Nmero primo

Este artculo trata sobre primos en los nmeros enteros. Para la generalizacin aanillos, vanseelemento primoyelemento irreducible.

La distribucin de los nmeros primos (lnea azul) hasta el 400

Enmatemticas, particularmente en Teora de nmeros o Aritmtica, unnmero primoes unnmero naturalmayor que 1 que tiene nicamente dosdivisoresdistintos: l mismo y el1.12Los nmeros primos se contraponen as a loscompuestos, que son aquellos que tienen por lo menos un divisor natural distinto de s mismos y de 1. Elnmero 1,por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Los nmeros primos menores que 100 son los siguientes:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89y97.3La propiedad de ser primo se denominaprimalidad. A veces se habla denmero primo imparpara referirse a cualquier nmero primo mayor que 2, ya que ste es el nico nmero primo par. A veces se denota elconjuntode todos los nmeros primos por.

El estudio de los nmeros primos es una parte importante de lateora de nmeros, rama de las matemticas que versa sobre las propiedades, bsicamente aritmticas,4de los nmeros enteros. Los nmeros primos estn presentes en algunasconjeturascentenarias tales como lahiptesis de Riemanny laconjetura de Goldbach, recientemente resuelta por el peruanoHarald Helfgotten su formadbil. La distribucin de los nmeros primos es un tema recurrente de investigacin en la teora de nmeros: si se consideran nmeros individuales, los primos parecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribucin global de los nmeros primos sigue leyes bien definidas.

ndice

[ocultar] 1Historia de los nmeros primos 1.1Matemticas anteriores a la Antigua Grecia 1.2Antigua Grecia 1.3Matemticas modernas 2Primalidad del nmero 1 3Propiedades de los nmeros primos 3.1Teorema fundamental de la aritmtica 3.2Otras propiedades 3.3Nmeros primos y funciones aritmticas 4Caractersticas del conjunto de los nmeros primos 4.1Infinitud de los nmeros primos 4.1.1Otros enunciados que implican la infinitud de los nmeros primos 4.2Frecuencia de los nmeros primos 4.3Diferencia entre dos primos consecutivos 4.4Conclusin 5Encontrar nmeros primos 5.1Tests de primalidad 5.2Algoritmos de factorizacin 5.3Frmulas que slo generan nmeros primos 6Clases de nmeros primos 6.1Primos primoriales y primos factoriales 6.2Nmeros primos de Fermat 6.3Nmeros primos de Mersenne 6.4Otras clases de nmeros primos 7Conjeturas 7.1Hiptesis de Riemann 7.2Otras conjeturas 7.2.1Infinitud de ciertos tipos de nmeros primos 7.2.2Distribucin de los nmeros primos 7.2.3Teora aditiva de nmeros 7.3Los cuatro problemas de Landau 8Generalizacin del concepto de nmero primo 8.1Elementos primos en un anillo 8.2Ideales primos 8.3Primos en teora de la valoracin 8.4Nudos primos 9Aplicaciones en la computacin 10Nmeros primos en el arte y la literatura 11Vase tambin 12Referencias 13Enlaces externosHistoria de los nmeros primos[editar]Matemticas anteriores a la Antigua Grecia[editar]Las muescas presentes en elhueso de Ishango, que data de hace ms de 20.000 aos (anterior por tanto a la aparicin de laescritura) y que fue hallado por el arquelogoJean de Heinzelin de Braucourt,5parecen aislar cuatro nmeros primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arquelogos interpretan este hecho como la prueba del conocimiento de los nmeros primos. Con todo, existen muy pocos hallazgos que permitan discernir los conocimientos que tena realmente el hombre de aquella poca.6Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo enMesopotamiaa lo largo del II milenio a.C. muestran la resolucin de problemas aritmticos y atestiguan los conocimientos de la poca. Los clculos requeran conocer losinversosde los naturales, que tambin se han hallado en tablillas.7En elsistema sexagesimalque empleaban losbabiloniospara escribir los nmeros, los inversos de los divisores de potencias de 60 (nmeros regulares) se calculan fcilmente; por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicar por 150 (260+30) y correr la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemtico de los babilonios necesitaba una slida comprensin de la multiplicacin, la divisin y lafactorizacinde los naturales.

