validez logica de proposiciones simples y compuestas

7/28/2019 Validez Logica de Proposiciones Simples y Compuestas

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Texto extrado del libro Introduccin a la lgica para informticosAutor: M.A. Jos Luis Ola Garca, 1 Edicin Ao, 2011

Texto extrado del libro Introduccin a la lgica para informticosAutor: M.A. Ing. Jos Luis Ola Garca, 1 Edicin Ao, 2011

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1. OPERADORES LGICOS

El primer paso para simbolizar un silogismo categrico es definir los smbolos bsicos o conectivos lgicos,hemos visto directamente estos conectivos aplicados en la formalizacin, esta formalizacin es una lgicade enunciados.

Smbolos de conectivas:

NO Negacin ~ Y Conjuncin . O Disyuncin inclusiva

O...O Disyuncinexclusiva

, SI...ENTONCES Condicional

, SI Y SOLO SI Bicondicional

1.1. La negacin ( ) permite negar un enunciado o proposicin atmica o una molecular

Llevan el adverbio de negacin no, o sus expresiones equivalentes como nunca, jams, tampoco,no es verdad que, no es cierto que, es falso que, le falta, carece de, sin, imposible, etc.

Ejemplos:

PROPOSICIN CONECTIVONEGACIN ( ) SIMBOLIZACIN

1 Nunca he odo esa msica Nunca p1 Al pap de Nelly le falta carcter Le falta q3 Jams he visto al vecino Jams r1 Es imposible que el tomo sea molcula Imposible p5 Es falso que el juez sea fiscal Es falso que q

6 No es posible que gane y pierda a la vez No es posible (p q)

1.2. La conjuncin ( )

Enlaza proposiciones por el conectivo y, o sus expresiones equivalentes como e, pero, aunque,aun cuando, tanto... como,sino, nini, sin embargo, adems, etc. Se representansimblicamente al unir dos proposiciones atmicas como por ejemplop y q;p no obstante q;p sin embargo q.

Ejemplos:

PROPOSICIN CONECTIVOCONJUNCIN SIMBOLIZACIN

1 El es un artculo y de es una proposicin y p q1 El nmero dos es par,pero el nmero tres es impar Pero q r3 Silvia es inteligente, sin embargo es floja Sin embargo a b1 Tanto el padre como el hijo son melmanos. Tanto como r s5 Manuel e Ismael son universitarios e t u6 La materia ni se crea ni se destruye. nini x y

7 Ingresar a la universidad aun cuando no apruebe elexamen de admisin.

aun cuando q s

La conjuncin es conmutativa, es decir, se puede cambiar el orden de cada proposicin sin alterar lamisma. Esto es posible en la lgica, aunque no en el lenguaje natural. Por ejemplo la proposicin

Anglica se cas y tuvo diez hijos no significa lo mismo que Anglica tuvo diez hijos y se cas. En ellenguaje natural, la primera proposicin sugiere una relacin de causalidad, en cambio la segunda no. Sinembargo, desde el punto de vista lgico, las dos proposiciones conjuntivas son equivalentes.


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1.3. La disyuncin ( )

La conjuncin disyuntiva o, y sus expresiones equivalentes como u, ya... ya, bien...bien, ora...ora, sea... sea, y/o, etc., son utilizadas para la disyuncin y unin entre proposiciones atmicas. Ladisyuncin o por su parte tiene dos sentidos: uno inclusivo o dbil y otro exclusivo o fuerte.

La proposicin disyuntiva inclusiva admite que dos alternativas se den a la vez.La proposicin disyuntiva exclusiva no admite que las dos alternativas se den a la vez.

Una proposicin disyuntiva exclusiva se simboliza as: p q, el smbolo es la disyuncin exclusiva,

mientras que la inclusiva con el smbolo .

