logicde proposiciones

8/6/2019 logicde proposiciones

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Lgica de ProposicionesLgica de Proposiciones

Qu es una proposicin?

Cules son los conectivos lgicos?Cmo utilizar las tablas de verdad?

Qu es una tautologa?

Qu es una contradiccin?


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La Lgica

Es una ciencia que estudia mtodos o procedimientos que aplican

definiciones y leyes o reglas con el propsito de determinar la validez oinvalidez de las proposiciones. La lgica matemtica es una variedad de lalgica filosfica.

Se puede decir tambin, que la Lgica es el estudio de la inferencia:Inferir es extraer la conclusin a partir de sus premisas.

Ejemplo

Si Cipriano quiere a Eloisa entonces le escribir una carta. No le escribila carta; por tanto, Cipriano, no quiere a Eloisa


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Los objetivos principales de la lgica son esencialmente:

1. Eliminar las ambigedades propias del lenguaje ordinario.

2. Dar rigor a aquello que se est estudiando.

En la Lgica existen dos procesos fundamentales:

1. Conceptualizacin: consiste en definir los objetos matemticosque se van a definir

2. Demostracin: consiste en demostrar rigurosamente aquellaspropiedades, proposiciones o teoremas que se estn estudiando


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Proposiciones

Es una expresin lingstica, libre de ambigedades ,que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa pero nunca ambas simultneamente.

Por ejemploSON PROPOSICIONES

El 2 es un nmero primo.

25 es divisible entre 3 .

6 + 5 = 10 .

El aula A1-205 est en el 2do piso

El sol es una estrella

Manuel saco 20 en matemticaLos problemas de matemtica

son fcil es

NO SON PROPOSICIONES

Pare inmediatamente!15 y 18 tienen la mismacantidad de divisores?.En realidad, a qu se refiere?.

Lvalo. Qu hermosos son tus ojos !llover maana?Haz esto por favor


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Cules de los siguientes enunciados son proposiciones?(Explica por qu lo son o no lo son)

1) El trabajo en grupo es lo ms fcil que existe.

2) 2 es divisor de 15.

3) Fuiste a la manifestacin del sbado?.

4) El aula A1-205 de la Unimet tiene ms de 50 mts. cuadrados.

5) x + 3 es un entero positivo.6) Tranquilcese.

Respuestas: Slo son proposiciones losenunciados dados en 2 y 4

Proposiciones


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Prof. Nio2006

Toda proposicin se califica como verdadera (V) o falsa (F).

Ejemplos:

La tierra es un satlite (F)El conjunto unitario tiene un solo elemento (V)

9 es cuadrado perfecto (V)

3 es mltiplo de 5 (F)

Valor de verdad


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Variable Proposicional

Es la representacin de las proposiciones por medio de letras minsculas:p, q, r, s, etc.. Lo que simplifica las operaciones

p: El aula A1-204 est en el 2do piso

q: El aula A1-204 es iluminada

r: El 5 es un entero par

s: La Tierra es el nico planeta con vida en el universo

t: El aula A1-204 no est iluminada

u: Un decenio tiene 10 aos


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Enunciado abierto

Llamado tambin funcin proposicional, es toda expresin que se refiere anmeros; esta conformado por constantes y variables.

Goza de la propiedad de transformarse en proposicin al sustituir lavariable o variables por constantes.

Ejemplos:Enunciado abierto

Proposicin para (V)

Enunciado abierto

Proposicin para (F)

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Adems todo enunciado abierto se transforma en una proposicinanteponindole para todo o Existe los que son llamadoscuantificadores

Ejemplos:

Enunciado abierto

Proposicin (V)

Enunciado abierto

Proposicin (F)

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Clases de proposiciones

1) Simple Llamadas tambin atnica, o elementales, son remplazadas, por unasola variable proposicional

Ejemplos:

El ro Rmac es llamado El Hablador p

La tierra es un planeta del sistema solar 2) Compuesta : Llamadas tambin moleculares, son aquellas que niegan a lasproposiciones simples o combinan dos o ms proposiciones simples conectadaspor partculas o conectivos lgicos.

