualquiernúmero natural. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, ycualquier otra factorización del 23.244 como producto de números primos será idéntica excepto por elorden de los factores.

La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los númerosprimos. Si se admitiera el 1 como número primo, el enunciado del teorema requeriría aclaracionesadicionales.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muyutilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y lacoprimalidad de dos o más números. Así,

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponenlos números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimocomún múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto de losfactores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2.Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir, si su máximo comúndivisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no sea múltiplo de él mismo.

Otras propiedades

En su escritura en el sistema de numeración decimal, todos los números primos, salvo el 2 y el 5, tiene como el guarismo de las unidadesuno de estos: 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban enuna cifra que es coprima con la base.De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n + 3. Igualmente, todos los númerosprimos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n ­ 1.

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Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b.Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap ­ a es divisible por p.Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en su representación decimal, de periodo p − 1 o un divisor de p − 1.

Esto se puede deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat. expresado en base q (en lugar de en base 10) tienepropiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q.Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n ­ 1)! + 1 es divisible por n. Asimismo, un númeronatural n > 4 es compuesto si y sólo si (n ­ 1)! es divisible por n.La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo.Primer teorema de Sylow: Si G es un grupo finito, p primo y pn es la mayor potencia de p que divide el orden de G. Entonces, existe unsubgrupo de G de orden pn.Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden de G, entonces G contiene un elemento deorden p.La constante de Copeland­Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida por concatenación de los números primos en el sistemadecimal, es un número irracional.El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo se da como una continuación meromorfa de una funcióndefinida por un producto sobre el conjunto de todos los primos para Re(s) > 1:

En la región donde es convergente, este producto indexado por los números primos se puede calcular, obteniéndose diversos valores,algunos de ellos importantes en teoría de números. Los dos primeros son:

(Correspondiente a la serie armónica, relacionado con la infinitud de números primos).

(Correspondiente al problema de Basilea).

En general es un número racional cuando n es un número entero positivo par.

El anillo es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo si y solo si φ(p) = p − 1.Si p > 1, el polinomio x p­1+x p­2+ ··· + 1 es irreducible sobre si y sólo si p es primo.Un número natural n es primo si y sólo si el n­ésimo polinomio de Chebyshov de la primera especie Tn(x), dividido entre x, es

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irreducible en . Además, Tn(x) ≡ xn si y sólo si n es primo.No todo número primo es un número gaussiano primo; tal el caso de 2, que como entero gaussiano admite la descomposición

don de la norma de es 2, por lo tanto no es unidad en Z[i].Los números primos de la forma son igual a la suma de dos cuadrados perfectos; por lo que no son números gaussianos primos.En tanto que los números primos de la forma sí son números gaussianos primos.Todo número racional primo es un número gaussiano entero, sin ser necesariamente número gaussiano primo. 22

Números primos y funciones aritméticas

Las funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales, desempeñan un papelcrucial en la teoría de números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que son aquellas funciones f en las cuales, para cada parde números coprimos (a,b) se tiene

.

Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función φ de Euler, que a cada n asocia el número de enteros positivos menores ycoprimos con n, y las funciones τ y σ, que a cada n asocian respectivamente el número de divisores de n y la suma de todos ellos. El valor deestas funciones en las potencias de números primos es

,,

.

Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor que toman en las potencias denúmeros primos. De hecho, dado un número natural n de factorización

se tiene que

con lo que se ha reconducido el problema de calcular f(n) al de calcular f sobre las potencias de los números primos que dividen n, valores queson generalmente más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, para conocer el valor de la función φ sobren=450=2·32·52 basta con calcular

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.

Características del conjunto de los números primos

Infinitud de los números primos

Véase también: Infinitud de los números primos

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IX de su obra Elementos23Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn,y se considera el producto de todos ellos más uno, . Este número es obviamente mayor que 1 y distinto detodos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjuntooriginal. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduceentonces que p divide a la diferencia , pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a unabsurdo por suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existennúmeros primos que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.

Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.

Si se toma como conjunto el de los n primeros números primos, entonces , donde pn# es loque se llama primorial de pn. Un número primo de la forma pn# +1 se denomina número primo de Euclides en honor al matemático griego.También se puede elaborar una demostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dado de números primos menos uno,el lugar del producto de esos números primos más uno. En ese sentido, se denomina número primo primorial a un número primo de la formapn# ± 1.

No todos los números de la forma pn# +1 son primos. En este caso, como se sigue de la demostración anterior, todos los factores primosdeberán ser mayores que n. Por ejemplo: 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509

Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos procedentes de áreas de las matemáticas talescomo al álgebra conmutativa y la topología.24 Algunas de estas demostraciones se basan en el uso de sucesiones infinitas con la propiedad deque cada uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por lo que se crea una biyección entre los términos de la sucesión y unsubconjunto (infinito) del conjunto de los primos.

