número primo - wikipedia, la enciclopedia libre

5/13/2018 Número primo - Wikipedia, la enciclopedia libre - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/numero-primo-wikipedia-la-enciclopedia-libre 1/16

Número primo

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.

Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El

número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,73, 79, 83, 89 y 97.1

La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por .

El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama de las matemáticas que comprende elestudio de los números enteros. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales como la hipótesis deRiemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría denúmeros: si se consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de

los números primos sigue leyes bien definidas.

Contenido

1 Historia de los números primos1.1 Matemáticas anteriores a la Antigua Grecia1.2 Antigua Grecia1.3 Matemáticas modernas

2 Primalidad del número 13 Propiedades de los números primos

3.1 Teorema fundamental de la aritmética3.2 Otras propiedades3.3 Números primos y funciones aritméticas

4 Características del conjunto de los números primos4.1 Infinitud de los números primos

4.1.1 Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos4.2 Frecuencia de los números primos4.3 Diferencia entre dos primos consecutivos4.4 Conclusión

5 Encontrar números primos5.1 Tests de primalidad

5.2 Algoritmos de factorización5.3 Fórmulas que sólo generan números primos

6 Clases de números primos6.1 Primos primoriales y primos factoriales6.2 Números primos de Fermat6.3 Números primos de Mersenne6.4 Otras clases de números primos

7 Conjeturas7.1 Hipótesis de Riemann7.2 Otras conjeturas

7.2.1 Infinitud de ciertos tipos de números primos

7.2.2 Distribución de los números primos7.2.3 Teoría aditiva de números7.3 Los cuatro problemas de Landau

8 Generalización del concepto de número primo8.1 Elementos primos en un anillo8.2 Ideales primos



8.3 Primos en teoría de la valoración8.4 Nudos primos

9 Aplicaciones en la computación10 Números primos en el arte y la literatura11 Véase también12 Referencias13 Enlaces externos

Historia de los números primos

Matemáticas anteriores a la Antigua Grecia

Las muescas presentes en el hueso de Ishango, que data de hace más de 20.000 años (anterior por tanto a la aparición de la escritura)y que fue hallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt,2 parecen aislar cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunosarqueólogos interpretan este hecho como la prueba del conocimiento de los números primos. Con todo, existen muy pocos hallazgosque permitan discernir los conocimientos que tenía realmente el hombre de aquella época.3

Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo en Mesopotamia a lo largo del II milenioa.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los conocimientos de la época. Los cálculos requerían conocer losinversos de los naturales, que también se han hallado en tablillas.4 En el sistema sexagesimal que empleaban los babilonios para escribir los números, los inversos de los divisores de potencias de 60 (números regulares) se calculan fácilmente, por ejemplo, dividir entre24 equivale a multiplicar por 150 (260+30) y correr la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babiloniosnecesitaba una sólida comprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los naturales.

En las matemáticas egipcias, el cálculo de fracciones requería conocimientos sobre las operaciones, la división de naturales y lafactorización. Los egipcios sólo operaban con las llamadas fracciones egipcias, suma de fracciones unitarias, es decir, aquellas cuyonumerador es 1, como , por lo que las fracciones de numerador distinto de 1 se escribían como suma de inversos de

naturales, a ser posible sin repetición en lugar de .5 Es por ello que, en cierta manera, tenían que conocer o intuir los

números primos.6

Antigua Grecia

La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. y se encuentra en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define el máximocomún divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona un método para determinarlos que hoy en día se conoce como el algoritmode Euclides. Los Elementos contienen asimismo el teorema fundamental de la aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un número primo de Mersenne.

La criba de Eratóstenes, atribuida a Eratóstenes de Cirene, es un método sencillo que permite encontrar números primos. Hoy en día,empero, los mayores números primos que se encuentran con la ayuda de ordenadores emplean otros algoritmos más rápidos ycomplejos.

Matemáticas modernas

Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances en el estudio de los números primos hasta el siglo XVII. En 1640 Pierre deFermat estableció (aunque sin demostración) el pequeño teorema de Fermat, posteriormente demostrado por Leibniz y Euler. Es posible que mucho antes se conociera un caso especial de dicho teorema en China.

Fermat conjeturó que todos los números de la forma 22n+1 eran primos (debido a lo cual se los conoce como números de Fermat) y

verificó esta propiedad hasta n = 4 (es decir, 216 + 1). Sin embargo, el siguiente número de Fermat 232 + 1 es compuesto (uno de susfactores primos es 641), como demostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no se conoce ningún número de Fermat que sea primoaparte de los que ya conocía el propio Fermat.

El monje francés Marin Mersenne investigó los números primos de la forma 2 p − 1, con p primo. En su honor, se los conoce comonúmeros de Mersenne.

En el trabajo de Euler en teoría de números se encuentran muchos resultados que conciernen los números primos. Demostró ladivergencia de la serie , y en 1747 demostró que todos los números perfectos pares son de la forma 2 p-1(2



Pierre de Fermat.

- 1), donde el segundo factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no existennúmeros perfectos impares, pero todavía es una cuestión abierta.

A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que,cuando n tiende a infinito, el número de primos menores o iguales que n es asintótico a

, donde ln(n) es el logaritmo natural de n. Las ideas que Bernhard Riemann plasmó en

un trabajo de 1859 sobre la función zeta, describieron el camino que conduciría a lademostración del teorema de los números primos. Hadamard y De la Vallée-Poussin, cadauno por separado, dieron forma a este esquema y consiguieron demostrar el teorema en

1896.

Actualmente no se comprueba la primalidad de un número por divisiones sucesivas, almenos no si el número es relativamente grande.

Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un número es primo o nofactorizando completamente el número siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Dentro del primer caso se encuentra el test de Lucas-Lehmer, desarrollado a partir de 1856. Dentrodel segundo caso se encuentra el test de Pépin para los números de Fermat (1877). Elcaso general de test de primalidad cuando el número inmediatamente anterior se encuentracompletamente factorizado se denomina test de Lucas.

Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con sólo obtener una factorización parcial de p+1 o p-1. Ejemplos de deestos algoritmos son el test de Proth (desarrollado alrededor de 1878) y el test de Pocklington (1914). En estos algoritmos se requiereque el producto de los factores primos conocidos de p-1 sea mayor que la raíz cuadrada de p. Más recientemente, en 1975, Brillhart,Lehmer y Selfridge desarrollaron el test BLS de primalidad que sólo requiere que dicho producto sea mayor que la raíz cúbica de p. Elmejor método conocido de esta clase es el test de Konyagin y Pomerance del año 1997 que requiere que dicho producto sea mayor que p3/10.7 8

A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si cualquier número es primo o no concomplejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en números de miles de dígitos, aunque son mucho más lentos que losmétodos anteriores. Ejemplos de estos algoritmos son el test APRT-CL (desarrollado en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely,con mejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usan los factores de pm-1, donde el exponente m depende deltamaño del número cuya primalidad se desea verificar, el test de primalidad por curvas elípticas (desarrollado en 1986 por S.

Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A. O. L. Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de números que permitedespués confirmar rápidamente si el número es primo o no. El desarrollo más reciente es el test de primalidad AKS (2002) que si biensu complejidad es polinómica, para los números que puede manejar la tecnología actual es el más lento de los tres.

Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada fuera de la matemática pura.9 10 Estocambió en los años 1970 con el desarrollo de la criptografía de clave pública, en la que los números primos formaban la base de los primeros algoritmos tales como el algoritmo RSA.

Desde 1951, el mayor número primo conocido siempre ha sido descubierto con la ayuda de ordenadores. La búsqueda de números primos cada vez mayores ha suscitado interés incluso fuera de la comunidad matemática. En los últimos años han ganado popularidad proyectos de computación distribuida tales como el GIMPS, mientras los matemáticos siguen investigando las propiedades de losnúmeros primos.

Primalidad del número 1

La cuestión acerca de si el número 1 debe o no considerarse primo está basada en la convención. Ambas posturas tienen sus ventajasy sus inconvenientes. De hecho, hasta el siglo XIX, los matemáticos en su mayoría lo consideraban primo. Muchos trabajosmatemáticos siguen siendo válidos a pesar de considerar el 1 como un número primo, como, por ejemplo, el de Stern y Zeisel. La listade Derrick Norman Lehmer de números primos hasta el 10.006.721, reimpresa hasta el año 195611 empezaba con el 1 como primer número primo.12

Actualmente, la comunidad matemática se inclina por no considerar a 1 en la lista de los números primos. Esta convención, por ejemplo, permite una formulación muy económica del teorema fundamental de la aritmética: «todo número natural tiene una

representación única como producto de factores primos, salvo el orden».13 14 Además, los números primos tienen numerosas propiedades de las que carece el 1, tales como la relación del número con el valor correspondiente de la función φ de Euler o lafunción suma de divisores.15

Propiedades de los números primos



Esta ilustración muestra que el 11 esun número primo, pero el 12 no lo es.

Teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene unarepresentación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.

Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que se construyecualquier número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como productode 22313149, y cualquier otra factorización del 23.244 como producto de números

primos será idéntica excepto por el orden de los factores.

La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de losnúmeros primos. Si se admitiera el 1 como número primo, el enunciado del teoremarequeriría aclaraciones adicionales.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otrosconceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximocomún divisor y la coprimalidad de dos o más números. Así,

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para calcularlo, sedescomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por

ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=25 y 12=223 es 60=2235.El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto delos factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2.Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir, si su máximocomún divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no sea múltiplo de él mismo.

Otras propiedades

En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistemade numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es coprima con la base.De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n - 1. Igualmente, todos los

números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b.Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces a p - a es divisible por p.Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en su representación decimal, de periodo p − 1 o un divisor

de p − 1. Esto se puede deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat. expresado en base q (en lugar de en

base 10) tiene propiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q.Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n. Asimismo, unnúmero natural n > 4 es compuesto si y sólo si (n - 1)! es divisible por n.La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo.Primer teorema de Sylow: SiG es un grupo finito, p primo y pn es la mayor potencia de p que divide el orden de G. Entonces,

existe un subgrupo de G de orden pn

.Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden de G, entonces G contiene unelemento de orden p.La constante de Copeland-Erds 0,235711131719232931374143…, obtenida por concatenación de los números primos enel sistema decimal, es un número irracional.El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo se da como una continuación meromorfa de unafunción definida por un producto sobre el conjunto de todos los primos para Re( s) > 1:

En la región donde es convergente, este producto indexado por los números primos se puede calcular, obteniéndose diversosvalores, algunos de ellos importantes en teoría de números. Los dos primeros son:

(Correspondiente a la serie armónica, relacionado con la infinitud de números primos).



(Correspondiente al problema de Basilea).

En general es un número racional cuando n es un número entero positivo par.

El anillo es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo si y solo si φ( p) = p − 1.

Si p > 1, el polinomio x p-1+ x p-2+ + 1 es irreducible sobre si y sólo si p es primo.

Un número natural n es primo si y sólo si el n-ésimo polinomio de Chebyshov de la primera especie Tn( x), dividido entre x, esirreducible en . Además, Tn( x) ≡ xn si y sólo si n es primo.

Números primos y funciones aritméticas

Las funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales, desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que son aquellas funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene

.

Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función φ de Euler, que a cada n asocia el número de enteros positivos menores y

coprimos con n, y las funciones τ y σ, que a cada n asocian respectivamente el número de divisores de n y la suma de todos ellos. Elvalor de estas funciones en las potencias de números primos es

,

,

.

Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor que toman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número natural n de factorización

se tiene que

con lo que se ha reconducido el problema de calcular f (n) al de calcular f sobre las potencias de los números primos que dividen n,valores que son generalmente más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, para conocer el valor de la función φsobre n=450=23252 basta con calcular

.

Características del conjunto de los números primos

Infinitud de los números primos

Véase también: Infinitud de los números primos

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IX de su obra Elementos16 Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, , pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, . Este número esobviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primotendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p quedivida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia

, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que pestá en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos queno pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.

Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.



n π(n) Li(n) − π(n)

Si se toma como conjunto el de los n primeros números primos, entonces ,donde pn# es lo que se llama primorial de pn. Un número primo de la forma pn# +1 se denomina número primo de Euclides en honor al matemático griego. También se puede elaborar una demostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dadode números primos menos uno, el lugar del producto de esos números primos más uno. En ese sentido, se denomina número primo primorial a un número primo de la forma pn# ± 1.

