1. simbolizaciÓn de proposiciones

5/6/2018 1. SIMBOLIZACIN DE PROPOSICIONES

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rVI PROLOGO

seleccio nados de una escuela elemental. La segunda v ersi on del texro seu ti li ze en once dases de estud iantes s elcccionados de la e scuela e lementa len 1961-62. La tercera version se uti liza exper imentalmente en 1962-63 condiez dases de es tudian te s se lecc ionados de la escuela elementa l y 200 estu-diant es del College en un proyecto patro ci nado conjun tamente por elOffice (If Educat ion y la Nat iona l Science Founda tion . La edicion del l ib rof ue subvenc ionada por la Carneg ie Corpora tion de Nueva York.

Se ha intentado escribir el libro de manera que 10 puedan utilizarlos e stud iantes con un margen de edad y hab il idad muy amplio. La Logic s,a fo rtunadamente, e s una de las ma te rias que no r equiere gran base 0 expe-r ienc ia par a poder l lega r a un buen adies tramien to . Por e sta r azon , un l ib rode este tipo parti cu lar puede ser utili zado por una gran vari ed ad de estu-diantes. La experiencia COil l as ver siones c it adas ind ica que e l material quecontiene es razonablemente satisfactor io para los estudiantes seleccionadosde Segunda ensef ianza y , por o tra parte, no demasiado e lemental para queno pueda ser ut ilizado por al umnos de primer curso de Ia Universidad.Creemos que este l ib ro sera i it il a una gran d ivers idad de a lumnos de Ense -f ianza media y a las c la se s de Matema tica s de Se lect ive de la Facul tad. Es raen preparaci6n el Segundo cur so de L6g ica matemdtica para aquellas clasesque d ispongan de t iempo par a una expos ic ion mas amplia de esta ma te ria.

Agradecemos a Mrs. Madeline Anderson su trabajo paciente y cornpe-tente de mecanografiar eI manuscrito, Manifestamos nuestro mayor recono-c imien to a Mr. F rede rick Binford por sus val iosa s sugerenc ia s y cr it ic as ,quien se ha hecho tambi en responsabl e de prep arar la detallada Edicio npara el maestro. Mr. Richard Friedberg hizo muchos comentarios y criticasmuy iitiles a1 ultimoborrador de manuscr ito.

INDICE ANALiTICOPrefacio

1. SIMBOLIZACI6N DE PROPOSICIONES 11.1 'Proposiciones1 .2 Terminos de enlace1.3 La forma de las proposiciones moleculares,1.4 Simbolizaci6n de proposiciones1 .5 Los r erminos de enlace y sus slmboloso

NoSl., entonces ...

1:6 Agrupamiento y parentesisLa negacion de una proposicion molecular

1.7 Eliminaci6n de algunos parentesis1.8 Resumen

12510121416202230.3 437

2 . INFERENCIA L6GICA 442.1 Introduccion2.2 Reglas de inferencia y demostracion

Modus ponendo ponensDemostracionesDernostraciones en dos pasosDoble negacionModus tollendo tollensMas sobre la negaci6nAdjunci6n y simplificaci6nDisjunciones como premisasModus tollendo ponens

2.3 Deduccion proposicional2.4 Mas sobre parentesis2.5 Otras reglas de inferencia

Ley de adici6nLey del silogismo hipoteticoLey del silogismo disyuntivoLey de simplificacion disyuntivaLeyes conmutativasLas leyes de Morgan

44454548505355586164667078818185899397100

PATRICK SUPPESSHIRLEY HILL

Universidad de StanfordStanford, CaliforniaEnero, 1963


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VIII tNDICE ANALlTICO tNDICE ANALlTICO IX2.6 Proposiciones bicondicionales2 .7 Resumen de r eg la s de inf erenc ia

Tabla de reglas de inferencia105109110

7. UN SISTEMA MATEMATICO SIMPLE:AXIOMAS DE LA ADICI6N 247

3.1 Introduccion 1123 .2 Valore s de certeza y t erminos de enlace de certeza func iona I 113

Conjuncion 113Negaci6n 114Disjuncion 115Proposiciones condicionales 116Equivalencia: proposiciones bicondicionaIes 119

3.3 Diagrama de valores de certeza 1203.4 Conclusiones no validas 124

7.1 Axi oma de Ia propiedad conmutativa7 .2 Axioma de la propiedad asociat iva7.3 Axioma del cero7 .4 Axioma de los mimeros negat ivos

2472 5 1261264

3. CERTEZA Y VALIDEZ 112

8. GENERALIZACI6N UNIVERSAL 2708.1 Teoremas con var iables8.2 Teoremas con cuantificadores universales

270274

fndice alfabetico 2793.5 Dernostracion condicional3.6 Consistencia3.7 Demostraci6n indirecta3.8 Resumen

1 3 11401491 5 5

4. TABLAS DE CERTEZA 164

4 .1 Tablas de certeza4.2 Tautologias4.3 Inwlic:aci6n tautol6gica y equivalencia tautologica4.4 Resumen

164172174179

5. TRMINOS, PREDICAOOS Y CUANTIFICADORESUNIVERSALES5.1 Introduccion5.2 Terminos5.3 Predicados5.4 Nombres comunes como predicados5.5 F6rmulas at6micas y variables5.6 Cuantificadores universales5 .7 Dos formas t fp icas

1841841871891 9 1194201209

-6. ESPECIFICACI6N UNIVERSAL Y LEYES DE IDENTIDAD 2166.1 Un cuantificador 2166.2 Dos 0 mas cuantificadores 2286.3 Logica de la identidad 2366.4 Certezas 16gicas 242


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rCAPITULO 1

BIMB'OLIZACION DE PROPOSICIONES

1.1 ProposicionesCon el estudi o d e Ia Log ics se persig ue llegar a ser preciso y cuidadoso.La Logica t iene un lenguaje exacto, Pero aunque as! sea, vamos a intentarconstruir un vocabulario para este lenguaje preciso uti lizando el lenguajecuotidiano algunas veces un tanto confuse. Es necesar io redactar un conjuntode reglas que sean per feetamente daras y definidas y que esten l ib res de lasvaguedades que pueden hallarse en nuestro lenguaje corriente, Para realizareste t raba jo se utilizardn proposiciones en Iengua castellana, de la mismamanera que se usa la lengua casrellana para explicar las reglas precisas deun juego a alguien que no ha jugado a ese juego. Por supuesto, la logicaes a lgomas que un juego . Puede ayudamos a apr ende r una forma e re razonarque es exacta y a la vez muy util.

Para empezar, consideremos las proposiciones en lengua castellana. Cadaproposicion t iene una forma logica a la que se Ie dara un nombre. Enprimer lugar, se consideran y simbolizan dos c la se s de proposiciones enLogics, unas se denominan proposiciones al6micas y otras proposicionesmoleculares.

En este siglo de la Cienc ia s e u ti li za la palabra a/ornico muchas veces.E fect ivamente , e l s igni fi cado de esta palabra en el l enguaje de la Logica esanalogo a su significado original en las Ciencias fisicas. En Logica, at6micasson las proposiciones de forma m as simple (0 m a s basicas). S i se juntan unao varias proposiciones at6micas con un termino de enlace, se t iene una pro-posicion molecular. Una proposicion atomics es una proposicion completa sinterminos de enlace. Se utilizan terminos de enlace para formar proposicionesmoleculares a partir de proposiciones atomicas,

Por ejemplo, considerense dos proposiciones atomicas,Hey es saba4o.No hay e la se .


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Hoy es sabado y no hay c1ase.

r!

S IM BO LIZ AC I6 N D E P RO PO SIC IO NE S 32 PRIMER CURSO DE LoGICA MATEMATICAAmbas proposiciones son atornicas . Mediante un termino de enlace se puedenunir y se tendra un a p roposicio n molecular. Por ej emplo, se puede d ecir La proposicion

La lun a no esta hecha d e queso verde

Esta proposicion molecular se ha construido con dos proposicrones atomicasy el termino de enlace y. Cuando analizamos una proposicion molecularla descomponemos en las mas pequefias proposiciones atornicas completas .En el ejemplo anter ior se puede descornponer la proposicion molecular endos proposiciones atornicas . EI termino de enlace y no forma par te de nin-guna de las proposiciones atornicas . Se ha aiiadido a las proposiciones atorni-cas para construir una proposicion molecular.

es una proposicion molecular que utiliza el t ermino de enlace no. En estecaso, e1 t erm ino de enlace acn ia solo sobre una proposicion atomica: Laluna esta hecha de queso verde .Un ejempl o de una proposicion en la que se ut iliza e1 t erm ino de en-lace 0 es

El viento arras trara las nubes 0 llovera hoy con segur idad.

1.2 Termines de enlaceEI termi no de enlace 0 acn ia sobre dos proposiciones atomicas. Son Elv iento ar ra st ra ra las nubes y Llovera hoy con seguridad .

La proposicion molecular:Las palabras de enlace, por cor tas que sean, no deben subestimarse, pues sonde gran importan ci a. Tan to es aS1, que se est udiaran algunas regl as muyprecisas para el uso de esta c1ase de terrninos. Gran parte de 10 que set ra tar a en e l e stud io de la Logic s s e re fi ere a la mane ra cuidadosa de comose han de u ti li zar es tos terr ninos de enlace. E l termino de enlace en la pro-posicion del ej emplo Hoy es sabado y no hay c1 ase es la palabra y.Hay otros, pero an tes de considerar cad a uno de ell os separadamen te, lesdaremos el nombre Iogico correcto. Se les denorninara terminos de enlacede proposiciones. Es te nombre sera f ac il de recordar , porque ind ica e fect i-vamente cual es el papel que desempeiian. Enlazan proposiciones . Formanproposiciones moleculares a partir de proposiciones atomicas.