EjemplosLas gallinas no tienen cuatro patas. No p

Juan es mdico y psiclogo q y r


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1.2 compuestaUsa no es cierto que, no es el caso que , es falso que, , no es verdad que, esimposible que, no es que, etc. Niega al operador mas no a la variableproposicional.

Ejemplo

Es imposible que Juan ni estudie ni trabaje

No es el caso que franco escriba o juegue

El General de San Martin no naci en el Per.

No es cierto que la pizarra sea blanca y el plumn sea negro

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Ejemplop: Nuestro saln est en el 2do piso.

p : Nuestro saln no est en el 2do piso.

p : No es cierto que nuestro saln est en el 2do piso.

Si p es verdadera entonces p es falsa. En cambio, si p es

falsa, p es verdadera.

La tabla de verdadp pV F

F V


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Las proposiciones se combinan mediante conectivos,

por ejemplo, y, o, pero, si ... entonces

Ejemplo

p: El aula A1-204 est en el 2do piso;

q: El aula A1-204 es iluminada.

pueden combinarse como:

El aula A1-204 est iluminada y est en el 2do piso

Si el aula A1-204 est iluminada entonces

se encuentra enel 2do piso

Notacin


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La proposicin resultante de conectar dos ms proposiciones sedenomina proposicin compuesta .

Ejemplo

r : El aula A1-205 est en el 2do piso pero es iluminada

r es la proposicin compuesta p y q

s : Si el aula A1-204 est iluminada entonces se encuentra en el 2do pisos es la proposicin compuesta Si q entonces p

Conectivos


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Vincula (coordina) proposiciones referidas a un mismo sujeto o a sujetos diferentes mediante el

conectivo y la conjuncin de p y q es la proposicin p y q que se denota por p q.La conjuncin es verdadera, nicamente cuando ambas proposiciones que la componen son

verdaderas.

Ejemplo:

Juan es mdico y deportista

Paco y Ronald son maestros

Sea p: 2 divide a 68

q: 2 divide a 25.

p q : 2 es divisor de 68 y de 25.

Valor de verdad: p q es falsa

2. La Conjuncin ( p q )


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Obs. 1 Para que una conjuncin tenga sentido debe cumplirse con lassiguientes requisitos.

Que se puedan separar las proposiciones

Que se puedan conmutar las proposiciones

Que tenga el mismo contextoEjemplo

No son proposiciones conjuntivas

Juan y Mara son paisanos (no se pueden separar)Paco tom arsnico y muri ( no se pueden conmutar)La ex reina de belleza tomo somnferos y muri (no se puede conmutar)

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Obs. 2 En el lenguaje coloquial se emplea como sinnimo de y lasexpresiones sino, adems, mas, pero, no obstante, empero, tambin, ala vez, aun cuando, sin embargo, aunque, a pesar de, etc.

Ejemplo:

Juan tiene diez aos tambin Elizabeth

Benito perdi tanto dinero como Vctor.

16 es mltiplo de 3, pero 5 es mayor que 3.

Fernando Belaunde fue un poltico pero honesto

A la vez sale el sol aun cuando llueve

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Obs : 3 En algunos casos la conjuncin est sobre entendida; estcita

Ejemplo:

Algunos han sido grandes otros han conseguido la grandeza a otrosles ha sido impuesta.

Obs : 4 Una Coma puede hacer, tambin una conjuncin.Ejemplo:

En el anterior coloque las comas en el lugar apropiado.


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p q p qV V VV F FF V FF F F

Mara y Juan son novios.

Tengo papel, pero no lpiz.Iremos a la playa si no llueve.