En lasmatemticas egipcias, el clculo defraccionesrequera conocimientos sobre las operaciones, la divisin de naturales y la factorizacin. Los egipcios slo operaban con las llamadasfracciones egipcias, suma defracciones unitarias, es decir, aquellas cuyo numerador es 1, como, por lo que las fracciones de numerador distinto de 1 se escriban como suma de inversos de naturales, a ser posible sin repeticinen lugar de.8Es por ello que, en cierta manera, tenan que conocer o intuir los nmeros primos.9Antigua Grecia[editar]

Un fragmento de losElementosde Euclides encontrado enOxirrinco.

La primera prueba indiscutible del conocimiento de los nmeros primos se remonta a alrededor del ao 300a.C. y se encuentra en losElementosdeEuclides(tomos VII a IX). Euclides define los nmeros primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define elmximo comn divisory elmnimo comn mltiploy proporciona un mtodo para determinarlos que hoy en da se conoce como elalgoritmo de Euclides. LosElementoscontienen asimismo elteorema fundamental de la aritmticay la manera de construir unnmero perfectoa partir de unnmero primo de Mersenne.

Lacriba de Eratstenes, atribuida aEratstenes de Cirene, es un mtodo sencillo que permite encontrar nmeros primos. Hoy en da, empero, los mayores nmeros primos que se encuentran con la ayuda de ordenadores emplean otros algoritmos ms rpidos y complejos.

Matemticas modernas[editar]

Pierre de Fermat.

Despus de las matemticas griegas, hubo pocos avances en el estudio de los nmeros primos hasta el siglo XVII. En1640Pierre de Fermatestableci (aunque sin demostracin) elpequeo teorema de Fermat, posteriormente demostrado porLeibnizyEuler. Es posible que mucho antes se conociera un caso especial de dicho teorema en China.

Fermat conjetur que todos los nmeros de la forma 22n+1 eran primos (debido a lo cual se los conoce comonmeros de Fermat) y verific esta propiedad hastan= 4 (es decir, 216+1). Sin embargo, el nmero de Fermat 232+1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641), como demostr Euler. De hecho, hasta nuestros das no se conoce ningn nmero de Fermat que sea primo aparte de los que ya conoca el propio Fermat.

El monje francsMarin Mersenneinvestig los nmeros primos de la forma 2p1, conpprimo. En su honor, se los conoce comonmeros de Mersenne.

En el trabajo de Euler en teora de nmeros se encuentran muchos resultados que conciernen a los nmeros primos. Demostr ladivergenciade laserie, y en 1747 demostr que todos losnmeros perfectospares son de la forma 2p-1(2p- 1), donde el segundo factor es un nmero primo de Mersenne. Se cree que no existen nmeros perfectos impares, pero todava es una cuestin abierta.

A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que, cuandontiende a infinito, el nmero de primos menores o iguales quenes asinttico a, donde ln(n) es ellogaritmo naturalden. Las ideas queBernhard Riemannplasm en un trabajo de 1859 sobre lafuncin zetadescribieron el camino que conducira a la demostracin delteorema de los nmeros primos.HadamardyDe la Valle-Poussin, cada uno por separado, dieron forma a este esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.

Actualmente no se comprueba la primalidad de un nmero pordivisiones sucesivas, al menos no si el nmero es relativamente grande.

Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un nmero es primo o no factorizando completamente el nmero siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Dentro del primer caso se encuentra eltest de Lucas-Lehmer, desarrollado a partir de 1856. Dentro del segundo caso se encuentra eltest de Ppinpara los nmeros de Fermat (1877). El caso general de test de primalidad cuando el nmero inmediatamente anterior se encuentra completamente factorizado se denominatest de Lucas.

Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con slo obtener una factorizacin parcial de p+1 o p-1. Ejemplos de estos algoritmos son eltest de Proth(desarrollado alrededor de 1878) y eltest de Pocklington(1914). En estos algoritmos se requiere que el producto de los factores primos conocidos de p-1 sea mayor que la raz cuadrada dep. Ms recientemente, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaron eltest BLS de primalidadque slo requiere que dicho producto sea mayor que la raz cbica dep. El mejor mtodo conocido de esta clase es eltest de Konyagin y Pomerancedel ao 1997, que requiere que dicho producto sea mayor quep3/10.1011A partir de la dcada de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si cualquier nmero es primo o no con complejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en nmeros de miles de dgitos, aunque son mucho ms lentos que los mtodos anteriores. Ejemplos de estos algoritmos son eltest APRT-CL(desarrollado en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con mejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usan los factores de pm-1, donde el exponente m depende del tamao del nmero cuya primalidad se desea verificar, eltest de primalidad por curvas elpticas(desarrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A. O. L. Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de nmeros que permite despus confirmar rpidamente si el nmero es primo o no. El desarrollo ms reciente es eltest de primalidad AKS(2002), que si bien su complejidad es polinmica, para los nmeros que puede manejar la tecnologa actual es el ms lento de los tres.

Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicacin de los nmeros primos era muy limitada fuera de lamatemtica pura.1213Esto cambi en losaos 1970con el desarrollo de lacriptografa de clave pblica, en la que los nmeros primos formaban la base de los primeros algoritmos, tales como el algoritmoRSA.

Desde 1951, el mayor nmero primo conocido siempre ha sido descubierto con la ayuda deordenadores. La bsqueda de nmeros primos cada vez mayores ha suscitado inters incluso fuera de la comunidad matemtica. En los ltimos aos han ganado popularidad proyectos decomputacin distribuidatales como elGIMPS, mientras los matemticos siguen investigando las propiedades de los nmeros primos.

Primalidad del nmero 1[editar]La cuestin acerca de si el nmero 1 debe o no considerarse primo est basada en la convencin. Ambas posturas tienen sus ventajas y sus inconvenientes. De hecho, hasta el siglo XIX, los matemticos en su mayora lo consideraban primo. Muchos trabajos matemticos siguen siendo vlidos a pesar de considerar el 1 como un nmero primo, como, por ejemplo, el deSterny Zeisel. La lista deDerrick Norman Lehmerde nmeros primos hasta el 10.006.721, reimpresa hasta el ao 195614empezaba con el 1 como primer nmero primo.15Actualmente, la comunidad matemtica se inclina por no considerar al 1 en la lista de los nmeros primos. Esta convencin, por ejemplo, permite una formulacin muy econmica delteorema fundamental de la aritmtica: todo nmero natural tiene una representacinnicacomo producto de factores primos, salvo el orden.1617Adems, los nmeros primos tienen numerosas propiedades de las que carece el 1, tales como la relacin del nmero con el valor correspondiente de lafuncin de Eulero lafuncin divisor.18Propiedades de los nmeros primos[editar]Teorema fundamental de la aritmtica[editar]Artculo principal:Teorema fundamental de la aritmtica

Esta ilustracin muestra que el 11 es un nmero primo, pero el 12 no lo es.

Elteorema fundamental de la aritmticaestablece que todo nmero natural tiene una representacin nica como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces. El 1 se representa entonces como unproducto vaco.

Se puede considerar que los nmeros primos son los ladrillos con los que se construye cualquier nmero natural. Por ejemplo, se puede escribir el nmero 23.244 como producto de 22313149, y cualquier otra factorizacin del 23.244 como producto de nmeros primos ser idntica excepto por el orden de los factores.

La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los nmeros primos. Si se admitiera el 1 como nmero primo, el enunciado del teorema requerira aclaraciones adicionales.