Ejemplos:

PROPOSICINCONECTIVODISYUNCIN

SIMBOLIZACIN

1 Pedro es to o es sobrino. O inclusiva p q1 Silvia es soltera o es casada O exclusiva

3 Elena est viva o est muerta O exclusiva r1 Roberto es profesor o es estudiante O inclusiva r s

5 O blanco o negro O exclusiva

1 y 1 son proposiciones disyuntivas inclusivas o dbiles porque no se excluye la posibilidad de que Pedro

pueda ser al mismo tiempo to y sobrino (ambas cosas) o que Roberto sea profesor y estudiante a la vez. 1,

3 y 5 son proposiciones disyuntivas exclusivas o fuertes porque en ellas se excluye la posibilidad de que

Elena pueda estar viva y muerta al mismo tiempo y que Silvia sea soltera y casada a la vez, lo mismo para

blanco o negro pero no ambas. (Vea la tabla de verdad O-Exclusiva, mas adelante).

Formas equivalentes para la disyuncin inclusiva son:

a) (p q) (p q)b) (p q) (p q)c) (p q) (p q)

1.4. La condicional ( , )

Es la forma enunciativa que simboliza enunciados enlazados por expresiones equivalentes como si...entonces..., si, siempre que, con tal que, puesto que, ya que, porque, cuando, de, amenos que, a no ser que, salvo que, slo si, solamente si, dado que donde P es el antecedente yq el consecuente.Ejemplos:

PROPOSICIN

CONECTIVO

CONDICIONAL

SIMBOLIZACIN

1 Si es joven, entonces es rebelde Entonces 1 El nmero cuatro es parpuesto quees divisible

por dosPuesto que

3 Cuando venga Ral jugaremos ajedrez Cuando 1 Nuestra moneda se devala solamente si su valor

disminuye.Solamente si

5 Es herbvoro si se alimenta de plantas. si 6 Se llama issceles siempre que el tringulo tenga

dos lados iguales.Siempre que

No olvidemos que todas las proposiciones categricas unidas por conectivos lgicos, forman silogismoscategricos.


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1.5. La Bicondicional ( , )

Simboliza enunciados de forma ... s y slo si..., o sus expresiones equivalentes como cuando y slocuando, si..., entonces y slo entonces..., es equivalente a etc.

Ejemplos:

PROPOSICINCONECTIVO

BICONDICIONAL SIMBOLIZACIN1 Habr cosecha cuando y slo cuando llueva Cuando y solo cuando 1 Es fundamentalista si y slo si es talibn Si y solo si 3 Si apruebo el examen de admisin,

entonces y slo entonces ingresar a launiversidad.

Entonces y solo entonces

1. Si voy al cine entonces me divierto, si medivierto entonces no voy al cine

entonces

Una proposicin Bicondicional se caracterizan por establecer dos condicionales, pero de sentido inverso

(como el ejemplo 1). Sea, la proposicin Bicondicional el tringulo es equiltero si y slo si tiene treslados iguales establece dos condicionales de sentido inverso que son, si es tringulo equiltero, entoncestiene tres lados iguales y si el tringulo tiene tres lados iguales, entonces es equiltero.

De lo anterior, se observan dos condiciones pero en sentido inverso. En toda proposicin Bicondicionalel antecedente (triangulo equiltero) es condicin necesaria y suficiente del consecuente (tiene tres ladosiguales) y el consecuente es condicin necesaria y suficiente del antecedente.

1.1.6. PRECEDENCIA DE LOS OPERADORES

Al ver una expresin, como por ejemplo: B C llama implicacin (no una disyuncin! aunque loparezca), esto es porque debe observar el orden de los operadores y su precedencia antes de proceder aevaluar, porque el smbolo llamado implicacin ser el ltimo en evaluarse.

Similar al algebra elemental, que tiene prioridad en las operaciones, tambin se tiene precedencia con losoperadores lgicos. El orden a operar desde la menor precedencia a la mayor precedencia se indica comosigue.

Nivel 3 Mayorprecedencia

Nivel 1 y Mismaprioridad

Nivel 1 o o

Menorprecedencia

Nivel 0 proposicin

Vemos que la mayor precedencia la tiene la negacin , y a falta de parentesis en la operatoria logica, sedebe recordar estas sencillas reglas, por ejemplo cuando no se tienen parntesis se podra operarequvocamente:

p q r p r s a b

Lo anterior es equivalente a

p q r p r s a b


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La operatoria correcta cuando tenemos parntesis es iniciar por losparntesis ms internos, esto en cada lado de la doble implicacin.