Los terminos de enlace que se u ti li za ran en este cap itulo son las pala-b ra s y , 0 , no. y si . .. entonces, En la gra rnat ica castel lana se les daa veces o tr os nombres, pero en Logica los denominaremos, como ya hemosindicado, terminos de enlace de proposiciones 0 simplemente terminos deenlace. Recue rdese que a l a fi ad ir un ter rn ino de enlace a una 0 dos propo-siciones atornicas se ha formado una proposicion molecular. Los tres terrninosde enlace considerados, y, 0, si . . ., entonces, se usan para enlazar dosproposiciones atornicas , pero el otro se agrega a una sola proposicion atomicspara formar una mol ecu lar. Est e termino de enlace es la p al abra no. Sepuede dec ir que el t errn ino de enlace no cada vez ac ti ia sobre una solaproposicion atomics y que los otros terminos de enlace acnian sobre dos pro-posiciones atornicas a la vez. Recuerdese que el t erm ino de enlace no, e se l unico que no conec ta realmente dos proposiciones. Cuando a una solaproposicion se Ie agrega no se forma una proposicion molecular .

Se dan a continuacion algunos ejemplos de proposiciones molecularesque utilizan los terminos de enlace considerados.

Si estamos en diciembre entonces I legara pronto Navidadi lust ra sobre e l uso del" te rmino de enlace si . .. , entonces , que tambienacnia sobre dos proposiciones atomicas. (Cu:iles son?

Ya se ha dado un ejemplo de proposicion que utiliza el termino deenlace y . Otra es:

El terreno es muy ri co y hay suficiente lluvia.(Cwiles son las dos proposiciones atornicas contenidas en esta proposicionmolecular? ?Los e je rcicios que se ponen a con tinuac ion ofr ecen una oportun idadpara comprobar la habilidad del lector para reconocer proposiciones atornicas,proposiciones moleculares y terminos de enlace. Recuerdese que cada propo-s idon que con tiene un termino de enlace es molecu la r.

E]ERCICIO 1A. Seii al ar cada proposidon atomi cs con una A y cada propo sici 6n mol e-cular con una M. Escribi r jun to a cada proposicion molecular el termino deenlace utilizado.

L La comida sera hoy a las tres en punto.2 . E l gran oso negro andaba per ezosamente por el camino de abajo.3. La rmisica es muy suave 0la puerta esta cer rada.4_A este per ro grancie Iegusta cazar gatos .


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5. 1 pregunta por su pipa y pregunta por su escudilla.6. Luis es un buen jugador 0es muy afortunado.7. Si Luis es un buen jugador, entonces participara en el part ido del

colegio.8. California esta al oeste de Nevada y Nevada al oeste de Utah.9. Muchos estudiantes estudian Logica en el primer afio de carrera10. Los gatitos no acostumbran a llevar mitones.11. Si los gatitos llevan mitones, entonces los gatos pueden llevar sorn-

breros.12. Se puede encontrar a Juana en casa de Susana.13. A las focas no les crece eI peio.14. Si Maria canta, entonces es feliz.15. Los alurnnos mayores no estan en la lista antes que los jovenes.16. La asignatura preferida de Jaime es Matematicas.17. Si aquellas nubcs se mueven en esa direccion, entonces tendremos

lluvia.18. S i lo s d eseos f ue ran c abal lo s, e nt once s l os mend igos c aba lg ar ia n.19. E st a p ropos ic ion e s a tor ni ca 0 es molecular.20. El sol calentaba y eI agua e st ab a muy ag radabl e.21. Si x=O entonces x+y= I.22. x+y>2.23. x=1 o.>+z=2.24. y=2 y z= 10.

rIi SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES 54 PRIMER CURSO DE LOGICA MATEMATICA 1. Este no es mi dia feliz.2. Ha Ilegado el invierno y los dias son mas cortos.3 . Mucho s ger rn ene s no son bact er ia s.4 . Los anfibios se encuentran en el agua fresca 0 se encuentran en latierra cerca de sitios humedos.

5. Si hay fallas en las grandes mas a s rocosas, entonces es posible queocurran terrernotos.

6. Este mimero es mayor que dos 0 e s i gual ados .7. Si 'es un mirnero positivo entonces es mayor que cero.8. Este chico es mi hermano y yo soy su hermana.9. Mi puntuacion e s a lt a 0 r ec ib ir e una c al if ic ac ion baj a.10. Si us ted se da prisa entonces llegara a t iempo.11. Si x> O entonces y=2.12. Si x+y=2entonces z>O.13. x=O 0y= I.14 Si x=l 0 z=2entoncesy>1.15. Si z > 10 entonces x+z>1O y y+z> 10.16. x+y=y+x.

1. EI viento sopla muy fuerte.2 . P ab lo pod ri a g anar f ac ilment e.3. La lluvia puede ser la causa de que abandone 1: 1 carrera.4. Veremos que planes hay para manana.5. Todavia tendriamos tiempo de llegar a las siete.6. El amigo de Juan tiene razon,7. Estabamos confundidos respecto a la hora de la junta.

D. Escribir primero cinco proposiciones atomicas y formar despues cincoproposiciones moleculares.

1J L a fo rm a d e la s p ro po sic io ne s m ole cu la re sB. Formar cuatro proposiciones moleculares utilizando una 0 dos de lasproposiciones escritas a continuacion junto con un terrnino de enlace. Porejemplo, se puede poner el termino de enlace y entre dos de ellas yrambien se puede utilizar la misma proposici6n at6mica mas de una vez .Utilicese cad a uno de los cuatro rerminos de enlace una sola uez, de maneraque cada una de las proposiciones moleculares tenga distinto termino deenlace.

C. Decir cuales son los terminos de enlace en las proposiciones siguientes.Dec ir c uant as p ropo si ci ones a t6mi ca s s e encuent ran en cada p ropo si ci 6n mol e-cular. Recuerdese que ~i ... , entonces es un solo terrniao de enlace.

Las reglas para eI uso de los terminos de enlace son las misrnas, cuales-qui era que s ean la s p ropos ic ione s at or ni ca s que enl azan 0 en las que se hanutilizado. En uno de los ejercicios anteriores se vio que era posible elegiruna 0dos proposiciones atomicas cualesquiera de un grupo y cornbinarlascon un termino de enlace. La forma de l as p ropo si ci ones mol ecul ar es con s-truidas depende del termino de enlace seguido, no del contenido de la pro-posicion 0p ropo si ci ones a to rn ic as . E s dec ir , s i en una p ropo si cion mol ecul arse sustituyen las proposiciones atomicas por otras proposiciones atomicascualesquiera, la forma de la proposicion molecular se conserva. La mismamanera de escribir el terrnino de enlace si ... , entonces ... 10 i nd ic a. Lospuntos suspensivos despues de si y los puntos suspensivos despues deentonces ocupan el lugar de las proposiciones. Para formar proposicionesrnoleculares utilizando este termino de enlace basta simplemente sustituirl os punt as s uspen si vo s por p ropos ic ione s a t6mic as cualesquiera.

Podemos ~arnos cuenta facilmente de la forma de una p ropo sic ionmolecular, no escribiendo las proposiciones atornicas de que consta y soloindicando el lugar que ocupan. Se puede representar la forma de una propos ic ion molecular uri lizando eI terrnino de enlace y de la manera si-


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6 P RIM ER C UR SO DE L 6G IC A M A TEMA TIC Aguiente

----- y -----o bien) y (

Se pueden sustituir los espacios por cualquier proposiclon y la forma es lamisma. Por ejernplo, eligiendo hs proposiciones Es rajo y Es azul yponiendolas en los espac ios s efialados , s e tiene la proposicion molecularE~ ro jo y es azul. Se podrian haber e scog ido o tr as dos proposiciones a to -micas y formar, por ejemplo, 1 2 proposicion Yo soy alto y el es bajo. Laforma permanece la misma . Se t ra ta de una proposicion molecular en la quese util iza el termino de enl ace y. Otra manera de poner de mani fiestola fo rma es encerra r ent re parentes is l as proposiciones atomicas, cuando seha escrito la proposicion molecular como en los ejemplos s iguientes:

(Es r oj o) y (es azul).(Llueve ) y (Pedro se ha mojado) .

Hemos dicho que se pueden Ilenar lo s espacios can proposiciones cuales-quiera, incluso sin limitarnos a proposiciones atomicas. Se pueden tarnbienutilizar proposiciones moleculares y la forma es Ia misma. Por ej emplo, sepuede lIenar el primer espacio con -Ia proposicion molecular Juan no estaaq ti i , y e l s egundo espac io con la proposici6n molecular Andres no es taaqui, La proposicion sera entonces

Juan no esta aqui y Andres no esta aqui,De nuevo, la fo rma es la misma, EI t errni no de enl ace y enlaza dos pro-posiciones, pero en este caso son .proposiciones moleculares.

Tambien se podrfa utilizar una proposicion molecular y una proposicionatomica, como en:

Ju an no esta aqui y Lu is esta aquLLo impor tante e s que cua le squier a que sean las proposiciones con las que sel lenen lo s espacios, la forma es la de un a p roposicion molecular con eItermino de en lace y .

Todo 10 di cho es aplicable a los otros termi nos de enlace. Podemosponet de manifi es to I a fo rma de otros tipos de proposiciones moleculares dela manera siguiente:

Si () 0 ( ).entonces ( ).

Se pueden llenar los espacios con proposiciones cualesquiera, atomicas 0 mo-

rSIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES 7

leculare s. A continuac i6n se dan e jemplos, en a lgunos de los cua le s se usanparentesis para mayor claridad.Maria esta aquf 0 Elena esta en casa.(Juan esrd en Ia dudad) 0 (Marfa no esta en casal.Si 2+3=x entonces x=5.Si (v+ I =4) entonces(v=3).Si (Jose no es infiel) entonces (Juan es fiel),

Algunas veces , en castel lano se u ti li za una sola palabra par a un termino deenlace par ticular, pero otras veces se usan dos 0 mas. Por ejemplo, se puedeu ti li za r 1aUnicapa labra 0 como termino de en lace como en:

Es muy pesado 0 es hueco,o se puede esc ribi r l a misma f ra se a fiad iendo 1a palabra 0 al principiocomo una parte del t errni no de enlace:

o es muy pes ado 0 es hueco.Las do s palabras 0 son partes del mismo t ermino de enl ace. En las p ro-posiciones en castellano algunas veces se uti liza OlH


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8 PRIMER CURSO DE LOCICA MATEMATICA 51MBOLlZACl6N DE PROPOSlClONES 9en la forma:

A la vez ( ) y ( ). No ocurre que (x+y>2).No (x=2+ I).No (7)x+y).or ejemplo, A la vez (x>O) y ( v; cO).

