1

2

Lógica de Proposiciones

Contenido

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Lógica matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Lenguaje matemático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 El lenguaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Signos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Clases de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Proposiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Proposición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Valor de Verdad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Tipos de proposiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Posibilidades Lógicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Conectores lógicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5.1 Conjunción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.2 Disyunción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.3 Disyunción Exclusiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.4 Negación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.5 Tautologías y contradicciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.6 Proposición Condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.7 Proposición Recíproca y Contrarrecíproca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.8 Proposición bicondicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Taller Lógica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

INTRODUCCIÓN

En el álgebra actual tiene importancia y muy especialmente en el cálculo que se efectúa

con procesadores electrónicos, el análisis del lenguaje desde un punto de vista lógico. Las

expresiones de este lenguaje pueden tomar formas complicadas, pero el análisis de sus

partes ofrece la alternativa de desentrañar la esencia de la lógica de las formas expresivas

más complejas.

En estas notas, que no pretenden ser más que una introducción, no tendría sentido

extenderse en la consideración de los problemas de la lógica matemática sobre los cuales

el lector interesado podrá ir desarrollando en el trascurso de la cartilla.

Aquí nos interesaremos en un tipo especial de proposiciones como por ejemplo 5 es un

número, los caballos son negros, x2 es siempre positivo para todo real x,. . . notemos que

a estas expresiones se les puede asignar un valor, según sean verdaderas o falsas.

Quedarán excluidas de nuestra con sideración, expresiones tales como: Abre la ventana,

Estudia con dedicación,...

4

1. LÓGICA MATEMÁTICA

1.1 LENGUAJE MATEMÁTICO

El desarrollo del pensamiento matemático a través de la historia ha tenido un

comportamiento creciente. Este crecimiento ha sido más rápido en los últimos años. En

efecto, el impulso dado a la matemática desde la segunda parte del siglo XIX debido al

desarrollo de la teoría de conjuntos por George Cantor, pasando por el siglo XX con David

Hilbert, hasta nuestros días con Von Newman, realmente considerable; al punto de haber

a hablar de una matemática nueva o “MATEMÁTICA MODERNA”.

La matemática se ha desarrollado con base en dos aspectos fundamentales:

1. Un lenguaje conjuntista.

2. Una fundamentación axiomática.

1.2 EL LENGUAJE

Para expresar sus ideas, el hombre ha utilizado fundamentalmente los signos orales o

escritos. El problema que ha tenido el hombre es que el lenguaje corriente a veces se

presta a confusiones y a la falsa interpretación. Por ejemplo los fracasos que tenemos en

la solución de problemas matemáticos, obedecen muchas veces a la incapacidad de

interpretar claramente las palabras del enunciado. Es necesario construir un lenguaje claro

y preciso que nos permita afrontar con seguridad y éxito el estudio de la matemática.

1.3 SIGNOS

Un idioma se construye con signos tales como a, b, c, !, ; ,… El significado de las oraciones

depende de las palabras y el de éstas depende muchas veces de la posición de un signo,

o del contexto. Veamos unos ejemplos:

Calle ……………………………………………… una vía

Callé ……………………………………………… de callarse

Papá ……………………………………………… el padre de alguien

5

Papa ……………………………………………… un tubérculo

Papa ……………………………………………… jefe de la iglesia Católica

En cuanto a las oraciones sabemos que para que éstas tengan sentido completo, deben

de constar de SUJETO (sobre quien cae la acción) y PREDICADO (lo que se afirma o se

niega del sujeto). Veamos algunos ejemplos:

1. Juan es buen hijo : Lenguaje ordinario

Sujeto Predicado

2. Carlos es menor que juan : Lenguaje Ordinario

Sujeto Predicado

3. 5 + 3 es 8 : Lenguaje matemático

4. “a” operado con “b” es c : Lenguaje matemático

5. a * b = c : Lenguaje matemático

1.4 CLASES DE SIGNOS

Antes de mostrar signos más usados en la matemática elemental, sólo se disponía del

lenguaje corriente para expresar conceptos matemáticos. Fue necesario la implementación

de símbolos que hoy usamos en la ciencia. Los signos más frecuentes son:

