INTRODUCCION AL CALCULO INTRODUCCION AL CALCULO DE PROPOSICIONESDE PROPOSICIONES

¿ Que son las proposiciones ?¿ Que son las proposiciones ?

Son afirmaciones que pueden ser Son afirmaciones que pueden ser VERDADERAS O FALSASVERDADERAS O FALSAS

¿ Cuantos tipos de proposiciones ¿ Cuantos tipos de proposiciones existen ?existen ?

Proposición simple o atómicaProposición simple o atómica Proposición compuestaProposición compuesta

CONEXIONES LOGICAS Y CONEXIONES LOGICAS Y JERARQUIASJERARQUIAS

En lógica matemática las bases En lógica matemática las bases fundamentales para analizar fundamentales para analizar proposiciones compuestas, es proposiciones compuestas, es conocer como se comportan las conocer como se comportan las conexiones lógicas, de las cuales conexiones lógicas, de las cuales existen las siguientes: Conjunción, existen las siguientes: Conjunción, Disyunción, negación, condicional y Disyunción, negación, condicional y bicondicional, las que se describen bicondicional, las que se describen como siguecomo sigue

CONJUNCIONCONJUNCION Si unimos dos Si unimos dos

proposiciones simples y/o proposiciones simples y/o compuestas mediante el compuestas mediante el conectivo “Y” formamos la conectivo “Y” formamos la proposición compuesta proposición compuesta llamada llamada ConjunciónConjunción. . la la que denotamos asíque denotamos así

p y qp y q , , o en símbolos o en símbolos p ^ qp ^ q En donde la siguiente tabla En donde la siguiente tabla

de verdad muestra como de verdad muestra como se comportase comporta

pp qq p ^ qp ^ q

vv vv VV

vv ff FF

ff vv FF

ff ff FF

DISYUNCIONDISYUNCION

Si unimos dos proposiciones Si unimos dos proposiciones simples y/o compuestas simples y/o compuestas mediante el conectivo “O” mediante el conectivo “O” formamos la proposición formamos la proposición compuesta llamada compuesta llamada DisyunciónDisyunción. . la que la que denotamos asídenotamos así p o qp o q , , o en símbolos o en símbolos p p vv q q En donde la siguiente En donde la siguiente tabla de verdad muestra tabla de verdad muestra como se comportacomo se comporta

pp qq p p vv q q

vv vv VV

vv ff VV

ff vv VV

ff ff FF

NEGACIONNEGACION Este conectivo es el Este conectivo es el único único

que se aplica a que se aplica a una solauna sola proposición o enunciado. proposición o enunciado. Se usa la palabra “no” Se usa la palabra “no” para negar una proposición para negar una proposición simple. Y usaremos las simple. Y usaremos las palabras palabras

“ “Es falso que…” para negar Es falso que…” para negar un enunciado compuesto. un enunciado compuesto. Se denota asíSe denota así

“ “no p”, o en símbolos no p”, o en símbolos ~p.~p.

La siguiente tabla de verdad La siguiente tabla de verdad ilustra su comportamientoilustra su comportamiento

pp ~p~p

VV FF

CONDICIONALCONDICIONAL Para formar la proposición Para formar la proposición

Condicional usamos el Condicional usamos el conectivo “Si…conectivo “Si…entonces…”. En donde los entonces…”. En donde los tres puntos indican el lugar tres puntos indican el lugar de las proposiciones de las proposiciones simples y/o compuestas. simples y/o compuestas. Denotándose comoDenotándose como

“ “Si p entonces q”Si p entonces q” en símbolos seráen símbolos será p p q qLa siguiente tabla de verdad La siguiente tabla de verdad

muestra como trabaja esta muestra como trabaja esta proposiciónproposición

pp qq p p q q

VV VV VV

VV FF FF

FF VV VV

FF FF VV

BICONDICIONALBICONDICIONAL Para formar la proposición Para formar la proposición

Bicondicional usamos el Bicondicional usamos el conectivo “…Si y solo si…”. conectivo “…Si y solo si…”. En donde los tres puntos En donde los tres puntos indican el lugar de las indican el lugar de las proposiciones simples y/o proposiciones simples y/o compuestas. Denotándose compuestas. Denotándose comocomo