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Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides­Mullin, que deriva de la demostración euclídea de la infinitud de losnúmeros primos, ya que cada uno de sus términos se define como el factor primo más pequeño de uno más el producto de todos los términosanteriores. La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puesto que cada uno de sus términos es igual a uno más el producto de todoslos anteriores. Aunque los términos de esta última sucesión no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos losdemás, por lo que se puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante será un conjuntoinfinito cuyos términos son todos primos.

Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos

Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto por Euler en el siglo XVIII.Establece que la serie es divergente. Uno de los teoremas de Mertens concreta más, estableciendo que

25

donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre ­C y C para n mayor que n0, donde los valores de C y n0 no estánespecificados.26

Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:

En toda progresión aritmética an = a + n·q, donde los enteros positivos a, q ≥ 1son primos entre sí, existen infinitos términos que son primos.

El postulado de Bertrand enuncia así:

Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un númeroprimo p tal que n < p < 2n­ 2.

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10 4 −0,3 2,2 2,500

102 25 3,3 5,1 4,000

103 168 23 10 5,952

104 1.229 143 17 8,137

105 9.592 906 38 10,425

106 78.498 6.116 130 12,740

107 664.579 44.158 339 15,047

108 5.761.455 332.774 754 17,357

109 50.847.534 2.592.592 1.701 19,667

1010 455.052.511 20.758.029 3.104 21,975

... ... ... ... ...

Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1, entonces siempre existe un número primo ptal que n < p < 2n. Esto supone que, en una progresión geométrica de primer término entero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada términode la progresión y el siguiente, se tiene al menos un número primo.

Frecuencia de los números primos

Véase también: Teorema de los números primos

Una vez demostrado la infinitud de los números primos, cabe preguntarse cómo sedistribuyen los primos entre los números naturales, es decir, cuán frecuentes son ydónde se espera encontrar el n­ésimo número primo. Este estudio lo iniciaronGauss y Legendre de forma independiente a finales del siglo XVIII, para el cualintrodujeron la función enumerativa de los números primos π(n), y conjeturaronque su valor fuese aproximadamente

.27

El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primerosresultados fueron obtenidos entre 1848 y 1859 por Chebyshov, quien demostróutilizando métodos puramente aritméticos la existencia de dos constantes A y Btales que

para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite delcociente de aquellas expresiones, éste debía ser 1.

Hadamard y De la Vallée­Poussin elaboraron una demostración en 1896, independientemente el uno del otro, usando métodos similares,basados en el uso de la función zeta de Riemann, que había sido introducida por Bernhard Riemann en 1859. Hubo que esperar hasta 1949 paraencontrar una demostración que usara sólo métodos elementales (es decir, sin usar el análisis complejo). Esta demostración fue ideada porSelberg y Erdős. Actualmente, se conoce el teorema como teorema de los números primos.

El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función logaritmo integral:

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Comparación entre las funciones π(n) (azul), n / lnn (verde) y Li(n) (rojo); se puede ver que laaproximación de π(n) con Li(n) es mejor que la quehay con

.

En 1899 De la Vallée­Poussin demostró que el error que se comete aproximando de esta forma es

para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado fue ligeramentemejorado a lo largo de los años. Por otra parte, en 1901 Von Koch mostró que si lahipótesis de Riemann era cierta, se tenía la siguiente estimación, más precisa:28

Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n­ésimo númeroprimo, queda bien aproximado por nln(n). En efecto, pn es estrictamente mayor que estevalor.

Diferencia entre dos primos consecutivos

Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los intervalosentre dos primos consecutivos. Este intervalo, con la única salvedad del que hay entre el 2y el 3, debe ser siempre igual o mayor que 2, ya que entre dos números primosconsecutivos al menos hay un número par y por tanto compuesto. Si dos números primostienen por diferencia 2, se dice que son gemelos, y con la salvedad del "triplete" formadopor los números 3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entre tres númerosimpares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Los primeros pares de números primosgemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).

Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un número natural n, se denota por n! sufactorial, es decir, el producto de todos los números naturales comprendidos entre 1 y n. Los números

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La distribución de todos los númerosprimos comprendidos entre 1 y76.800, de izquierda a derecha y dearriba abajo. Cada pixel representa unnúmero. Los píxeles negrosrepresentan números primos; losblancos representan números noprimos.

son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, por tanto, es compuesto. La sucesión, que comprende n enterosconsecutivos, no contiene ningún número primo. Por ejemplo, si n=5, estos valores corresponden a:

El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.29 De todas formas, el menor número primo que dista del siguiente en n es generalmente mucho menorque el factorial, por ejemplo, el caso más pequeño de dos primos consecutivos separados de ocho unidades es (89, 97), mientras que 8! es iguala 40.320.