No todos los números de la forma pn# +1 son primos. En este caso, como se sigue de la demostración anterior, todos los factores primos deberán ser mayores que n. Por ejemplo: 23571113+1=30031=59509

Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos procedentes de áreas de las matemáticastales como al álgebra conmutativa y la topología.17 Algunas de estas demostraciones se basan en el uso de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por lo que se crea una biyección entre los términos de lasucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.

Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides-Mullin, que deriva de la demostración euclídea de la infinitud delos números primos, ya que cada uno de sus términos se define como el factor primo más pequeño de uno más el producto de todoslos términos anteriores. La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puesto que cada uno de sus términos es igual a uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de esta última sucesión no son necesariamente todos primos, cada uno de elloses coprimo con todos los demás, por lo que se puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y elconjunto resultante será un conjunto infinito cuyos términos son todos primos.

Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos

Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto por Euler en el siglo XVIII.Establece que la serie es divergente. Uno de los teoremas de Mertens concreta más, estableciendo que

18

donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -C y C para n mayor que n0, donde los valores de C y n0 no están

especificados.19

Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:

En toda progresión aritmética an = a + nq, donde los enteros positivos a, q ≥ 1 son

primos entre sí, existen infinitos términos que son primos.

El postulado de Bertrand enuncia así:

Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo ptal que n < p < 2n- 2.

Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n. Esto supone que, en una progresión geométrica de primer término entero mayor que 3 y razón igual a 2,entre cada término de la progresión y el siguiente, se tiene al menos un número primo.

Frecuencia de los números primos

Véase también: Teorema de los números primos

Una vez demostrado la infinitud de los números primos, cabe preguntarsecómo se distribuyen los primos entre los números naturales, es decir,



10 4 −0,3 2,2 2,500

102 25 3,3 5,1 4,000

103 168 23 10 5,952

104 1.229 143 17 8,137

105 9.592 906 38 10,425

106

78.498 6.116 130 12,740107 664.579 44.158 339 15,047

108 5.761.455 332.774 754 17,357

109 50.847.534 2.592.592 1.701 19,667

1010 455.052.511 20.758.029 3.104 21,975

... ... ... ... ...

Comparación entre las funciones π(n) (azul), n / ln

n (verde) y Li(n) (rojo); se puede ver que laaproximación de π(n) con Li(n) es mejor que la quehay con

cuán frecuentes son y dónde se espera encontrar el n-ésimo número primo. Este estudio lo iniciaron Gauss y Legendre de formaindependiente a finales del siglo XVIII, para el cual introdujeron lafunción enumerativa de los números primos π(n), y conjeturaron que suvalor fuese aproximadamente

.20

El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primeros resultados fueron obtenidos entre 1848 y 1859 por Chebyshov, quien demostró utilizando métodos puramente aritméticos laexistencia de dos constantes A y B tales que

para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía ellímite del cociente de aquellas expresiones, éste debía ser 1.

Hadamard y De la Vallée-Poussin elaboraron una demostración en 1896,

independientemente el uno del otro, usando métodos similares, basados en eluso de la función zeta de Riemann, que había sido introducida por BernhardRiemann en 1859. Hubo que esperar hasta 1949 para encontrar unademostración que usara sólo métodos elementales (es decir, sin usar el análisiscomplejo). Esta demostración fue ideada por Selberg y Erds. Actualmente, seconoce el teorema como teorema de los números primos.

El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la funciónlogaritmo integral:

.

En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se cometeaproximando π(n) de esta forma es

para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado fue ligeramente mejorado a lo largo de los años. Por otra parte, en1901 Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era cierta, se tenía la siguiente estimación, más precisa:21

Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n-ésimo número primo, queda bien aproximado por nln(n). Enefecto, pn es estrictamente mayor que este valor.

Diferencia entre dos primos consecutivos

Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los intervalos entre dos primos consecutivos. Este intervalo,con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que 2, ya que entre dos números primosconsecutivos al menos hay un número par y por tanto compuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice que son gemelos, y con la salvedad del "triplete" formado por los números 3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos.Esto también es fácil de demostrar: entre tres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Los primeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).

Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un número natural n, se denota por n! su factorial, es decir, el producto de todos los números naturales comprendidos entre 1 y n. Los números

(n+1)!+2, (n+1)!+3,,(n+1)!+n+1



La distribución de todos los números primos comprendidos entre 1 y76.800, de izquierda a derecha y dearriba abajo. Cada pixel representa unnúmero. Los píxeles negros

representan números primos; los blancos representan números no primos.

Imagen con 2310 columnas queconserva múltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11en las columnas respectivas. Comocabe esperar, los números primos

caerán en columnas concretas si losnúmeros están ordenados de izquierdaa derecha y el ancho es un múltiplo deun número primo. Sin embargo, losnúmeros primos también quedandistribuidos de manera ordenada enconstrucciones espirales como laespiral de Ulam, ya que tienden aconcentrarse en algunas diagonalesconcretas y no en otras.

son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, por tanto, es compuesto. La sucesión, que comprende n

enteros consecutivos, no contiene ningún número primo. Por ejemplo, si n=5, estos valores corresponden a:

6!+2=722=23616!+3=723=32416!+4=724=41816!+5=725=51456!+6=726=6121

El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.22 De todas formas, el menor número primo que dista del siguiente en n es generalmente muchomenor que el factorial, por ejemplo, el caso más pequeño de dos primos consecutivos separados de ocho unidades es (89, 97),mientras que 8! es igual a 40.320.

La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos23 ha sido profusamente estudiada en matemáticas, y alrededor de esteconcepto se han establecido muchas conjeturas que permanecen sin resolver.

Conclusión

El modelado de la distribución de los números primos es un tema de investigación recurrenteentre los teóricos de números. La primalidad de un número concreto es (hasta ahora)impredecible a pesar de que existen leyes, como el teorema de los números primos y el postulado de Bertrand, que gobiernan su distribución a gran escala. Leonhard Euler comentó:

Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontrar algún orden en lasucesión de los números primos, y tenemos motivos para creer que es un misterio en

el que la mente jamás penetrará.24

En una conferencia de 1975, Don Zagier comentó:

Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que esperoconvencerles de forma tan incontestable que quedarán permanentemente grabados ensus corazones. El primero es que, a pesar de su definición simple y del papel quedesempeñan como ladrillos con los que se construyen los números naturales, losnúmeros primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y no parecenobedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede predecir dónde brotará elsiguiente. El segundo hecho es aún más asombroso, ya que dice justo lo contrario: quelos números primos muestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan

su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar.25

Encontrar números primos

Tests de primalidad

Véase también: Test de primalidad

La criba de Eratóstenes es una manera sencilla de hallar todos los números primos menoreso iguales que un número dado. Se basa en confeccionar una lista de todos los númerosnaturales desde el 2 hasta ese número y tachar repetidamente los múltiplos de los números primos ya descubiertos. La criba de Atkin, más moderna, tiene una mayor complejidad, pero si se optimiza apropiadamente también es más rápida. También existe una recientecriba de Sundaram que genera únicamente números compuestos, siendo los primos losnúmeros faltantes.

