logica de proposiciones compuestas

CURSO: FILOSOFÍA Y LÓGICA

LÓGICA DE PROPOSICIONES COMPUESTAS. Formalización de proposiciones. Leyes de la lógica.

Las tablas de verdad. El método abreviado.

Katherine Sheyla De la Torre Zevallos

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ENUNCIADOS SIMPLES“Proposición que no está formado

por otros enunciados y por ello no contiene términos de enlace o conectivas”.

Los enunciados simples del lenguaje natural se sustituirán por las variables proposicionales simbolizadas mediante las letras minúsculas: “m”, “n”, “o”, “p”, “q”, “r”, etc.

V F

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p = La casa es roja

q = Del Solar es DT de la selección peruana de fútbol

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ENUNCIADOS COMPUESTOS“Enunciado compuesto por varios enunciados simples o varios compuestos, enlazados por conectores como: y, o, pero, si……..entonces, sí y sólo si, no, ni….. ni, una de dos, por lo tanto, etc.”

Su valor de verdad se determina completamente por medio del valor de verdad de sus enunciados simples junto con la forma cómo ellos se conectan para conformar un enunciado compuesto.

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“Los trabajadores están cosechando lechugas y papas”

p = Los trabajadores están cosechando lechugas.q = Los trabajadores están cosechando papas.

SINTAXIS DE LA LÓGICA PROPOSICIONALEl primer paso en el estudio de un lenguaje es definir los símbolos básicos que lo constituyen (alfabeto) y cómo se combinan para formar sentencias. Está constituido por:

-Símbolos de veracidad: se pueden usar (V) para verdadero y (F) para falso. Tautología (T), Contradicción (⊥) y Contingencia (Q)-Símbolos de variables: p, q, ... , z -Símbolos de conectivas: ~, Λ, V, V, →, Û-Símbolos auxiliares: paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { } para evitar ambigüedades. -Metavariables: A, B, C,…,Z

LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONALFUNCTORES, OPERADORES O CONECTIVOS LÓGICOS

Conectivo Nombre Lógico Símbolo

No Negación ~

Y Conjunción Λ

O Disyunción Inclusiva V

O…O Disyunción Exclusiva V

Si EntoncesImplicación o Condicional →

Si Solo SiDoble Implicación o

BicondicionalÛ

NEGACIÓN CONJUNCIÓN CONDICIONALDIRECTO

CONDICIONAL INDIRECTO

nono es el caso de quees falso queno es verdad queno es cierto queno es posiblees imposible quejamásnunca tampoco

y perosin embargono obstanteademástambiéna la veza la paral mismo tiempoa pesar de quesino

p luego qp por lo tanto qp de ahí que qp en consecuencia qp en conclusión qp por lo que qp, es así que qp, se sigue (que) q

q porque pq puesto que pq pues pq como pq dado que pq de pq debido a pq ya que p

DISYUNCIÓN BICONDICIONAL

…o…o…o…o bien…o bien…ya sea…ya sea…

p si y sólo si qp si y solamente si qp cuando y solamente cuando qp entonces y sólo entonces qp es condición necesaria y suficiente que q

EXPRESIONES QUE REPRESENTAN CONECTORES

Cómo formalizar el lenguaje natural: (I) Identificar los enunciados simples (II) Asignar a cada enunciado simple su

contexto, siempre afirmado. (III) Identificar los conectores lógicos:

negación, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional, bicondicional.

(IV) Reconstruir los enunciados complejos a partir de los simples y las partículas lógicas: Simbolización. 9

ALGUNAS FORMALIZACIONES SENCILLAS

-Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas

Hume canta pKant baila qHegel da palmas r

p q r


-Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas


p q r


-Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas


p (q r)


-Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas


(p q) r


-Si Hume canta, Kant baila


p q


-Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas


(p q) r


-Hume canta, y, si Kant baila, Hegel da palmas


p (q r)


-Hume canta si y sólo si Hegel da palmas


p r


- Si Hume canta, entonces Kant baila si Hegel no da palmas


p (¬r q)


- Hume canta, si y sólo si Kant no baila si Hegel da palmas


p (r ¬q)

FUNCIONES VERATITIVAS: NEGACIÓN (~) Consiste en cambiar el valor de una proposiciónCONJUNCIÓN (Λ) -La sentencia será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.DISYUNCIÓN INCLUSIVA (V) -La sentencia será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.DISYUNCIÓN EXCLUSIVA (V) -La sentencia será verdadera sólo cuando sólo una de las dos variables proposicionales sea verdadera.CONDICIONAL (→) -La sentencia será falsa cuando se cumpla que es válido p, pero NO lo es q, en el resto de los casos la sentencia es verdadera.BICONDICIONAL (Û) -La sentencia será verdadera cuando ambas variables proposicionales sean iguales.