La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos30 ha sido profusamente estudiada en matemáticas, y alrededor de este concepto sehan establecido muchas conjeturas que permanecen sin resolver.

Conclusión

El modelado de la distribución de los números primos es un tema de investigación recurrente entre losteóricos de números. La primalidad de un número concreto es (hasta ahora) impredecible a pesar de queexisten leyes, como el teorema de los números primos y el postulado de Bertrand, que gobiernan sudistribución a gran escala. Leonhard Euler comentó:

Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontrar algún orden en la sucesión de losnúmeros primos, y tenemos motivos para creer que es un misterio en el que la mente jamás penetrará.31

En una conferencia de 1975, Don Zagier comentó:

Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que espero convencerles de formatan incontestable que quedarán permanentemente grabados en sus corazones. El primero es que, a pesarde su definición simple y del papel que desempeñan como ladrillos con los que se construyen losnúmeros naturales, los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y noparecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede predecir dónde brotará el siguiente. El

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Imagen con 2310 columnas queconserva múltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11en las columnas respectivas. Comocabe esperar, los números primoscaerán en columnas concretas si losnúmeros están ordenados de izquierdaa derecha y el ancho es un múltiplode un número primo. Sin embargo,los números primos también quedandistribuidos de manera ordenada enconstrucciones espirales como laespiral de Ulam, ya que tienden aconcentrarse en algunas diagonalesconcretas y no en otras.

segundo hecho es aún más asombroso, ya que dice justo lo contrario: que los números primos muestranuna regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyescon precisión casi militar.32

Encontrar números primos

Tests de primalidad

La criba de Eratóstenes es una manera sencilla de hallar todos los números primos menores o igualesque un número dado. Se basa en confeccionar una lista de todos los números naturales desde el 2 hastaese número y tachar repetidamente los múltiplos de los números primos ya descubiertos. La criba deAtkin, más moderna, tiene una mayor complejidad, pero si se optimiza apropiadamente también es másrápida. También existe una reciente criba de Sundaram que genera únicamente números compuestos,siendo los primos los números faltantes.

En la práctica, lo que se desea es determinar si un número dado es primo sin tener que confeccionar unalista de números primos. Un método para determinar la primalidad de un número es la división portentativa, que consiste en dividir sucesivamente ese número entre los números primos menores oiguales a su raíz cuadrada. Si alguna de las divisiones es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo,dado n menor o igual que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que el siguiente númeroprimo, 11, ya es mayor que √120. Es el test de primalidad más sencillo, y rápidamente pierde su utilidad a la hora de comprobar la primalidadde números grandes, ya que el número de factores posibles crece demasiado rápido a medida que crece el número potencialmente primo.

En efecto, el número de números primos menores que n es aproximadamente

.

De esta forma, para determinar la primalidad de n, el mayor factor primo que se necesita no es mayor que √n, dejando el número de candidatosa factor primo en cerca de

.

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La criba de Eratóstenes fue concebida porEratóstenes de Cirene, un matemático griego delsiglo III a. C. Es un algoritmo sencillo que permiteencontrar todos los números primos menores oiguales que un número dado.

Esta expresión crece cada vez más lentamente en función de n, pero, como los n grandesson de interés, el número de candidatos también se hace grande: por ejemplo, para n = 1020se tienen 450 millones de candidatos.

Asimismo, existen otros muchos tests de primalidad deterministas que se basan enpropiedades que caracterizan a los números primos, pero su utilidad computacionaldepende mucho del test usado. Por ejemplo, se podría emplear el teorema de Wilson paracalcular la primalidad de un número, pero tiene el inconveniente de requerir el cálculo deun factorial, una operación computacionalmente prohibitiva cuando se manejan númerosgrandes. Aquí entre en juego el tiempo de ejecución del algoritmo empleado, que seexpresa en la notación de Landau. Para poder determinar la primalidad de números cadavez más grandes (de miles de cifras) se buscan aquellos algoritmos cuyo tiempo deejecución crezca lo más lentamente posible, a ser posible, que se pueda expresar como unpolinomio. Si bien el test de primalidad AKS cumple con esta condición, para el rango denúmeros que se usa en la práctica este algoritmo es extremadamente lento.