“ “ P si y solo si Q”P si y solo si Q” en símbolos seráen símbolos será P <--> QP <--> QLa siguiente tabla de verdad La siguiente tabla de verdad

muestra como trabaja esta muestra como trabaja esta proposiciónproposición

PP QQ P <--> QP <--> Q

VV VV VV

VV FF FF

FF VV FF

FF FF VV

JERARQUIA DE LOS JERARQUIA DE LOS OPERADORESOPERADORES

~~

^̂

vv

<--><-->

ALGEBRA DECLARATIVAALGEBRA DECLARATIVA

En este subtema vemos:En este subtema vemos:

- Uso de las tablas de verdad, para - Uso de las tablas de verdad, para analizar expresiones lógicas y analizar expresiones lógicas y comprobar equivalencias.comprobar equivalencias.

- la tabla de leyes del algebra de - la tabla de leyes del algebra de proposiciones, para demostrar y proposiciones, para demostrar y simplificar expresiones lógicas.simplificar expresiones lógicas.

ANALISIS DE EXPRESIONES ANALISIS DE EXPRESIONES LOGICASLOGICAS

Al analizar expresiones lógicas mediante Al analizar expresiones lógicas mediante tablas de verdad nos podemos encontrar tablas de verdad nos podemos encontrar con tres posibles resultados:con tres posibles resultados:

R1: Si la ultima columna de la tabla muestra R1: Si la ultima columna de la tabla muestra solo valores de verdad “V” esto es una solo valores de verdad “V” esto es una TAUTOLOGIA.TAUTOLOGIA.

R2: Si la ultima columna de la tabla muestra R2: Si la ultima columna de la tabla muestra solo valores de verdad “F” esto es una solo valores de verdad “F” esto es una CONTRADICCION.CONTRADICCION.

R3:R2: Si la ultima columna de la tabla R3:R2: Si la ultima columna de la tabla muestra valores de verdad “F” y “V” esto muestra valores de verdad “F” y “V” esto es una CONTINGENCIA.es una CONTINGENCIA.

TABLA DE LEYES DEL ALGEBRA TABLA DE LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONESDE PROPOSICIONES

LEYESLEYES NOMBRENOMBRE

P v ~P = VP v ~P = V

P ^ ~P = FP ^ ~P = FMEDIO EXCLUIDOMEDIO EXCLUIDO

CONTRADICCIONCONTRADICCION

P v F = PP v F = P

P ^ V = PP ^ V = PIDENTIDADIDENTIDAD

P v V = VP v V = V

P ^ F = FP ^ F = FDOMINACIONDOMINACION

P v P = PP v P = P

P ^ P = PP ^ P = PIDEMPOTENCIAIDEMPOTENCIA

~(~P) = P~(~P) = P DOBLE NEGACIONDOBLE NEGACION

P v Q = Q v PP v Q = Q v P

P ^ Q = Q ^ P P ^ Q = Q ^ P CONMUTATIVASCONMUTATIVAS

(P v Q) v R = P v (Q v R)(P v Q) v R = P v (Q v R)

(P ^ Q) ^ R = P ^ (Q ^ R)(P ^ Q) ^ R = P ^ (Q ^ R)ASOCIATIVASASOCIATIVAS

(P v Q) ^ (P v R) = P v (Q ^ R)(P v Q) ^ (P v R) = P v (Q ^ R)