A la ve z x~y y y~z.

).

Evi dentemente, el uso de No ( )> > es inf recuente en el Ienguaje caste-llano, pero se vera mas tarde que es de utilidad su uso en los contextosrnatematicos.

En las proposiciones maternaticas en las que se utiliza el signo igual = ,se indica con frecuencia fa negacion con un t razo inc linado sobre el signoigual: yf. Asi, x~ I se lee x no es igual a 1.

En ninguna de las dos proposiciones x~ 1 y Juan no esta aqul , sepuede utilizar el parentesis para most ra r l a f orma de la proposicion rnolecu-11r ,porque el terrnino de enlace no apa rece den tro de Ia proposicion ato-mica.

En muchos casos en que se u ti li za e l t ermino de enlace si .. ., entonces . .. seincluyen amhas palabras, s in embargo, f recuentemente nos encontramos quese suprime la palabra entonces. Por ejemplo:

Si e s Fe lipe , e s len to .Proposiciones de esta c1ase estan Iormadas por el termino de enlace Sl.. . ,entonces ... y son de l a forma:

Si ), ( E]ERCICIO 2

no ( ).

A. Uti li za r el parentesis para poner de manif iesto la forma de las s iguientesproposiciones moleculares.Ejemplos de esta forma son:

Si x+y=2 y y=O, x=2.Si (x+y=7 y x=6), (1'=I).Si Marfa quiere a Juan, Juan quiere a Marfa.

La logica no es dificil,

1. J u " a n e s . . t ~ aquf y Mar ia ha salido.2. Si x+ 1=10 entonces x=9.3. 0 Maria no esta aqui 0 Juan se ha ido.4. Si x= I 0 y=2 entonces z=3.5. Si x~ I y x+y=2 entonces y=2.6. Si Pedro esta en casa 0 Juan est a en el patio, entonces Jose esinocente.

7. y=O y x=O.8. 0 y=O y x;cO 0 z=2.9. No ocurre que 6= 7.10. No ocurre que si x+O= 10 entonces x= 5.

La palabra no, en cas te ll ano, s e encuen tra muy Erecuen temente den tro delas proposiciones atornicas . Por este motivo es facil olvidar la . Pero una pro-posicion tal como:

es una proposicion molecular puesto que contiene el no. Es posible escribire ste termino de enlace u ti li zando la Er ase no ocurre que. La proposicionse leerfa entonces:

No ocurre que Ia logica sea dificil. B . Escribi r en lenguaje corri en te proposiciones de las I ormas s iguien te s.Suprimir los parentesis al escribir las proposiciones.En tonces es posible pre sentar l a f orma de una proposicion molecular u ti li -

zando el t erm ino de enlace no del sigu iente modo:No ocurre que ( ),

1. 0 ( )0( ).2. ( )0( ).3. A la vez ( ) y ( ).4. ( ) y ( ).5. No ( ).6. Si ( ) entonces ).7. Si ( ), ( ).8. Si no ( ) entonces no ( ).9. No ocurre que ( ).

o mas brevemente:

Ejemplos de esta forma son:No ocurre que (x=O).


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r10 PRIMER aJRSO DE L6GICA MATEMATICA SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES 11 1.4 Simbolizaci6n de proposiciones Sea Q =Los pates son animales de cuatro paras,Generalmente se cree que las proposieiones atorrucas son proposicrones cor -tas, pero tarnbien algunas de las proposiciones at6micas dellenguaje corrienteson largas, resultando po r ello pesadas y de di ficil manejo. En Logica seafronta este problema utilizando simbolos en lugar de las proposiciones corn-pletas.

Los simbolos que usaremos en logica para representar proposiciones , sonletras mayiisculas tales como P, Q , R, S, A, y 8. Porejemplo, sea:

1a proposicion molecular sera entoneesNo (Q).

P=La nieve es profunda.Q= El t iempo es fr io.

EI ul timo simbo lo sustituye sol o a la p ropo sicio n atomica y no inclu ye eltermino de enlace.Se vera mas ade lante que si s e u ti li zan s imbolos para las proposiciones

atomicas es mas facil trabajar con las proposieiones moleculares , que puedenresultar muy largas y complicadas .Los e je rc ic ios que se dan a cont inuacion pueden ser vi r par a adqui ri r

practica en la s imholizaci6n de proposiciones .Conside remos ahora la proposicion La nieve es profunda y e1 t iempo esfr io. Pr imero esc rihi remos la f orma log ica de la proposici6n hac iendo uscde los parentesis: E]ERCICIO 3

(P) y (Q).

A.. ~imholiz~r .Iasproposiciones moleculares siguientes sustituyendo las pro.posicrones atomrcas por letras mayiisculas.(La ni eve es profunda) y (e1 tiempo es frio).

Utilizando P y Q queda simholizada la proposici6n de la manera si-guiente 1. Necesito ponerme las gafas 0 esta luz es debil ,Sea

Supongamos ahora que se desea simbolizar una proposrcion molecularque utiliza el ter rnino de enlace Q)), y se considera la proposicion Se puedeelegir sopa 0 s e puede e legi r ensalada. La simbolizarernos de la manerasiguiente:

Sea

G=Necesito ponerme las gafasL= E st a l uz es debil,entonces la proposicion queda simbolizada en la forma

(G) 0 (L).

(R) 0 (5).

2 . Los pathos no se t ransf orman en c isnes.3. Daba tres pasos hacia la derecha y entonees iba dos pasos haciaadelante.4 . Es tos problemas no son f aci le s para mf.5 . Si suena e l t imbre , entonees es hora de empezar la c la se .6 . Si l a c la se de Qulmica ya ha empezado entonces l lego tar de .7. Una parte de la Luna no se ve desde Ia Tierra.8. 0 Antonio ira al teatro 0 i ra a l c ine.9 . Las rosas son ro ja s y las v io le ta s son ~zu le s.10. Si Brasil esta en Sudamer ica entonces esta en el hemisferio Sur .

R= Se puede ' e legi r sopa5=Se puede elegir ensalada.

y la proposicion quedara s imbolizada por

AI s imboliza r una proposicion que con tiene e l t err nino de en lace no,l a palabra no se pone delan te del s imbolo que sust ituye a la proposicionatomica, aunque ordinar iamente en castellano la palabra no se encuentreden tr o de Ia proposicion at6mica sobre la que acn ia . El term ino de enlace,sin embargo, no es una parte de la proposicion atomica y, por tanto, lapalabra no, debe separ ars e de la proposici6n a to rn ica. Por e je rnplo, s im-bol izar emos la proposici6n Los patos no son anima le s de cua tro para s dela siguiente manera:

B . Tr aduc i: a l l enguaje corr iente las proposiciones s iguien te s en o tra s quetengan Ia r rnsrna .f~rma. (Util izar el mismo termino de enlace' y susti tuir lasletras con proposiciones atomicas.) Especificar cual es la proposicion atornicarepre sentada por cada una de las let ra s.


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12 PRIMER CURSO DE LOCICA MATEMATICA

1. Si (P), entonces (Q)2 . (R ) 0 (5)3 . (P ) y (Q)4. No (E)5. Si ( S), ent onces (8)

6. No (P)7. (R) Y (1)8. (5) 0 (Q)9. No (1)1 0 . S i ( R ) , entonces(S).

C. Cada una de las proposiciones siguientes es molecular. Primero Indicaecuales son el termino 0 t erminos de enlace de cada proposicion . Despuesescribir separadamente las proposiciones at6micas que se encuentran en cadauna de las proposiciones moleculares._ 1. Juan es el segundo y Tomas es el cuarto.2. 0 Jaime es el ganador 0 Luis es el ganador.3. Jose no es el ganador.4. Si Tomas es el ganador entonces e l t endn l la meda lla.5 . S i Tomas no es el ganador entonces debe colocars e en segundolugar.6 . Los Alpes son montaf ia s j6venes y los Appalaches son montafiasviejas.7 . Las a ra fias no son insec tos,8. Si l as a re fi as son insec tos entonces han de tener s ei s patas .

9 . Si un material se cal ienta en tonces se dilata.10. Muchos planetas son 0demasiado calidos para que vivan seres comonosotros 0 demasiado fries para que vivan seres como nosotros.

D. Simbolizar las proposiciones metematices s iguientes susti tuyendo las pro-posiciones atornicas por letras mayusculas. Recuerdese que .,e es la nega-c ion de =.

1. Si x= y entonces x=2.2. Si x;062 entonces r> 1.3. Si x.,e2 0 x;063 entonces x= 1.4. Si x+y=3 entonces y+x=3 .5. Si x-y=~~ entonces y-x~2.6. x+y=2 y y= I.7 x+y+z=2o x+j = 10 .8. Si x;06y y y-;06z entonces X>Z.9. Si x+y>% y z= 1 entonces x+y> l.10. 5i x;06y. entonces x;061y x;062.

1.5 L o s i erm in o s de enlace y sus) s lmbolosAhora que ya sabemos simbol izar p roposiciones a tomicas, e l t raba ja r can

SIMBOUZACION DE PROPOSICIONES 13proposiciones moleculares resulta mucho ma s fadt. Pero tambien se puedenu ti li za r s lmbolos para los m ismos terminos de enlace. S e considerara cadatermino de enlace por sepa rado y s e I e asignara un s imbolo . Tarnbien sedara un nomb re a la p roposici6n molecular que se forme util izando cad auno de los terminos de enlace. Es tos terminos de enlace son tan importan te sque se estudiaran por separado en las secciones s iguientes, revisando algonasde las cuestiones ya analizadas.

