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ProposicionesOperaciones entre proposiciones

Tablas de verdadRelaciones entre proposiciones

Leyes del algebra de proposicionesReglas de inferencia logica

Funciones proposicionales y Cuantificadores

Logica Proposicional

Sergio Stive Solano Sabie

Marzo de 2012

Sergio Solano Sabie Logica Matematica





Proposiciones

Definicion 1.1Una proposicion (o declaracion) es una oracion declarativaque es verdadera o falsa, pero no ambas.

Comunmente se denotan con las letras minusculas p, q, r, s, t, . . .,las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicio-nales, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace massimple y exacto que el lenguaje natural.






Proposiciones

Ejemplo 1.1

Los siguientes ejemplos ilustran como se pueden simbolizarlas proposiciones:

1 p : Hoy es sabado.2 q : Estudio ingenierıa de sistemas.3 r : New York es llamada la capital del mundo.4 s : 1 no es un numero primo.5 t : 4 + 3 = 10.6 v : 3 > 5

7 w : El sol es amarrillo






Proposiciones

Ejemplo 1.2Las siguientes expresiones NO son proposiciones:

1 Viajar en el dıa.2 x+ 3 = 7.3 Mirar T.V.4 ¿De que color es la mesa?

Toda afirmacion es verdadera o falsa y no hay una que sea ver-dadera y falsa al mismo tiempo. Esta suposicion la llamamos laLey del tercero excluido.Una consecuencia de esta suposicion es que si una afirmacionno es falsa tendra que ser verdadera.






Operaciones basicas

En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como:

Ejemplo 2.11 Las rosas son rojas y tienen espinas.2 El tablero es verde o es blanco.3 En el paıs no hay violencia.4 Si estudio logica matematica entonces sere un destacado

ingeniero de sistemas.5 4 es un numero par si y solo si se puede dividir por 2.






Operaciones basicasLos terminos de enlace, “y”, “o ”, “no”, “si,...,entonces”, “siy solo si”, reciben el nombre de Conectivos logicos , y estasnuevas proposiciones que se obtienen uniendo dos o mas pro-posiciones simples mediante conectivos logicos se conocencomo proposiciones compuestas.Al igual que a las proposiciones, los conectivos logicos tam-bien se les asignan un lenguaje simbolico, ası:

LENGUAJE NATURAL LENGUAJE FORMAL NOMBREy ∧ Conjunciono ∨ Disyuncion

No ∼ NegacionSi ... entonces ⇒ Condicional

Si y solo si ⇔ BicondicionalSergio Solano Sabie Logica Matematica





Operaciones basicasEjemplo 2.2

1 p : Las rosas son rojas, q : Las rosas tienen espinas,p ∧ q : Las rosas son rojas y tienen espinas.

2 r : El tablero es verde, s : El tablero es blanco,r ∨ s : El tablero es verde o es blanco.

3 t : En el paıs hay violencia, ∼ t : En el paıs no hayviolencia.

4 x : Estudio logica matematica, y : Sere un destacadoingeniero de sistemas,x⇒ y : Si estudio logica matematica entonces sere undestacado ingeniero de sistemas.

5 u : 4 es un numero par, v : 4 es divisible por 2,u⇔ v : 4 es un numero par si y solo si es divisible por 2.






Tablas de verdadSi conocemos los valores de verdad, (V o F) de las proposicio-nes simples p y q que componen las proposiciones compuestasp ∧ q, ∼ p, p ∨ q, p ⇒ q y p ⇔ q, entonces podremos deducir elvalor de verdad de estas.Lo anterior se logra mediante la elaboracion de una tabla deverdad, la cual depende del conectivo logico utilizado y de losvalores de verdad (V o F) de las proposiciones p y q.






Tablas de verdadConjuncion (∧)

p q p ∧ q

V V VV F FF V FF F F

La proposicion p∧qes verdadera si p yq son verdaderas,y falsa si alguna deellas es falsa.

Negacion (∼)

p ∼ p

V FF V

∼ p es falso cuan-do p es verdaderoy ∼ p es verdaderocuando p no lo es.

Disyuncion (∨)

p q p ∨ q

V V VV F VF V VF F F

La proposicion p ∨q es falsa si lasproposiciones p y qlo son, y verdade-ra en cualquier otrocaso.






Tablas de verdadConjuncion (∧)

p q p ∧ q

1 1 11 0 00 1 00 0 0

Se pueden simbo-lizar los valores deverdad de una pro-posicion; asignan-do 1 al valor verda-dero y 0 al valor fal-so.