TABLAS DE VERDAD

p q p p q p q p v q p q p q

F F V F F F V V

F V V F V V V F

V F F F V V F F

V V F V V F V V

REGLAS DE DIAGRAMAS SEMANTICOS

CLASIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS PROPOSICIONALES

Considerando la distribución de los valores de verdadero y falso, en la matriz principal de la tabla de verdad de las fórmulas proposicionales, éstas se clasifican en: tautológicas, contingentes y contradictorias.

-FÓRMULAS PROPOSICIONALES TAUTOLÓGICAS (T). Son aquellas cuya matriz principal contiene únicamente valores de verdadero.

-FÓRMULAS PROPOSICIONALES CONTINGENTES (Q). Son aquellas cuya matriz principal contiene tanto valores de verdadero como de falso.

-FÓRMULAS PROPOSICIONALES CONTRADICTORIAS (). Son aquellas cuya matriz principal contiene únicamente valores de falso.

MÉTODO ABREVIADOEs un método que abrevia la elaboración de la tabla de verdad. Consiste en los siguientes pasos:1. Suponemos que el operador principal de la fórmula es falso o verdadero. 2. Elegimos alternativas de asignación de valores que permitan que se cumpla o no este supuesto en todo el esquema, respetando la jerarquía de los operadores. 3. Si se cumple la suposición, o sea no hay incoherencias veritativas, cuando menos hay un caso de falso o de verdadero en la tabla de verdad, y por ende el esquema no será tautológico o no será contradictorio respectivamente. (En el primer caso faltaría descartar si la función proposicional es contradictoria o contingente; en el segundo caso, si es tautológica o contingente)4. Si no se cumple dicha suposición, es decir, si se halla una contradicción, podemos concluir que no hay ni un solo caso de falso o de verdadero, y que, por lo tanto, la fórmula será tautológica o contradictoria, respectivamente.5. Por último, si el esquema no presenta incoherencias bajo ninguno de los 2 presupuestos básicos (que la fórmula sea verdadera o falsa), entonces no es ni tautológico ni contradictorio. Esto implicará que sea contingente

EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MÉTODO ABREVIADOAplique el método abreviado: [p(p→q)]→q-Supongamos que el conector de mayor jerarquía, es decir, → , es falso. -Pero sabemos que cuando una condicional es falsa su antecedente es verdadero y su consecuente es falso. -Si esto así, entonces q deberá ser falso. O sea, q=F -Además, [p(p→q)] tendrá que ser verdadero. -Pero sabemos que una conjunción es verdadera únicamente cuando sus componentes son verdaderas.-De ahí que p tenga que ser verdadero (p=V) y (p→q) tenga que ser también verdadero. -Pero si p=V y q=F, (p→q) debería ser falso. Hemos llegado a una contradicción.-Podemos concluir que suponiendo que toda la fórmula es falsa, se llega a una contradicción, lo cual prueba que no hay ningún mundo en el cual la fórmula sea falsa, es decir, el esquema analizado es una tautología pues resulta verdadera en todos los mundos posibles.

LEYES LÓGICAS

EJERCICIOS DE FORMALIZACIÓN

Cuando el ventero está en la puerta, el diablo está en la venta, pero cuando no está en la puerta, el diablo sigue estando en la venta

p el ventero está en la puerta

q el diablo está en la venta

(p q) (¬p q)

Si es un cuadrado pequeño, es rojo; ni es un cuadrado grande ni es un cuadrado rojo; es un triángulo si es rojo

p es pequeña q es cuadrada r es roja s es grande t es triangular u es azul

[(q p) r] [¬(q s) ¬(q r)] (t r)


No es un cuadrado grande; no es un triángulo azul; es roja si y sólo si es pequeña

p es pequeña q es cuadrada r es roja s es grande t es triangular u es azul

¬(q s) ¬(t u) (r p)


Si es un cuadrado o es roja, es grande; es grande si y sólo si es azul; sólo es un cuadrado si es roja

p es pequeña q es cuadrada r es roja

s es grande t es triangular u es azul

[(q r) s] (s u) (q r)


EJERCICIOS DE FORMALIZACIÓN Aprobaré lógica, si Dios quiere. Aprobaré lógica si y sólo si estudio y

hago todos los ejercicios. Sin embargo, no he hecho los ejercicios. Por tanto, Dios no quiere que apruebe lógica.

p apruebo lógica q Dios quiere que apruebe

r estudio s hago los ejercicios

(q p) [p (r s)] s

¬q

¿hay algún modo de marcar la diferencia de ese ‘por tanto’?

SÍ: es la conclusión de un argumento. Vamos a marcarla con el símbolo , que equivale a la implicación final de un argumento ()

{(q p) [p (r s)] s } ¬q

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