Y. La union d e dos proposiciones con la palabra Y.. se denominaconjuncion- de las dos proposiciones . Un e jemplo de una con junci6n es estaproposicion:

Su s o jos son azuIcs y los o jos de su hermano t~mbien son azules.Sea P la proposicion atomica Sus ojos son azules y sea Q Ia proposici6natornica Los ojos de su hermano tambien son azules, Entonces se puedesimbolizar la proposici6n molecular, que es una conjunci6n, por

(P ) y(Q).Una conjunci6n es un tipo de proposicion molecular . La proposid6n molecu-lar e s la con junc i6n de Ia proposici6n at6mica Pyla proposici6n atomka Q.Es tarnbien uti! introducir un simbolo para y, .. Nosotros usaremos el s imboloque se encuent ra en la mayorf a de las maquinas de esc ribi r:

&.Utilizando este s imbolo, se puede escribir la conjuncion de dos proposicionesP y Q de la forma:

(P)&. (Q).Recuerdese que el s lmbolo & susti tuye al ter rnino de enlace completo tantosi se refiere a y como si es a la vez ... y... en lengua castellana.

E]ERCICIO 4A. Simbolizar las proposiciones siguientes, completamente, utilizando el sfrn-bolo Iogico correspondiente para los ter rninos de enlace. Indicar la proposi-cion at6mica que corresponde a cada letra .

1. Juan v ive en nuest ra ca ll e y Pedro en la rnanzana con tigua.2. Los di scos antiguos d e Jose son buenos pero los modernos son to -davia mejores.


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SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES 154 P RI ME R C UR SO DE LOG IC A MA TEMAT IC A

3. Meti6 la nariz y ya saco tajada. .4. El sol desaparece detras de las nubes y en seguida empieza a fe-frescar. . 1.5 . El reac to r se e levaba a nuest ra v ista y dejaba t ra s S 1 una fi na este ablanca.6. Juana t iene t rece a fios y Rosa quince.

7. Jorge es alto y Andy es bajo. .8. La estrell a de mar es un equi nodermo y los enzos de mar son t am-bien equinodermos.9 . Hoy es d la t re in ta y manana se ra primero .10. El juego ~a empezado y llegaremos tarde.

B Terminar la s imbolizad6n de las prapasicianes que siguen susti tuyendoel termina de enlace por el car respondiente s lrnbolo 16gico.

puede parecer un poco rara. Probablemente esto es debida a que en el len-guaje corriente se incluye la pal abra 0 inicial junto con la palabra 0cen tra l. Por e je rnplo, s e podria lee r la proposici6n molecu lar conside radaen la forma:

o esta e s eI aula cuatro a es una aula de Fisica.En ambos casos, las dos proposiciones atornicas son las mismas; p ri -mero, la proposicion Esta es el aula cuatro, y s egundo Es ta es una aula

de Fisica. Es d ecir, no debe incurrirse en el error de incluir l a 0 inicialcomo parte de la primera proposicion. Se trata de una parte del terminode enlace.

E l s imbolo que u ti li za re rnos par a la d is junc ion es: V.

1. (P) y (0)2. A la vez (A) Y (8)3. (H) y (K)

4. A la vez (T) Y (G).5 . (5) y (Q)

En eI ejemplo precedente, si F es l a propos ic ion Esta es el aula cuatro yR es la proposicion Esta es una aula de Fis ica, entonces la disjuncionqueda completamente simbolizada por:

(F) V (R) .c. Traducir al lenguaje corriente las poposlclanes s iguientes. Es decir" sehan de sust itui r l as let ras por proposicianes en lengua cas te ll ana y el sim-bolo logico por el termino de enlace cor respondiente.

Leeremos esta proposicion diciendo (F) 0 (R). y algunas veces tambieno (F) 0 (R) . Recuerdese que eI s imbolo V repre sent a el t err nino de enlacecomple to , t an to s i en la lec tu ra 0 escri tu ra de la proposicion se emplea so loa 0 bien a .. ., 0 .. ..

1. (P) & (Q)2. (R) & (5)3. (T) & (C)

4 . (8) & (H)5. (Q) & (P)

J;:JERCICIO 5D. En l as proposiciones matematicas siguientes, simbolizar solo el terminode enlace y.

A. Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando el sim-bola que corre sponde a cada termino de en lace . Indica r la proposicion at6-mica susti tuida por cada letra .

o

1. x=O Y y=4.2. x~O y x+y=2..3. x-x=O y x+O=x.4.x+y=y+x y x+(y+z)=(x_+y)+z.

La union de dos proposiciones por medio de l a palabradisjuncion de las dos proposiciones . Por ejemplo:

Es ta e s el aula cuatro 0 es una aula de Fisica,I dis] ., d dos praposi ci anes Una disjuncion es una proposi ci ones a Is/unClOn e . . ., .molecular formada por el termina de enlace 0. La proposlclan antes escnra

0 se deno-

1. EI area del triangulo AB C es igual a l a rea del rr iangulo DEF, 0 eIarea del triangulo AB C es menor que el area d el triangulo DEF .

2 . Tomara par te en e l s al to de al tu ra o corre ra media mi li a.3 . 0 tamara parte en la repre sentacion 0ayudara en el vestuario.4. 0 el bote cruzo la barra 0 se lo tragaron las olas.5 . Hemos de l legar a lIi an tes , U otro recibira el ernpleo.6. 0 l a agu ja esta gastada 0 l a g rabaci6n es ma la .7. 0 Juan sed reelegido 0 destinado para un puesto nueva.8. Se puede dar eI vector por medio de dos componentes , 0estamosen tres dimensiones.

mma


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16 P RIM ER CU RSO D E LO GICA M ATEM ATIC A9. Peces con pulmones pueden tomar el oxigeno del aire 0puedentomar el oxfgeno del agua.10. 0 una anemona es un anima l 0 es una planta.

B. Acabar de s imbol izar las proposiciones s iguien te s sus ti tuyendo e l ter -mino de enlace pot su signo correspondiente.

1. (P) 0 (Q)2. 0 (P) 0(Q)3. 0 (R) 0(5)

4. (T) 0 (E)5. 0 (P) 0 (N)

C. Traduci r al l enguaje corr ien te las proposiciones s iguien te s en o tra s de lamisma forma:

I. (P) V (Q)2. (R) V (S)3. (G) V (H)

4. (R) V (Q)5. (A) V (E)

D. Simbolizar las proposicrones rnatematicas s iguientes uti lizando los s irn-bolos & y V, pero conservando los s imbolos rnaternaticos .

1. 0 x=O 0x>O.2. x ;o!O y y~O.3. 0 x>] 0x+y=O.4.0 y=x 0y~x.5. y+x>y+x+z 0 z=O.6. y+z=z+y y o+x=x.

E. Simbolizar las proposiciones matematicas siguientes utilizando & y V ,pero conservando los simbolos maternaticos y los parentesis.

1. 0 (x+y=O y z>O) 0z=O.2. x=O y (y+z>x 0 z=O).3. 0 x~O 0 (x=O y y>O).4.0 (x=y y z=w)o (x


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18 P RIM ER C URSO DE L OC IC A MAT EMA TI CALos terminos de enlace se pueden u ti li za r con una 0mas proposiciones

moleculares, de la misma manera que con las atornicas. Por ejemplo, en laforma S! ( ) entonces ( ) > > , se pueden l lena r los espacios vados conproposiciones atomicas 0 con proposiciones moleculares . Las negaciones secombinan frecuen temente con o tra s proposiciones par a formar una propo-s icion molecular mas larga. Por ~jemplo,

Si un mimero es mayor que 0, entonces no es un nurnero negativees una proposici6n molecular de la forma si . .. , entonces ... en la que elt erm ino de enlace une una proposicion a to rn ica y una negaci6n. La forma, p uede incluir negaciones como en la siguiente disjun-cion:

o el juego no ha empezado 0 el publico no es numeroso.Aqui se tiene una dis junci6n de dos proposiciones moleculares , ambas nega-ciones. Se simboliza esta proposicion de la misma manera que se simbolizanotras proposiciones moleculares . En primer lugar , su forma logica se puedepresentar can mayor claridad poniendo parentesis en la proposicion escrita:

(0 el juego no ha empezado) 0(el publico no es numeroso).E leg ida una let ra mayUscula para cada proposici6n a tomica se expr esa sunegaci 6n poniendo el slmbolo del ante de 13 letra. DeSPUl!S, se enlazan1 1 1 5 dos proposiciones molecu la re s pot e l t ermino de enlace dominan te, queen este caso es e l t ermino de en lace 0 . La proposicion completamente sim-bol izada se presen ta en la fo rma

(-,5) V (-,C).

EJERCICIO 6A. S imbol izar comple tamente las proposiciones sigu ientes , u ti li zando lossimbolos correspondientes a cada termino de enlace. Indicar las proposicionesatomicas sustituidas por cada letra mayUscula.

1. En el hemisferio Sur, Julio no es un mes de verano.2 . Los tubos de noon no son incandescentes.3. No ocurre que a todos 10i ingresos les correspondan impuestos pro-porcionales,

SIMBOLIZACI6N DE PROPOSICIONES 194. Marte no esta t an cercano al So l como la Tier ra .5 . Texas no es el mayor estado en los Estados Unidos,6. No ocurr~ que todos los liquidos hiervan a la misma temperatura7. Jo~n QUincy Adams no fue el segundo Presidente de los E t d .Unidos, s a os8. No todos los gerrnenes son bacterias.9. No ocurre que la ortiga de mar sea una planta10. Luisa no es una persona alta. .

B: Simbolizar las proposiciones siguientes utiIizando el sirnbolodiente para cada terrnino de enlace. correspon-1. No ocurre que (R)2. No(Q)3 . N O(H )

4. No ocurre que (T )5. No (J)

C. En las proposiciones siguientes se utiliza is das e un termino de enlace.Simbolizar cornpletamenre las proposiciones susti tuyendo los rerminos deenlace por los simbolos correspondientes,l.(P) y no (Q)2. No (R) y no (M)3 . (S) 0 no (8)

4.0 no (P)0 no(Q)5 . (T ) y no (R)

~:s P~ime~o se~alar cada ter~i~,o de enlace en las proposiciones que siguen,pues, simbolizar la proposicicn entera sustituyendo P - J.t I - aime es pun-ua y Q=Tom ~ega tarde en las cinco proposiciones .1. 0 Jaime es puntual 0 Tom llega tarde.2. 0 Jaime no es puntual 0 Tom llega tarde.3 . Tom l lega tarde y Jaime no es puntual.4. Tom no l lega tarde y Ja ime no es pun tual5 . J aime no es pun tual y Tom llega tarde. .