En la práctica, lo que se desea es determinar si un número dado es primo sin tener queconfeccionar una lista de números primos. Un método para determinar la primalidad de un

número es la división por tentativa, que consiste en dividir sucesivamente ese número entre los números primos menores o iguales a suraíz cuadrada. Si alguna de las divisiones es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dado n

menor o igual que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que el siguiente número primo, 11, ya es mayor que √120. Es el test de primalidad más sencillo, y rápidamente pierde su utilidad a la hora de comprobar la primalidad de números grandes, ya que el número de factores posibles crece demasiado rápido a medida que crece el número potencialmente primo.



La criba de Eratóstenes fue concebida por Eratóstenes de Cirene, un matemático griego delsiglo III a. C. Es un algoritmo sencillo que permiteencontrar todos los números primos menores oiguales que un número dado.

En efecto, el número de números primos menores que n es aproximadamente

.

De esta forma, para determinar la primalidad de n, el mayor factor primo quese necesita no es mayor que √n, dejando el número de candidatos a factor primo en cerca de

.

Esta expresión crece cada vez más lentamente en función de n, pero, como losn grandes son de interés, el número de candidatos también se hace grande: por ejemplo, para n = 1020 se tienen 450 millones de candidatos.

Asimismo, existen otros muchos tests de primalidad determinísticos que se basan en propiedades que caracterizan a los números primos, pero su utilidadcomputacional depende mucho del test usado. Por ejemplo, se podría emplear el teorema de Wilson para calcular la primalidad de un número, pero tiene elinconveniente de requerir el cálculo de un factorial, una operación computacionalmente prohibitiva cuando se manejan números

grandes. Aquí entre en juego el tiempo de ejecución del algoritmo empleado, que se expresa en la notación de Landau. Para poder determinar la primalidad de números cada vez más grandes (de miles de cifras) se buscan aquellos algoritmos cuyo tiempo deejecución crezca lo más lentamente posible, a ser posible, que se pueda expresar como un polinomio. Si bien el test de primalidadAKS cumple con esta condición, para el rango de números que se usa en la práctica este algoritmo es extremadamente lento.

Por otra parte, a menudo basta con tener una respuesta más rápida con una alta probabilidad (aunque no segura) de ser cierta. Se puede comprobar rápidamente la primalidad de un número relativamente grande mediante tests de primalidad probabilísticos. Estostests suelen tomar un número aleatorio llamado "testigo" e introducirlo en una fórmula junto con el número potencialmente primo n.Después de varias iteraciones, se resuelve que n es "definitivamente compuesto" o bien "probablemente primo". Estos últimos números pueden ser primos o bien pseudoprimos (números compuestos que pasan el test de primalidad). Algunos de estos tests no son perfectos: puede haber números compuestos que el test considere "probablemente primos" independientemente del testigo utilizado.Esos números reciben el nombre de pseudoprimos absolutos para ese test. Por ejemplo, los números de Carmichael son números

compuestos, pero el test de Fermat los evalúa como probablemente primos. Sin embargo, los tests probabilísticos más utilizados,como el test de Miller-Rabin o el obsoleto test de Solovay-Strassen, superado por el anterior, no tienen este inconveniente, aun siendoigualmente tests probabilísticos.

Algunos tests probabilísticos podrían pasar a ser determinísticos y algunos tests pueden mejorar su tiempo de ejecución si se verificanalgunas hipótesis matemáticas. Por ejemplo, si se verifica la hipótesis generalizada de Riemann, se puede emplear una versióndeterminística del test de Miller-Rabin, y el test de primalidad por curvas elípticas podría mejorar notablemente su tiempo de ejecuciónsi se verificaran algunas hipótesis de teoría analítica de números.

Algoritmos de factorización

Un algoritmo de factorización es un algoritmo que separa uno a uno los factores primos de un número. Los algoritmos de factorización pueden funcionar también a modo de tests de primalidad, pero en general tienen un tiempo de ejecución menos ventajoso. Por ejemplo, se puede modificar el algoritmo de división por tentativa de forma que no se detenga cuando se obtenga una división exacta,sino que siga realizando nuevas divisiones, y no sobre el número original, sino sobre el cociente obtenido. Después de la división por tentativa, los métodos más antiguos que se conocen son el método de Fermat, que se basa en las diferencias entre cuadrados y que esespecialmente eficaz cuando n es el producto de dos números primos próximos entre sí, y el método de Euler, que se basa en larepresentación de n como suma de dos cuadrados de dos formas distintas.

Más recientemente, se han elaborado algoritmos basados en una gran variedad de técnicas, como las fracciones continuas o las curvaselípticas, aunque algunos son mejoras de métodos anteriores (la criba cuadrática, por ejemplo, se basa en una mejora del método deFermat y posee complejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras de n). Otros, como el método rho de Pollard,son probabilísticos, y no garantizan hallar los divisores de un número compuesto.

Hoy por hoy, el algoritmo determinístico más rápido de uso general es el general number field sieve, que también posee complejidadcomputacional subexponencial sobre el número de cifras de n.26 Se ha propuesto un algoritmo cuyo tiempo de ejecución es polinómico sobre el número de cifras de n (el algoritmo de Shor), pero requiere ser ejecutado en un ordenador cuántico, ya que susimulación en un ordenador normal requiere un tiempo exponencial. No se conocen algoritmos para factorizar en una computadoratradicional en tiempo polinómico y tampoco se demostró que esto sea imposible.



Fórmulas que sólo generan números primos

Véase también: Fórmula de los números primos

A lo largo de la historia, se han buscado numerosas fórmulas para generar los números primos. El nivel más alto de exigencia para unafórmula así sería que asociara a cada número natural n el n-ésimo número primo. De forma más indulgente, se puede pedir una función

que asocie a cada número natural n un número primo de tal forma que cada uno de los valores tomados sólo aparezca una vez.