1.3. SIMBOLIZACIN DE PROPOSICIONES

Se estudian dos tipos de lenguaje: el natural y el formalizado. Elprimero es utilizado en lo cotidiano, cada vez que noscomunicamos y de uso diario, formulando rdenes, expresandosentimientos, ejerciendo un mandato y otros; se puede decir quelos idiomas del planeta son parte de este lenguaje. El lenguajeformalizado por su parte es utilizado en la actividad cientfica.

El estudio que nos atae es el lenguaje lgico formalizado, quepartiendo de proposiciones categricas exclamativas, se reduce atravs de letras a una proposicin en un lenguaje sencillo y fcil deanalizar, este lenguaje consta de dos partes: La primera unavariable proposicional (proposicin atmica o categrica) y lasegunda operadores o conectores lgicos.

La formalizacin utiliza entonces letras minsculas, p, q, r, a, b,etc., que simbolizadas y enlazadas por conectores lgicos formanmoleculares ms simples.

Para formalizar un silogismo es necesario reconocer:

1. Cada proposicin atmica.2. Los conectivos lgicos de enlace3. Elegir letras minsculas y asignarlas a cada proposicin

atmica.4. Luego, formar la nueva estructura lgica proposicional.

Ejemplo 1.1.Vamos en bicicleta o vamos a pie. Identificamos el conectivo lgico o

p: Vamos en bicicleta Simbolizacin: p v qq: Vamos a pie

Asignamos una variable a cada proposicin atmica y luego la unimos por el conectivo lgico.

SEMBLANZAAlonzo Church (1903-1995),

Matemtico, profesor deUniversidad de Princeton y laUniversidad de California.Responsable de algunos de losfundamentos de la computacinterica, especialista en lgicamatemtica, metalgica ymetamatemtica, reconocidocomo el padre de la conversin

lambda la cual permite realizarclculos lgicos con variablesgeneralizadas

El clculo lambda influy en eldiseo del lenguaje deprogramacin LISP y lenguajes deprogramacin funcional Scale,Scheme, Ocam, Sap y otros.

Crdito de fotografa, DiccionarioWebster online


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Ejemplo 1.2.

No es cierto que Juan lleg temprano

Identificamos el conectivo lgico negacin

Juan lleg temprano Simbolizacin: o P

Ejemplo 1.3. La medalla no es de plata y el diploma parece falso

Identificamos el conectivo lgico y adems de negacin

: La medalla es de plata. Simbolizacin: : = diploma parece falso

Ejemplo 1.4.

Si usted lo daa el vendrSi l viene entonces usted ver a su padre

Si usted construye entonces vera a su padre

Identificamos el conectivo lgico condicional, si en premisa 1 y entonces en premisa 2

p = usted construye q = el vendr r = vera a su padre

Ejemplo 1.5.

Si llueve se terminaran los problemas de sequia y no har falta ms dinero

Identificamos varios conectivos lgicos, estos son: Si esta corresponde al condicional, sientonces,tambin est presente el conectivo y

p = llueveq = se terminara la sequia r = har falta ms dinero

Ejercicios de repaso

a) Si Jennifer Lpez o Shakira van al concierto de caridad, ni Britney Spears ni Cristina Aguilera irnb) "Ustedes pueden elegir entre morir atravesados por las flechas de mis arqueros o decir la verdad de

su hechos

c) Osama Bin Laden es un fundamentalista religioso y Hitler es un fundamentalista poltico. Luego,Hitler es un fundamentalista poltico.


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d) En cualquier situacin no es correcto permitir la censura, puesto que violenta el principio de que atodos se le debe garantizar el derecho de expresin.

e) Si los Lakers pierden, entonces los empacadores de Green Bay ganan. Si los empacadores de GreenBay ganan, entonces irn al sper tazn, por lo tanto si los Lakers pierden entonces los empacadoresde Green Bay irn al sper tazn.