Tabla de Verdad


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3.1 Disyuncin Dbil () O inclusiva vincula dos o mas proposicionesmediante el conectivo o

Ejemplo: La solucin de (x2).(y+2) = 0 es x = 2 o y = -2.

Sean p: 3 divide a 6 q: 3 divide a 7

p q : 3 divide a 6 a 7

Valor de verdad : p q es verdadera.

Juan arregla su cuarto o Roco baila.

La historia describe o explicaLa disyuncin es falsa, nicamente, cuando ambas proposiciones son falsas.

3. LA DISYUNCIN (p q )


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Tabla de verdad

p q p q

V V VV F VF V VF F F


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3.2 Disyuncin Fuerte ( )

O exclusiva vincula dos proposiciones mediante el conectivo o o .

Ejemplo :O Juan arregla su cuarto o estudia p qO ests sano o ests enfermos. P q

En ambos ejemplos es imposible que simultneamente ocurran ambasproposiciones.

Tabla de verdad

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p q p q

V V FV F VF V V

F F F


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Establece una relacin de dependencia entre las proposiciones que sevinculan mediante el conectivo Si entonces

p q

Hiptesis Tesis

Antecedente ConsecuentePremisa Conclusin

Ejemplo:

Si estudio entonces apruebo. p

qComo baile mucho, me canse p q

4. LA CONDICIONAL (p q )


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En el lenguaje coloquial son sinnimos del condicional las palabras:

Siempre que p, qDado que p , q

p por lo tanto q p es suficiente para q

p luego qp implica q

P se concluye qP en consecuencia q

p as que qSi p, q

p slo si qq es necesaria para p

q se deduce de p

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p: Los polvos de jardn contienen veneno

q: Los polvos de jardn son de colores brillantes.

La proposicin p q puede estar expresada como:

Si los polvos de jardn contienen veneno entonces son de colores

brillantes;

Los polvos de jardn contienen veneno slo si son de colores brillantes;

Son necesarios los colores brillantes para los polvos de jardn que

contienen veneno;Los polvos de jardn son de colores brillantes si contienen v eneno .

Ejemplo:


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5Tambin tenemos proposiciones donde el orden no es normal, esdecir la proposicin condicional est invertida y por lo tanto haynecesidad de ordenarla.

Ejemplo:Apruebo el curso si estudio

Ordenando

Si estudio el curso entonces apruebo el curso

Me canse pues bail muchoOrdenando

Bail mucho, entonces me canse

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En este casop ya que q

p pues q

Tienen sinnimos en el lenguaje coloquial dado que, puesto que habida

cuenta que, siempre que, debido a que, porque , etc.

Si p entonces q es verdadera, cada vez que la condicin p

es verdadera obliga a que la condicin q tambin sea verdadera.

Es decir, con el cumplimiento de p, se promete el cumplimientode q.

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Tabla de verdad

p q p qV V VV F FF V V

F F V

Tabla de verdadLa implicacin es falsa, nicamente, cuando el antecedente esverdadero y el consecuente es falso. En este caso, a pesar de

estar dadas las condiciones, no se cumple la promesa.


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p: La respuesta automtica se puede enviar.

q: El sistema de archivos est lleno.

p q :

Si la respuesta automtica no se puede enviar, el archivo est lleno.

q p :La respuesta automtica no se puede enviar cuando el archivo est lleno.

q p :

La respuesta automtica no se puede enviar si el archivo est lleno.

p q :

Si la respuesta automtica se puede enviar, el archivo no est lleno.

Ejemplo:


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Si x = 1, cul es el valor de la variable x despus de ejecutarse cada una de las

siguientes instrucciones?a) If 2 + 2 = 4 then x:=x + 1

b) If (1+1=3) or (2+2=3) then x:=x + 1

c) If (2+3=5) and (4+3=7) then x:=x + 1

d) If x < 3 then x:=x + 1

Ejercicio

Respuesta:

a) x = 2 c) x = 2

b) x = 1 d) x = 2

x = ??


