Número primo 1

Número primoEn matemáticas, un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales distintos: élmismo y el 1.Euclides demostró alrededor del año 300 a. C. que existen infinitos números primos. Se contraponen así a losnúmeros compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de él mismo y del 1. El número 1, porconvenio, no se considera ni primo ni compuesto.Los números primos del conjunto de los naturales menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.[1]

La propiedad de ser primo se denomina primalidad, y el término primo se puede emplear como adjetivo. A veces sehabla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único númeroprimo par. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por .El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama de las matemáticas quecomprende el estudio de los números naturales. Los números primos están presentes en algunas conjeturascentenarias tales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos esun tema recurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primosparecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes biendefinidas.

Historia de los números primos

Matemáticas anteriores a la Antigua Grecia

El hueso de Ishango.

Las muescas presentes en el hueso de Ishango, que data de hace más de20.000 años (anterior por tanto a la aparición de la escritura) y que fuehallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt[2] pareceaislar cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogosinterpretan este hecho como la prueba del conocimiento de losnúmeros primos. Con todo, existen muy pocos hallazgos que permitandiscernir los conocimientos que tenía realmente el hombre de aquellaépoca.[3]

Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo en Mesopotamia a lolargo del II milenio a.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los conocimientos de la época.Los cálculos requerían conocer los inversos de los naturales, que también se han hallado en tablillas.[4] En el sistemasexagesimal que empleaban los babilonios para escribir los números, los inversos de los divisores de potencias de 60(números regulares) se calculan fácilmente, por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicar por 150 (2·60+30) ycorrer la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babilonios necesitaba una sólidacomprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los naturales.

En las matemáticas egipcias, el cálculo de fracciones requería conocimientos sobre las operaciones, la división denaturales y la factorización. Los egipcios sólo operaban con las llamadas fracciones egipcias, suma de fraccionesunitarias, es decir, aquellas cuyo numerador es 1, como , por lo que las fracciones de numeradordistinto de 1 se escribían como suma de inversos de naturales, a ser posible sin repetición en lugar de

.[5] Es por ello que, en cierta manera, tenían que conocer o intuir los números primos.[6]

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Antigua GreciaLa primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. yse encuentra en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, demuestra que hayinfinitos de ellos, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona un método paradeterminarlos que hoy en día se conoce como el algoritmo de Euclides. Los Elementos contienen asimismo elteorema fundamental de la aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un número primo deMersenne.La criba de Eratóstenes, atribuida a Eratóstenes de Cirene, es un método sencillo que permite encontrar númerosprimos. Hoy en día, empero, los mayores números primos que se encuentran con la ayuda de ordenadores empleanotros algoritmos más rápidos y complejos.

Matemáticas modernas

Pierre de Fermat.

Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances enel estudio de los números primos hasta el siglo XVII. En1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración)el pequeño teorema de Fermat, posteriormente demostradopor Leibniz y Euler. Es posible que mucho antes seconociera un caso especial de dicho teorema en China.

Fermat conjeturó que todos los números de la forma 22n+1eran primos (debido a lo cual se los conoce como númerosde Fermat) y verificó esta propiedad hasta n = 4 (es decir,216 + 1). Sin embargo, el siguiente número de Fermat232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641),como demostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no seconoce ningún número de Fermat que sea primo aparte delos que ya conocía el propio Fermat.

El monje francés Marin Mersenne investigó los númerosprimos de la forma 2p − 1, con p primo. En su honor, se losconoce como números de Mersenne.

En el trabajo de Euler en teoría de números se encuentran muchos resultados que conciernen los números primos.Demostró la divergencia de la serie , y en 1747 demostró que todos los números perfectospares son de la forma 2p-1(2p - 1), donde el segundo factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no existennúmeros perfectos impares, pero todavía es una cuestión abierta.A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que, cuando n tiende a infinito,el número de primos menores o iguales que n es asintótico a , donde ln(n) es el logaritmo natural de n. Lasideas que Bernhard Riemann plasmó en un trabajo de 1859 sobre la función zeta, describieron el camino queconduciría a la demostración del teorema de los números primos. Hadamard y De la Vallée-Poussin, cada uno porseparado, dieron forma a este esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.Actualmente no se comprueba la primalidad de un número por divisiones sucesivas, al menos no si el número esrelativamente grande.

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Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un número es primo o no factorizando completamenteel número siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Dentro del primer caso se encuentra el test de Lucas-Lehmer,desarrollado a partir de 1856. Dentro del segundo caso se encuentra el test de Pépin para los números de Fermat(1877). El caso general de test de primalidad cuando el número inmediatamente anterior se encuentra completamentefactorizado se denomina test de Lucas.Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con sólo obtener una factorización parcial de p+1 o p-1.Ejemplos de de estos algoritmos son el test de Proth (desarrollado alrededor de 1878) y el test de Pocklington (1914).En estos algoritmos se requiere que el producto de los factores primos conocidos de p-1 sea mayor que la raízcuadrada de p. Más recientemente, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaron el test BLS de primalidadque sólo requiere que dicho producto sea mayor que la raíz cúbica de p. El mejor método conocido de esta clase es eltest de Konyagin y Pomerance del año 1997 que requiere que dicho producto sea mayor que p3/10.[7] [8]