1.4. TABLA DE VERDAD DE UN PROPOSICIN: VALIDEZ

Ahora, analizaremos la verdad o falsedad de una proposicin categrica (silogismo), y se comprobara siel argumento es vlido o no es vlido, de ser valido obtendremos lo que llamamos tautologa. Latautologa nos indica que la conclusin se deriva de sus premisas (proposiciones moleculares) y elargumento tiene consecuencia lgica o lo mismo decir validez lgica, solo recordemos que son silogismoscategricos.

Antes de desarrollar una tabla de verdad debemos saber cmo se procede a su construccin, por ejemplo,si las variables a tratar son 2, debemos formar una tabla de verdad de 2n combinaciones, para este caso 22 =4 combinaciones entre Verdadero y Falso (es indistinto colocar primero Falso o Verdadero), si las variablesa tratar son 3, debemos construir una tabla de verdad de 23 = 8 combinaciones.

Ahora, para colocar las combinaciones en la tabla lgicadeber colocar las combinaciones de falso yverdadero comenzando de esta forma: por ejemplo sin tenemos 3 variables a trabajar tenemos 2ncombinaciones o 23 = 8, la primera columna deber colocar la mitad de valores verdaderos y la otra mitadde Falsos del nmero total de combinaciones (si tenemos 8combinaciones, la primera columna tendr 4verdaderas y 4falsas), la segunda columna tendr, la mitad de verdaderas y falsas dela primera columna ysucesivamente hasta llenar la ltima columna la cual alternara una verdadera y una falsa, para mayorcompresin, analice la tabla de verdad del ejemplo siguiente y comprender rpidamente.

Ejemplo 1.6.

Construya la tabla de verdad de la siguiente formalizacin y verifique si es tautologa, contradictoria ocontingencia.

^ ^ ^

Las variables utilizadas son p y q, es decir 2, el nmero de combinaciones posibles para estas es 2 , noslleva a 2 4 combinaciones para p y q, ahora construimos la tabla como sigue y aplicamos la tabla deverdad correspondiente a cada conectivo y resolvemos.

(1) (2) (3) (4)p q ^ ^ 3 ^ 2 ^ 4

V V V F V V F

V F F V V F F

F V F V V V VF F F V F F F

Como se puede ver la ltima columna dio resultados V y F esto lleva a concluir que la formalizacin deeste enunciado es una contingencia, no se puede llegar a comprobar la validez o falsedad con las premisasconocidas, por lo tanto se tiene invalidez.


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Ejemplo 1.7

Construya la tabla de verdad de la siguiente formalizacin y verifique si es tautologa, contradictoria ocontingencia. Nuevamente se tiene dos variables p y q, por lo cual necesitamos 4 combinaciones.

^

(1) (2)p q ^ 1 2

V V V F F V

V F F V V V

F V F F V V

F F F V V V

La formalizacin del enunciado es una tautologa, tiene validez por ser verdadera su tabla de verdad.

Otro ejemplo, donde la formalizacin y la tabla de verdad demuestran una falsedad o contradiccin(llamada falacia) es la siguiente.

Ejemplo 1.8.

Construya la tabla de verdad de la siguiente formalizacin y verifique si es tautologa, contradiccin ocontingencia.

Nuevamente se tiene dos variables p y q, por lo cual necesitamos 4 combinaciones

^ ^

p q ^ ^ ^ V V V F F F

V F F V V F

F V F F V F

F F F V v F

La nica variacin para que sea una negacin fue el operador de enlace o por el y, con esto se ve quela formalizacin lgica del argumento es una contradiccin, dejo de ser tautologa.