Negacion (∼)

p ∼ p

1 00 1

utilizando el sis-tema binario, me-diante el cual sele asigna1 al va-lor verdadero y 0 alvalor falso.

Disyuncion (∨)

p q p ∨ q

1 1 11 0 10 1 10 0 0







Tablas de verdadCondicional (⇒)

p q p⇒ q

V V VV F FF V VF F V

La proposicionp ⇒ q es ver-dadera si nuncaocurre que p seaverdadera y que qsea falso.

Bicondicional(⇔)

p q p⇔ q

V V VV F FF V FF F V

La proposicionp ⇔ q es verda-dera si p y q sonambas verdaderaso falsas, y falso encaso contrario.






Tablas de verdadCondicional (⇒)

p q p⇒ q

1 1 11 0 00 1 10 0 1


Bicondicional(⇔)

p q p⇒ q

1 1 11 0 00 1 00 0 1







Tablas de verdadEjemplo 3.1

Elaborar la tabla de verdad de (p ∨ ∼ q)∧ ∼ r.

Solucion.

p q r ∼ q ∼ r p ∨ ∼ q (p ∨ ∼ q)∧ ∼ r

V V V F F V FV V F F V V VV F V V F V FV F F V V V VF V V F F F FF V F F V F FF F V V F V FF F F V V V V






Tablas de verdadEjemplo 3.2

Elaborar la tabla de verdad de (p⇒ q)⇔ r.

Solucion.

p q r p⇒ q (p⇒ q)⇔ r

V V V V VV V F V FV F V F FV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V F






Tautologıa

Definicion 4.1Una tautologıa es una proposicion que siempre es verdaderasin importar el valor de verdad de sus componentes.

Ejemplo 4.1

Demostrar que la proposicion (p ∨ q)⇔ (∼ q ⇒ p) es unatautologıa.

Demostracion.Para verificar la validez de esta proposicion es necesariorealizar la tabla de verdad de ella:






Tautologıa

p q p ∨ q ∼ q ∼ q ⇒ p (p ∨ q)⇔ (∼ q ⇒ p)

1 1 1 0 1 11 0 1 1 1 10 1 1 0 1 10 0 0 1 0 1

Notese que en la ultima columna solamente aparecen valoresverdaderos. Luego, por definicion la proposicion dada es unatautologıa.






Absurdo o contradiccion

Definicion 4.2Un absurdo o contradiccion es una proposicion que siemprees falsa sin importar el valor de verdad de sus componentes.

Ejemplo 4.2

Verifique que la proposicion (p ∧ ∼ q) ∧ q es unacontradiccion.






Absurdo o contradiccion

Solucion.Construyamos la tabla de verdad de la proposicion dada, ası:

p q ∼ q p ∧ ∼ q (p ∧ ∼ q) ∧ q

V V F F FV F V V FF V F F FF F V F F

Por lo tanto esta proposicion es una contradiccion.






Proposiciones equivalentes

Definicion 4.3Dos proposiciones compuestas P y Q se consideranlogicamente equivalentes o simplemente equivalentes, y sedenota P ≡ Q si y solo si tienen los mismos valores de verdadpara cada una de las opciones en la tabla de verdad.Note que lo anteior implica que P ≡ Q si y solo si P ⇔ Q esuna tautologıa.

Ejemplo 4.3

Las proposiciones (p ∨ q) y (∼ q ⇒ p) son equivalentes puestoque en el ejemplo 4.1 se verifico que (p ∨ q)⇔ (∼ q ⇒ p) esuna tautologıa.






Equivalencias importantes

Las siguientes equivalencias son ciertas (es decir los bicondi-cionales correspondientes son tautologıas), y seran muy usadasen la construccion de argumentos validos.Sean P , Q y R proposiciones, entonces:

Doble negacion∼ (∼ P ) ≡ P

Idempotencia1 P ∧ P ≡ P

2 P ∨ P ≡ P

Conmutativa1 P ∧Q ≡ Q∧P2 P ∨Q ≡ Q∨P

Asociativa1 P ∧ (Q ∧R) ≡ (P ∧Q) ∧R

2 P ∨ (Q ∨R) ≡ (P ∨Q) ∨R






Equivalencias importantesDistributiva

1 P ∧ (Q ∨R) ≡ (P ∧Q) ∨ (P ∧R)

2 P ∨ (Q ∧R) ≡ (P ∨Q) ∧ (P ∨R)

Leyes de De Morgan1 ∼ (P ∧Q) ≡ ∼ P ∨ ∼ Q

2 ∼ (P ∨Q) ≡ ∼ P ∧ ∼ Q

La prueba de todas estas equivalencias se realizan a traves detablas de verdad mostrando que los bicondicionales correspon-dientes son tautologıas.