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Establece una relacin de doble dependencia entre las proposiciones por lo mismo ellas deben poder conmutarse. Se vinculan mediante el conectivo

si y solo si

Es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad,

es decir, es verdadera si ambas componentes son verdaderas o ambas sones verdadera si ambas componentes son verdaderas o ambas sonfalsas.falsas.

Ejemplo

Puedes titularte si y solo si ests expeditoN es par si y solo si es , mltiplo de dos.

5. La Bicondicional ( p q)


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Tambin puede utilizarse cuando y solo cuando . entonces y slo entonces,es una condicin necesaria y suficiente, es una condicin necesaria ysuficiente.

Una manera de abreviar si y slo si es sii.

p si y slo si q se puede expresar comop es condicin necesaria y suficiente para q.

Ejemplop : 24 es un nmero par.

q : 24 es divisible por 2.p q : 24 es un nmero par si y slo si 24 es divisible entre 2.

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Decimos bicondicional porque el signo

puede ser descompuesto endos signos condicionales

En el ejemplo Si la naranja es agradable, entonces est madura y Si lanaranja est madura entonces es agradable

Tabla de verdadp q p qV V V

V F FF V FF F V

La naranja es agradable cuando y slo cuando est madura.


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6. La Binegacin

Que vincula a dos proposiciones mediante no y no .Ni ni ,

Ejemplo:

No ingrese a la UNI y no postule a la UNSA

Ni Alianza es campen ni Per va al mundial.

Tabla de verdad

p q p qV V F

V F FF V FF F V

l i d l l l di


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Evaluacin de los esquemas moleculares mediantetablas de verdad

Una vez formados los esquemas moleculares se aplican las tablas devalores para decidir su validez.

La evaluacin comienza con los conectivos de menor jerarqua,ascendiendo a los de mayor jerarqua, hasta culminar con el conectivo

principal, que es donde va el resultado

Ejemplos

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Una tautolog a es una proposicin compuesta quees verdadera para todos los valores de verdad de las

proposiciones que la componen .Por ejemplo: p p

Soy un hombre o no soy un hombre

Una contradiccin es una proposicin compuesta quees falsa para todos los valores de verdad de lasproposiciones que la componen.

Por ejemplo: p

p Soy un hombre pero no soy un hombre

Tautologa y contradiccin


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1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que

p

q es falsa.a) p q b) q p c) p p d) p qPiensa un rato y justifica tus respuestas

3) Construye una tabla de verdad para cada una de lasproposiciones

a) ( p q ) q

b) ( p q ) ( p q )c) q (p q)

2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que

( p q ) r ( s t ) sea falsa

Cules de estasproposiciones es unatautologa?

Puedes construir una

contradiccin a partir de

Ejercicios


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La formalizacin es el proceso en el que se traducen

proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal osimblico.

4) Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.Sean p: La temperatura est sobre los 17C

q: Llueve

a) La temperatura est sobre los 17C pero llueve.b) Ni la temperatura supera los 17C ni llueve.c) No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17C.d) Llueve cuando la temperatura est sobre los 17C.e) Que la temperatura est sobre los 17C es suficiente para que no

llueva.f) O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17C.

Formalizacin


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5) Sean p: El mensaje es revisado para buscar alg n virus q: El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido

Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos .

a) El mensaje se revisa para buscar alg n virus siempre que se hayaenviado desde un sistema desconocido.

b) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no revis para buscar ning n virus.

c) Cuando el mensaje no es enviado desde un sistema desconocido no serevisa para buscar ning n virus.

d) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no sereviso para buscar ning n virus.

Formalizacin


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De la seccin 2.1, realiza los ejercicios:

a) Ej. 6: determinar veracidad de implicaciones;b) Ej. 14: practicar con los conectivos;

c) Ej. 19: determinar veracidad, descartando casos.

Tarea

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