Ejercicios de repaso

Construya la tabla de verdad de las siguientes expresiones lgicas e indique si son tautologa, contingenciao contradictoria.

a) p b) q pc)


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4.3. SIMBOLIZACIN DE PROPOSICIONES

Se estudian dos tipos de lenguaje: el natural y el formalizado. El primero es utilizado en locotidiano, cada vez que nos comunicamos y de uso diario, formulando rdenes, expresandosentimientos, ejerciendo un mandato y otros; se puede decir que los idiomas del planeta sonparte de este lenguaje. El lenguaje formalizado por su parte es utilizado en la actividad

cientfica.

El estudio que nos atae es el lenguaje lgico formalizado, que partiendo de proposicionescategricas exclamativas, se reduce a travs de letras a una proposicin en un lenguaje sencilloy fcil de analizar, este lenguaje consta de dos partes: La primera una variable proposicional(proposicin atmica o categrica) y la segunda operadores o conectores lgicos.

La formalizacin utiliza entonces letras minsculas, p, q, r, a, b, etc., que simbolizadas yenlazadas por conectores lgicos forman moleculares ms simples.

Para formalizar un silogismo es necesario reconocer:

1. Cada proposicin atmica.2. Los conectivos lgicos de enlace3. Elegir letras minsculas y asignarlas a cada proposicin atmica.4. Luego, formar la nueva estructura lgica proposicional.

Ejemplo 4.18.Vamos en bicicleta o vamos a pie. Identificamos el conectivo lgico o

p: Vamos en bicicleta Simbolizacin: p v qq: Vamos a pie

Asignamos una variable a cada proposicin atmica y luego la unimospor el conectivo lgico.

Ejemplo 4.19.

No es cierto que Juan lleg temprano

Identificamos el conectivo lgico negacin

Juan lleg temprano Simbolizacin:

o P

Ejemplo 4.20. La medalla no es de plata y el diploma parece falso

Identificamos el conectivo lgico y adems de negacin

: La medalla es de plata. Simbolizacin: : = diploma parece falso


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Ejemplo 4.21.

Si usted lo daa el vendrSi l viene entonces usted ver a su padre


Identificamos el conectivo lgico condicional, si en premisa 1 y entonces en premisa 2

p = usted construye q = el vendr r = vera a su padre

Ejemplo 4.23.

Solo si distingues bien las diferentes lgicas o te dice su lugar histrico de procedencia sabrs sies proposicional o cuantificadora.

Identificamos el conectivo lgico solo si, el o disyuntivoy si del condicional sientonces

r = distingues bien las diferentes lgicass = dice su lugar histrico de procedenciap = sabrs si es proposicional q = sabaras si es cuantificadora.

Teniendo en mente que queremos presentar los sistemas deductivos de la lgica como unaherramienta prctica para los informticos, vamos a introducirnos en el estudio de la lgicacomenzando por la ms simple, la lgica de proposiciones, que corresponde a la lgica quesimboliza y describe razonamientos basados en enunciados declarativos y la validacin de susargumentos.

Ahora bien, no siempre las inferencias (razonamiento, deduccin, argumentacin o argumento)estarn ordenadas como las anteriores, puede resultar que estn desordenadas y se debe seguirun nuevo proceso y ordenarlas lgicamente, es frecuente observar que una forma lgica sepresente alterada y en orden inverso, es decir, conclusin y luego premisas.

Para identificar las premisas y la conclusin de una inferencia que no tienen orden, convienetener en cuenta estas sencillas indicaciones:

Preceden a una premisa:

ya que, puesto que, pues, porque, siempre que, etc., es decir los conectivos lgicosvistos antes.

Preceden a la conclusin las partculas: por tanto, por consiguiente, en consecuencia, enconclusin, de manera que o directamente interpretada, as se construye la condicional de laexpresin completa.


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Ejemplo 4.25

Lenguaje natural:

De manera que habr un nmero elevado de vctimas si hay un fuerte terremoto, ya que si hayun fuerte terremoto, se derrumbarn los edificios de la poblacin, y habr un nmero elevadode vctimas si se derrumban los edificios de la poblacin ms cercanas.

Forma lgica:

Si hay un fuerte terremoto, entonces se derrumbarn los edificios de la poblacin.Y si se derrumban los edificios de la poblacin, entonces habr un nmero elevado de vctimas.Luego, si hay un fuerte terremoto, entonces habr un nmero elevado de vctimas.