Además, se desea que la función se pueda calcular en la práctica.27 Por ejemplo, el teorema de Wilson asegura que p es un número

primo si y sólo si ( p-1)!≡-1 (mod p). Otro ejemplo: la función f(n) = 2 + ( 2(n!) mod (n+1)) genera todos los números primos, sólolos números primos, y sólo el valor 2 se toma más de una vez. Sin embargo, ambas fórmulas se basan en el cálculo de un factorial, loque las hace computacionalmente inviables.

En la búsqueda de estas funciones, se han investigado notablemente las funciones polinómicas. Cabe subrayar que ningún polinomio,aun en varias variables, toma sólo valores primos.28 Por ejemplo, el polinomio en una variable f (n) = n − n + 41 devuelve valores primos para n = 0,…, 40, 43, pero f (41) y f (42) son compuestos. Si el término constante vale cero, entonces el polinomio es múltiplode n, por lo que el polinomio es compuesto para valores compuestos de n. En caso contrario, si c es el término constante, entonces(cn) es múltiplo de c, por lo que si el polinomio no es constante, necesariamente deberá incluir valores compuestos.

Sin embargo, hay polinomios en varias variables cuyos valores positivos (cuando las variables recorren los números naturales) son precisamente los números primos. Un ejemplo es este polinomio descubierto por Jones, Sato, Wada y Wiens en 1976:28

Al igual que ocurre con las fórmulas con factoriales, este polinomio no es práctico de calcular, ya que, aunque los valores positivos quetoma son todos primos, prácticamente no devuelve otra cosa que valores negativos cuando se hacen variar las variables a a z de 0 ainfinito.

Otro enfoque al problema de encontrar una función que sólo genere números primos viene dado a partir del teorema de Mills, queindica que existe una constante θ tal que

es siempre un número primo, donde es la función piso.29 Todavía no se conoce ninguna fórmula para calcular la constante de Mills,y las aproximaciones que se emplean en la actualidad se basa en la sucesión de los así llamados números primos de Mills (los números primos generados mediante esta fórmula), que no pueden ser obtenidos rigurosamente, sino sólo de manera probabilística, suponiendocierta la hipótesis de Riemann.

Clases de números primos

De mayor interés son otras fórmulas que, aunque no sólo generen números primos, son más rápidas de implementar, sobre todo siexiste un algoritmo especializado que permita calcular rápidamente la primalidad de los valores que van tomando. A partir de estasfórmulas se obtienen subconjuntos relativamente pequeños del conjunto de los números primos, que suelen recibir un nombrecolectivo.

Primos primoriales y primos factoriales

Véanse también: Número primo primorial y número primo factorial

Los números primos primoriales, directamente relacionados con la demostración euclidiana de la infinitud de los números primos, sonlos de la forma p = n# ± 1 para algún número natural n, donde n# es igual al producto 2 3 5 7 11 … de todos los primos ≤ n.Asimismo, un número primo se dice primo factorial si es de la forma n! ± 1. Los primeros primos factoriales son:

n! − 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, … 30

n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, … 31



Construcción de un pentágonoregular. 5 es un número primode Fermat.

Números primos de Fermat

Véase también: Número de Fermat

Los números de Fermat, ligados a la construcción de polígonos regulares con regla y compás, sonlos números de la forma , con n natural. Los únicos números primos de Fermat

que se conocen hasta la fecha son los cinco que ya conocía el propio Fermat, correspondientes a n

= 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valores de n entre 5 y 32 estos números son compuestos.32

Para determinar su primalidad, existe un test especializado cuyo tiempo de ejecución es polinómico:el test de Pépin. Sin embargo, los propios números de Fermat crecen tan rápidamente que sólo selo ha podido aplicar para valores de n pequeños. En 1999 se lo aplicó para n = 24. Paradeterminar el carácter de otros números de Fermat mayores se utiliza el método de divisionessucesivas y de esa manera a fecha de junio de 2009 se conocen 241 números de Fermatcompuestos, aunque en la mayoría de los casos se desconozca su factorización completa.32

Números primos de Mersenne

Véase también: Número primo de Mersenne

Los números de Mersenne son los de forma M p = 2 p

– 1, donde p es primo.33

Los mayores números primos conocidos songeneralmente de esta forma, ya que existe un test de primalidad muy eficaz, el test de Lucas-Lehmer, para determinar si un número deMersenne es primo o no.

Actualmente, el mayor número primo que se conoce es M 43.112.609 = 243.112.609 - 1, que tiene 12.978.189 cifras en el sistemadecimal. Se trata cronológicamente del 45º número primo de Mersenne conocido y su descubrimiento se anunció el 23 de agosto de2008 gracias al proyecto de computación distribuida «Great Internet Mersenne Prime Search» (GIMPS). Desde entonces, se handescubierto otros dos números primos de Mersenne, pero son menores que el 45º.34 35

Otras clases de números primos

Existen literalmente decenas de apellidos que se pueden añadir al concepto de número primo para referirse a un subconjunto quecumple alguna propiedad concreta. Por ejemplo, los números primos pitagóricos son los que se pueden expresar en la forma 4n+1.Dicho de otra forma, se trata de los números primos cuyo resto al dividirlos entre 4 es 1. Otro ejemplo es el de los números primos deWieferich, que son aquellos números primos p tales que p2 divide a 2 p-1 - 1.

Algunas de estas propiedades se refieren a una relación concreta con otro número primo:

Números primos gemelos: p y p+2 lo son si son los dos primos. Número primo de Sophie Germain: dado p primo, es de Sophie Germain si 2 p + 1 también es primo. Una sucesión de números p1, p2, p3, , pn todos ellos primos, tales que pi+1=2 pi+1 para todo i ∈ {1,2,,n-1 }, se denomina cadena (completa) deCunningham de primera especie, y cumple por definición que cada uno de los términos, salvo el último, es un número primo deSophie Germain. Se cree que para todo n natural existen infinitas cadenas de Cunningham de longitud n,36 aunque hasta la fecha

nadie ha proporcionado prueba de que dicha afirmación sea cierta. Número primo de Wagstaff: p lo es si , donde q es otro número primo.37 38

También se les da nombres especiales a algunas clases de primos que dependen de la base de numeración empleada o de la forma deescribir los dígitos, y no de una fórmula matemática. Es el caso de los números somirp ( primos al revés), que son aquellos números primos tales que el número obtenido al invertir el orden de sus cifras también es primo. También es el caso de los números primosrepunit, que son aquellos números primos que son concatenación de unos. Si, en lugar de considerarse el sistema de numeracióndecimal se considera el binario, se obtiene otro conjunto distinto de números primos repunit que, además, coincide con el de losnúmeros primos de Mersenne. Finalmente, los números primos triádicos son aquellos números que son primos, capicúas y simétricosrespecto de una recta horizontal.