(P ^ Q) v (P ^ R) = P ^ (Q v R)(P ^ Q) v (P ^ R) = P ^ (Q v R)DISTRIBUTIVASDISTRIBUTIVAS

~(P ^ Q)=~P v ~Q~(P ^ Q)=~P v ~Q

~(P v Q) =~P ^ ~Q~(P v Q) =~P ^ ~QDe MORGANDe MORGAN

TABLA DE REGLAS DE TABLA DE REGLAS DE INFERENCIAINFERENCIA

A,B A,B l= A^Bl= A^B Ley de combinaciónLey de combinación

A^B l= BA^B l= B Ley de simplificaciónLey de simplificación

A^B l= AA^B l= A Variante de la simplificaciónVariante de la simplificación

A A l= AvBl= AvB Ley de AdiciónLey de Adición

B B l= AvBl= AvB Variante de Ley de AdiciónVariante de Ley de Adición

A, A -> B A, A -> B l= Bl= B Modus PonensModus Ponens

~B~B, A -> B , A -> B l= ~Al= ~A Modus TollensModus Tollens

A->B,B->C A->B,B->C l= A->Cl= A->C Silogismo hipotéticoSilogismo hipotético

AvB, ~A l= BAvB, ~A l= B Silogismo disyuntivoSilogismo disyuntivo

AvB, ~B l= AAvB, ~B l= A Variante de Silogismo disyuntivoVariante de Silogismo disyuntivo

A->B, A->B, ~A~A->B ->B l= Bl= B Ley de casosLey de casos

A <-> B A <-> B l= l= A->BA->B Eliminación de la EquivalenciaEliminación de la Equivalencia

A <-> B A <-> B l= l= B->AB->A Variante Eliminación de EquivalenciaVariante Eliminación de Equivalencia

A->B,B->A A->B,B->A l=A<->Bl=A<->B Introducción de la EquivalenciaIntroducción de la Equivalencia

A, A, ~~A A l= Bl= B Ley de InconsistenciaLey de Inconsistencia

CALCULO DE PREDICADOSCALCULO DE PREDICADOSEl objetivo del calculo de predicados es mostrar la validez de un argumento o El objetivo del calculo de predicados es mostrar la validez de un argumento o

silogismo sin usar el calculo proposicional, en donde para poder lograrlo silogismo sin usar el calculo proposicional, en donde para poder lograrlo necesitamos ser capaces de identificar a los necesitamos ser capaces de identificar a los individuosindividuos junto con sus junto con sus propiedades y predicadospropiedades y predicados..

En general los predicados se utilizan para describir ciertas propiedades o En general los predicados se utilizan para describir ciertas propiedades o relaciones existentes entre los individuos u objetos. Por ejemplo “Ana y relaciones existentes entre los individuos u objetos. Por ejemplo “Ana y Maria son hermanas”Maria son hermanas”

Ana y Maria : son términosAna y Maria : son términosSon hermanas: es el PredicadoSon hermanas: es el Predicado

Además de términos y predicados se usan los Además de términos y predicados se usan los cuantificadores cuantificadores estos indican estos indican la frecuencia con la cual es verdadera una cierta frase.la frecuencia con la cual es verdadera una cierta frase.

De estos se conocen: Cuantificador Universal y Existencial.De estos se conocen: Cuantificador Universal y Existencial.

Cuantificador Universal: indica que una frase siempre es verdadera.Cuantificador Universal: indica que una frase siempre es verdadera.Cuantificador Existencial: indica que una frase es verdadera en algunas Cuantificador Existencial: indica que una frase es verdadera en algunas ocasiones.ocasiones.

El calculo de predicados es una extensión del calculo de proposiciones por lo El calculo de predicados es una extensión del calculo de proposiciones por lo que además de los conceptos de términos, predicados y cuantificadores que además de los conceptos de términos, predicados y cuantificadores también forman parte de su lenguaje las proposiciones y las conectivas. también forman parte de su lenguaje las proposiciones y las conectivas.