1. Lenguaje corriente : a, b, c, A, B, C, ¿?, ¡!, …

2. De conexión lógica: ⌐, ˅, ˄, →, ↔

3. De relación: ∉, ∈,=,≠,<,>,≤,≥,≡,≅,⊂

4. De cuantificadores: ∀, ∃

6

5. De operación: +, −, ÷, ×, ∗, △

6. De puntación o agrupación (), {}, []

2. PROPOSICIONES

2.1 Proposiciones

Observemos los siguientes enunciados y según nuestro criterio, determinemos cuáles son

verdaderos o falsos:

1. Mi cuaderno de matemáticas tiene 80 hojas.

2. En este salón hay solamente 20 alumnos.

3. En este país no hay pobres ni analfabetos

4. 2 + 6 es 7

5. X + 1 es 4

6. ¿Cómo estás?

Aquellas que podemos responder con seguridad, que son FALSAS o VERDADERAS se

llaman PROPOSICIONES. Observamos que los ejemplos 5 y 6 nos son proposiciones.

¿Cómo puedes trasformar el ejemplo 5 en una proposición?

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

7

PROPOSICIÓN

DEFINICIÓN 1: Es una expresión de la que puede decirse que es VERDADERA O FALSA,

pero no las dos cosas a la vez.

DEFINICIÓN 2: Es un enunciado del que puede decirse con exactitud que es

VERDADERO O FALSO.

EJERCICIOS # 1:

Escribir 5 enunciados que sean proposiciones y 2 que no lo sean.

1. _______________________________________________________________

2. _______________________________________________________________

3. _______________________________________________________________

4. _______________________________________________________________

5. _______________________________________________________________

6. _______________________________________________________________

7. _______________________________________________________________

2.2 VALORES DE VERDAD

Cada uno de los términos verdadero (V) o falso (F) que se puedan asignar a una proposición

recibe el nombre de VALOR DE VERDAD. A continuación aparecen una serie de

expresiones, a cada una se debe asignar un valor de verdad.

8

1. Todos los colombianos tenemos casa.

2. Me gusta estudiar la matemática.

3. La pobreza es una virtud.

4. En este país la televisión es buena y educativa.

5. El sol es brillante y opaco al mismo tiempo.

Observaremos que las respuestas dependen de nuestro conocimiento o experiencia. Lo

que no acepta la matemática es que la proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo.

Por ejemplo: Me gusta estudiar la matemática: puede que sea verdadero para unos y falsa

para otros, pero para ti no puede ser ambas cosas simultáneamente.

2.3 TIPOS DE PROPOSICIONES

En el estudio de la matemática encontramos 2 tipos de proposiciones. PROPOSICIONES

SIMPLES Y COMPUESTAS. En la siguiente lista de proposiciones ¿Cuáles son simples?

¿Cuáles son compuestas? ¿Puedes asignarle un valor de verdad a cada una?

1. Nuestros recursos forestales están muy bien conservados.

2. Vivimos en un país suramericano.

3. Nuestra educación es obligatoria y gratuita.

4. Esta tarde estudiaré o iré al cine.

5. Si estudio entonces gano el curso.

6. O me levanto temprano o me despiden del trabajo.

9

Posiblemente observaste que (1) y (2) son proposiciones simples; en tanto que (3), (4), (5)

y (6) son proposiciones compuestas. ¿Qué diferencia encuentras entre una proposición

simple y una compuesta?

Veamos como formar algunas proposiciones compuestas:

Proposiciones Simples Proposiciones Compuestas

- Este mes voy a trabajar.

- Este mes me muero de hambre.

- Vivo en Bogotá.

- Vivo en Medellín.

- Estudio matemáticas

- Puedo enseñar matemáticas

- Este mes voy a trabajar o me muero

de hambre.

- Vivo en Bogotá o en Medellín.

- Si estudio matemáticas entonces

puedo enseñar matemáticas.

Tabla #1: Proporciones simples y compuestas

DEFINICIÓN: Una proposición compuesta es aquella que está formada por dos o más

proposiciones simples, ligadas por un conector.