E. Identificar cada una d I ..b. die as proposrciones rnoleculares siguientes escri-. len. ,0 a p~l~bra. que denota su forma (por e jemplo , negac ion con-juncion, disjuncion). '

1. .(0) 6 . .(T)2. (P) & (0) 7. (P) V (0)3. .(R) 8. (R) & (T)4. (R)V (5) 9. -.(5)5. (R) & (5) 10. (T) V (0)


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- .

S IM BOL IZ AC IO N D E P RO PO S IC IO N ES 210 .pR IM ER C UR SO D E L OG IC A M AT EM AT IC A

1. No es mediodia y el almuerzo no esta listo.2 . S i no estamos a ll l, entonces per de re rnos nuest ro voto.3 . S i dos mimeros no son iguales , entonces uno es mayor que eI otro.4. Marfa se ha ido 0no esta en su sitio.5. Si es negro , entonces no reflejara la luz.6. x>O 0 x=O.7. Si x+y=z, entonces y+x=z.8. Si x+y=O y x>O, entonces y


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22 P RIM ER C UR SO DE LO CI CA M A TEM AT IC AD. Simbolizar completarnente las proposiciones siguientes, sustituyendo losterminos de enlace por los correspondientes simbolos logicos.

1. Si (P ) entonces (R)2. Si (5) entonces (T)3. Si (Q) entonces (P)

4. Si (P) entonces no (5)5. Si no (5) entonces no (T)

E. I dent ifi ca r l as proposiciones condicionales de ent re las proposicionesque siguen, poniendo una C despues de cada proposicion de esta forma.

1. (P) V -,(Q)2. (P) - -,(Q)3. (R) - (5)4. (T) & (5)5. (T)& -,(5)

6. (T) - (5)7. (R) V (P)8. (R) - (P)9. (Q) - (5)1 0. (R) & (T )

1.6 Agrupamienlo y parentesisHemos vista que es fr ecuen te encon tr ar proposiciones que tienen mas deun termino de enlace. Los terminos de en lace pueden uni r 0 pueden serusados con proposiciones moleculares de la misma forma que con las propo-siciones at6micas. En todos estos caso s uno de lo s terrninos de enlace es eImayor. Po r esto se le denominara dominante porque es eI que acnia sobretoda la proposicion.Recuerdese qu e uno de l os t ipos de proposi cion mol ecul ar era de l aforma:

) & ( ).

Esta es una conjuncion y los espacios se pueden I lenar ya sea con proposicio-nes atomicas 0 moleculares. Pero, si se utilizan proposiciones moleculares,est as a su vez conti en en otros termi nos de enlace; sin embargo, la & semantiene como termino de enlace dominante 0 mayo r. Sea, por ejem-plo, la conjuncion de dos negaciones, como en la proposicion:

An tonio no estudi a en la Universid ad y Ana no estud iaen la Universidad.

oSi se d esign a po r T la proposi cion Ant onio estudi a en la Universidad ypor A la proposicion Ana estudia en la Univers idad, las proposiciones quese colocarian en los par en te si s de la fo rma anterior. s eri an . .. ,T y -,A, y seobtendria. 1

SIMBOUZACION DE PR.OPOSICIONES 23. .Consider ese una con junc i6n cuyo primer miembro sea a su Vel una dis .juncion y cuyo segundo miembro sea una proposici6n a t6mica. EI terminode enlace y enlazara una proposici6n molecular formada utilizando 0"con una proposici6n at6mica.

A la vez, x= 1 0x=2, y y=3.Sea P='x= I' Q-'x-2' y R' 3', .-:- - '. = y = ; entonces la d is jund6n es(P) V (Q).~ la proposlcl6~ atomica es R. Si estas proposiciones se colocanen los espacios corresoondientes de una conjunci6n, el resultado es:

( ( P) V (Q & (R).Esta proposici?n ~n tantos parentesis es diffcil de leer. Para mayor facil idads~ adopta el slgu.lente convenio: una proposiei6n que no contenga &, V ,n t _ , no necesua colocar se ent re paren te si s, En consecuencia ]. '6 . ,en a propoSICI n anterior s e pueden suprimi r los parentesis que encierran la P,. ]Q., resul tando la forma simb6lica siguiente: y a

(P V Q) & (R).y puesto que R. tampoco conti en e n i &, ni V, ni _. la proposici6n sereduce a:

(P V Q) & R.

Se puede ver rapidamente que se t rata de una con junc i6n. EI termino de en-lace y, une dos proposiciones . Una es la proposici6n at6mica R' la otraes una proposici6n molecular, la disjunci6n, P V Q. '

Los par en te si s son los simbolos de puntuac ion de la 16g ica. Mues tr ancomo esta agrupada una proposici6n y, por tanto, seiialan cual es el terminode enlace dom.inante. Un parentesis que encierre P V Q, mues tra que laspar tes estan ligadas c?nstituyendo una proposici6n unica. La proposici6nmolecular se puede unir a alguna otra por medi o de un term i na de enlacede manera andloga a como se uniria una proposici6n at6mica. '

?bservese que en las proposiciones en lengua castellana simbolizadasantenormen te, se logra el mismo objetivo por medio de la coma. Pero,sup6ngase que la proposici6n se leyera

x= 1,0 x=2 y y=3.


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).

SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES 2524 P RIM ER CU RSO D E LO CKA M ATEM A.T IC AEn este caso la coma express que el termino de enlace dominante es 0.Como la forma de la di sjunci6n es

una par te de toda la dis juncion. As! la proposicion (1) se puede simbolizar:(2 ) (W & R) V S.

)V ( )se llenaran los espacios con una proposici6n atomica y una conjuncion:

(P ) V (Q & R) .Por otra parte, si el parentesis se coloea de manera que la & quede fuera,entonces esta dominara y la proposici6n completa se transforma en una con-juncion,

Observese que prescindiendo de los parentesis, las dos proposiciones s imbo-lizadas se presentar ian igual. Por las razones dadas anrer iormente no es ne-cesario el parentesis que encierra la proposicion atornica; por tanto, la pro-posicion en la fo rma fina l e s

(3) W & (R V S).L I o I expresion en castellano s e r l a :(4 ) EI esta equivocado, y 0 yo tengo razon 0 quedare

sorprendido.P V (Q & R) .Cuando se simbolizan proposiciones en lengua castellana, se precisa al-

guna manera de destacar el terrnino de enlace dorninante en Ia proposicion.As! como en Logica e l parentesi s s efi ala siempre de mane ra muy c la ra cua les el terminc de enlace dominante, en las proposiciones escritas en castellanono siempre es tan claro, pues existen diversos rnetodos para indicar la dorni-nancia. Un metodo, s eg iin se ha v is to es el uso de las comas.EI metodo mas c la ro de poner de manif ie sto la dorninancia de un ter-mino de enlace es usar el t ermlno en la fo rma gramat ica l mas completa,ordinar iamente compuesto de dos par tes. una de las cuales se escribe al prin-cipio de la proposicion molecular :

Observese la diferente colocacion de la palabra 0, . en las dos proposiciones(1) y (4). Si 0 se presents ant es de Ia disjuncion domina como en (1) y(2) ; s i se presenta despues de Iadis juncion no domina como en (3) y (4).

Es posible introducir el a la vez acompai iado a l y . Poniendo pa-rente s is con el f in de que sevea la forma claramente, la proposicion (1) ser la:(5) 0 (a Ia vez el esta equivoeado y yo tengo razon] 0

(quedare sorprendido):e s dec ir, e s c1a ramente una d is junc ion simbol izada por la fo rmula (2). Laproposicion (4leon parentesis serla:

A la vez ( ) y (o ( )0 ( ).Si ( ) entonces (

). (6 ) A la vez (el estd equivoeado) y (0 yo tengo razon 0quedare sorprendido),

o (eI esta equivocado y yo tengo razon) 0 (quedaresorprend ido).

que es manifiestamente una proposicion simbolizada por la formula (3l.EI escribir reiteradamente el a la vez y el 0 iniciales , da lugar a un

lenguaje poco elegante, por 1 0 que no se suelen incluir, pero sin duda sepierde en dar idad l6gica. Cuando se uti lizan estos terminos, la primera pala-bra de la proposicion indica ya el t ipo de proposicion logica de que se trata:a Ia vez ind ica que es una con junci6n formada con 3 la Vel y...,. comodominante, 0 indica que es una dis junci6n formada con 0.. .0 " como do-minante, y si ,. indica que es una condicional f ormada con si . .. . e aton-ees... como dominante. Para que la frase en castellano suene mejor sesuprimen a veces las palabras 0, a Ia vez y entonces y Ia proposicionpuede seguir teniendo el mismo significado. Sin embargo. desgraciadamentese suprimen tambien algunas veces que son necesar ias, s iendo entonces im-

For ejemplo, considerese la proposicion:(1) 0 el estd equivoeado y yo tengo razon, 0 quedare

sorprendido.

Poniendo los parentesis se tiene:

Los parentesis sefialan claramente que las palabras ,,0 y 0 envuelvenla conjuncion el esta equivocado y yo tengo razon que es preci samente


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SIMBOUZACION DE PROPOSICIONES 2726 PRIMER CURSO DE LOGICA MATEMATICA

(7) :1 estd equivocado y yo tengo razon 0 quedare sor-prendido.

EI uso cuidadoso y exac to de los parentesis en L6gi ca es muy; impor-tante , pues la proposici6n (P V Q) & R es distinta de la proposicionP V (Q & R).Los parentesis s e requ ier en para ind icar cual e s e 1 termino deenlace dominante en cada proposici6n.

posible decidir cudl es el verdadero significado de la proposici6n. Asi resul-tan casos ambiguos como:

No se puede asegura r s i (7) es una conjunci6n 0 una disjuncion. E]ERCICIO 9

E]ERCICIO 8~: Cada una de la~ p~oposici ones simbolizadas siguientes es una conjun-CIO~, po~ 10que el t errmno de enlace mayor 0 dominante es y. Poner losparentesis adecuadamente para indicar que y. es dominante.