El que se le dé un nombre a una clase de números primos con una definición precisa no significa que se conozca algún número primo

que sea de esa clase. Por ejemplo, no se conoce hasta el momento ningún número primo de Wall-Sun-Sun, pero su relevancia radicaen que en 1992, antes de la demostración de Wiles del último teorema de Fermat, se descubrió que la falsedad del teorema para unnúmero primo p dado implicaba que p era un número primo de Wall-Sun-Sun. Esto hizo que, durante un tiempo, la búsqueda denúmeros primos de esta clase fuera también la búsqueda de un contraejemplo del último teorema de Fermat.39



Conjeturas

Existen numerosas preguntas abiertas acerca de los números primos. Muchas de ellas son problemas bien antiguos, y una de las mássignificativas es la hipótesis de Riemann, varias veces mencionada en este artículo como una conjetura que, de ser cierta, permitiríaconocer numerosos resultados relevantes en diversos campos de las matemáticas.

Hipótesis de Riemann

Véase también: Hipótesis de Riemann

Para entender la hipótesis de Riemann, una conjetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha, sigue sin resolverse, es necesarioentender la función zeta de Riemann. Sea s un número complejo con parte real mayor que 1. Entonces,

La segunda igualdad es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética, y muestra que la función zeta está íntimamenterelacionada con los números primos.

Existen dos tipos de ceros de la función zeta, es decir, valores s para los cuales ζ( s) = 0: los triviales, que son s=-2, s=-4, s=-6, etc.

(los enteros pares negativos) y los no triviales, que son aquellos ceros que no se encuentran en el eje real. Lo que indica la hipótesisde Riemann es que la parte real de todos los ceros no triviales es igual a 1/2.

La veracidad de la hipótesis implica una profunda conexión con los números primos, en esencia, en el caso de verificarse, dice que losnúmeros primos están distribuidos de la forma más regular posible. Desde un punto de vista «físico», dice grosso modo que lasirregularidades en la distribución de los números primos sólo proceden de ruido aleatorio. Desde un punto de vista matemático, diceque la distribución asintótica de los números primos (según el teorema de los números primos, la proporción de primos menores que n

es ) también es cierta para intervalos mucho menores, con un error de aproximadamente la raíz cuadrada de n (para intervalos

próximos a n). Está ampliamente extendido en la comunidad matemática que la hipótesis sea cierta. En concreto, la presunción mássimple es que los números primos no deberían tener irregularidades significativas en su distribución sin una buena razón.40

Otras conjeturas

Infinitud de ciertos tipos de números primos

Muchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos números primos de una determinada forma. Así, se conjetura que hay infinitos números primos de Fibonacci41 e infinitos primos de Mersenne, pero sólo un número finito de primos de Fermat.42 No se sabe si hay infinitosnúmeros primos de Euclides.

Distribución de los números primos

También hay numerosas conjeturas que se ocupan de determinadas propiedades de la distribución de los números primos. Así, laconjetura de los números primos gemelos enuncia que hay infinitos números primos gemelos, que son pares de primos cuya diferenciaes de 2. La conjetura de Polignac es una versión más general y más fuerte de la anterior, ya que enuncia que, para cada entero positivon, hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en 2n. A su vez, una versión más débil de la conjetura de Polignac dice quetodo número par es la diferencia de dos números primos.

Asimismo, se conjetura la infinidad de los primos de la forma n2 + 1. Según la conjetura de Brocard, entre los cuadrados de primosconsecutivos mayores que 2 existen siempre al menos cuatro números primos. La conjetura de Legendre establece que, para cada n

natural, existe un número primo entre n2 y (n+1)2. Finalmente, la conjetura de Cramér, cuya veracidad implicaría la de Legendre, dice

que .

Teoría aditiva de números

Otras conjeturas relacionan algunas propiedades aditivas de los números con los números primos. Así, la conjetura de Goldbach diceque todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos, aunque también existe una versión más débilde la misma conjetura según la cual todo número impar mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos. Elmatemático chino Chen Jingrun demostró, en 1966, que en efecto, todo número par suficientemente grande puede expresarse como



Representación de los primos gaussianosde norma menor o igual a 500. Los primosgaussianos son, por definición, los enterosgaussianos que son primos.

suma de dos primos o como la suma de un primo y de un número que es el producto de dos primos. (" semi-primo").43

Los cuatro problemas de Landau

En 1912, Landau estableció en el Quinto Congreso Internacional de Matemáticos de Cambridge una lista de cuatro de los problemasya mencionados sobre números primos, que se conocen como los problemas de Landau. Ninguno de ellos está resuelto hasta la fecha.Se trata de la conjetura de Goldbach, la de los números primos gemelos, la de Legendre y la de los primos de la forma n2 + 1.44

Generalización del concepto de número primoEl concepto de número primo es tan importante que se ha visto generalizado de varias maneras en diversas ramas de las matemáticas.

Elementos primos en un anillo

Se pueden definir los elementos primos y los elementos irreducibles en cualquier dominio de integridad.45 En cualquier dominio de factorización única, como por ejemplo, el anillo de los enteros, el conjunto de elementos primos equivale alconjunto de los elementos irreducibles, que en es {…, −11, −7, −5, −3, −2, 2, 3, 5,7, 11, …}.

Considérense por ejemplo los enteros gaussianos , es decir, los númeroscomplejos de la forma a+bi con a, b ∈ . Este es un dominio de integración, y suselementos primos son los primos gaussianos. Cabe destacar que el 2 no es un primogaussiano, porque admite factorización como producto de los primos gaussianos (1+i)y (1-i). Sin embargo, el elemento 3 sí es primo en los enteros gaussianos. En general,los primos racionales (es decir, los elementos primos del anillo ) de la forma 4k +3son primos gaussianos, pero no lo son aquellos de la forma 4k +1.