Por otra parte, a menudo basta con tener una respuesta más rápida con una altaprobabilidad (aunque no segura) de ser cierta. Se puede comprobar rápidamente laprimalidad de un número relativamente grande mediante tests de primalidadprobabilísticos. Estos tests suelen tomar un número aleatorio llamado "testigo" eintroducirlo en una fórmula junto con el número potencialmente primo n. Después devarias iteraciones, se resuelve que n es "definitivamente compuesto" o bien "probablemente primo". Estos últimos números pueden ser primoso bien pseudoprimos (números compuestos que pasan el test de primalidad). Algunos de estos tests no son perfectos: puede haber númeroscompuestos que el test considere "probablemente primos" independientemente del testigo utilizado. Esos números reciben el nombre depseudoprimos absolutos para ese test. Por ejemplo, los números de Carmichael son números compuestos, pero el test de Fermat los evalúacomo probablemente primos. Sin embargo, los tests probabilísticos más utilizados, como el test de Miller­Rabin o el obsoleto test de Solovay­Strassen, superado por el anterior, no tienen este inconveniente, aun siendo igualmente tests probabilísticos.

Algunos tests probabilísticos podrían pasar a ser determinísticos y algunos tests pueden mejorar su tiempo de ejecución si se verifican algunashipótesis matemáticas. Por ejemplo, si se verifica la hipótesis generalizada de Riemann, se puede emplear una versión determinística del testde Miller­Rabin, y el test de primalidad por curvas elípticas podría mejorar notablemente su tiempo de ejecución si se verificaran algunashipótesis de teoría analítica de números.

Algoritmos de factorización

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Un algoritmo de factorización es un algoritmo que separa uno a uno los factores primos de un número. Los algoritmos de factorización puedenfuncionar también a modo de tests de primalidad, pero en general tienen un tiempo de ejecución menos ventajoso. Por ejemplo, se puedemodificar el algoritmo de división por tentativa de forma que no se detenga cuando se obtenga una división exacta, sino que siga realizandonuevas divisiones, y no sobre el número original, sino sobre el cociente obtenido. Después de la división por tentativa, los métodos másantiguos que se conocen son el método de Fermat, que se basa en las diferencias entre cuadrados y que es especialmente eficaz cuando n es elproducto de dos números primos próximos entre sí, y el método de Euler, que se basa en la representación de n como suma de dos cuadradosde dos formas distintas.

Más recientemente, se han elaborado algoritmos basados en una gran variedad de técnicas, como las fracciones continuas o las curvas elípticas,aunque algunos son mejoras de métodos anteriores (la criba cuadrática, por ejemplo, se basa en una mejora del método de Fermat y poseecomplejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras de n). Otros, como el método rho de Pollard, son probabilísticos, y nogarantizan hallar los divisores de un número compuesto.

Hoy por hoy, el algoritmo determinístico más rápido de uso general es el general number field sieve, que también posee complejidadcomputacional subexponencial sobre el número de cifras de n.33 Se ha propuesto un algoritmo cuyo tiempo de ejecución es polinómico sobreel número de cifras de n (el algoritmo de Shor), pero requiere ser ejecutado en un ordenador cuántico, ya que su simulación en un ordenadornormal requiere un tiempo exponencial. No se conocen algoritmos para factorizar en una computadora tradicional en tiempo polinómico ytampoco se demostró que esto sea imposible.

Fórmulas que sólo generan números primos

Véase también: Fórmula de los números primos

A lo largo de la historia, se han buscado numerosas fórmulas para generar los números primos. El nivel más alto de exigencia para una fórmulaasí sería que asociara a cada número natural n el n­ésimo número primo. De forma más indulgente, se puede pedir una función f que asocie acada número natural n un número primo de tal forma que cada uno de los valores tomados sólo aparezca una vez.

Además, se desea que la función se pueda calcular en la práctica.34 Por ejemplo, el teorema de Wilson asegura que p es un número primo si ysólo si (p­1)!≡­1 (mod p). Otro ejemplo: la función f(n) = 2 + ( 2(n!) mod (n+1)) genera todos los números primos, sólo los números primos, ysólo el valor 2 se toma más de una vez. Sin embargo, ambas fórmulas se basan en el cálculo de un factorial, lo que las hacecomputacionalmente inviables.

En la búsqueda de estas funciones, se han investigado notablemente las funciones polinómicas. Cabe subrayar que ningún polinomio, aun envarias variables, toma sólo valores primos.35 Por ejemplo, el polinomio en una variable f(n) = n² − n + 41 devuelve valores primos para n = 0,…, 40, 43, pero f(41) y f(42) son compuestos. Si el término constante vale cero, entonces el polinomio es múltiplo de n, por lo que el

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polinomio es compuesto para valores compuestos de n. En caso contrario, si c es el término constante, entonces f(cn) es múltiplo de c, por loque si el polinomio no es constante, necesariamente deberá incluir valores compuestos.