Copiar las proposiciones (1) , (4), (5), (6) y (7), e intentar en cada unade ellas poner los parentesis en di sti ntos si tios. No se puede hacer en (1),(4), (5) y (6), pero se puede hacer en (7). Lo que i ndica que (1), (4), (5)y (6) son clar as con un so lo s igni fi cado, mien tr as que (7) es ambigua portener mas de un significado posible ,Cuando se tienen que traducir proposiciones matematicas en simbolos16gicos , se pueden utilizar los mismos metodos. Por ejemplo, comparenselas proposiciones (8) y (9).

I.PVQ&S2. Q V R &. 53. Q & R V T

4 . P V R & Q5. R & P V T

B. Cada una de las proposiciones s iguien te s e s una disjuncion. Poner losparentesis adecuadamente para indicar que en este caso el termino de enlacedominante es 0,..

(8) A la vez x es mayor que 10 " es menor qu e 1 y xes menor que O.

(9 ) x es mayor que loa la vez x es menor que 1 y xes menor que O.l.PVQ&S2. Q V R & S3. Q & R V T

4. P & Q V R5. P V Q & R

Ambas proposiciones se pueden sirnbolizar poniendo:P=x es mayor que 1Q= x es menor que bR = x es menor que 0 _

C. De ~a~a u.~ade las proposiciones s iguientes se dice si es una conjunci6no ,un.a diS)u~cl0n. Indicar el agrupamiento adecuado de las proposicionesatomtcas poniendo parentesis que seiialen cuaI es el termino de enlace domi-nante.

Sin embargo, (8) se simboliza(10) (P V Q) & R

1. disjunci6n2. conjunci6n3. conjunci6n4. disjunci6n5. disjunci6n

SVT&RTVS&QT&SVRP V Q & TP&QVR(9) se simboliza P V (Q & R) .P6ngase parentes is en las proposiciones en lenguaje corri en te . si son nece-

sarios, para que la forma resulte clara. Observese una vez mas que losparentesis encierran Is proposici6n molecular que no tiene el t erm ino deenlace dominante. E I termino de en lace dominan te queda [uera del paren-tc:sis.

D. Simbolizar las proposiciones s iguientes, indicando el agrupamiento pormedia de parentesis cuando sea necesario.

1. 0 Pedro es pre sidente y Juan es tesore ro , 0Jaime es tesorero.


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p._(Q & R) .

51MBOUZACl6N DE PROPOSlClONES 2928 PRIMER CURSO DE LOGICA MATEMA.TICA2. Pedro es presidente, Y 0 Juan es tesorero, 0 Jaime es tesorero.3. 0 Ram6n es su hermano y Rosa es su hermana 0 Javier e s su her-mano.4. Ram6n es su hermano y 0 Rosa es su hermana 0 Javier es su her -mano.:5 . Jorge es el capitan 0 Jose es el capitan, y Car los es el teniente,

6. A l a vez el resultado es un mime ro primo 0 Marfa esta equivocaday Rafael esta equivocado tambien.

lC6mo se podrla cambiar el ej emplo de manera que c: l tcrmino deenlace y fuera el dominante? En castellano se puede lograr inser tando unacoma:

Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo,y su rey esta sobr e el cuadro ro jo .

S e p ue de, si se desea, evi ta r l a coma uti li zando la palabra a la vez comoparte del termino. de enlace dominante.E . imbol izar las p r o po s ic io n es m a te r na ti ca s siguientes, eligiendo letras ato-micas para sustituir las proposiciones matemdtlcas at6micas.

A la vez si este cuadro es negro e nt on ce s a qu el cuadroes rojo y su rey esta sobre el cuadro rojo.

1. Si x es menor que 2, entonces x es igual a lox es igual a O.2. Si a la Vel x es menor que tres y x es mayor que uno en tonees xes igual ados.

3.y=4 y si x entonces y>6.

Para sefialar que & es el termino de enlace en la proposicion s imbolizada , secambia la posicion del parentesis,

(P-+ Q) & R.E]ERCICIO 10

F. Simbolizar las cinco proposlciones matemdticas de E utilizando los s lm-bolos 16gicos para los terminos de enlace y simbolos matemat icos para lasproposiciones matematicas at6micas.

A. Jun to a cada proposiclon molecular es cri ta a cont lnuac ion, se ha pues toel nombre del t ipo de propos ic ion molecu la r a la que pertenece . Afiad ir losparentesis-necesarios.

p=.Este cuadro es negroQ=Este cuadro es rojoR=S u rey esta sobre el cuadro rojo.

1. condidonal2. condidonalJ. condicional4. condicional5. conjunci6n6. conjunci6n7. disjund6n8. disjuncidn9. disjunci6n10. condicional11. conjuncion12. condicional13. disjund6n14. disjuncion15. condicional

P-+R&SP_Qv RP&Q-+RRVP-+QP-+Q &SR&P_QRVQ-+TQ-P VSP-RV QP-R V QP & Q-TP&Q-TPVT-QQ-R V-.SQ-+ RV-.S

S e considera ahora la proposici6nSi este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo ysu rey esta sobre el cuadro rojo. .

Para simbol iza r esta proposici6n molecular se pone

La proposici6n simbol izada es

La proposlcion es una proposici6n condicional en la que e l consecuente (laproposici6n que sigue a entonces) es una conjunci6n. El termino de dorni-nante es si..., entonces....

B. Simbolizar las proposiciones siguientes, indicando el agrupamiento porparentesis s i es necesar io. Para todas las proposic iones, sea

J = Juan esta en Ia clase 1C= El esta en la c la se de Qufrn icaK= Alva ro esta en la e la se h.


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.( ).

SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES 3 1O P RIM ER C UR SO DE LOG IC A M A TEM AT IC A1. Si Juan esta en Ia e la se 1 ,en tonces Alvaro es ta en la elase } y el estaen la e la se de Qulmica .2. Si 0 Alvaro esta en la e la se 3 0 e l e sta en la e la se de Qulmica, eaton-ces Juan est a en la elase 1.3 . 0 si Juan esta en la elase 1 entonces el esta en la elase de Qulmica, 0Juan no esta en Ia elase 1.

4. 0 Alvaro esta en la elase 3 0 si Jaime est a en l a elase 1 enton cese l e st8 en la elase de Qulmica ,5. A l a vez si Alvaro esta en la elase 3, entonces el estd en 1: 1 elase deQulrnica, y jurn no esta en la elase 1.

i ndicar que 10que se niega es la proposicion molecular completa y no solouna parte de ella. Considerese la proposicion

No ocurr e que a la vez Juan tenga una hermanay el t enga un hermano.

Aqu] se quiere negar la proposicion completa. Es decir , se desea manifes tarque Juan no tiene a la vez un hermano y una hermana. Al s imbolizar estaproposicion , .si s e designa por P la primera proposicion atomica y por Qla segunda proposicion atomica, se tiene:

La negacion de una proposici6n molecular. Hay casos en los que se deseaexpresa r la negac ion de una proposici6n molecu la r entera . Por e jemplo , set ra ta de negar una d is junc i6n como en el caso siguiente: Finalmente, se considera la negaci6n de una condicional,

No ocurre que el libro 0 es rojo 0 es verde. No ocurre que si usted ve un gato negroentonces tendra mala suerte.Sup6ngase que se simboliza esta proposicion poniendo primero P para desig-

nar la primera proposicion a tomics y Q para designar la segunda proposi-cion atomica. La dis junci6n es entonces P V Q. Luego, la forma simbolizadade la negaci6n de una proposici6n es:

SeaP =Usted ve un gato negroQ = Us ted tendra ma la sue rte ,

Simbolizado, este ejemplo se escribira:

Obse rvese e l slmbolo que denota la negac i6n. Recue rdese que se puede ne-gar cua lquier p roposicion , ya sea a t6mica 0 molecu la r. Cua1quier p ropos i -cion se puede negar poniendola primero entre parentesis y luego colocandoel s imbolo de negacion delante del parentesis. Al s imbolizar una proposicionse d eb e t en er en cuenta que e1 s lmbolo para la negaci6n ls e ap li ca a 1apro-posicion completa mas cor ta delante de la que esta colocado.

As], para negar la proposici6n P V Q, se pone ent re parentes is con unsfmbolo de negacion de1ante del parentesis.

.(P-+Q).EI agrupamien to en tre par en te si s mani fi es ta c la ramente que 10 que se hanegado es la proposicion condicional completa y no simplemente el antece-dente, proposicion P.

Quiza la expli caci6 n mas simple para el agrupami en to y el u so de lo sparentesis en Logica es que una proposicion molecular encerrada entre paten-tes is s e pre senta como una proposicion a tomica re spec to a o tros terminosde enlace 0 a o tra s proposiciones con las que puede l igars e. Se trata comouna proposici6n unica, El ter rnino de enlace dominante esta fuera del paren-tesis.

-, (P V Q).

EI agrupamiento entre parentesis indica: (1) que la negaci6n se ref iere a toda1aproposicion ( en este caso una d isjunci6n) - no s610 a la proposicion a t6 -mica mas pr6xima-, y (2) que I anegaci6n es el terminc de enlace dominante.En este caso el ter rnino de enlace no domina al termino de enlace 0.

Se pueden encon tra r e jemplos en los que se n ieguen o tr o t ipo de propo-s iciones rnoleculares. Repetimos que tambien son necesar ios parentesis para

E]ERCICIO 11A. En cada una de las propo sici ones si guientes uno de los sl rnbol os V,-+ 0 & domina. Por tanto, las proposiciones son dis junciones, condiciona,les, y con junc iones a pesar de empezar por una negae i6n. Sup6ngase que sehubiera entendido que las negaciones iniciales dominan, convirt iendo todaslas proposiciones en negac iones. Sin n ingi in cambio mas que la adici6n de


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51MBOUZACl6N DE PROPOSICIONES 3332 PRIMER CURSO DE"L6GICA MATEMATICA

I. -,P V R2.-,R-S3. -,P & T

4. -,p_ Q5. -,R V 56. -,-,Q &-,S

6. Si no su cedi 6 en lunes entonces no es jueves.7. No ocurre que si es jueves ent onces sucedi6 en lunes.8. 0 no es jueves 0 sucedi6 en lunes.9. No es j ueves y sucedi6 en tunes.10. No ocurre que a ]a Vel sucedi6 en Junes yes jueves,

parentesis, convertir cada proposici6n en una negacion.