2.4 POSIBILIDADES LÓGICAS

Para una proposición simple (p), sólo hay dos posibilidades: O es verdadera o es falsa.

p Descripción de posibilidades Total

v

f

---------------> Primera posibilidad

---------------> Segunda posibilidad

21 posibilidades

Tabla # 2: 2 Posibilidades lógicas

1. Si la proposición es compuesta, está se analiza de acuerdo al número de

proposiciones. Veamos el caso de una proposición compuesta de dos

proposiciones simples p y q.

10

p q Descripción de posibilidades Total

v

v

f

f

v

f

v

f

1. Ambas son verdaderas.

2. p es verdadera y q es falsa.

3. p es falsa y q es verdadera.

4. Ambas son falsas

22 = 4

posibilidades

Tabla # 3: 4 Posibilidades lógicas

En forma similar podemos encontrar que si la proposición compuesta consta de tres

proposiciones simples, el número de posibilidades en cuanto a los valores de verdad es: 23

= 8.

En general si el número de proposiciones simples que intervienen es “n”, entonces

el número de posibilidades es 2n.

2.5 LOS CONECTORES LÓGICOS

Los símbolos que empleamos en el lenguaje para o conectar proposiciones simples los

llamamos conectores lógicos y los más empleados son: ∧,∨, ¬, ∨. Combinando éstos

obtenemos otros: →, ⟹, ⟷, ⟺.

A continuación estudiaremos detalladamente cada una de estas proposiciones.

2.5.1 LA CONJUNCIÓN

Símbolo

Gramatical

Símbolo

Lógico

Y ∧

EJEMPLO:

Sea p: Esta tarde estudiaré historia.

11

q: Esta tarde estudiaré español.

p ∧ q: Esta tarde estudiaré historia y español.

VALOR DE LA VERDAD DE LA CONJUNCIÓN

El siguiente ejemplo nos ayudará a decidir cuando la conjunción de 2 proposiciones simples

es verdadera o falsa.

EJEMPLO:

La mamá le advierte a Juanita: “podrás salir a la calle cuando arregles la cama y limpies

los muebles” Juanita entenderá que será VERDAD que podrá salir solamente cuando sea

VERDAD que realice las 2 actividades encomendadas por la mamá.

Diremos que:

La conjunción de 2 proposiciones es verdadera sólo cuando ambas proposiciones lo sean:

p q p ∧ 𝒒

v

v

f

f

v

f

v

f

v

f

f

f

Tabla # 4: Valor de la verdad de la conjunción

EJERCICIOS # 2:

Determinar el valor de verdad de las siguientes conjunciones. Para facilitar el trabajo

escríbelas en forma simbólica. Escribir al menos 2 ejemplos, distintos a los que hemos

planteado.

p q

1. El M.C.M de 12 y 15 es 60 y 27 es divisible por 3.

V ∧ V V

12

2. La ecuación x + 2 = 3 tiene solución y 12 es múltiplo de 3.

3. La ecuación 5x +1 = 0 tiene solución en los ℕ y (-3)2 es negativo.

4. 2x2 +3x +1 es un monomio y 25 es un número primo.

5. Todo número naturales es entero y todo número entero es natural.

6. Todo número par es natural y todo número negativo es entero.

7. Todo múltiplo de 6 es múltiplo de 3 y todo impar es natural.

8. ____________________________________________________________

9. ____________________________________________________________

2.5.2 LA DISYUNCIÓN

Símbolo

Gramatical

Símbolo

Lógico

o ∨

13

EJEMPLO:

Sea p: Juan es inteligente.

q: Juan es estudioso.

p ∨ q: Juan es inteligente o estudioso.

VALOR DE LA VERDAD DE LA DISYUNCIÓN

El siguiente ejemplo nos ayudará a decidir cuando la disyunción de 2 proposiciones simples

es verdadera o falsa.

EJEMPLO:

La mamá le advierte a Juanita: “Te dejo salir a jugar cuando arregles la cama o sacudas

el polvo” Juanita entenderá que será VERDAD que podrá salir a jugar si es verdad que

realiza ambas actividades o por lo menos una de ellas. Además sabe que no podrá salir si

deja de realizar las dos actividades.