Sin embargo, hay polinomios en varias variables cuyos valores positivos (cuando las variables recorren los números naturales) sonprecisamente los números primos. Un ejemplo es este polinomio descubierto por Jones, Sato, Wada y Wiens en 1976:35

Al igual que ocurre con las fórmulas con factoriales, este polinomio no es práctico de calcular, ya que, aunque los valores positivos que tomason todos primos, prácticamente no devuelve otra cosa que valores negativos cuando se hacen variar las variables a a z de 0 a infinito.

Otro enfoque al problema de encontrar una función que sólo genere números primos viene dado a partir del teorema de Mills, que indica queexiste una constante θ tal que

es siempre un número primo, donde es la función piso.36 Todavía no se conoce ninguna fórmula para calcular la constante de Mills, y lasaproximaciones que se emplean en la actualidad se basa en la sucesión de los así llamados números primos de Mills (los números primosgenerados mediante esta fórmula), que no pueden ser obtenidos rigurosamente, sino sólo de manera probabilística, suponiendo cierta lahipótesis de Riemann.

Clases de números primos

De mayor interés son otras fórmulas que, aunque no sólo generen números primos, son más rápidas de implementar, sobre todo si existe unalgoritmo especializado que permita calcular rápidamente la primalidad de los valores que van tomando. A partir de estas fórmulas se obtienensubconjuntos relativamente pequeños del conjunto de los números primos, que suelen recibir un nombre colectivo.

Primos primoriales y primos factoriales

Véanse también: Número primo primorial y Número primo factorial.

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Construcción de un pentágonoregular. 5 es un número primode Fermat.

Los números primos primoriales, directamente relacionados con la demostración euclidiana de la infinitud de los números primos, son los de laforma p = n# ± 1 para algún número natural n, donde n# es igual al producto 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de todos los primos ≤ n. Asimismo, unnúmero primo se dice primo factorial si es de la forma n! ± 1. Los primeros primos factoriales son:

n! − 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, …37

n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …38

Números primos de Fermat

Véase también: Número de Fermat

Los números de Fermat, ligados a la construcción de polígonos regulares con regla y compás, son losnúmeros de la forma , con n natural. Los únicos números primos de Fermat que se conocenhasta la fecha son los cinco que ya conocía el propio Fermat, correspondientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, mientrasque para valores de n entre 5 y 32 estos números son compuestos.39

Para determinar su primalidad, existe un test especializado cuyo tiempo de ejecución es polinómico: el test dePépin. Sin embargo, los propios números de Fermat crecen tan rápidamente que sólo se lo ha podido aplicarpara valores de n pequeños. En 1999 se lo aplicó para n = 24. Para determinar el carácter de otros números deFermat mayores se utiliza el método de divisiones sucesivas y de esa manera a fecha de junio de 2009 seconocen 241 números de Fermat compuestos, aunque en la mayoría de los casos se desconozca sufactorización completa.39

Números primos de Mersenne

Véase también: Número primo de Mersenne

Los números de Mersenne son los de forma Mp = 2p – 1, donde p es primo.40 Los mayores números primos conocidos son generalmente deesta forma, ya que existe un test de primalidad muy eficaz, el test de Lucas­Lehmer, para determinar si un número de Mersenne es primo o no.

Actualmente, el mayor número primo que se conoce es M43.112.609 = 243.112.609 ­ 1, que tiene 12.978.189 cifras en el sistema decimal. Setrata cronológicamente del 45º número primo de Mersenne conocido y su descubrimiento se anunció el 23 de agosto de 2008 gracias alproyecto de computación distribuida «Great Internet Mersenne Prime Search» (GIMPS). Desde entonces, se han descubierto otros dosnúmeros primos de Mersenne, pero son menores que el 45º.41 42

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Otras clases de números primos

Existen literalmente decenas de apellidos que se pueden añadir al concepto de número primo para referirse a un subconjunto que cumplealguna propiedad concreta. Por ejemplo, los números primos pitagóricos son los que se pueden expresar en la forma 4n+1. Dicho de otraforma, se trata de los números primos cuyo resto al dividirlos entre 4 es 1. Otro ejemplo es el de los números primos de Wieferich, que sonaquellos números primos p tales que p2 divide a 2p­1 ­ 1.