Calculo de predicadosCalculo de predicadosEl El universo del discurso o dominio universo del discurso o dominio es la colección personas, ideas, símbolos, estructuras de datos es la colección personas, ideas, símbolos, estructuras de datos

y demás que afectan el argumento lógico que se esta considerando. Los elementos del universo y demás que afectan el argumento lógico que se esta considerando. Los elementos del universo de discurso se denominan de discurso se denominan individuos u objetosindividuos u objetos..

Frase: Maria y Pablo son hermanosFrase: Maria y Pablo son hermanosFrase: Juana es la madre de MariaFrase: Juana es la madre de MariaFrase: Tom es un gatoFrase: Tom es un gatoFrase: La suma de 2 y 3 es 5Frase: La suma de 2 y 3 es 5

Predicado Lista de ArgumentosPredicado Lista de ArgumentosSon hermanos Maria y PabloSon hermanos Maria y PabloEs un gato TomEs un gato TomLa suma de 2 , 3 y 5La suma de 2 , 3 y 5

En el cálculo de predicados cada predicado recibe un nombre que va seguido de una lista de En el cálculo de predicados cada predicado recibe un nombre que va seguido de una lista de argumentos:argumentos:

Ejemplo: “Juana es la madre de Maria” se convierte en Madre(Juana, Maria).Ejemplo: “Juana es la madre de Maria” se convierte en Madre(Juana, Maria).El numero de elementos en la lista de argumentos se llama El numero de elementos en la lista de argumentos se llama AridadAridad..Los predicados de aridad n se denominan predicados de n cifras.Los predicados de aridad n se denominan predicados de n cifras.Los predicados de una sola cifra de denominan Los predicados de una sola cifra de denominan propiedadespropiedades. .

El nombre de un predicado seguido por una lista de argumentos entre paréntesis se llama El nombre de un predicado seguido por una lista de argumentos entre paréntesis se llama formula formula atómicaatómica..

Por ejemplo: Juana es la madre de Maria se puede expresar como madre(Juana, Maria).Por ejemplo: Juana es la madre de Maria se puede expresar como madre(Juana, Maria).

Variables y particularizacionesVariables y particularizacionesEs posible que no se desee asociar los argumentos de una Es posible que no se desee asociar los argumentos de una

formula atómica con un individuo particular para esto se usan formula atómica con un individuo particular para esto se usan las las variablesvariables..

Las variables son las ultimas letras del alfabeto ( x, y, z).Las variables son las ultimas letras del alfabeto ( x, y, z).

Ejemplos : gato(x) Ejemplos : gato(x) tienecola(x) tienecola(x) perro(y) ^ marron(y)perro(y) ^ marron(y) Calificación(x) Calificación(x) (x (x≥≥0) ^ (x0) ^ (x≤≤100)100)

Si A representa gato(x) Si A representa gato(x) tienecola(x) la expresión que se tienecola(x) la expresión que se obtiene al sustituir x por t se denotaobtiene al sustituir x por t se denota S x t A S x t A Definición: Sea A una expresión, x una variable y t un Definición: Sea A una expresión, x una variable y t un termino. Entonces termino. Entonces S x t AS x t A

representa la expresión que se obtiene al sustituir todas las representa la expresión que se obtiene al sustituir todas las apariciones de x en A por t. apariciones de x en A por t. S x t AS x t A se llama una se llama una particularizacionparticularizacion (un caso, un ejemplar) de A, y se dice que (un caso, un ejemplar) de A, y se dice que t es un caso (instancia) de x.t es un caso (instancia) de x.

CUANTIFICADORESCUANTIFICADORES

Definición. Sea A una expresión y x una variable. Si Definición. Sea A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos x A. Aquí posibles valores de x, escribiremos x A. Aquí x se x se denomina cuantificador universal y A se llama denomina cuantificador universal y A se llama ámbito(alcance) del cuantificador. Se dice que la variable x ámbito(alcance) del cuantificador. Se dice que la variable x esta ligada por el cuantificador. El símbolo se lee “para esta ligada por el cuantificador. El símbolo se lee “para todo”, “para cada”, “para cualquier”.todo”, “para cada”, “para cualquier”.