Afirmaremos que:

La disyunción es verdadera cuando al menos una de las proposiciones simples lo sea. Es

falsa sólo cuando ambas proposiciones simples lo sean:

p q p ∨ 𝒒

v

v

f

f

v

f

v

f

v

v

v

f

Tabla # 5: Valor de la verdad de la disyunción

14

EJERCICIOS # 3:

Determinar el valor de verdad de las siguientes disyunciones. Para facilitar el trabajo

escríbelas en forma simbólica. Escribir al menos 3 ejemplos, distintos a los que hemos

planteado.

p q

1. x2 - 19 es factorizable ó 33 es múltiplo de 11

F ∨ V V

2. El M.C.M de 12 y 16 es 60 o 39 es primo.

3. La ecuación 5x +1 = 0 tiene solución en los ℕ o (-3)2 es negativo.

4. 2x2 +3x +1 es un monomio o 25 es un número primo.

5. Todo número naturales es entero o todo número entero es natural.

6. Todo número par es natural o todo número negativo es entero.

7. Todo múltiplo de 6 es múltiplo de 3 o todo impar es natural.

8. ____________________________________________________________

9. ____________________________________________________________

15

2.5.3 LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Símbolo

Gramatical

Símbolo

Lógico

o… o… ∨

EJEMPLO 1:

Sea p: Este semestre estudiaré en Medellín.

q: Este semestre estudiaré en Cartagena.

p ∨ q: Este semestre estudiaré o en Medellín o en Cartagena.

EJEMPLO 2:

Sea p: Este es un gobierno es de pobres.

q: Este es un gobierno es de los ricos.

p ∨ q: Este en un gobierno o de los pobres o de los ricos.

VALOR DE LA VERDAD DE LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Del ejemplo 1 podemos concluir que es imposible estudiar en las dos ciudades al mismo

tiempo.

p ∨ q es verdadera sólo cuando p y q tengan valores de verdad contrarios; es decir

16

p q p ∨ q

v

v

f

f

v

f

v

f

f

v

v

f

Tabla # 6: Valor de la verdad de la disyunción exclusiva

EJERCICIOS # 4:

Escribir al menos 3 ejemplos, distintos a los que hemos planteado, donde deba unirse la

disyunción exclusiva. Explicar cada ejemplo:

1. ___________________________________________________________

2. ___________________________________________________________

3. ___________________________________________________________

Explicación:

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

2.5.4 LA NEGACIÓN

Símbolo

Gramatical

Símbolo

Lógico

No…

No es verdad…

¬

17

EJEMPLO 1:

Sea La preposición p: “12 es un número par” es verdadera.

La preposición ⌐p: “12 no es un número par” es falsa.

EJEMPLO 2:

Sea La preposición q: “15 es un número primo” es falsa.

La preposición ⌐q: “15 no es un número primo” es verdadera.

Si una proposición es verdadera, su negación necesariamente debe ser falsa y

viceversa.

De lo anterior podemos resumirlo en la siguiente tabla:

p ¬p

v

f

f

v

Tabla # 7: La negación

2.5.5 TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES

DEFINICIÓN:

Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p1, p2,..., pn.

P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen

a p1, p2,..., pn.

P es una Contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a

p1, p2,..., pn.

En adelante, notaremos por “C” a una contradicción y por “T” a una tautología. Una

proposición P que no es tautología ni contradicción se llama, usualmente, Contingencia.

18

EJEMPLO:

Probar que la proposición compuesta p ∨ ¬p es una tautología y la p ∧ ¬p es una

contradicción.

Solución

p ⌐p p ˅ ⌐p p ˄ ⌐p

v

f

f

v

v

v

f

f

En efecto:

Obsérvese que p ∨ ¬p es verdad, independientemente de quienes sean las variables de

enunciado, p y ¬p y lo mismo ocurre con la falsedad de p ∧ ¬p.