B . Dar I a negad6n de cada una de las proposiciones s iguien te s a fiad iendoslmbolos de negacion, y parentesis si es necesario.

E. Simbolizar las proposiciones s iguientes tal como indica el ejemplo II con-rinuacion,

~ J. S 7. T --+-,S2. P V T 8. -,N V M3."5 &-,T 9. -,Q --+-,T4. P-R 10. -,S & P5. Q & R I I . P V -,S6 . .. ., R 12. -,Q

1. 0 Juan es eI mas pequefio y Pedro es el mas alto a Pedro es el masbajo y Juan es el mas grande.Ejemplo: Sea P =Juan es el mas pequefio

Q=Pedro es el mas alt oR=Pedro es el mas bajoS=Juan es el mas grande.

C. Junto a cada una de las proposiciones que sigu en , se da el nornbre delt ipo de proposicion molecular a la que per tenece. Anadir los parentesis nece-sarios.

(P & a , Y (R & S).

D. Simbolizar Ias proposiciones s iguientes, indicando el agrupamientomedio de parentesis.s e a

por

2. Si una sustancia organics se descompone, entonces sus componentess e t ransf orman en abono y f ert il iz an e l suelo,

3. 0 yo estoy equivocado, 0 l a p regunta mimero uno es c ie rt a y Ia pre -gunta mirnero dos es falsa.4. A la vez yo estoy equivocado 0 Ia pregunta mimero uno es cierta, yla pregunta mirnero dos es f al sa .

5 . 0 yo estoy equivocado y la pregunta niirnero uno es cierta 0la pte-gunta numero dos es falsa.

6. No ocurre que, a Ia vez Juana sea su hermana y Rosa sea su her -mana.

7 . Juana no es su hermana y Rosa es su hermana .B. Si s e conoce el perfodo del movim iento de Ia Luna y se sabe la dis-tancia de Ia Tierra a Ia Luna, entonces se puede calcular la acelera-c ion cen tr lpeta de la Luna.

9 . 0 sus debere s e stan terminados, 0 s i no estan term inados tendr aque hacerlos por la noche.

10. No todas las regiones de Afr ica t ienen un dima cal ido y hiirnedo yno t oda el Africa ecuatori al es una tierra de vegetacion espesa yexuberante.

11. Si son las diez entonces l a sesio n de la Asamblea General ha em-pezado, y ahora el reloj sef iala las diez.

12. No ocurre que, 0 estrellas muy lejanas presentan paralaje 0 apa-recen en el telescopio como discos.

1. negacion2. condicional3. conjuncion4. negacion5. condicional6. negaci6n7. disjunci6n8. negacidn9. conjuncion10. negacion

-,P -+R- ,P --+R-,P &-,R-,R & T-,p --+-,Q. . . ,p _ . . . , Q-,Q Y... ,R-,T V S-,S &-,Q- ,R --+S

p=Es juevesQ=Sucedio en lunes,

1. 0 no es jueves 0 no suced i6 en lunes ,2 . Si no ocurre que suced io en lunes, entonces es jueves.3. No ocurre que 0 es jueves 0 que sucedi6 en lunes .4. No sucedi6 en l unes y es jueves.'5 No ocurre cue a la vez es jueves y que sucedi6 en lunes .


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-+ y= 2& y= z& y 3& y> 5& y> 3

34 P RIM ER C UR SO DE L oG IC A M A TEM AT IC A13. S i e ste mine ra l no es duro, entonces no es ta compuesto de c ri st ales

de cuarzo.1 4. Si es despues de las cinco, en tonces la puerta esta cerrada y yo no

tengo la llave.1 5. Si es despues de las ci nco ent onces la puert a esta cerrada y ade-

mas, yo no tengo la l lave .f. En cada una de las proposiciones matemdticas s iguientes se indica el tipode proposici6n molecu la r que debe entende rs e. Pone r los parentes is nece -sarios.

1. condicional X= O V x=12. disjunci6n x= O V x O3. conjunci6n x=1 V xl4. condicional x= y -+ y z5. conjunci6n x= y V x= z6. condicional x= y & y= z7. condicional x> y & y> z

1 .7 Eliminaci6n de algunos parentesis

-+ x= z-+ x> z

Adoptando algunas reglas s imples acerca de la potencia de los terminos deenlace, se pueden e1imina r a lgunos de los par en te si s en las proposicionessimbolizadas: REGLA JEI -+ es mas potente que los otros terml nos de enlace.,

Utilizando l a regia I, en vez de

(P & Q) -+ Rse puede escribir simplemente

p&Q-+RTambien , en vez de

P -+ (Q V R)se puede escribir P-+Q V R.

Po r otra parte, si se ti ene(P -+ Q) V R,

SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES 35no se puede el iminar el parentesis, pues es necesario para indi car que V esel terrnino de enlace dominan te . Tambien , s i una proposicion t iene dos con-dicionales, se tiene que utilizar el parenresis para indicar cual es dominante.As], la proposici6n

A -+ (8 -+ C)t iene significado dis tinto de

(A -+ 8) -+ C.

La segunda regIa es tan natural que se h a h echo uso de ella sin haberlaenunciado explicitamente.

REGLA 2

EI signo de negaci6n ..., es mas debit que cualquiera de los otros tresterminos de enlace.

Ut ilizando Ia regIa 2, en vez d e

(-,P) & Qse escribe -,P & Q,0, en vez de P V (-,Q)se escribe P V -,Q,0, en vez de

(oP) -+ (oQ)se puede escribir: -,P -+ -,Q.Pero e 1 parentesis es necesario en

-,(P & Q).

F inalmente, puesto que & y V son igualmente fuer te s, cuando se pre sentanambos en una proposicion se t ienen que poner siempre 105par en te si s paraind icar cual e s e l t erm ino de en lace dominante. Ad, e l s igni fi cado de:


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36 PRIMER CURSO DE LOGICA MATEMATICAp V Q & R

no es claro; pues(P V Q) & R

es una conjunci6n, y P V (Q & R)es una disjuncion.

E]ERCICIO 12A. Junto a cada una de l as proposiciones siguientes se indica el t!~ deproposicion molecular al que per tenece, Utili :an~o las reg~asd.e p~,or ldadestablecidas sobre la potencia de los s imbolos, afiadir los parentesis solo don-de sean necesarios.

1. condicional2. disjunci6n3. conjuncion4. negacion5. condicional6. negacion7. conjuncion8_ disjunci6n9_ negaci6n10. conjunci6n

p-+QVRp V Q &RR-+S&T-,R & 5P V Q -+IR-,p -+ QA&B-+CM-+NVP-,p V -,Q-,A V -,B & IC

B. Jun to a cada una de las proposiciones ma te rnat icas s iguien te s s e ind icae l t ipo de proposici6n molecu la r a l que pertenecen_ Uti li zan~o las reg!a s ~eprior idad establecidas sobre la potencia de los s lmbolos, afiadir los parentesiss610 donde sean necesarios.

1. conjunci6n x~ O V x>y & y= z2. condicional x= O -+ x> y & y~z;3. disjunci6n x~ O V x~ O & y=z4. condicional x>y & y> z -+ x>z;5. disjuncion x= O V x> O -+ )1=06. conjuncion x=y & y=z V x= z7. condicional x=y & y=z -+ x=z;8. conjunci6n x= y V x=z & y~ z

C. Simbolizar las proposiciones del Ejercicio 11, Secci6n E , utilizandoparentesis s610 donde sean necesarios.

SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES 37 1.8 ResumenPara poder s imbolizar proposiciones en Logica es preciso saber dis tinguir laspartes logicas de estas p-oposiciones. Una proposicion molecular esta for-mada por una proposicion a to rn ica mas un terr nino de enlace, por 10menos .Una proposicion atomica es aquella que no posee ningiin ter rnino de enlace.Terrninos de enlace de proposiciones (0 simplemente terminos de enlace)es el nombre que en Logica se d a a t errnin os t al es como a la vez ... y ... .~o... 0..., si... entonces . . . y no que se utilizan para formar proposicionesrnoleculares a partir de proposiciones atomicas.De los cuatro terminos de enlace indicados , y.0. y si...entonces ...ligan 0 acnian sobre dos proposiciones a la vez, mientras que el terrnino deenlace no acnia solo sobre una. Una proposicion molecular formada utili-zando el termino de enlace y es una conjuncion, una proposicion molecu-lar forrnada utilizando el terrnino de enlace 0 es una disjuncion, una pro-posicion molecular formada utilizando el terrnino de enlace no es unanegacion, y una proposicion molecular formada utilizando el rerrnino deenlace si... entonces ... es una proposicion condicional.

Es convenien te en Logica utilizar unos simbolos para proposiciones yotros para terrninos de enlace. Pa ra proposiciones a t6micas s e usan letrasmayiisculas tales como P, Q, R, 5 , y asf sucesivamente. Puestoque los terr ninos de enlace determinan la fo rma de una proposicion en Lo-gica, s e puede sust itui r cada proposicion atomics por otra cualquiera y laforma se conserva. Por ejemplo, en la proposici6n P & Q se pueden susri-tuir P y Q por propos.iciones escritas cualesquiera, Los simbolos utilizadospara los terminos de enlace, por otra par te , per rnanecen siempre los mismos;y son: & para conjunci6n, V para disjuncion, -, para negacion, y _para la condicion,

En proposici ones que tiene mas d e un terrnino de enl ace es preciseind ica r la mane ra de agrupa rs e, pues d ist in ta s agr upac iones pueden tenerdis tintos s ignificados. En lengua castellana, las agrupaciones se presentan deacuerdo con la colocaci6n de ciertas palabras, 0 mediante la puntuaci6n. EnLogica la agrupacion se expresa por parentesis. La conjuncion (P V Q) & Rt iene d is tinto sign ifi cado que la d is junc i6n P V (Q & R), a pesar de tenerlas mismas proposiciones atomicas y los mismos terminos de enlace. Se nece-sit an l os parentesi s para indicar cu ando un termi no de enlace domina laproposicion, s i no es el t erm ino de enlace mas fue rte en la proposicion, Noes eI mas debil; despues siguen y y 0 que ti enen la misma pot enci a; ysi... entonces ... es el mas fuerte. S in embargo, cada ter rnino de enlace puededorninar, si 10 indica el parentesis.