A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si cualquier número esprimo o no con complejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en números de miles de dígitos, aunqueson mucho más lentos que los métodos anteriores. Ejemplos de estos algoritmos son el test APRT-CL (desarrolladoen 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con mejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usanlos factores de pm-1, donde el exponente m depende del tamaño del número cuya primalidad se desea verificar, eltest de primalidad por curvas elípticas (desarrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A. O. L.Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de números que permite después confirmar rápidamente siel número es primo o no. El desarrollo más reciente es el test de primalidad AKS (2002) que si bien su complejidades polinómica, para los números que puede manejar la tecnología actual es el más lento de los tres.Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada fuera de la matemáticapura.[9] [10] Esto cambió en los años 1970 con el desarrollo de la criptografía de clave pública, en la que los númerosprimos formaban la base de los primeros algoritmos tales como el algoritmo RSA.Desde 1951, el mayor número primo conocido siempre ha sido descubierto con la ayuda de ordenadores. Labúsqueda de números primos cada vez mayores ha suscitado interés incluso fuera de la comunidad matemática. Enlos últimos años han ganado popularidad proyectos de computación distribuida tales como el GIMPS, mientras losmatemáticos siguen investigando las propiedades de los números primos.

Primalidad del número 1La cuestión acerca de si el número 1 debe o no considerarse primo está basada en la convención. Ambas posturastienen sus ventajas y sus inconvenientes. De hecho, hasta el siglo XIX, los matemáticos en su mayoría loconsideraban primo. Muchos trabajos matemáticos siguen siendo válidos a pesar de considerar el 1 como un númeroprimo, como, por ejemplo, el de Stern y Zeisel. La lista de Derrick Norman Lehmer de números primos hasta el10.006.721, reimpreso hasta el año 1956[11] empezaba con el 1 como primer número primo.[12]

Actualmente, la comunidad matemática se inclina por no considerar a 1 en la lista de los números primos. Estaconvención, por ejemplo, permite una formulación muy económica del teorema fundamental de la aritmética: «todonúmero natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden».[13] [14] Además,los números primos tienen numerosas propiedades de las que carece el 1, tales como la relación del número con elvalor correspondiente de la función φ de Euler o la función suma de divisores.[15]

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Propiedades de los números primos

Teorema fundamental de la aritmética

Esta ilustración muestra que el 11 es un númeroprimo, pero el 12 no lo es.

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo númeronatural tiene una representación única como producto de factoresprimos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer variasveces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.

Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con losque se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puedeescribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquierotra factorización del 23.244 como producto de números primos seráidéntica excepto por el orden de los factores.

La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como númeroprimo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados enmatemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o másnúmeros. Así,• El mínimo común múltiplo de dos o más números es el número natural más pequeño que es múltiplo de todos

ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y nocomunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.

• El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número natural que divide a todos ellos. Es igual alproducto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de10 y 12 es 2.

• Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir,si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no seamúltiplo de él mismo.

Otras propiedades• En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en

cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que escoprima con la base.

• De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n - 1.Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.

• Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisorde a o de b.

• Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap - a es divisiblepor p.

• Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en su representación decimal, de periodo p − 1

o un divisor de p − 1. Esto se puede deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat. expresado en

base q (en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q.• Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n.

Asimismo, un número natural n > 4 es compuesto si y sólo si (n - 1)! es divisible por n.• La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo.

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• Teoremas de Sylow: Si G es un grupo y pn es la mayor potencia del número primo p que divide el orden de G,entonces G tiene un subgrupo de orden pn.

• Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden de G, entonces Gcontiene un elemento de orden p.

• La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida por concatenación de los númerosprimos en el sistema decimal, es un número irracional.

• El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo se da como una continuaciónmeromorfa de una función definida por un producto sobre el conjunto de todos los primos para Re(s) > 1:

En la región donde es convergente, este producto indexado por los números primos se puede calcular,obteniéndose diversos valores, algunos de ellos importantes en teoría de números. Los dos primeros son:

(Correspondiente a la serie armónica, relacionado con la infinitud de números

primos).

(Correspondiente al problema de Basilea).

En general es un número racional cuando n es un número entero positivo par.

• El anillo es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo si y solo si φ(p) = p − 1.• Si p > 1, el polinomio x p-1+x p-2+ ··· + 1 es irreducible sobre si y sólo si p es primo.• Un número natural n es primo si y sólo si el n-ésimo polinomio de Chebyshov de la primera especie Tn(x),

dividido entre x, es irreducible en . Además, Tn(x) ≡ xn si y sólo si n es primo.

Números primos y funciones aritméticasLas funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales,desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que sonaquellas funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene

.Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función φ de Euler, que a cada n asocia el número de enterospositivos menores y coprimos con n, y las funciones τ y σ, que a cada n asocian respectivamente el número dedivisores de n y la suma de todos ellos. El valor de estas funciones en las potencias de números primos es

,,

.Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor quetoman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número natural n de factorización

se tiene que

con lo que se ha reconducido el problema de calcular f(n) al de calcular f sobre las potencias de los números primosque dividen n, valores que son generalmente más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, paraconocer el valor de la función φ sobre n=450=2·32·52 basta con calcular

Número primo 6

.