2.5.6 EL CONDICIONAL

Símbolo

Gramatical

Símbolo

Lógico

Si… entonces… →

Muchas veces nos hemos encontrado con proposiciones de la siguiente forma:

1. Si estudias entonces irás al paseo.

2. Si x + 3 = 5, entonces x = 2.

3. Si ABC es un triángulo entonces la suma de los ángulos internos es 180°.

4. Si ha llovido entonces las calles están mojadas.

5. Si el mar es dulce entonces 3 es un número impar.

19

Cada uno de estos enunciados recibe el nombre de condicional.

DEFINICIÓN: Cualquier enunciado de la forma “si p entonces q” es una proposición

llamada CONDICIONAL y se simboliza p -> q.

Toda proposición condicional costa de dos partes: La primera es la CONDICIÓN O

HIPOTESIS (p) y la segunda es la CONCLUSIÓN O TÉSIS (q).

Los ejemplos anteriores los cuatro primeros, la conclusión o tesis es consecuencia lógica

de la hipótesis; es decir las proposiciones están lógicamente relacionadas.

VALOR DE LA VERDAD DEL CONDICIONAL

Una proposición condicional es falsa únicamente cuando siendo verdad la hipótesis, la

conclusión es falsa (no se debe deducir una conclusión falsa de una hipótesis verdadera).

p q p →q

v

v

f

f

v

f

v

f

v

f

v

v

Tabla # 3: Valor de la verdad del condicional

Otras formulaciones equivalentes de la proposición condicional p → q son:

1. “p sólo si q”.

2. “q si p”.

3. “p es una condición suficiente para q”.

20

4. “q es una condición necesaria para p”.

5. “q se sigue de p”.

6. “q a condición de p”.

7. “q es una consecuencia lógica de p”.

8. “q cuando p”.

Analizaremos con detalle cada uno de los cuatro casos que se presentan en la tabla de

verdad.

1. Antecedente y consecuente verdaderos.

En este caso parece evidente que el condicional “si p, entonces q” se evalúe como

verdadero. Por ejemplo:

“Si como mucho, entonces engordo”

Es una sentencia que se evalúa como verdadera en el caso de que tanto el

antecedente como el consecuente sean verdaderos.

2. Antecedente verdadero y consecuente falso.

En este caso parece natural decir que el condicional se evalúa como falso. Por

ejemplo, supongamos que un político aspirante a Presidente del Gobierno promete:

“Si gano las elecciones, entonces bajaré los impuestos”

Este condicional será falso sólo si ganando las elecciones, el político no baja los

impuestos. A nadie se le ocurriría reprochar al político que no ha bajado los

impuestos si no ha ganado las elecciones. Obsérvese que el hecho de que p sea

verdadero y, sin embargo, q sea falso viene, en realidad, a refutar la sentencia p →

q, es decir la hace falsa.

21

3. Antecedente falso y consecuente verdadero.

Nuestro sentido común nos indica que el condicional p → q no es, en este caso, ni

verdadero ni falso. Parece ilógico preguntarse por la veracidad o falsedad de un

condicional cuando la condición expresada por el antecedente no se cumple. Sin

embargo, esta respuesta del sentido común no nos sirve, estamos en lógica binaria

y todo ha de evaluarse bien como verdadero, bien como falso, es decir, si una

sentencia no es verdadera, entonces es falsa y viceversa.

Veamos que en el caso que nos ocupa, podemos asegurar que el condicional no es

falso. En efecto, como dijimos anteriormente, p → q es lo mismo que afirmar que

“p es una condición suficiente para q”

Por ejemplo:

“Si estudio mucho, entonces me canso”

¿Qué ocurriría si no estudio y, sin embargo, me cansara? Pues que la sentencia no

sería inválida, ya que no se dice que no pueda haber otros motivos que me puedan

producir cansancio.

4. Antecedente y consecuente falsos.

La situación es parecida a la anterior. La condición p no se verifica, es decir, es

falsa, por lo que el consecuente q puede ser tanto verdadero como falso y el

condicional, al no ser falso, será verdadero. Obsérvese, anecdóticamente, que es

muy frecuente el uso de este condicional en el lenguaje coloquial, cuando se quiere

señalar que, ante un dislate, cualquier otro está justificado.

“Si tú eres programador, entonces yo soy el dueño de Microsoft”

22

EJERCICIOS # 5:

Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones y escribir al

menos 2 ejemplos, distintos a los que hemos planteado.