A partir de esta unicidad en la factorizacin en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en matemticas, tales como elmnimo comn mltiplo, elmximo comn divisory lacoprimalidadde dos o ms nmeros. As,

Elmnimo comn mltiplode dos o ms nmeros es el menor de los mltiplos comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los nmeros en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su mximo exponente. Por ejemplo, el mnimo comn mltiplo de 10=25 y 12=223 es 60=2235.

Elmximo comn divisorde dos o ms nmeros es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mnimo exponente. En el ejemplo anterior, el mximo comn divisor de 10 y 12 es 2.

Finalmente, dos o ms nmeros soncoprimos, o primos entre s, si no tienen ningn factor primo comn; es decir, si su mximo comn divisor es 1. Un nmero primo es, as, coprimo con cualquier nmero natural que no sea mltiplo de l mismo.

Otras propiedades[editar] En su representacindecimal, todos los nmeros primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 9. En general, en cualquier sistema de numeracin, todos los nmeros primos salvo un nmero finito acaban en una cifra que escoprimacon la base.

De lo anterior se deduce que todos los nmeros primos salvo el 2 son de la forma4n+ 1o bien 4n- 1. Igualmente, todos los nmeros primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n+ 1 o 6n- 1.

Lema de Euclides: Sipes un nmero primo ydivisordel producto denmeros enterosab, entoncespes divisor deao deb.

Pequeo teorema de Fermat: Sipes primo yaes algn nmero natural diferente de 1, entoncesap-aes divisible porp.

Sipes primo distinto de 2 y 5,siempre es unnmero peridicoen su representacin decimal, de periodop1 o un divisor dep1. Esto se puede deducir directamente a partir del pequeo teorema de Fermat.expresado en baseq(en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre quepno sea un factor primo deq.

Teorema de Wilson: Un nmero naturaln> 1 es primosi y solo sielfactorial(n- 1)! + 1 es divisible porn. Asimismo, un nmero naturaln> 4 es compuesto si y slo si (n- 1)! es divisible porn.

Lacaractersticade todo cuerpo es, o bien cero, o bien un nmero primo.

Primer teorema de Sylow: SiGes ungrupofinito,pprimo ypnes la mayor potencia depque divide elordendeG. Entonces, existe un subgrupo deGde ordenpn.

Teorema de Cauchy: SiGes un grupo finito ypes un nmero primo que divide al orden deG, entoncesGcontiene un elemento de ordenp.

Laconstante de Copeland-Erds0,235711131719232931374143, obtenida porconcatenacinde los nmeros primos en el sistema decimal, es unnmero irracional.

El valor de lafuncin zeta de Riemannen cada punto delplano complejose da como una continuacin meromorfa de una funcin definida por un producto sobre el conjunto de todos los primos para Re(s) > 1:

En la regin donde es convergente, este producto indexado por los nmeros primos se puede calcular, obtenindose diversos valores, algunos de ellos importantes en teora de nmeros. Los dos primeros son:

(Correspondiente a laserie armnica, relacionado con lainfinitud de nmeros primos).

(Correspondiente alproblema de Basilea).

En generales un nmero racional cuandones un nmero entero positivo par.

Elanilloes uncuerposi y solo sipes primo. Equivalentemente:pes primo si y solo si(p)=p 1.

Sip> 1, elpolinomioxp-1+xp-2+ + 1 esirreduciblesobresi y slo sipes primo.

Un nmero naturalnes primo si y slo si eln-simopolinomio de Chebyshovde la primera especie Tn(x), dividido entrex, es irreducible en. Adems, Tn(x) xnsi y slo sines primo.

Nmeros primos y funciones aritmticas[editar]Lasfunciones aritmticas, es decir,funcionesrealesocomplejas, definidas sobre un conjunto de nmeros naturales, desempean un papel crucial en lateora de nmeros. Las ms importantes son lasfunciones multiplicativas, que son aquellas funcionesfen las cuales, para cada par de nmeros coprimos (a,b) se tiene

.

Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son lafuncin de Euler, que a cadanasocia el nmero de enteros positivos menores y coprimos conn, y las funcionesy, que a cadanasocian respectivamente el nmero de divisores deny la suma de todos ellos. El valor de estas funciones en laspotenciasde nmeros primos es

,

,

.

Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritmticas pueden calcularse fcilmente a partir del valor que toman en las potencias de nmeros primos. De hecho, dado un nmero naturalnde factorizacin

se tiene que

con lo que se ha reconducido el problema de calcularf(n) al de calcularfsobre las potencias de los nmeros primos que dividenn, valores que son generalmente ms fciles de obtener mediante una frmula general. Por ejemplo, para conocer el valor de la funcin sobren=450=23252basta con calcular

.

Caractersticas del conjunto de los nmeros primos[editar]Infinitud de los nmeros primos[editar]Vase tambin:Infinitud de los nmeros primosExisten infinitos nmeros primos. Euclides realiz la primerademostracinalrededor del ao300a.C.en el libro IX de su obraElementos19Una adaptacin comn de esta demostracin original sigue as: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de nmeros primosp1,p2,p3, ,pn, y se considera el producto de todos ellos ms uno,. Este nmero es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primospide la lista. El nmeroqpuede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un nmero primo que no est en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existir algn factorpque divida aq. Suponiendo quepes alguno de lospi, se deduce entonces quepdivide a la diferencia, pero ningn nmero primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer quepest en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogi no es exhaustivo, ya que existen nmeros primos que no pertenecen a l, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.

Por tanto, el conjunto de los nmeros primos es infinito.

Si se toma como conjunto el de losnprimeros nmeros primos, entonces, dondepn# es lo que se llamaprimorialdepn. Un nmero primo de la formapn# +1 se denominanmero primo de Euclidesen honor al matemtico griego. Tambin se puede elaborar una demostracin similar a la de Euclides tomando el producto de un nmero dado de nmeros primosmenosuno, el lugar del producto de esos nmeros primosmsuno. En ese sentido, se denominanmero primo primoriala un nmero primo de la formapn# 1.

No todos los nmeros de la formapn# +1 son primos. En este caso, como se sigue de la demostracin anterior, todos los factores primos debern ser mayores quen. Por ejemplo: 23571113+1=30031=59509

Otros matemticos han demostrado lainfinitud de los nmeros primoscon diversos mtodos procedentes de reas de las matemticas tales como allgebra conmutativay latopologa.20Algunas de estas demostraciones se basan en el uso desucesionesinfinitas con la propiedad de que cada uno de sus trminos es coprimo con todos los dems, por lo que se crea unabiyeccinentre los trminos de la sucesin y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.

Una sucesin que cumple dicha propiedad es lasucesin de Euclides-Mullin, que deriva de la demostracin eucldea de la infinitud de los nmeros primos, ya que cada uno de sus trminos se define como el factor primo ms pequeo de uno ms el producto de todos los trminos anteriores. Lasucesin de Sylvesterse define de forma similar, puesto que cada uno de sus trminos es igual a uno ms el producto de todos los anteriores. Aunque los trminos de esta ltima sucesin no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los dems, por lo que se puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante ser un conjunto infinito cuyos trminos son todos primos.

Otros enunciados que implican la infinitud de los nmeros primos[editar]Un resultado an ms fuerte, y que implica directamente la infinitud de los nmeros primos, fue descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece que laserieesdivergente. Uno de losteoremas de Mertensconcreta ms, estableciendo que

21donde la expresinO(1) indica que ese trmino est acotado entre -CyCparanmayor quen0, donde los valores deCyn0no estn especificados.22Otro resultado es elteorema de Dirichlet, que dice as:

En todaprogresin aritmticaan=a+nq, donde los enteros positivosa,q 1 sonprimos entre s, existen infinitos trminos que son primos.

Elpostulado de Bertrandenuncia as:

Sines un nmero natural mayor que 3, entonces siempre existe un nmero primoptal quen