Características del conjunto de los números primos

Infinitud de los números primosVéase también: Infinitud de los números primos

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IXde su obra Elementos[16] Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjuntoarbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno,

. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de lalista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjuntooriginal. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p esalguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia , pero ningúnnúmero primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. Laconsecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecena él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.Si se toma como conjunto el de los n primeros números primos, entonces

, donde pn# es lo que se llama primorial de pn. Un número primode la forma pn# +1 se denomina número primo de Euclides en honor al matemático griego. También se puedeelaborar una demostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dado de números primosmenos uno, el lugar del producto de esos números primos más uno. En ese sentido, se denomina número primoprimorial a un número primo de la forma pn# ± 1.No todos los números de la forma pn# +1 son primos. En este caso, como se sigue de la demostración anterior, todoslos factores primos deberán ser mayores que n. Por ejemplo: 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos procedentes de áreas delas matemáticas tales como al álgebra conmutativa y la topología.[17] Algunas de estas demostraciones se basan en eluso de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por loque se crea una biyección entre los términos de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides-Mullin, que deriva de la demostración euclídeade la infinitud de los números primos, ya que cada uno de sus términos se define como el factor primo más pequeñode uno más el producto de todos los términos anteriores. La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puestoque cada uno de sus términos es igual a uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de estaúltima sucesión no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los demás, por lo quese puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante será unconjunto infinito cuyos términos son todos primos.

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Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos

Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto porEuler en el siglo XVIII. Establece que la serie es divergente. Uno de los teoremas deMertens concreta más, estableciendo que

[18]

donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -C y C para n mayor que n0, donde los valores deC y n0 no están especificados.[19]

Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:

En toda progresión aritmética an = a + n·q, donde los enteros positivos a, q ≥ 1 son primos entre sí, existen infinitos términos que sonprimos.

El postulado de Bertrand enuncia así:

Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n- 2.

Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1, entonces siempreexiste un número primo p tal que n < p < 2n. Esto supone que, en una progresión geométrica de primer términoentero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la progresión y el siguiente, se tiene al menos un númeroprimo.

Frecuencia de los números primosVéase también: Teorema de los números primos

10 4 −0,3 2,2 2,500

102 25 3,3 5,1 4,000

103 168 23 10 5,952

104 1.229 143 17 8,137

105 9.592 906 38 10,425

106 78.498 6.116 130 12,740

107 664.579 44.158 339 15,047

108 5.761.455 332.774 754 17,357

109 50.847.534 2.592.592 1.701 19,667

1010 455.052.511 20.758.029 3.104 21,975

... ... ... ... ...

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Comparación entre las funciones π(n) (azul), n / ln n (verde) y Li(n) (rojo); sepuede ver que la aproximación de π(n) con Li(n) es mejor que la que hay con

Una vez demostrado la infinitud de losnúmeros primos, cabe preguntarse cómo sedistribuyen los primos entre los númerosnaturales, es decir, cuán frecuentes son ydónde se espera encontrar el n-ésimonúmero primo. Este estudio lo iniciaronGauss y Legendre de forma independiente afinales del siglo XVIII, para el cualintrodujeron la función enumerativa de losnúmeros primos π(n), y conjeturaron que suvalor fuese aproximadamente

.[20]

El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primeros resultados fueron obtenidos entre1848 y 1859 por Chebyshov, quien demostró utilizando métodos puramente aritméticos la existencia de dosconstantes A y B tales que

para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del cociente de aquellas expresiones, éstedebía ser 1.Hadamard y De la Vallée-Poussin elaboraron una demostración en 1896, independientemente el uno del otro, usandométodos similares, basados en el uso de la función zeta de Riemann, que había sido introducida por BernhardRiemann en 1859. Hubo que esperar hasta 1949 para encontrar una demostración que usara sólo métodoselementales (es decir, sin usar el análisis complejo). Esta demostración fue ideada por Selberg y Erdős. Actualmente,se conoce el teorema como teorema de los números primos.El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función logaritmo integral:

.

En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete aproximando de esta forma es

para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado fue ligeramente mejorado a lo largo de los años.Por otra parte, en 1901 Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era cierta, se tenía la siguiente estimación,más precisa:[21]

Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n-ésimo número primo, queda bienaproximado por nln(n). En efecto, pn es estrictamente mayor que este valor.

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Diferencia entre dos primos consecutivosLigado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los intervalos entre dos primosconsecutivos. Este intervalo, con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay un número par y por tanto compuesto. Si dosnúmeros primos tienen por diferencia 2, se dice que son gemelos, y con la salvedad del "triplete" formado por losnúmeros 3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entretres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Losprimeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un número naturaln, se denota por n! su factorial, es decir, el producto de todos los números naturales comprendidos entre 1 y n. Losnúmeros

(n+1)!+2, (n+1)!+3,···,(n+1)!+n+1son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, por tanto, es compuesto. La sucesión,que comprende n enteros consecutivos, no contiene ningún número primo. Por ejemplo, si n=5, estos valorescorresponden a:

6!+2=722=2·3616!+3=723=3·2416!+4=724=4·1816!+5=725=5·1456!+6=726=6·121

El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.[22] De todas formas, el menor número primo que dista del siguiente en n esgeneralmente mucho menor que el factorial, por ejemplo, el caso más pequeño de dos primos consecutivos separadosde ocho unidades es (89, 97), mientras que 8! es igual a 40.320.La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos[23] ha sido profusamente estudiada en matemáticas, yalrededor de este concepto se han establecido muchas conjeturas que permanecen sin resolver.

Conclusión

La distribución de todos los números primoscomprendidos entre 1 y 76.800, de izquierda a

derecha y de arriba abajo. Cada pixel representaun número. Los píxeles negros representan

números primos; los blancos representan númerosno primos.

