Lógica de Lógica de proposicionesproposiciones

Proposición:Proposición:

Secuencia finita de signos que en un Secuencia finita de signos que en un contexto determinado, puede ser contexto determinado, puede ser calificado de calificado de verdadero o falsoverdadero o falso

Obs. En el lenguaje natural, toda oración Obs. En el lenguaje natural, toda oración aseverativa es una proposición.aseverativa es una proposición.

Las proposiciones son nombradas con las Las proposiciones son nombradas con las letras del alfabeto.letras del alfabeto.

• a: El protón tiene carga positiva.a: El protón tiene carga positiva.

• b: El sol es una estrella fija.b: El sol es una estrella fija.

• c:5 + 4 = 3 + 6c:5 + 4 = 3 + 6

• d: El manco de Lepanto.d: El manco de Lepanto.

• e:El cuadrado de 2.e:El cuadrado de 2.

• f: Un número real al cuadrado es f: Un número real al cuadrado es siempre positivo o cero.siempre positivo o cero.

• g: El hijo de Hector.g: El hijo de Hector.

• h: Es el hijo de Hector.h: Es el hijo de Hector.

• Conectivos u Operadores lógicos:Conectivos u Operadores lógicos:

• Enlazan proposiciones en el lenguaje Enlazan proposiciones en el lenguaje natural o variables lógicas en el lenguaje natural o variables lógicas en el lenguaje lógico.lógico.

• Conectiva de CONJUNCIÖN:Conectiva de CONJUNCIÖN:

• L.N: ………. Y …………..L.N: ………. Y …………..

• L. L:L. L: ۸۸

• a. Los héroes son valientes.a. Los héroes son valientes.

• b. Los valientes siempre gananb. Los valientes siempre ganan

• a a ۸۸ b: Los héroes son valientes y los b: Los héroes son valientes y los valientes siempre ganan.valientes siempre ganan.

• a a b: Proposición conjuntivab: Proposición conjuntiva

• VALOR DE VERDAD:VALOR DE VERDAD:

Las proposiciones Las proposiciones conjuntivas son conjuntivas son verdaderas si ambas verdaderas si ambas

a y b a y b son verdaderas. son verdaderas.

En cualquier otro caso son En cualquier otro caso son falsas.falsas.

• Tabla de VerdadTabla de Verdad

aa bb a a ۸۸ bb

VV VV VV

VV FF FF

FF VV FF

FF FF FF

• LN:LN:

Pero, aunque, sin embargo, A pesar que, además. No obstante, Pero, aunque, sin embargo, A pesar que, además. No obstante, “,” , “.”“,” , “.”

Ej. Mañana voy a la biblioteca y el viernes voy al baile.Ej. Mañana voy a la biblioteca y el viernes voy al baile.

Mañana…… pero el viernes ……..Mañana…… pero el viernes ……..

Mañana……sin embargo el viernes ……..Mañana……sin embargo el viernes ……..

Mañana…… pero el viernes ……..Mañana…… pero el viernes ……..

Mañana…… además el viernes ……..Mañana…… además el viernes ……..

Mañana…… a pesar que el viernes ……..Mañana…… a pesar que el viernes ……..

• a. Carlos disparó a. Carlos disparó

• Carlos mató al venado.Carlos mató al venado.

• a a ۸۸ b: …………………….b: …………………….

• b b ۸۸ a: ……………………a: ……………………

• La conectiva de conjunción no La conectiva de conjunción no establece ningún nexo causal entre establece ningún nexo causal entre las proposiciones.las proposiciones.

• e. Luis abrazó a su noviae. Luis abrazó a su novia

• d. Luis se fue a Iquitosd. Luis se fue a Iquitos

• María ama a Juan pero Juan ama a María ama a Juan pero Juan ama a LolaLola

• p. Me voy a Lima p. Me voy a Lima

• q. compró un carro.q. compró un carro.

• Negación:Negación:

Negar una Negar una proposición es proposición es cambiarle su valor cambiarle su valor de verdad.de verdad.

• p(V) entonces ⌐p(F)p(V) entonces ⌐p(F)

• Tabla:Tabla:

pp ⌐⌐pp

VV FF

FF VV

• L.N: No es cierto que …..L.N: No es cierto que …..

• No es el caso que …No es el caso que …

• Es falso que …..Es falso que …..

a.a. La luz se propaga en línea recta.La luz se propaga en línea recta.

-a: No es cierto que la luz se ….-a: No es cierto que la luz se ….

-a: No es el caso que la luz ….-a: No es el caso que la luz ….

-a: la luz NO se propaga ….-a: la luz NO se propaga ….

-a: es falso que la luz se propaga …..-a: es falso que la luz se propaga …..

• Observ. -(-p) = pObserv. -(-p) = p

• No pude no mirarla.No pude no mirarla.• -(pude no mirarla)-(pude no mirarla)• -(-(pude mirarla))-(-(pude mirarla))• La miré.La miré.