1. Si dos rectas son paralelas entonces su intersección nunca sucederá.

2. Si pedro es Antioqueño entonces nació en Medellín.

3. Si las calles están mojadas entonces es porque ha llovido.

4. Si x2 = 9 entonces x = 4.

5. Si x = 3 entonces x2 = 9.

6. Si x es múltiplo de 6 entonces es divisible por 3.

7. Si Juan es peruano entonces es suramericano.

8. Si hay fuego entonces hay oxígeno.

9. ________________________________________________________________

10. ________________________________________________________________

23

2.5.7 RECIPROCA Y CONTRARRECIPROCA DE UN CONDICIONAL

A partir de la proposición p → q podemos obtener otras dos condiciones de gran aplicación,

particularmente cuando trabajamos con teoremas. Estas dos condiciones son:

a) q → p, la cual se denomina la RECIPROCA de p → q.

b) ⌐q → ⌐p, la cual se denomina la CONTRARECIPROCA DE p → q.

Analizaremos ahora el valor de q → p y de ⌐q → ⌐p y comparémoslos con los valores de

verdad de p → q:

p q ⌐ q ⌐ p p → q q → p ⌐q → ⌐p

v

v

f

f

v

f

v

f

f

v

f

v

f

f

v

v

v

f

v

v

(1)

v

v

f

v

(2)

v

f

v

v

(3)

Tabla # 9: Valor de la verdad de la recíproca y Contrarrecíproca

Al comparar (1) con (2) encontramos diferencias en algunos valores de verdad los cual nos

permite concluir que EL VALOR DE VERDAD DE q → p NO ES NECESARIMENTE IGUAL

AL VALOR DE VERDAD DE p → q.

Así mismo, al comparar (1) con (3) encontramos que los valores de verdad coinciden, lo

cual nos permite concluir que la PROPOSICIÓN p → q y su CONTRARECIPROCA ⌐q →

⌐p tienen el mismo VALOR DE VERDAD.

NOTA: Posteriormente diremos que p → q no es lógicamente equivale a q → p y que

p → q es lógicamente equivale a ⌐p → ⌐q.

EJEMPLO 1:

24

Sea p → q: “Si 7en impar entonces 7 es divisible por 2”.

Esta proposición es falsa ya que en la tabla del condicional vemos que cuando p es (v) y q

es (f) la implicación es (f).

EJEMPLO 2:

Veamos es valor de verdad de q → p.

Sea q → p: “Si 7 es divisible por 2 entonces 7 es impar”

Claramente q → p es (v) ya que (f) → (v). En consecuencia el valor de verdad de p → q y

q → p son diferentes.

EJEMPLO 3:

Analizaremos ahora el valor de verdad de ⌐q → ⌐p

Sea ⌐q → ⌐p: “Si 7 no es divisible por 2 entonces 7 no es par”

En este caso ⌐q → ⌐p es falsa ya que (v) → (f) es (f). En consecuencia, p → q y ⌐q → ⌐p

tienen el mismo valor de verdad.

EJERCICIOS # 6:

En los siguientes ejercicios escribir la proposición dada en la forma “Si p entonces q”

determine su valor de verdad. A continuación, escribir la recíproca y la contrarecíproca y

determinar la verdad o falsedad de cada una.