Lenguaje naturalen su forma simblica

p q Formando la condicionalq r

[(p q) (q r)] (p r) p r

Nota: No siempre aparecern ordenadamente los conectivos tal y como los hemos estudiado,pueden estar entre la frase, y deber observar cada premisa para identificar cada conectivo.Segn las formas equivalentes del lenguaje natural para los operadores lgicos y laconclusion

Ejemplo 4.30.Si usted lo destruye entonces el vendrSi l viene entonces usted ver a su padre


Paso 1: Simbolizamos y reducimos el silogismop = usted lo destruye q = el vendr r = vera a su padre

Paso 2: se construye la forma enunciativa


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Paso 3: se construye la tabla de verdad con 3 variables o 2 combinaciones, este caso 8combinaciones.

p q r

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V V F V

V F F F V F F V

F V V V V V V V

F V F V F V F V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Se puede ver, que hay consecuencia lgica hay tautologa y el argumento tiene validez.

Ejemplo 4.31.

Si una persona lee la prensa libre, entonces est bien informadaEsta persona est bien informada

Por lo tanto, esta persona lee prensa libre

Paso 1: Simbolizamos

p = lee el peridicoq = est bien informado

Paso 2: se construye la forma enunciativa

Paso 3: se construye la tabla de verdad con 2 variables o 2 combinaciones, este caso 4combinaciones.

p q

V V V V V

V F F F V

F V V V FF F V F V

Y este argumento es invlido, no es consecuencia lgica, las premisas no derivan la conclusin,en otras palabras puede ser que esta persona no lea prensa libre e igual este bien informado porotro medio, y estemos designando una creencia equivocada. Este argumento no valido se lellama falacia lgica. Si reemplazamos por el argumento seria valido, de estopodemos decir que la validez logica (proposicional) solo analiza la forma del enunciado y no elcontenido de estos.


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Ejemplo 4.32.Si el nio re, entonces no llora. Solo si llora, el nio no juega. Canta si y solo si juega. Pero elnio re. Canta el nio?

Paso 1 Inicialmente ordenamos el silogismo y simbolizamos

Si el nio re, entonces no llora p = Si el nio reSolo si llora, el nio no juega q = el nio lloraCanta si y solo si juega r = el nio juegaPero el nio re s = el nio canta

Canta el nioPaso 2 Se procede a reducir el silogismo

r s p

Paso 3 Se construye la forma enunciativa

Paso 4 Se construye la tabla de verdad y tenemos 4 variables o 2 combinaciones, este caso 16combinaciones.

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

p q r s (1 2 (4) (3) (5) p (6) sV V V V F F F V V F F F V

V V V F F F F V F F F F VV V F V F V F V F F F F V

V V F F F V F V V F F F V

V F V V V F V V V V V V V

V F V F V F V V F V F F V

V F F V V V V F F F F F V

V F F F V V V F V F F F V

F V V V F F V V V V V F V

F V V F F F V V F V F F V

F V F V F V V V F V F F V

F V F F F V V V V V V F V

F F V V V F V V V V V F VF F V F V F V V F V F F V

F F F V V V V F F F F F V

F F F F V V V F V F F F V

Tenemos tautologa, el silogismo sobre el nio es correcto, por otra parte, vea que entre msvariables la tabla de verdad es ms grande, algo tedioso y tardado, mas adelante estudiaremosformas ms sencillas para comprobar la validez utilizando equivalencias lgicas, reglas dereemplazo, inferencia lgica o el mtodo de INVALIDEZ lgica.Nota: Finalmente, se hace saber que los valores de Verdadero (V) y Falso (F) se puede sustituirpor los valores 1 = Verdadero y 0 = Falso. En un capitulo posterior ser aplicado a la lgica delos circuitos booleanos, base en el diseo de las computadoras actales y la totalidad de

equipos electrnicos que ahora conocemos, el lector hipottico de este documento ya habrpensado en uno.

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