El modelado de la distribución de los números primos es un tema deinvestigación recurrente entre los teóricos de números. La primalidadde un número concreto es (hasta ahora) impredecible a pesar de queexisten leyes, como el teorema de los números primos y el postuladode Bertrand, que gobiernan su distribución a gran escala. LeonhardEuler comentó:

Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontraralgún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos motivospara creer que es un misterio en el que la mente jamás penetrará.[24]

En una conferencia de 1975, Don Zagier comentó:Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los queespero convencerles de forma tan incontestable que quedaránpermanentemente grabados en sus corazones. El primero es que, apesar de su definición simple y del papel que desempeñan comoladrillos con los que se construyen los números naturales, los números

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Imagen con 2310 columnas que conservamúltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11 en las columnas

respectivas. Como cabe esperar, los númerosprimos caerán en columnas concretas si los

números están ordenados de izquierda a derecha yel ancho es un múltiplo de un número primo. Sin

embargo, los números primos también quedandistribuidos de manera ordenada en

construcciones espirales como la espiral de Ulam,ya que tienden a concentrarse en algunas

diagonales concretas y no en otras.

primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y noparecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puedepredecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es aún másasombroso, ya que dice justo lo contrario: que los números primosmuestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan sucomportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casimilitar.[25]

Encontrar números primos

Tests de primalidad

Véase también: Test de primalidad

La criba de Eratóstenes fue concebida por Eratóstenes de Cirene, un matemáticogriego del siglo III a. C. Es un algoritmo sencillo que permite encontrar todos los

números primos menores o iguales que un número dado.

La criba de Eratóstenes es una manerasencilla de hallar todos los números primosmenores o iguales que un número dado. Sebasa en confeccionar una lista de todos losnúmeros naturales desde el 2 hasta esenúmero y tachar repetidamente los múltiplosde los números primos ya descubiertos. Lacriba de Atkin, más moderna, tiene unamayor complejidad, pero si se optimizaapropiadamente también es más rápida.También existe una reciente criba deSundaram que genera únicamente númeroscompuestos, siendo los primos los númerosfaltantes.

En la práctica, lo que se desea es determinarsi un número dado es primo sin tener queconfeccionar una lista de números primos.Un método para determinar la primalidad deun número es la división por tentativa, queconsiste en dividir sucesivamente ese número entre los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Sialguna de las divisiones es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dado nmenor o igual que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que elsiguiente número primo, 11, ya es mayor que √120. Es el test de primalidad más sencillo, y rápidamente pierde suutilidad a la hora de comprobar la primalidad de números grandes, ya que el número de factores posibles crecedemasiado rápido a medida que crece el número potencialmente primo.

En efecto, el número de números primos menores que n es aproximadamente

.

De esta forma, para determinar la primalidad de n, el mayor factor primo que se necesita no es mayor que √n,dejando el número de candidatos a factor primo en cerca de

.

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Esta expresión crece cada vez más lentamente en función de n, pero, como los n grandes son de interés, el número decandidatos también se hace grande: por ejemplo, para n = 1020 se tienen 450 millones de candidatos.Asimismo, existen otros muchos tests de primalidad determinísticos que se basan en propiedades que caracterizan alos números primos, pero su utilidad computacional depende mucho del test usado. Por ejemplo, se podría emplear elteorema de Wilson para calcular la primalidad de un número, pero tiene el inconveniente de requerir el cálculo de unfactorial, una operación computacionalmente prohibitiva cuando se manejan números grandes. Aquí entre en juegoel tiempo de ejecución del algoritmo empleado, que se expresa en la notación de Landau. Para poder determinar laprimalidad de números cada vez más grandes (de miles de cifras) se buscan aquellos algoritmos cuyo tiempo deejecución crezca lo más lentamente posible, a ser posible, que se pueda expresar como un polinomio. Si bien el testde primalidad AKS cumple con esta condición, para el rango de números que se usa en la práctica este algoritmo esextremadamente lento.Por otra parte, a menudo basta con tener una respuesta más rápida con una alta probabilidad (aunque no segura) deser cierta. Se puede comprobar rápidamente la primalidad de un número relativamente grande mediante tests deprimalidad probabilísticos. Estos tests suelen tomar un número aleatorio llamado "testigo" e introducirlo en unafórmula junto con el número potencialmente primo n. Después de varias iteraciones, se resuelve que n es"definitivamente compuesto" o bien "probablemente primo". Estos últimos números pueden ser primos o bienpseudoprimos (números compuestos que pasan el test de primalidad). Algunos de estos tests no son perfectos: puedehaber números compuestos que el test considere "probablemente primos" independientemente del testigo utilizado.Esos números reciben el nombre de pseudoprimos absolutos para ese test. Por ejemplo, los números de Carmichaelson números compuestos, pero el test de Fermat los evalúa como probablemente primos. Sin embargo, los testsprobabilísticos más utilizados, como el test de Miller-Rabin o el obsoleto test de Solovay-Strassen, superado por elanterior, no tienen este inconveniente, aun siendo igualmente tests probabilísticos.Algunos tests probabilísticos podrían pasar a ser determinísticos y algunos tests pueden mejorar su tiempo deejecución si se verifican algunas hipótesis matemáticas. Por ejemplo, si se verifica la hipótesis generalizada deRiemann, se puede emplear una versión determinística del test de Miller-Rabin, y el test de primalidad por curvaselípticas podría mejorar notablemente su tiempo de ejecución si se verificaran algunas hipótesis de teoría analítica denúmeros.