Ideales primos

En teoría de anillos, un ideal I es un subconjunto de un anillo A tal que

si i, j ∈ I , entonces la suma i + j pertenece a I

y si x ∈ A, i ∈ I , entonces los productos a × i, i × a pertenecen a I .

Un ideal primo se define entonces como un ideal que cumple también que:

para cualquier par de elementos a, b del anillo A tales que su producto a × b pertenece a I , entonces, al menos uno de los doselementos, a o b, está en I . I no es el anillo A entero.

Los ideales primos son una herramienta relevante en álgebra conmutativa, teoría algebraica de números y geometría algebraica. Losideales primos del anillo de enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), …

Un problema central en teoría algebraica de números es la manera en que se factorizan los ideales primos cuando se ven sometidos auna extensión de cuerpos. En el ejemplo de los enteros gaussianos, (2) se ramifica en potencia de un primo (ya que 1 + i y 1 − i

generan el mismo ideal primo), los ideales primos de la forma 4k + 3 son inertes (mantienen su primalidad) y los de la forma 4k + 1 pasan a ser producto de dos ideales primos distintos.

Primos en teoría de la valoración

En teoría algebraica de números surge otra generalización más. Dado un cuerpo , reciben el nombre de valoraciones sobredeterminadas funciones de en . Cada una de estas valoraciones genera una topología sobre , y se dice que dos valoracionesson equivalentes si generan la misma topología. Un primo de es una clase de equivalencia de valoraciones. Con esta definición, los primos del cuerpo de los números racionales quedan representados por la función valor absoluto así como por las valoraciones p-

ádicas sobre para cada número primo p.

Nudos primos

En teoría de nudos, un nudo primo es un nudo no trivial que no se puede descomponer en dos nudos más pequeños. De forma más precisa, se trata de un nudo que no se



Algunos nudos primos.

puede escribir como suma conexa de dos nudos no triviales.

En 1949 Horst Schubert demostró un teorema de factorización análogo al teoremafundamental de la aritmética, que asegura que cada nudo se puede obtener de formaúnica como suma conexa de nudos primos.46 Por este motivo, los nudos primosdesempeñan un papel central en la teoría de nudos: una clasificación de los nudos ha sido desde finales del siglo XIX el tema central dela teoría.

Aplicaciones en la computación

El algoritmo RSA se basa en la obtención de la clave pública mediante la multiplicación de dos números grandes (mayores que 10100)que sean primos. La seguridad de este algoritmo radica en que no se conocen maneras rápidas de factorizar un número grande en susfactores primos utilizando computadoras tradicionales.

Números primos en el arte y la literatura

Los números primos han influido en numerosos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen se valió de ellos para crear música no métrica. En obras tales como La Nativité du Seigneur (1935) o Quatre études de rythme (1949-50) empleasimultáneamente motivos cuya duración es un número primo para crear ritmos impredecibles. Según Messiaen, esta forma decomponer fue «inspirada por los movimientos de la naturaleza, movimientos de duraciones libres y desiguales». 47

En su novela de ciencia ficción Contact , posteriormente adaptada al cine, Carl Sagan sugiere que los números primos podrían ser empleados para comunicarse con inteligencias extraterrestres, una idea que había desarrollado de manera informal con el astrónomoestadounidense Frank Drake en 1975.48

El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon, que describe en primera persona la vida de un joven autista muydotado en matemáticas y cálculo mental, utiliza únicamente los números primos para numerar los capítulos.

En la novela PopCo de Scarlett Thomas, la abuela de Alice Butler trabaja en la demostración de la hipótesis de Riemann. El libroilustra una tabla de los mil primeros números primos.49

La soledad de los números primos, novela escrita por Paolo Giordano, ganó el premio Strega en 2008.

También son muchas las películas que reflejan la fascinación popular hacia los misterios de los números primos y la criptografía, por ejemplo, Cube, Sneakers, El amor tiene dos caras y Una mente maravillosa. Esta última se basa en la biografía del matemático y premio Nobel John Forbes Nash, escrita por Sylvia Nasar.50

Véase también

Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.CriptografíaEspiral de UlamMatemática

Test de primalidadAnexo:Números primosAnexo:Tabla de factores primos

Números

ComplejosReales

Racionales

Enteros

Naturales

Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia



IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Referencias

1. ↑ (sucesión A000040 (//oeis.org/A000040) en OEIS)2. ↑ Marcus du Sautoy, La symphonie des nombres premiers P.42 (en francés)3. ↑ Préhistoire de la géométrie: le problème des sources (http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/telecharger/Keller/Keller3.pdf) ,

artículo de Olivier Keller (en francés)4. ↑ «Nacimiento de las matemáticas. (http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Nacimiento.html) ». Consultado el 7 de Junio de 2009.5. ↑ Arnaldez, Roger y otros (1988). Las antiguas ciencias del Oriente.. Barcelona: Ediciones Orbis S.A.. ISBN 84-402-0159-1.6. ↑ Planetmath.org. «History of prime numbers. (http://planetmath.org/encyclopedia/HistoryOfPrimeNumbers.html) ». Consultado el 7 de

junio de 2009.7. ↑ Crandall, Richard (2001). Prime numbers, a computational perspective. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94777-9.8. ↑ Bernstein, Daniel. «Prime tests (http://cr.yp.to/primetests.html) ». Consultado el 1 de julio de 2009.9. ↑ Singh, Simon (1998). «Pag. 126». El enigma de Fermat . Editorial Planeta S.A. ISBN 978-84-08-02375-3..

10. ↑ Carles Pina i Estany (2005). «Curiosidades sobre números primos. (http://pinux.info/primos/curiosidades.html) ». Consultado el 5 de junio de 2009.