Algunas de estas propiedades se refieren a una relación concreta con otro número primo:

Números primos gemelos: p y p+2 lo son si son los dos primos.Número primo de Sophie Germain: dado p primo, es de Sophie Germain si 2p + 1 también es primo. Una sucesión de númerosp1,p2,p3,··· ,pn todos ellos primos, tales que pi+1=2pi+1 para todo i ∈ 1,2,···,n­1 , se denomina cadena (completa) de Cunningham deprimera especie, y cumple por definición que cada uno de los términos, salvo el último, es un número primo de Sophie Germain. Se creeque para todo n natural existen infinitas cadenas de Cunningham de longitud n,43 aunque hasta la fecha nadie ha proporcionado pruebade que dicha afirmación sea cierta.Número primo de Wagstaff: p lo es si , donde q es otro número primo.44 45

También se les da nombres especiales a algunas clases de primos que dependen de la base de numeración empleada o de la forma de escribirlos dígitos, y no de una fórmula matemática. Es el caso de los números somirp (primos al revés), que son aquellos números primos tales que elnúmero obtenido al invertir el orden de sus cifras también es primo. También es el caso de los números primos repunit, que son aquellosnúmeros primos que son concatenación de unos. Si, en lugar de considerarse el sistema de numeración decimal se considera el binario, seobtiene otro conjunto distinto de números primos repunit que, además, coincide con el de los números primos de Mersenne. Finalmente, losnúmeros primos triádicos son aquellos números que son primos, capicúas y simétricos respecto de una recta horizontal.

El que se le dé un nombre a una clase de números primos con una definición precisa no significa que se conozca algún número primo que seade esa clase. Por ejemplo, no se conoce hasta el momento ningún número primo de Wall­Sun­Sun, pero su relevancia radica en que en 1992,antes de la demostración de Wiles del último teorema de Fermat, se descubrió que la falsedad del teorema para un número primo p dadoimplicaba que p era un número primo de Wall­Sun­Sun. Esto hizo que, durante un tiempo, la búsqueda de números primos de esta clase fueratambién la búsqueda de un contraejemplo del último teorema de Fermat.46

Conjeturas

Existen numerosas preguntas abiertas acerca de los números primos. Muchas de ellas son problemas bien antiguos, y una de las mássignificativas es la hipótesis de Riemann, varias veces mencionada en este artículo como una conjetura que, de ser cierta, permitiría conocernumerosos resultados relevantes en diversos campos de las matemáticas.

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Hipótesis de Riemann

Véase también: Hipótesis de Riemann

Para entender la hipótesis de Riemann, una conjetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha (2015), sigue sin resolverse, es necesarioentender la función zeta de Riemann. Sea un número complejo con parte real mayor que 1. Entonces,

La segunda igualdad es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética, y muestra que la función zeta está íntimamenterelacionada con los números primos.

Existen dos tipos de ceros de la función zeta, es decir, valores s para los cuales ζ(s) = 0: los triviales, que son s=­2, s=­4, s=­6, etc. (los enterospares negativos) y los no triviales, que son aquellos ceros que no se encuentran en el eje real. Lo que indica la hipótesis de Riemann es que laparte real de todos los ceros no triviales es igual a 1/2.

La veracidad de la hipótesis implica una profunda conexión con los números primos, en esencia, en el caso de verificarse, dice que losnúmeros primos están distribuidos de la forma más regular posible. Desde un punto de vista «físico», dice grosso modo que las irregularidadesen la distribución de los números primos sólo proceden de ruido aleatorio. Desde un punto de vista matemático, dice que la distribuciónasintótica de los números primos (según el teorema de los números primos, la proporción de primos menores que n es ) también es ciertapara intervalos mucho menores, con un error de aproximadamente la raíz cuadrada de n (para intervalos próximos a n). Está ampliamenteextendido en la comunidad matemática que la hipótesis sea cierta. En concreto, la presunción más simple es que los números primos nodeberían tener irregularidades significativas en su distribución sin una buena razón.47

Otras conjeturas

Infinitud de ciertos tipos de números primos

Muchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos números primos de una determinada forma. Así, se conjetura que hay infinitos números primosde Fibonacci48 e infinitos primos de Mersenne, pero sólo un número finito de primos de Fermat.49 No se sabe si hay infinitos números primosde Euclides.

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Distribución de los números primos

También hay numerosas conjeturas que se ocupan de determinadas propiedades de la distribución de los números primos. Así, la conjetura delos números primos gemelos enuncia que hay infinitos números primos gemelos, que son pares de primos cuya diferencia es de 2. La conjeturade Polignac es una versión más general y más fuerte de la anterior, ya que enuncia que, para cada entero positivo n, hay infinitos pares deprimos consecutivos que difieren en 2n. A su vez, una versión más débil de la conjetura de Polignac dice que todo número par es la diferenciade dos números primos.