1. Sólo las rectas paralelas no se cortan.

p → q: Si las rectas son paralelas entonces no se cortan________________

q → p: Si las rectas no se cortan entonces son paralelas________________

⌐q → ⌐p: Si las rectas se cortan entonces no son paralelas________________

25

p q ⌐ q ⌐ p p → q q → p ⌐q → ⌐p

v v f f v v v

2. Ningún profesor de idiomas tiene mala ortografía.

p → q: ______________________________________________________

q → p: ______________________________________________________

⌐q → ⌐p: ______________________________________________________

p q ⌐ q ⌐ p p → q q → p ⌐q → ⌐p

3. Toda persona mayor de 18 años puede votar.

p → q: ______________________________________________________

q → p: ______________________________________________________

⌐q → ⌐p: ______________________________________________________

p q ⌐ q ⌐ p p → q q → p ⌐q → ⌐p

4. Si x = 4 entonces x2 = 16.

p → q: ______________________________________________________

q → p: ______________________________________________________

⌐q → ⌐p: ______________________________________________________

p q ⌐ q ⌐ p p → q q → p ⌐q → ⌐p

26

5. Un hombre natural de Antioquia es natural de Medellín.

p → q: ______________________________________________________

q → p: ______________________________________________________

⌐q → ⌐p: ______________________________________________________

p q ⌐ q ⌐ p p → q q → p ⌐q → ⌐p

6. Los triángulos isósceles son equiláteros.

p → q: ______________________________________________________

q → p: ______________________________________________________

⌐q → ⌐p: ______________________________________________________

p q ⌐ q ⌐ p p → q q → p ⌐q → ⌐p

7. Si a es mayor que b entonces b es mayor que a.

p → q: ______________________________________________________

q → p: ______________________________________________________

⌐q → ⌐p: ______________________________________________________

p q ⌐ q ⌐ p p → q q → p ⌐q → ⌐p

27

8. Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales.

p → q: ______________________________________________________

q → p: ______________________________________________________

⌐q → ⌐p: ______________________________________________________

p q ⌐ q ⌐ p p → q q → p ⌐q → ⌐p

9. Sólo las rectas perpendiculares forman ángulos rectos.

p → q: ______________________________________________________

q → p: ______________________________________________________

⌐q → ⌐p: ______________________________________________________

p q ⌐ q ⌐ p p → q q → p ⌐q → ⌐p

10. Las lechugas son verduras.

p → q: ______________________________________________________

q → p: ______________________________________________________

⌐q → ⌐p: ______________________________________________________

p q ⌐ q ⌐ p p → q q → p ⌐q → ⌐p

28

2.5.8 PROPOSICIÓN BICONDICIONAL

Símbolo

Gramatical

Símbolo

Lógico

Si y sólo si ↔

Consideremos los siguientes ejemplos:

1. X es un número par si y sólo si x es múltiplo de 2.

2. Un triángulo es equilátero si y sólo si equiángulo.

3. m2 = 4 si y sólo si m = 2 ó m = -2.

Cada uno de estos enunciados se denomina BICONDICIONAL.

DEFINICIÓN: Cualquier enunciado de la forma “p si y sólo si q” es una proposición

llamada bicondicional y se simboliza p ↔ q

Todo bicondicional puede descomponerse en dos condicionales de la siguiente manera:

Sea la proposición: “x es un número par si y sólo si x es múltiplo de 2.

Entonces podemos escribirlo.

“Si x es un número par entonces x es múltiplo de 2” y “si x es múltiplo de 2 entonces x es

un número par”.

Se trata de un doble condicional:

(p → q) ˄ (q → p)

29

VALOR DE VERDAD DEL BICONDICIONAL

Para determinar el valor de verdad del bicondicional nos basaremos en el valor de verdad

del condicional.

Determinemos el valor de verdad de (p → q) ˄ (q → p) y habremos determinado el de p ↔

q.

p q (p → q) ˄ (q →

p)

p ↔ q

v

v

f

f

v

f

v

f

v v v

f f f

v f f

v v v

(1) (3) (2)

v

f

f

v

Tabla # 10: Valor de la verdad del bicondicional

El resultado obtenido nos indica que el bicondicional sólo es verdadero cuando las

proposiciones que intervienen tienen el mismo valor de verdad: ambas verdaderas o ambas

falsas.

Cuando el BICONDICIONAL ES VERDADERO se acostumbra decir que los

proposiciones que intervienen son LOGICAMENTE EQUIVALENTES.

EJERCICIOS # 7:

I. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1. Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo T siendo c la longitud mayor.