11. ↑ Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. New York: Springer (1994): 36 (en inglés)12. ↑ Richard K. Guy & John Horton Conway, The Book of Numbers. New York: Springer (1996): 129 - 130 (en inglés)13. ↑ Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. pp. 118. ISBN 0-19-285361-9. «La exclusión

aparentemente arbitraria del 1 de la definición de número primo … no expresa ningún conocimiento profundo sobre los números: setrata simplemente de un convenio útil, adoptado para que sólo haya una manera de factorizar cualquier número en sus factores primos»

14. ↑ "Why is the number one not prime? (http://primes.utm.edu/notes/faq/one.html) " (en inglés), accedido el 31-05-2009.15. ↑ "Arguments for and against the primality of 1 (http://www.geocities.com/primefan/Prime1ProCon.html) " (en inglés), accedido el 31-

05-2009.16. ↑ , Euclides (1991-1996). «Vol. II, libro IX, proposición 20.». Elementos. Obra completa, Madrid, Editorial Gredos. ISBN 978-84-249-

1463-9.17. ↑ DiAmOnD (2008). «Demostración topológica de la infinitud de los números primos. (http://gaussianos.com/demostrac ion-topologica-

de-la-infinitud-de-los-numeros-primos/) ». Consultado el 5 de junio de 2009.18. ↑ Véase, por ejemplo, An Introduction to the Theory of Numbers, p. 24. (en inglés)19. ↑ En general, en la notación de Landau, indica que está dominada asintóticamente por , es decir,

. Para más información, lea notación de Landau.

20. ↑ Con esta expresión se quiere decir que el límite de la razón entre las dos expresiones tiende a 1 cuando n tiende a infinito.21. ↑ von Koch, Helge (1901). «Sur la distribution des nombres premiers (http://www.springerlink.com/content/077g4j008x57p021/) ».

SpringerLink. Consultado el 6 de junio de 2009.22. ↑ Nótese que esto no tiene por qué ser verdad en general, por ejemplo, si n es impar, se tiene que n!+(n+1) es divisible entre 2.23. ↑ (sucesión A001223 (//oeis.org/A001223) en OEIS)24. ↑ Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 163 (en inglés)25. ↑ Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 17126. ↑ Eric W. Weisstein. «Number Field Sieve (http://mathworld.wolfram.com/NumberFieldSieve.html) » (en inglés). Consultado el 31 de

mayo de 2009.

27. ↑ Introducción del capítulo 3 del libro de Ribenboim The new book of prime number records.28. ↑ a b Prime Glossary - Matijasevic's Polynomial (http://primes.utm.edu/glossary/xpage/MatijasevicPoly.html) , accedido el 06-06-200929. ↑ W. H. Mills, A prime-representing function (1947) (en inglés)30. ↑ (sucesión A002982 (//oeis.org/A002982) en OEIS)31. ↑ (sucesión A002981 (//oeis.org/A002981) en OEIS)

32. ↑ a b Keller, Wilfrid (2009). «Fermat factoring status (http://www.prothsearch.net/fermat.html) ». Consultado el 1 de junio de 2009.33. ↑ DiAmOnD (2008). «Todo número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto (http://gaussianos.com/todo-

numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/) ». Consultado el 7 de junio de 2009.. Por contraposición, sededuce que, para buscar números primos de Mersenne, basta con buscar entre los números de Mersenne con exponente primo.

34. ↑ DiAmOnD (2008). «¡¡Tenemos dos nuevos primos de Mersenne!! (http://gaussianos.com/%C2%A1%C2%A1tenemos-dos-nuevos- primos-de-mersenne/) ». Consultado el 5 de junio de 2009.

35. ↑ GIMPS (2009). «47th Known Mersenne Prime Found! (http://mersenne.org/) ». Consultado el 13 de junio de 2009.36. ↑ Nicholas Anderson, Andrew J. Havens, Brian Hydefrost, Sean Murphy y Steve Sarasin. «Pr ime Numbers and the Riemann Hypothesis

(http://www.gang.umass.edu/~franz/teaching/group1.pdf) » pág. 6. Consultado el 7 de junio de 2009.37. ↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!. «A000979. Wagstaff primes.

(http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000979) ». Consultado el 23 de abril de 2010.38. ↑ Eric W. Weisstein. «Wagstaff Prime (http://mathworld.wolfram.com/WagstaffPrime.html) » (en inglés). Consultado el 23 de abril de

2010.39. ↑ Caldwell, Chris. «The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime (http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WallSunSunPrime) » (en



inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WallSunSunPrime. Consultado el 6de junio de 2009.

40. ↑ Bombieri, Enrico (2000). «The Riemann hypothesis (http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf) » (eninglés). Clay Mathematics Institute. Consultado el 6 de junio de 2009.

41. ↑ Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Lucas Number (http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=48) » (en inglés). The Prime Pages.Universidad de Tennessee. http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=48. Consultado el 1 de junio de 2009.

42. ↑ Por ejemplo, véase Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 1981, problema A3, pp. 7–8.43. ↑ Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.44. ↑ Mathworld - Landau's Problems (http://mathworld.wolfram.com/LandausProblems.html) (en inglés)45. ↑ «Números algebraicos (http://www.iesmurgi.org/matematicas/materiales/numeros/node18.html) » (2004). Consultado el 7 de junio de

2009.46. ↑ En Mathworld (http://mathworld.wolfram.com/PrimeKnot.html) . (en inglés)47. ↑ Peter Hill (1994). Amadeus Press. ed. The Messiaen companion. ISBN ISBN 0-931340-95-0..48. ↑ Carl Pomerance, Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence

(http://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/extraterrestrial.pdf) , accedido el 31-05-200949. ↑ A Mathematician reviews PopCo (http://math.cofc.edu/kasman/MATHFICT/mfview.php?callnumber=mf476) (en inglés), accedido el

31-05-200950. ↑ Music of the Spheres (http://www.musicoftheprimes.com/films.htm) , Selección de Marcus du Sautoy de películas que versan sobre

los números primos (en inglés), accedido el 31-05-2009

Enlaces externos

The Prime Pages (http://www.utm.edu/research/primes)Sobre el artículo de Manindra Agrawal et al. PRIMES IS IN P, en donde afirman: "We present a deterministic polynomial-timealgorithm that determines whether an input number n is prime or composite" mathmistakes(http://members.cox.net/mathmistakes/primes.htm)Algoritmos eficientes para calcular números primos, por Steve Litt(http://www.troubleshooters.com/codecorn/primenumbers/primenumbers.htm)¿Es este número primo? (http://www.mste.uiuc.edu/html.f/resource/prime.html)

Obtenido de «http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_primo&oldid=53378459»Categorías: Números primos Sucesiones de números primos

Esta página fue modificada por última vez el 29 ene 2012, a las 11:03.El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0; podrían ser aplicables cláusulasadicionales. Lee los términos de uso para más información.Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia, Inc., una organización sin ánimo de lucro.

número primo - wikipedia, la enciclopedia libre

Documents