Equivalencias importantesLa siguientes equivalencias se pueden probar a traves de tablasde verdad mostrando que los bicondicionales correspondientesson tautologıas o derivando resultados de las equivalencias queconocemos hasta el momento.

Ejercicios1 (P ⇒ Q) ≡ (∼ P ∨Q) (Condicional-negacion y disyuncion)2 ∼ (P ⇒ Q) ≡ (P ∧ ∼ Q) (Negacion del condicional).3 (P ⇒ Q) ≡ (∼ Q⇒∼ P ) (Contrarrecıproco).4 (P ∧ (Q ∨ ∼ Q)) ≡ P (Absorcion).5 (P ∨ (Q ∧ ∼ Q)) ≡ P (Absorcion).6 (P ⇔ Q) ≡ ((P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ P ))

(Bicondicional-condicional)Sergio Solano Sabie Logica Matematica





Equivalencias importantesSolucion

1 Veamos que (P ⇒ Q)⇔ (∼ P ∨Q) es una tautologıa.Elaboremos su tabla de verdad:

P Q ∼ P P ⇒ Q ∼ P ∨Q (P ⇒ Q)⇔ (∼ P ∨Q)

V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V

2 Usando las equivalencias vistas, tenemos:∼ (P ⇒ Q) ≡∼ (∼ P ∨Q) Ejercicio 1

≡∼ (∼ P ) ∧ ∼ Q Leyes de De Morgan≡ P ∧ ∼ Q Doble negacion.






Inferencias logicas

Para definir las inferencias logicas es necesario precisar algu-nos conceptos tales como razonamiento y demostracion.

RazonamientoEs el proceso que se realizapara obtener unademostracion.

Demostraciones el encadenamiento deproposiciones que permiten obtenerotra proposicion, llamada conclusion,a partir de ciertas proposicionesiniciales supuestas como verdaderas,que reciben el nombre de premisas.






Inferencias logicas

Inferencias logicasSon las conclusiones que se pueden obtener despues derealizar un razonamiento, este razonamiento solamente esverdadero si se cumplen las siguientes condiciones:

1 Las premisas deben ser verdaderas.2 Durante el proceso de deduccion las premisas deben

relacionarse sujetas a las leyes de la logica.






Reglas de inferencia

A continuacion se muestran las Reglas de Inferencia mas utiliza-das en la derivacion de un argumento. La prueba de todas estasimplicaciones se realizan a traves de tablas de verdad mostran-do que los bicondicionales correspondientes son tautologıas.

Simplificacion (S)De P ∧Q podemos inferir P .Esquematicamente,

P ∧Q

P

Adicion (A)De P podemos inferir P ∨Q.Esquematicamente,

P

P ∨Q







Modus Ponendo Ponens (MP)De P ⇒ Q y P podemos inferirQ. Esquematicamente,

P ⇒ Q

P

Q

Modus Tollendo Tollens (MT)De P ⇒ Q y ∼ Q podemosinferir ∼ P . Esquematicamente,

P ⇒ Q

∼ Q

∼ P







Silogismo Disyuntivo (SD)De P ∨Q y ∼ Q podemosinferir P . Esquematicamente,

P ∨Q

∼ Q

P

Silogismo Hipotetico (SH)De P ⇒ Q y Q⇒ R podemosinferir P ⇒ R.Esquematicamente,

P ⇒ Q

Q⇒ R

P ⇒ R







Adjuncion (AD)De P y Q podemos inferirP ∧Q. Esquematicamente,

P

Q

P ∧Q

Dilema Constructivo (DC)De P ⇒ Q, R⇒ S y P ∨Rpodemos inferir Q ∨ S.Esquematicamente,

P ⇒ Q

R⇒ S

P ∨R

Q ∨ S







Ejemplo 6.1Demostrar c a partir de las premisas dadas.Premisa 1: ∼ bPremisa 2: a⇒ bPremisa 3: ∼ a⇒ c

Demostracion.1. ∼ b (P)2. a⇒ b (P)3. ∼ a MT(1,2)4. ∼ a⇒ c (P)5. c MP(3,4)







Ejemplo 6.2Si un hombre se orienta siempre por su sentido del deber, tieneque renunciar al goce de muchos placeres, y si se guıasiempre por su deseo de placer, a menudo olvidara su deber. Obien un hombre se guıa siempre por su sentido del deber, obien siempre se orienta por su deseo de placer. Si un hombrese guıa siempre por su sentido del deber, no descuidara amenudo su deber, y si siempre se guıa por su deseo de placer,no renunciara al goce de muchos placeres. Luego, un hombredebe renunciar al goce de muchos placeres si y solo si nodescuida a menudo su deber.







