Matemáticas para ingeniería I

Ingeniería en Mecatrónica Lilia Meza Montes – IFUAP

Otoño 2017

UNIDAD  II  

2.1.2  Matriz  Jacobiana  2.1.3  Jacobiano  

 

2.1.2  MATRIZ  DE  DERIVADAS  PARCIALES  (MATRIZ  JACOBIANA)  

Función  de  m  componentes  y  n  variables    

 Sea  F  una  función,  F  :  RnàRm,  con  m  componentes  y1,y2,…,ym;  que  depende  de  n  variables  x1,x2,…,xn.    Es  decir  F=(y1(x1,x2,…,xn),  y2(x1,x2,…,xn),…,  ym(x1,x2,…,xn))  

Matriz  Jacobiana  o  matriz  de  derivadas  parciales  

∂(y1, y2,..., ym )∂(x1, x2,..., xn )

=

∂y1∂x1

∂y1∂x2

... ∂y1∂xn

∂y2∂x1

∂y2∂x2

... ∂y2∂xn

... ... ... ...∂ym∂x1

∂ym∂x2

... ∂ym∂xn

"

#

$$$$$$$$$

%

&

'''''''''

m    renglones  

n  columnas  

mxn  

2.1.3  DETERMINANTE  DE  LA  MATRIZ  JACOBIANA.  EL  JACOBIANO.  

Determinante  Jacobiano  o  Jacobiano  

J = ∂(y1, y2,..., yn )∂(x1, x2,..., xn )

=

∂y1∂x1

∂y1∂x2

... ∂y1∂xn

∂y2∂x1

∂y2∂x2

... ∂y2∂xn

... ... ... ...∂yn∂x1

∂yn∂x2

... ∂yn∂xn

n  renglones  

n  columnas  

nxn  

m=nàmatriz  jacobiana  es  cuadrada  Determinante  de  la  matriz  jacobiana  

Cuidado  con  la  notación!!  •  DisRnguir  entre  matriz  jacobiana  y  el  jacobiano  •  En  algunos  libros  la  matriz  jacobiana  se  denota  por  JF  y  el  jacobiano  |JF|  

     o  bien  el  jacobiano  mismo  por        ESPECIFICAR  QUÉ  SE  ESTÁ  CALCULANDO  (la  matriz  o  el  jacobiano)      

J y1, y2,..., ymx1, x2,..., xn

!

"#

$

%&, o ∂(y1, y2,..., ym )

∂(x1, x2,..., xn )

Ejemplos:  Matrices  jacobianas    2x2  y  3x3    

•  F(u,v),  G(u,v)  2x2  

•  F(u,v,w),  G(u,v,w),  H(u,v,w)  3x3  

 

∂(F,G)∂(u,v)

=

∂F∂u

∂F∂v

∂G∂u

∂G∂v

"

#

$$$$

%

&

''''

∂(F,G,H )∂(u,v,w)

=

Fu Fv FwGu Gv Gw

Hu Hv Hw

"

#

$$$$

%

&

''''

Teoremas  sobre  jacobianos  Supongamos  todas  las  funciones  conRnuamente  diferenciables  en  una  región  R 1.  Una  condición  necesaria  y  suficiente  para  que  

todas  las  ecuaciones  F(u,v,x,y,z)=0;    G(u,v,x,y,z)=0,  

Puedan  resolverse  para  u,v  (por  ejemplo),  es  que  el  jacobiano  sea  diferente  de  cero  en  R      Es  decir,  podemos  despejar  u=u(x,y,z),  v(x,y,z).    

∂(F,G)∂(u,v)

≠ 0

Regla  de  la  cadena  para  jacobianos  

2.  Si  x,y  son  funciones  de  u,v,  es  decir,    x=  x(u,v),  y  =  y(u,v);    

mientras  que  u,v  son  funciones  de  r,s    u=u(r,s),  v=v(r,s),    

entonces     ∂(x, y)

∂(r, s)=∂(x, y)∂(u,v)

∂(u,v)∂(r, s)

4.  Si  u=f(x,y),  v=g(x,y),  una  condición  necesaria  y  suficiente  para  que  una  forma  funcional    ϕ(u,v)=0  exista  entre  u  y  v  es  que        En  principio,  podemos  entonces  despejar  u=u(v)  o  bien  v=v(u).        

∂(u,v)∂(x, y)

= 0

Transformaciones  (mapeos)  

y  

x  

(x,y)  

v  

u  

(u,v)  

u(x,y)  v(x,y)  

x(u,v)  y(u,v)  

Inversa  

Transformación  uno  a  uno    (un  punto  a  un  solo  punto)  

Teorema  sobre  transformaciones  3.  Sea  la  transformación  u=u(x,y),  v=  v(x,y)  y  su  inversa    dada  por  x=x(u,v),  y=y(u,v),    entonces    •  Bien  

   Similar  para  n  variables  

∂(u,v)∂(x, y)

=∂(x, y)∂(u,v)

−1

=1/ ∂(x, y)∂(u,v)

∂(u,v)∂(x, y)

∂(x, y)∂(u,v)

=1