Definición. Sea A una expresión y x una variable. Si Definición. Sea A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para cuando menos deseamos indicar que A es verdadero para cuando menos un valor de x, escribiremos x A. Esta frase se lee “Existe un valor de x, escribiremos x A. Esta frase se lee “Existe un x tal que A”, “para algun x tal que A”, “para al menos un x tal que A”, “para algun x tal que A”, “para al menos una x tal que A”. Aquí x se denomina cuantificador una x tal que A”. Aquí x se denomina cuantificador existencial y A se llama ámbito(alcance) del cuantificador. existencial y A se llama ámbito(alcance) del cuantificador.

Se dice que la variable x esta ligada por el cuantificadorSe dice que la variable x esta ligada por el cuantificador..

RESTRICCIONES DE LOS RESTRICCIONES DE LOS CUANTIFICADORESCUANTIFICADORES

Si el cuantificador universal tiene Si el cuantificador universal tiene que aplicarse solo a individuos con que aplicarse solo a individuos con una propiedad dada, se emplea el una propiedad dada, se emplea el condicional (condicional ())para restringir el para restringir el universo de discurso.universo de discurso.

Si restringimos en forma similar al Si restringimos en forma similar al cuantificador existencial se utiliza la cuantificador existencial se utiliza la conjunción (conjunción (^)^)..

PROBLEMASPROBLEMAS1. Expresar las frases siguientes en calculo de predicado. El universo del 1. Expresar las frases siguientes en calculo de predicado. El universo del discurso son todas las personas.discurso son todas las personas.

a). Si a Maria le gusta Kiko, y a Kiko le gusta Juli, entonces a Maria le a). Si a Maria le gusta Kiko, y a Kiko le gusta Juli, entonces a Maria le gusta Juli.gusta Juli.

Legusta(x,y): x le gusta y; M,K,J : Maria, Kiko, Juli.Legusta(x,y): x le gusta y; M,K,J : Maria, Kiko, Juli. Solución: Legusta(M,K) ^ Legusta(K,J) Solución: Legusta(M,K) ^ Legusta(K,J) Legusta(M,J) o mejor todavía Legusta(M,J) o mejor todavía G(M,K) ^ G(K,J) G(M,K) ^ G(K,J) G(M,J) G(M,J) b) Juan esta muy ocupado pero Beni nob) Juan esta muy ocupado pero Beni no

Ocupado(x): x esta muy ocupado; J,B: Juan, BeniOcupado(x): x esta muy ocupado; J,B: Juan, Beni Solución : Ocupado(J) ^ ~ Ocupado(B) oSolución : Ocupado(J) ^ ~ Ocupado(B) o O(J) ^ ~ O(B)O(J) ^ ~ O(B)

2. Suponga que el universo del discurso es un conjunto de personas. 2. Suponga que el universo del discurso es un conjunto de personas. Traduzca la frase “ Todos los presentes hablan ingles o francés” al Traduzca la frase “ Todos los presentes hablan ingles o francés” al calculo de predicados.calculo de predicados.

I(x), (F(x)) : x habla Ingles (Francés)I(x), (F(x)) : x habla Ingles (Francés) Solución: x(I(x) v F(x))Solución: x(I(x) v F(x))

Cont…Cont…

3. En el dominio de los animales, ¿como 3. En el dominio de los animales, ¿como traduciría las expresiones siguientes?traduciría las expresiones siguientes?

todos los leones son predadores todos los leones son predadores x(Leon(x) x(Leon(x) predador(x)) predador(x))

algunos leones viven en África algunos leones viven en África x(leon(x) ^ en África(x))x(leon(x) ^ en África(x))

solo rugen los leonessolo rugen los leones x(ruge(x) x(ruge(x) leon(x)) leon(x))