Algoritmos de factorizaciónUn algoritmo de factorización es un algoritmo que separa uno a uno los factores primos de un número. Losalgoritmos de factorización pueden funcionar también a modo de tests de primalidad, pero en general tienen untiempo de ejecución menos ventajoso. Por ejemplo, se puede modificar el algoritmo de división por tentativa deforma que no se detenga cuando se obtenga una división exacta, sino que siga realizando nuevas divisiones, y nosobre el número original, sino sobre el cociente obtenido. Después de la división por tentativa, los métodos másantiguos que se conocen son el método de Fermat, que se basa en las diferencias entre cuadrados y que esespecialmente eficaz cuando n es el producto de dos números primos próximos entre sí, y el método de Euler, que sebasa en la representación de n como suma de dos cuadrados de dos formas distintas.Más recientemente, se han elaborado algoritmos basados en una gran variedad de técnicas, como las fraccionescontinuas o las curvas elípticas, aunque algunos son mejoras de métodos anteriores (la criba cuadrática, por ejemplo,se basa en una mejora del método de Fermat y posee complejidad computacional subexponencial sobre el número decifras de n). Otros, como el método rho de Pollard, son probabilísticos, y no garantizan hallar los divisores de unnúmero compuesto.Hoy por hoy, el algoritmo determinístico más rápido de uso general es el general number field sieve, que también posee complejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras de n.[26] Se ha propuesto un algoritmo cuyo tiempo de ejecución es polinómico sobre el número de cifras de n (el algoritmo de Shor), pero requiere ser ejecutado en un ordenador cuántico, ya que su simulación en un ordenador normal requiere un tiempo exponencial.

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No se conocen algoritmos para factorizar en una computadora tradicional en tiempo polinómico y tampoco sedemostró que esto sea imposible.

Fórmulas que sólo generan números primosVéase también: Fórmula de los números primos

A lo largo de la historia, se han buscado numerosas fórmulas para generar los números primos. El nivel más alto deexigencia para una fórmula así sería que asociara a cada número natural n el n-ésimo número primo. De forma másindulgente, se puede pedir una función f que asocie a cada número natural n un número primo de tal forma que cadauno de los valores tomados sólo aparezca una vez.Además, se desea que la función se pueda calcular en la práctica.[27] Por ejemplo, el teorema de Wilson asegura quep es un número primo si y sólo si (p-1)!≡-1 (mod p). Otro ejemplo: la función f(n) = 2 + ( 2(n!) mod (n+1)) generatodos los números primos, sólo los números primos, y sólo el valor 2 se toma más de una vez. Sin embargo, ambasfórmulas se basan en el cálculo de un factorial, lo que las hace computacionalmente inviables.En la búsqueda de estas funciones, se han investigado notablemente las funciones polinómicas. Cabe subrayar queningún polinomio, aun en varias variables, toma sólo valores primos.[28] Por ejemplo, el polinomio en una variablef(n) = n² − n + 41 devuelve valores primos para n = 0,…, 40, 43, pero f(41) y f(42) son compuestos. Si el términoconstante vale cero, entonces el polinomio es múltiplo de n, por lo que el polinomio es compuesto para valorescompuestos de n. En caso contrario, si c es el término constante, entonces f(cn) es múltiplo de c, por lo que si elpolinomio no es constante, necesariamente deberá incluir valores compuestos.Sin embargo, hay polinomios en varias variables cuyos valores positivos (cuando las variables recorren los númerosnaturales) son precisamente los números primos. Un ejemplo es este polinomio descubierto por Jones, Sato, Wada yWiens en 1976:[28]

Al igual que ocurre con las fórmulas con factoriales, este polinomio no es práctico de calcular, ya que, aunque losvalores positivos que toma son todos primos, prácticamente no devuelve otra cosa que valores negativos cuando sehacen variar las variables a a z de 0 a infinito.Otro enfoque al problema de encontrar una función que sólo genere números primos viene dado a partir del teoremade Mills, que indica que existe una constante θ tal que

es siempre un número primo, donde es la función piso.[29] Todavía no se conoce ninguna fórmula para calcularla constante de Mills, y las aproximaciones que se emplean en la actualidad se basa en la sucesión de los asíllamados números primos de Mills (los números primos generados mediante esta fórmula), que no pueden serobtenidos rigurosamente, sino sólo de manera probabilística, suponiendo cierta la hipótesis de Riemann.

Clases de números primosDe mayor interés son otras fórmulas que, aunque no sólo generen números primos, son más rápidas de implementar,sobre todo si existe un algoritmo especializado que permita calcular rápidamente la primalidad de los valores quevan tomando. A partir de estas fórmulas se obtienen subconjuntos relativamente pequeños del conjunto de losnúmeros primos, que suelen recibir un nombre colectivo.

Primos primoriales y primos factorialesVéanse también: Número primo primorial y número primo factorial

Los números primos primoriales, directamente relacionados con la demostración euclidiana de la infinitud de los números primos, son los de la forma p = n# ± 1 para algún número natural n, donde n# es igual al producto 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de todos los primos ≤ n. Asimismo, un número primo se dice primo factorial si es de la forma

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n! ± 1. Los primeros primos factoriales son:n! − 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, …[30]

n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …[31]

Números primos de FermatVéase también: Número de Fermat

Construcción de un pentágono regular. 5 es unnúmero primo de Fermat.