30

“T es rectángulo si, y sólo si a2 + b2 = c2”

_______________________________________________________________

2. Enrique ingresará a la universidad si y sólo si aprueba el examen de admisión

_______________________________________________________________

3. Supero la prueba si, y sólo si, estudio.

_______________________________________________________________

II. Comprobar cuáles de las proposiciones siguientes son lógicamente equivalentes:

1. (p → q) y (⌐p ˅ q)

p q (p → q) (⌐p ˅

q)

v

v

f

f

v

f

v

f

2. ⌐ (p ˄ q) y (⌐p ˅ ⌐q)

p q ⌐ (p ˄ q) (⌐p ˅ ⌐q)

v

v

f

f

v

f

v

f

31

4. p y ⌐(⌐p)

p q p ⌐(⌐p)

v

v

f

f

v

f

v

f

5. ⌐(p → q) y (p ˄ ⌐q)

p q ⌐(p → q) (p ˄ ⌐q)

v

v

f

f

v

f

v

f

6. (p ˄ q) y (p ˅ ⌐p)

p q ⌐ (p ˄ q) (⌐p ˅ ⌐q)

v

v

f

f

v

f

v

f

7. (p ˄ q) y (p ˅ q)

p q (p ˄ q) (p ˅ q)

v

v

f

f

v

f

v

f

32

III. Completar con F o V cada una de las siguientes proposiciones; justificar la respuesta.

1. Si p ˄ q es verdadera entonces ⌐p → q es:

_________________________________________________________________

2. Si ⌐p ˄ q es falsa entonces p ˅ ⌐q es:

_________________________________________________________________

3. Si ⌐p ˄ q es falsa entonces p ↔ q es:

_________________________________________________________________

4. Si p es falsa y ⌐p ↔ q es verdadera entonces p → ⌐q es:

_________________________________________________________________

5. Si q → ⌐p es falsa entonces p ˅ q es:

_________________________________________________________________

6. Si q ˄ ⌐p es verdadera entonces q → (p ˄ q) es:

_________________________________________________________________

33

3. TALLER DE LOGICA

1. Considere los enunciados representados por las siguientes proposiciones y

expréselos en español.

p: 4 es un número primo

q: 4 es divisor de 32

a) p ∧ q:

_____________________________________________________________

b) q → ⌐p

_____________________________________________________________

c) ⌐p ↔ q

_____________________________________________________________

d) ⌐p ∨ q

_____________________________________________________________

e) ⌐p → ⌐q

_____________________________________________________________

f) (q ∧ ⌐p) ∨ ⌐q

_____________________________________________________________

2. Si se sabe que p es falsa, q es verdadera y que r es falsa, determine el valor de

verdad de las siguientes proposiciones:

34

a) (p ∧ ⌐q) → r

________________________________________________

b) (⌐p → ⌐r) ∧ q

________________________________________________

c) (p ∧ ∼r ) ⇔ q

________________________________________________

d) ⌐(⌐p → r) ∧ (⌐r ∨ p)

________________________________________________

3. Considere las proposiciones, p: Él es Ingeniero Comercial, q: Él es Informático, r: Él

es empresario. Escriba en forma simbólica los siguientes enunciados:

a) Él no es Ingeniero Comercial ni Informático, pero si Empresario.

_________________________

b) Él no es Ingeniero Comercial y es Informático.

_________________________

c) Ser Ingeniero Comercial o Empresario es lo mismo que ser Informático.

_________________________

35

d) Si él es Ingeniero Comercial e Informático, entonces es Empresario.

_________________________

e) Si no es Ingeniero Comercial y es Informático, entonces es Empresario.

_________________________

f) Es Ingeniero Comercial sólo si es Economista y Empresario.

_________________________

4. Demuestre que los esquemas p → (q ∨ r) y (p ∧ ⌐q) → r son lógicamente

equivalentes.

5. Determine el valor de verdad de las proposiciones p, q y r en cada uno de los

siguientes casos y determine si es tautología, contradicción o indeterminación.

a) [⌐ (p → q) ∧ (r ∨ q)]

b) (p ∨ q) ↔ ⌐ (p ∨ q)

c) ⌐ [(p ∨ q) ↔ ⌐ (p ∨ q)]

d) { [ ( p ∧ q ) → ( p ∧ r ) ] ∨ ( p → r ) }

36

BIBLIOGRAFÍA

Elementos de Matemáticas 11° (2ª ed.), Julio A. Uribe, José Berrio y Gabriel

Osorio (1985). Medellín- Colombia: Editorial Bedout S.A.