• Es falso que Juan nunca ha tenido Es falso que Juan nunca ha tenido miedomiedo

• -(Juan nunca ha tenido miedo)-(Juan nunca ha tenido miedo)• -(-(Juan……….))-(-(Juan……….))

• Ni estudio ni trabajo.Ni estudio ni trabajo.

• p: estudiop: estudio

• q: trabajoq: trabajo

• -p: ni trabajo-p: ni trabajo

• -q: ni estudio-q: ni estudio

• -p -p ۸۸ -q-q

• La disyunción:La disyunción:

• L.N: “ o ”L.N: “ o ”

• L.L: “ L.L: “ ۷۷ “ “

• m: Los alumnos tienen acceso al m: Los alumnos tienen acceso al laboratoriolaboratorio

• n: Los profesores tienen acceso a n: Los profesores tienen acceso a internet.internet.

• m m ۷۷ n:n: O los alumnos tienen acceso O los alumnos tienen acceso al laboratorio o los profesores tienen al laboratorio o los profesores tienen acceso a internet.acceso a internet.

Tabla de verdad:Tabla de verdad:

aa bb a a ۷۷ bb

VV VV VV

VV FF VV

FF VV VV

FF FF FF

• Juan es tenista o futbolista.Juan es tenista o futbolista.

• Pedro es gordo o flaco.Pedro es gordo o flaco.

• El libro es voluminoso o interesante.El libro es voluminoso o interesante.

• No es el caso que 6 sea par o divisible No es el caso que 6 sea par o divisible entre 4entre 4

• Es el caso que 5 es impar y 15 es par.Es el caso que 5 es impar y 15 es par.

• IMPORTANTE: IMPORTANTE:

LAS PROPOSICIONES INDIVIDUALES LAS PROPOSICIONES INDIVIDUALES SIEMPRE SE EXPRESAN EN SIEMPRE SE EXPRESAN EN AFIRMATIVO.AFIRMATIVO.

• El condicional: El condicional: →→

• L.N: Si …… entonces……L.N: Si …… entonces……

• L.L; p → qL.L; p → q

p: antecedente ( Hipótesis)p: antecedente ( Hipótesis)

q: consecuente ( Tesis)q: consecuente ( Tesis)

Ej. Si una figura es un cuadrado Ej. Si una figura es un cuadrado entonces es un paralelogramo.entonces es un paralelogramo.

• a: dos puntos determinen una recta.a: dos puntos determinen una recta.

• b: Cuatro puntos determinan dos b: Cuatro puntos determinan dos rectas.rectas.

• a a →→ b: b:

Si dos puntos determinan una recta, Si dos puntos determinan una recta, entonces cuatro puntos determinen entonces cuatro puntos determinen dos rectas.dos rectas.

• Tabla de verdad:Tabla de verdad:

• El valor de verdad El valor de verdad de una proposición de una proposición condicional, condicional, es es independiente independiente de la relación de la relación causal o NOcausal o NO entre entre el antecedente y el el antecedente y el consecuenteconsecuente

pp qq p p →→ q q

VV VV VV

VV FF FF

FF VV VV

FF FF VV

• Si 2 + 2 = 4 entonces los cuadrados son Si 2 + 2 = 4 entonces los cuadrados son paralelogramosparalelogramos

• El Perú tiene un gobierno democrático, El Perú tiene un gobierno democrático, entonces los peruanos son trabajadores.entonces los peruanos son trabajadores.

• Si 4 es un número par, entonces es Si 4 es un número par, entonces es divisible entre 2.divisible entre 2.

• Si Pedro estudia en la universidad, Si Pedro estudia en la universidad, entonces obtendrá su título profesional.entonces obtendrá su título profesional.

• Alternativas para el condicional Alternativas para el condicional en el L.N: en el L.N: p p →→ q q

Forma canónica: Si ….. Entonces…….Forma canónica: Si ….. Entonces…….

• Si p, qSi p, q

• p luego q.p luego q.

• p por lo tanto q.p por lo tanto q.

• p es suficiente parap es suficiente para

• p sólo si q.p sólo si q.

• p solamente si qp solamente si q

• p p →→ q q

• q es necesaria para pq es necesaria para p

• q si p.q si p.

• q siempre que pq siempre que p

• q ya que pq ya que p

• q puesto que pq puesto que p

• q porque pq porque p

• q cuando pq cuando p

• Ej.Ej.Si un número es par entonces se puede dividir entre 2.Si un número es par entonces se puede dividir entre 2.• p: p: x es un número parx es un número par• q:q: x es divisible entre dos. x es divisible entre dos.

• Si x es un número par. Es divisible entre dos.Si x es un número par. Es divisible entre dos.

• X es un número par luego es divisible entre 2.X es un número par luego es divisible entre 2.

• X es un número par sólo si es divisible entre 2X es un número par sólo si es divisible entre 2

• Es suficiente que x sea número par para que se Es suficiente que x sea número par para que se pueda dividir entre 2pueda dividir entre 2