Los números de Fermat, ligados a la construcción de polígonosregulares con regla y compás, son los números de la forma

, con n natural. Los únicos números primos de Fermatque se conocen hasta la fecha son los cinco que ya conocía el propioFermat, correspondientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valoresde n entre 5 y 32 estos números son compuestos.[32]

Para determinar su primalidad, existe un test especializado cuyotiempo de ejecución es polinómico: el test de Pépin. Sin embargo, lospropios números de Fermat crecen tan rápidamente que sólo se lo hapodido aplicar para valores de n pequeños. En 1999 se lo aplicó para n= 24. Para determinar el carácter de otros números de Fermat mayoresse utiliza el método de divisiones sucesivas y de esa manera a fecha dejunio de 2009 se conocen 241 números de Fermat compuestos, aunqueen la mayoría de los casos se desconozca su factorización completa.[32]

Números primos de MersenneVéase también: Número primo de Mersenne

Los números de Mersenne son los de forma Mp = 2p – 1, donde p es primo.[33] Los mayores números primosconocidos son generalmente de esta forma, ya que existe un test de primalidad muy eficaz, el test de Lucas-Lehmer,para determinar si un número de Mersenne es primo o no.Actualmente, el mayor número primo que se conoce es M43.112.609 = 243.112.609 - 1, que tiene 12.978.189 cifras en elsistema decimal. Se trata cronológicamente del 45º número primo de Mersenne conocido y su descubrimiento seanunció el 23 de agosto de 2008 gracias al proyecto de computación distribuida «Great Internet Mersenne PrimeSearch» (GIMPS). Desde entonces, se han descubierto otros dos números primos de Mersenne, pero son menoresque el 45º.[34] [35]

Otras clases de números primosExisten literalmente decenas de apellidos que se pueden añadir al concepto de número primo para referirse a unsubconjunto que cumple alguna propiedad concreta. Por ejemplo, los números primos pitagóricos son los que sepueden expresar en la forma 4n+1. Dicho de otra forma, se trata de los números primos cuyo resto al dividirlos entre4 es 1. Otro ejemplo es el de los números primos de Wieferich, que son aquellos números primos p tales que p2

divide a 2p-1 - 1.Algunas de estas propiedades se refieren a una relación concreta con otro número primo:• Números primos gemelos: p y p+2 lo son si son los dos primos.• Número primo de Sophie Germain: dado p primo, es de Sophie Germain si 2p + 1 también es primo. Una

sucesión de números p1,p2,p3,··· ,pn todos ellos primos, tales que pi+1=2pi+1 para todo i ∈ {1,2,···,n-1 }, se denomina cadena (completa) de Cunningham de primera especie, y cumple por definición que cada uno de los términos, salvo el último, es un número primo de Sophie Germain. Se cree que para todo n natural existen

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infinitas cadenas de Cunningham de longitud n,[36] aunque hasta la fecha nadie ha proporcionado prueba de quedicha afirmación sea cierta.

• Número primo de Wagstaff: p lo es si , donde q es otro número primo.[37] [38]

También se les da nombres especiales a algunas clases de primos que dependen de la base de numeración empleadao de la forma de escribir los dígitos, y no de una fórmula matemática. Es el caso de los números somirp (primos alrevés), que son aquellos números primos tales que el número obtenido al invertir el orden de sus cifras también esprimo. También es el caso de los números primos repunit, que son aquellos números primos que son concatenaciónde unos. Si, en lugar de considerarse el sistema de numeración decimal se considera el binario, se obtiene otroconjunto distinto de números primos repunit que, además, coincide con el de los números primos de Mersenne.Finalmente, los números primos triádicos son aquellos números que son primos, capicúas y simétricos respecto deuna recta horizontal.El que se le dé un nombre a una clase de números primos con una definición precisa no significa que se conozcaalgún número primo que sea de esa clase. Por ejemplo, no se conoce hasta el momento ningún número primo deWall-Sun-Sun, pero su relevancia radica en que en 1992, antes de la demostración de Wiles del último teorema deFermat, se descubrió que la falsedad del teorema para un número primo p dado implicaba que p era un número primode Wall-Sun-Sun. Esto hizo que, durante un tiempo, la búsqueda de números primos de esta clase fuera también labúsqueda de un contraejemplo del último teorema de Fermat.[39]

ConjeturasExisten numerosas preguntas abiertas acerca de los números primos. Muchas de ellas son problemas bien antiguos, yuna de las más significativas es la hipótesis de Riemann, varias veces mencionada en este artículo como unaconjetura que, de ser cierta, permitiría conocer numerosos resultados relevantes en diversos campos de lasmatemáticas.

Hipótesis de RiemannVéase también: Hipótesis de Riemann

Para entender la hipótesis de Riemann, una conjetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha, sigue sinresolverse, es necesario entender la función zeta de Riemann. Sea un número complejo con parte real mayor que1. Entonces,

La segunda igualdad es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética, y muestra que la función zetaestá íntimamente relacionada con los números primos.Existen dos tipos de ceros de la función zeta, es decir, valores s para los cuales ζ(s) = 0: los triviales, que son s=-2,s=-4, s=-6, etc. (los enteros pares negativos) y los no triviales, que son aquellos ceros que no se encuentran en el ejereal. Lo que indica la hipótesis de Riemann es que la parte real de todos los ceros no triviales es igual a 1/2.La veracidad de la hipótesis implica una profunda conexión con los números primos, en esencia, en el caso deverificarse, dice que los números primos están distribuidos de la forma más regular posible. Desde un punto de vista«físico», dice grosso modo que las irregularidades en la distribución de los números primos sólo proceden de ruidoaleatorio. Desde un punto de vista matemático, dice que la distribución asintótica de los números primos (según elteorema de los números primos, la proporción de primos menores que n es ) también es cierta para intervalos

mucho menores, con un error de aproximadamente la raíz cuadrada de n (para intervalos próximos a n). Estáampliamente extendido en la comunidad matemática que la hipótesis sea cierta. En concreto, la presunción mássimple es que los números primos no deberían tener irregularidades significativas en su distribución sin una buenarazón.[40]