Solucion. Tomando el siguiente lenguaje formal:P : se orienta por su sentido del deberQ: renuncia al goce de placeresR: se guıa por su deseo de placerS: olvidara su deberLas premisas quedan ası:1. P ⇒ Q2. R⇒ S3. P ∨R4. P ⇒∼ S5. R⇒∼ QConclusion: Q⇔∼ S.







1. P ∨R (P)2. P ⇒ Q (P)3. R⇒ S (P)4. Q ∨ S DC(1,2,3)5. P ⇒∼ S (P)6. R⇒∼ Q (P)7. ∼ S∨ ∼ Q DC (1,5,6)8. Q∨ ∼ (∼ S) Doble nagacion aplicada en 4.9. Q⇒∼ S Condicional-negacion y disyuncion aplicada en 8.10. ∼ S ⇒ Q Condicional-negacion y disyuncion aplicada en 7.11. (Q⇒∼ S) ∧ (∼ S ⇒ Q) AD(9,10)12. Q⇔∼ S Bicondicional-condicional aplicado a (10,11)






Funciones proposicionales

Definicion 7.1Sea A un conjunto dado. Una funcion proposicional definidasobre A es una expresion p(x), la cual tiene la propiedad quep(a) es verdadera o falsa para cada a ∈ A. El conjunto A esllamado dominio de p(x), y el conjunto Tp de todos loselemento de A para los cuales p(a) es verdadero es llamado elconjunto de verdad de p(x). En otras palabras,

Tp = {x : x ∈ A, p(x) es verdadera}

Frecuentemente, cuando A es algun conjunto de numeros, lacondicio p(x) tiene la forma de una ecuacion o inecuacion queinvolucra la variable x.






Funciones proposicionales

Ejemplo 7.1

Hallar el conjunto de verdad de cada funcion proposicional p(x)definida sobre el conjunto N de numeros naturales.

1 Sea p(x) : x+ 2 > 7. El conjunto de verdad es

Tp = {x : x ∈ N, x+ 2 > 7} = {6, 7, 8, . . .}

que consiste de todos los naturales mayores que 5.2 Sea p(x) : x+ 5 < 3. El conjunto de verdad es

Tp = {x : x ∈ N, x+ 5 < 3} = ∅

el conjunto vacıo.Sergio Solano Sabie Logica Matematica





Cuantificador universal

Sea p(x) una funcion proposicional definida sobre un conjuntoA. Considere la expresion

(∀x ∈ A)p(x) o ∀xp(x)

la cual se lee “Para todo x en A, p(x) es una declaracion verda-dera ” o, simplemente, “Para todo x, p(x)”. El sımbolo

∀

el cual se lee “para todo ” o “para cada” es llamado el cuantifi-cador universal.






Cuantificador universal

Ejemplo 7.21 La proposicion (∀n ∈ N)(n+ 4 > 3) es verdadera2 La proposicion (∀n ∈ N)(n+ 2 > 8) es falsa






Cuantificador existencial

Sea p(x) una funcion proposicional definida sobre un conjuntoA. Considere la expresion

(∃x ∈ A)p(x) o ∃x, p(x)

la cual se lee “Existe un x en A tal que p(x) es una declaracionverdadera ” o, simplemente, “Para algun x, p(x)”. El sımbolo

∃

el cual se lee “existe ” o “para algun ” es llamado el cuantifica-dor existencial.






Cuantificador existencial

Ejemplo 7.31 La proposicion (∃n ∈ N)(n+ 4 < 7) es verdadera2 La proposicion (∃n ∈ N)(n+ 6 < 4) es falsa






Negacion de declaraciones cuantificadas

Teorema 7.1 (De Morgan)

∼ (∀x ∈ A)p(x) ≡ (∃x ∈ A) ∼ p(x)

Teorema 7.2 (De Morgan)

∼ (∃x ∈ A)p(x) ≡ (∀x ∈ A) ∼ p(x)

Ejemplo 7.41 ∼ (∀n ∈ N)(n+ 4 > 3) ≡ (∃n ∈ N)(n+ 4 ≤ 3).2 ∼ (∃n ∈ N)(n+ 4 < 7) ≡ (∀n ∈ N)(n+ 4 ≥ 7).






GRACIAS POR SU ATENCION


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