Asimismo, se conjetura la infinidad de los primos de la forma n2 + 1. Según la conjetura de Brocard, entre los cuadrados de primosconsecutivos mayores que 2 existen siempre al menos cuatro números primos. La conjetura de Legendre establece que, para cada n natural,existe un número primo entre n2 y (n+1)2. Finalmente, la conjetura de Cramér, cuya veracidad implicaría la de Legendre, dice que:

Teoría aditiva de números

Otras conjeturas relacionan algunas propiedades aditivas de los números con los números primos. Así, la conjetura de Goldbach dice que todonúmero par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos, aunque también existe una versión más débil de la mismaconjetura según la cual todo número impar mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos. El matemático chino ChenJingrun demostró, en 1966, que en efecto, todo número par suficientemente grande puede expresarse como suma de dos primos o como lasuma de un primo y de un número que es el producto de dos primos. ("semi­primo").50

Los cuatro problemas de Landau

En 1912, Landau estableció en el Quinto Congreso Internacional de Matemáticos de Cambridge una lista de cuatro de los problemas yamencionados sobre números primos, que se conocen como los problemas de Landau. Ninguno de ellos está resuelto hasta la fecha. Se trata dela conjetura de Goldbach, la de los números primos gemelos, la de Legendre y la de los primos de la forma n2 + 1.51

Generalización del concepto de número primo

El concepto de número primo es tan importante que se ha visto generalizado de varias maneras en diversas ramas de las matemáticas.

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Representación de los primos gaussianos denorma menor o igual a 500. Los primosgaussianos son, por definición, los enterosgaussianos que son primos.

Elementos primos en un anillo

Se pueden definir los elementos primos y los elementos irreducibles en cualquier dominio deintegridad.52 En cualquier dominio de factorización única, como por ejemplo, el anillo de losenteros, el conjunto de elementos primos equivale al conjunto de los elementos irreducibles, queen es …, −11, −7, −5, −3, −2, 2, 3, 5, 7, 11, ….

Considérense por ejemplo los enteros gaussianos , es decir, los números complejos de laforma a+bi con a, b ∈ . Este es un dominio de integridad, y sus elementos primos son los primosgaussianos. Cabe destacar que el 2 no es un primo gaussiano, porque admite factorización comoproducto de los primos gaussianos (1+i) y (1­i). Sin embargo, el elemento 3 sí es primo en losenteros gaussianos, pero no lo es en otro dominio entero. En general, los primos racionales (esdecir, los elementos primos del anillo ) de la forma 4k+3 son primos gaussianos, pero no lo sonaquellos de la forma 4k+1.

Ideales primos

En teoría de anillos, un ideal I es un subconjunto de un anillo A tal que

si i, j ∈ I, entonces la suma i + j pertenece a Iy si x ∈ A, i ∈ I, entonces los productos a × i, i × a pertenecen a I.

Un ideal primo se define entonces como un ideal que cumple también que:

para cualquier par de elementos a, b del anillo A tales que su producto a × b pertenece a I, entonces, al menos uno de los dos elementos,a o b, está en I.I no es el anillo A entero.

Los ideales primos son una herramienta relevante en álgebra conmutativa, teoría algebraica de números y geometría algebraica. Los idealesprimos del anillo de enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), …

Un problema central en teoría algebraica de números es la manera en que se factorizan los ideales primos cuando se ven sometidos a unaextensión de cuerpos. En el ejemplo de los enteros gaussianos, (2) se ramifica en potencia de un primo (ya que y generan elmismo ideal primo), los ideales primos de la forma son inertes (mantienen su primalidad) y los de la forma pasan a serproducto de dos ideales primos distintos.

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Algunos nudos primos.

Primos en teoría de la valoración

En teoría algebraica de números surge otra generalización más. Dado un cuerpo , reciben el nombre de valoraciones sobre determinadasfunciones de en . Cada una de estas valoraciones genera una topología sobre , y se dice que dos valoraciones son equivalentes sigeneran la misma topología. Un primo de es una clase de equivalencia de valoraciones. Con esta definición, los primos del cuerpo de losnúmeros racionales quedan representados por la función valor absoluto así como por las valoraciones p­ádicas sobre para cada númeroprimo p.

Nudos primos

En teoría de nudos, un nudo primo es un nudo no trivial que no se puede descomponer en dos nudosmás pequeños. De forma más precisa, se trata de un nudo que no se puede escribir como sumaconexa de dos nudos no triviales.

En 1949 Horst Schubert demostró un teorema de factorización análogo al teorema fundamental de laaritmética, que asegura que cada nudo se puede obtener de forma única como suma conexa de nudosprimos.53 Por este motivo, los nudos primos desempeñan un papel central en la teoría de nudos: unaclasificación de los nudos ha sido desde finales del siglo XIX el tema central de la teoría.