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Otras conjeturas

Infinitud de ciertos tipos de números primos

Muchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos números primos de una determinada forma. Así, se conjetura que hayinfinitos números primos de Fibonacci[41] e infinitos primos de Mersenne, pero sólo un número finito de primos deFermat.[42] No se sabe si hay infinitos números primos de Euclides.

Distribución de los números primos

También hay numerosas conjeturas que se ocupan de determinadas propiedades de la distribución de los númerosprimos. Así, la conjetura de los números primos gemelos enuncia que hay infinitos números primos gemelos, queson pares de primos cuya diferencia es de 2. La conjetura de Polignac es una versión más general y más fuerte de laanterior, ya que enuncia que, para cada entero positivo n, hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en2n. A su vez, una versión más débil de la conjetura de Polignac dice que todo número par es la diferencia de dosnúmeros primos.Asimismo, se conjetura la infinidad de los primos de la forma n2 + 1. Según la conjetura de Brocard, entre loscuadrados de primos consecutivos mayores que 2 existen siempre al menos cuatro números primos. La conjetura deLegendre establece que, para cada n natural, existe un número primo entre n2 y (n+1)2. Finalmente, la conjetura de

Cramér, cuya veracidad implicaría la de Legendre, dice que .

Teoría aditiva de números

Otras conjeturas relacionan algunas propiedades aditivas de los números con los números primos. Así, la conjeturade Goldbach dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos, aunquetambién existe una versión más débil de la misma conjetura según la cual todo número impar mayor que 5 se puedeescribir como suma de tres números primos.

Los cuatro problemas de LandauEn 1912, Landau estableció en el Quinto Congreso Internacional de Matemáticos de Cambridge una lista de cuatrode los problemas ya mencionados sobre números primos, que se conocen como los problemas de Landau. Ningunode ellos está resuelto hasta la fecha. Se trata de la conjetura de Goldbach, la de los números primos gemelos, la deLegendre y la de los primos de la forma n2 + 1.[43]

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Generalización del concepto de número primoEl concepto de número primo es tan importante que se ha visto generalizado de varias maneras en diversas ramas delas matemáticas.

Elementos primos en un anillo

Representación de los primos gaussianos de norma menor o igual a500. Los primos gaussianos son, por definición, los enteros

gaussianos que son primos.

Se pueden definir los elementos primos y los elementosirreducibles en cualquier dominio de integridad.[44] Encualquier dominio de factorización única, como porejemplo, el anillo de los enteros, el conjunto deelementos primos equivale al conjunto de los elementosirreducibles, que en es {…, −11, −7, −5, −3, −2, 2,3, 5, 7, 11, …}.

Considérense por ejemplo los enteros gaussianos ,es decir, los números complejos de la forma a+bi con a,b ∈ . Este es un dominio de integración, y suselementos primos son los primos gaussianos. Cabedestacar que el 2 no es un primo gaussiano, porqueadmite factorización como producto de los primosgaussianos (1+i) y (1-i). Sin embargo, el elemento 3 síes primo en los enteros gaussianos. En general, losprimos racionales (es decir, los elementos primos delanillo ) de la forma 4k+3 son primos gaussianos,pero no lo son aquellos de la forma 4k+1.

Ideales primos

En teoría de anillos, un ideal I es un subconjunto de un anillo A tal que• si i, j ∈ I, entonces la suma i + j pertenece a I• y si x ∈ A, i ∈ I, entonces los productos a × i, i × a pertenecen a I.Un ideal primo se define entonces como un ideal que cumple también que:• para cualquier par de elementos a, b del anillo A tales que su producto a × b pertenece a I, entonces, al menos uno

de los dos elementos, a o b, está en I.• I no es el anillo A entero.Los ideales primos son una herramienta relevante en álgebra conmutativa, teoría algebraica de números y geometríaalgebraica. Los ideales primos del anillo de enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), …Un problema central en teoría algebraica de números es la manera en que se factorizan los ideales primos cuando seven sometidos a una extensión de cuerpos. En el ejemplo de los enteros gaussianos, (2) se ramifica en potencia de unprimo (ya que y generan el mismo ideal primo), los ideales primos de la forma son inertes(mantienen su primalidad) y los de la forma pasan a ser producto de dos ideales primos distintos.

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Primos en teoría de la valoraciónEn teoría algebraica de números surge otra generalización más. Dado un cuerpo , se consideran las valoracionessobre , determinadas funciones de en . Cada una de estas valoraciones genera una topología sobre , yse dice que dos valoraciones son equivalentes si generan la misma topología. Un primo de es una clase deequivalencia de valoraciones. Con esta definición, los primos del cuerpo de los números racionales quedanrepresentados por la función valor absoluto así como por las valoraciones p-ádicas sobre para cada númeroprimo p.

Nudos primos

Algunos nudos primos.

En teoría de nudos, un nudo primo es un nudo no trivial que no se puede descomponer en dos nudos más pequeños.De forma más precisa, se trata de un nudo que no se puede escribir como suma conexa de dos nudos no triviales.En 1949 Horst Schubert demostró un teorema de factorización análogo al teorema fundamental de la aritmética, queasegura que cada nudo se puede obtener de forma única como suma conexa de nudos primos.[45] Por este motivo, losnudos primos desempeñan un papel central en la teoría de nudos: una clasificación de los nudos ha sido desde finalesdel siglo XIX el tema central de la teoría.

Aplicaciones en la computaciónEl algoritmo RSA se basa en la obtención de la clave pública mediante la multiplicación de dos números grandes(mayores que 10100) que sean primos. La seguridad de este algoritmo radica en que no se conocen maneras rápidasde factorizar un número grande en sus factores primos utilizando computadoras tradicionales.

Números primos en el arte y la literaturaLos números primos han influido en numerosos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen se valióde ellos para crear música no métrica. En obras tales como La Nativité du Seigneur (1935) o Quatre études derythme (1949-50) emplea simultáneamente motivos cuya duración es un número primo para crear ritmosimpredecibles. Según Messiaen, esta forma de componer fue «inspirada por los movimientos de la naturaleza,movimientos de duraciones libres y desiguales».[46]

En su novela de ciencia ficción Contact, posteriormente adaptada al cine, Carl Sagan sugiere que los números primospodrían ser empleados para comunicarse con inteligencias extraterrestres, una idea que había desarrollado de manerainformal con el astrónomo estadounidense Frank Drake en 1975.[47]

El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon, que describe en primera persona la vida de un jovenautista muy dotado en matemáticas y cálculo mental, utiliza únicamente los números primos para numerar loscapítulos.En la novela PopCo de Scarlett Thomas, la abuela de Alice Butler trabaja en la demostración de la hipótesis deRiemann. El libro ilustra una tabla de los mil primeros números primos.[48]

La soledad de los números primos, novela escrita por Paolo Giordano, ganó el premio Strega en 2008.También son muchas las películas que reflejan la fascinación popular hacia los misterios de los números primos y lacriptografía, por ejemplo, Cube, Sneakers, El amor tiene dos caras y Una mente maravillosa. Esta última se basa enla biografía del matemático y premio Nobel John Forbes Nash, escrita por Sylvia Nasar.[49]

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Véase también• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.• Criptografía• Matemática• Espiral de Ulam• Test de primalidad• Tabla de factores primos

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

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Referencias[1] (sucesión A000040 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a000040) en OEIS)[2] Marcus du Sautoy, La symphonie des nombres premiers P.42 (en francés)[3] Préhistoire de la géométrie: le problème des sources (http:/ / www. reunion. iufm. fr/ recherche/ irem/ telecharger/ Keller/ Keller3. pdf),

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aparentemente arbitraria del 1 de la definición de número primo … no expresa ningún conocimiento profundo sobre los números: se tratasimplemente de un convenio útil, adoptado para que sólo haya una manera de factorizar cualquier número en sus factores primos»

[14] " Why is the number one not prime? (http:/ / primes. utm. edu/ notes/ faq/ one. html)" (en inglés), accedido el 31-05-2009.[15] " Arguments for and against the primality of 1 (http:/ / www. geocities. com/ primefan/ Prime1ProCon. html)" (en inglés), accedido el

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. Para más información, lea notación de Landau.[20] Con esta expresión se quiere decir que el límite de la razón entre las dos expresiones tiende a 1 cuando n tiende a infinito.[21] von Koch, Helge (1901). « Sur la distribution des nombres premiers (http:/ / www. springerlink. com/ content/ 077g4j008x57p021/ )».

SpringerLink. Consultado el 6 de junio de 2009.[22] Nótese que esto no tiene por qué ser verdad en general, por ejemplo, si n es impar, se tiene que n!+(n+1) es divisible entre 2.[23] (sucesión A001223 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a001223) en OEIS)[24] Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 163 (en inglés)[25] Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 171[26] Eric W. Weisstein. « Number Field Sieve (http:/ / mathworld. wolfram. com/ NumberFieldSieve. html)» (en inglés). Consultado el 31 de

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[34] DiAmOnD (2008). « ¡¡Tenemos dos nuevos primos de Mersenne!! (http:/ / gaussianos. com/ ¡¡tenemos-dos-nuevos-primos-de-mersenne/)». Consultado el 5 de junio de 2009.

[35] GIMPS (2009). « 47th Known Mersenne Prime Found! (http:/ / mersenne. org/ )». Consultado el 13 de junio de 2009.[36] Nicholas Anderson, Andrew J. Havens, Brian Hydefrost, Sean Murphy y Steve Sarasin. « Prime Numbers and the Riemann Hypothesis

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[41] Caldwell, Chris, The Top Twenty: Lucas Number (http:/ / primes. utm. edu/ top20/ page. php?id=48) en The Prime Pages. Consultado el 1 dejunio de 2009 (en inglés)

[42] Por ejemplo, véase Guy, Richard K. (1981), Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, problema A3, pp. 7–8.[43] Mathworld - Landau's Problems (http:/ / mathworld. wolfram. com/ LandausProblems. html) (en inglés)[44] « Números algebraicos (http:/ / www. iesmurgi. org/ matematicas/ materiales/ numeros/ node18. html)» (2004). Consultado el 7 de junio de

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Fuentes y contribuyentes del artículo 21

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