Aplicaciones en la computación

El algoritmo RSA se basa en la obtención de la clave pública mediante la multiplicación de dos números grandes (mayores que 10100) quesean primos. La seguridad de este algoritmo radica en que no se conocen maneras rápidas de factorizar un número grande en sus factoresprimos utilizando computadoras tradicionales.

Números primos en el arte y la literatura

Los números primos han influido en numerosos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen se valió de ellos para crear músicano métrica. En obras tales como La Nativité du Seigneur (1935) o Quatre études de rythme (1949­50) emplea simultáneamente motivos cuyaduración es un número primo para crear ritmos impredecibles. Según Messiaen, esta forma de componer fue «inspirada por los movimientosde la naturaleza, movimientos de duraciones libres y desiguales».54

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En su novela de ciencia ficción Contact, posteriormente adaptada al cine, Carl Sagan sugiere que los números primos podrían ser empleadospara comunicarse con inteligencias extraterrestres, una idea que había desarrollado de manera informal con el astrónomo estadounidense FrankDrake en 1975.55

El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon, que describe en primera persona la vida de un joven autista muy dotado enmatemáticas y cálculo mental, utiliza únicamente los números primos para numerar los capítulos.

En la novela PopCo de Scarlett Thomas, la abuela de Alice Butler trabaja en la demostración de la hipótesis de Riemann. El libro ilustra unatabla de los mil primeros números primos.56

La soledad de los números primos, novela escrita por Paolo Giordano, ganó el premio Strega en 2008.

También son muchas las películas que reflejan la fascinación popular hacia los misterios de los números primos y la criptografía, por ejemplo,Cube, Sneakers, El amor tiene dos caras y Una mente maravillosa. Esta última se basa en la biografía del matemático y premio Nobel JohnForbes Nash, escrita por Sylvia Nasar.57

El escritor Griego Apostolos Doxiadis, escribió El tío Petros y la conjetura de Goldbach. Que narra cómo un ficticio matemático prodigio deprincipios de siglo XX, se sumerge en el mundo de las matemáticas de una forma apasionante. Tratando de resolver uno de los problemas másdifíciles y aún no resueltos de la matemática "La Conjetura de Goldbach". La cual reza: "Todo número par puede expresarse como la suma dedos números primos".

Véase también

Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.CriptografíaEspiral de UlamMatemáticaTest de primalidadAnexo:Números primosAnexo:Tabla de factores primosPrimo de SolinasMayor número primo conocido

Clasificación de números

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Complejos

ℂReales

ℝ

Racionales

ℚ

Enteros

ℤ

Naturales

ℕ1: unoNaturales primosNaturales compuestos

0: CeroEnteros negativos

FraccionariosFracción propiaFracción impropia

IrracionalesIrracionales algebraicosTrascendentes

Imaginarios

Referencias

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Keller (en francés)9. «Nacimiento de las matemáticas.» (http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Nacimiento.html). Consultado el 7 de Junio de 2009.10. Arnaldez, Roger y otros (1988). Las antiguas ciencias del Oriente. Barcelona: Ediciones Orbis S.A. ISBN 84­402­0159­1.11. Planetmath.org. «History of prime numbers.» (http://planetmath.org/encyclopedia/HistoryOfPrimeNumbers.html). Consultado el 7 de junio de 2009.12. Crandall, Richard (2001). Prime numbers, a computational perspective. Nueva York: Springer­Verlag. ISBN 0­387­94777­9.13. Bernstein, Daniel. «Prime tests» (http://cr.yp.to/primetests.html). Consultado el 1 de julio de 2009.14. Singh, Simon (1998). «Pag. 126». El enigma de Fermat. Editorial Planeta S.A. ISBN 978­84­08­02375­3..15. Carles Pina i Estany (2005). «Curiosidades sobre números primos.» (http://pinux.info/primos/curiosidades.html). Consultado el 5 de junio de 2009.16. Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. New York: Springer (1994): 36 (en inglés)

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17. Richard K. Guy & John Horton Conway, The Book of Numbers. New York: Springer (1996): 129 ­ 130 (en inglés)18. Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. p. 118. ISBN 0­19­285361­9. «La exclusión aparentemente arbitraria

del 1 de la definición de número primo … no expresa ningún conocimiento profundo sobre los números: se trata simplemente de un convenio útil,adoptado para que sólo haya una manera de factorizar cualquier número en sus factores primos».

19. "Why is the number one not prime? (http://primes.utm.edu/notes/faq/one.html)" (en inglés), accedido el 31­05­2009.20. "Arguments for and against the primality of 1 (http://web.archive.org/20070825005316/www.geocities.com/primefan/Prime1ProCon.html)" (en inglés),

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Enlaces externos

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