Con estos s lmbolos como instrumentos estamos ahora preparados paraexpresar de manera clara y precisa el significado de las proposiciones, salvoa lgunas , que se pre sentan den tro de la parte de la Logica forma l e lementalconocida por L6gica proposicionaI.


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E]ERCICIO 13SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES 3 98 PRIMER CURSO DE L6GICA MATEMATICA

Ejerc ic ios de repaso5. Si la tribu fuera n6mada, entonces no construiria chozas perrna-

nentes.

A. Poner una A despues de cada proposicion at6mica y una M des-pues de cad a proposici6n molecular. Despues de cada proposici6n moleculare sc ri bi r el terrnino de enlace utilizado en aquella proposici6n.

E. Sirnbolizar las proposiciones siguientes, utilizando los siguienres simbo-los para las proposiciones atornicas:

1. El tiempo atrnosferico cs la s ituacion de la atmosfera en un momen-to particular y el c1ima es la variacion de la situacion del tiempoatrnosferico en un periodo largo de tiempo.

2. Las bacterias en el agua 0 se destruyen hirviendo el agua 0 s e des -t ruyen por cIorizaci6n .

3. Este libro tiene mas paginas que ague! otro.4. Si la sentencia es contra eI defensor, entonces el npelara el caso.5. !I reconocio la obra como de un poeta ingles del siglo diecinueve.6. La guer ra no puede exp li car se tot al rn cn te por una c au sa.7. Un elernento tiene propiedades fisicas y tiene propiedades quimicas.8. Sornos capaces de hacer todos los ejercicios de esta pagiria.9_ No somos capaces de hacer todos los ejercicios de esta pagina.10. Si dos 0 mas elementos se unen quimicamente para formar una

nueva sustancia, entonces el producto se denomina un compuesto.11. Las proposiciones moleculares contienen rerminos de enlace.12. Este problema no es correcto.13. Rosa es menor de edad y su hermano es mayor de edad.14. No se puede terminar el reportaje: hoy.15. Neces itaremos ayuda 0 tardaremos dos dias en completar el repor-

taje.

p =Luis ha venido demasiado tardeQ=Juan ha venido demasiado prontoR =El Sr. Perez esta enfadado.

,B. Escribir cuatro proposicrones que tengan tcrminos de enlace. Utilizardis/into termino de enlace en cada una de ellas.

1. Si Luis ha venido demasiado tarde y Juan demasiado pronto, en-t on ce s e l S r. P er ez esta enfadado.

2. Si 0 Luis ha venido demasiado tarde 0 Juan ha venido demasiadopronto, entonces el Sr. Pe re z e st a enf adado.

3. Si Luis ha venido demasiado tarde y Juan no ha venido dernasiadopronto, entonces el Sr. Perez no esta enfadado.4. Si el Sr. Perez esta enfadado, entonces Luis ha venido demasiado

tarde 0Ju an ha ven ido demasi ado p ron to .5. EI Sr. Perez esta enfadado, y Luis ha venido demasiado tarde y

Juan ha venido demasiado pronto.6. Si eI Sr. Perez no esta enfadado, entonces Luis no ha venido derna-

s iado tarde .7. 0 Luis ha veni do demasi ado t ar de 0 Juan ha venido demasiadopronto.8. Si Juan no ha venido demasiado pronto 0Lui s ha veni do demasi ado

t ard e, en tonc es e l S r. P ere z es ta enf adado .9. 'EI Sr. Perez esta enfadado y 0 Luis ha venido demasiado tarde 0Juan ha venido demasiado pronto. .

10. Juan ha venido dernasiado pronto, y si Luis ha venido demasiadotarde, entonces el Sr. Perez esta enfadado.

11. No ocurre que, Luis ha venido demasiado tarde y Juan ha venidodemasiado pronto.

12. Si Luis no ha venido demasiado tarde y Juan ha venido dernasiadopronto, entonces el Sr. Perez no est a enfadado.

C. Escribi r cuatro proposiciones a t6micas.D. SimboIizar las proposiciones s iguientes, indicando cual es la proposiciona t6mi ca simbol iz ada por c ada una de l as l et ra s mayi is cu la s.

1. Si son mas de las seis, entonces la asamblea ha empezado.2.0 mi reloj va malo lIegaremos tarde.3. Si las celulas de la planta no tienen cIorofila, entonces no puedcn

s in te tizar los a limentos .4. La piedra arenosa se produce por medio de capas de arena endure-cida y la piedra caliza se produce por las conchas de pequefios ani-male s en eI mar.

F. Cornpletar la traducci6n de las siguientes proposiciones moleculares ens imbo lo s 16g ico s, s us ti tuyendo l as p al ab ra s que co rr es ponden a l os t er rn inosde enl ac e par su s cor re spondi en te s s imbol os .

1. Si P entonces Q2_ 0 P 0Q3. Si 0 P 0 Q ent onces no R4.0 no P 0 no Q


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40 PRIMER, CURSO DE LOCICA MATEMATICA5.0 P y Q 0 ~ y S6. No ocu rr e que, a la vez P y Q7. No ocurre que 0 P 0 Q8. Si no P entonces no Q y R9. No ocurre que, si P entonces Q10 . No ocurre que, a la vez P y no P1 1 . P Y 0Q 0 R12.0 P Y Q 0 R13 . P Y si Q, entonces no R

G. Aparear cada una de las palabras de la izquierda can los ejemplos adefin ic iones en la l ista de la derecha .

1. disjuncion2. negacion). proposici6n condicional4. proposici6n molecular5. antecedente6. consecuente7 . conjuncion8. proposid6n atomica

(a) P -4Q(b) -,(P & Q)(c) p V Q(d) Q en la proposici6n P ~ Q(e) -,p(f) P en la proposici6n P -4Q(g) P & Q(h) ..,p V -,Q(i] Cualquier proposici6n can un ter-

mino de enlace(j) Cualquier proposicion sin terrninos

de enlace.

H. Simbolizar las siguientes proposiciones matematicas eligiendo letras rna-yusculas para susti tu ir las proposiciones matematicas,a t6micas e indicar laproposicion a tomica a la que susti tuye cada una .

1. x es mayor que c inco.2. Cuatro no es un mirnero impar.3. x es igual a tres 0 x e s mayor que sei s.4. No ocurre que si x es un mim ero impar entonces x es divisiblepor dos. .5. Si x mas cuatro es siete e y mas x es ocho en tonc es Ye s cinco

6. Si x es menor que c inco 0wayor que sie te entonees no es igual a seis.I. Simboliza r las proposiciones rna tematicas (3) , (5) y (6) de H uti lizandolos simbolos logicos para los terminos de enlace y los simbolos matematicosrlpicos para las proposiciones atomicas.J. Traducir las siguientes proposiciones logicas (formulas) en lengua caste-

SIMBOUZACI6N DE PROPOSICIONES 41lIa?a.. Primero elegir una proposici6n a tomica en caste llano para eada Ietraatormca, y luego escribir la proposicion completa en castellano.

I . S2. P v.Q3 . (R ~ S)4. x


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42 P RIM ER C UR SO DE L 6G IC A M A TEM AT IC Ad. Marfa ha venido demasiado tarde y Juan ha venido demasiado pronto,y el Sr. Perez esta enfadado. ..e. Si el Sr. Pe rez no esta enfadado , en tonces Juan no ha ven ido dema-siado pronto y Marfa no ha venido demasiado tarde. . .

f. 0 Maria no ha ven ido demasiado tar de 0 Juan ha venido demasladopronto. .g . Si Marf a no ha ven ido demas iado tarde y Ju an no ha venido dema-s iado pronto, entonces e l S r. Pe rez no es ta enfadado .

nr. DejinicionesCompletar las proposiciones siguientes eligiendo de entre las palabras escritasa l final l a que es ta definida por la proposici6n dada.

3. La proposicion molecular que ut iliza el termino de enlace y esuna .b . La proposici6n molecu la r que u ti li za e1 terrnino de enlace no esuna .c . La combinac i6n de una 0 mas proposiciones at6micas con un terminode enlace de proposiciones se denomina .

d . En L6gica , una proposici6n comple ta que no t iene term ino de enlacese denomina .

e . La proposici6n molecu la r que u ti li za e l t ermino de enlace si . .. en-tonces se denomina una .

f. La proposici6n s ituada antes del t ermino de enlace en una propos i -ci6n condicional se denomina .

g. La proposici6n situada despues del termino de e~lace en una proposi-ci6n condicional se denomina .

h . La proposici6n molecu la r que u ti li za el t ermino de enlace 0 esuna

antecedenteat6micaproposici6n molecularcondicional

IV. U s o d el p a re n te si s

conjunci6nconsecuentedisjunci6nnegaci6n

En algunas de las proposiciones s iguientes son necesar ios parentesis para quecorrespondan a las proposiciones moleculares indicadas en la izquierda. Ponerlos parentesis en los lugares cor respondientes cuando sean necesar ios.

a. conjunci6n P V Q & Rb. negaci6n ...,p & Q

SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES 4}c. conjunci6n . . . , p &Qd. condicional P&Q~Re. negacion . . . . , p V....,Rf. disjunci6n P~Q V Rg. condicional . . . . , p ~-,Rh. disjunci6n P V Q &R1. negaci6n -,P~Qj. conjunci6n P&Q~R

V. Simbolizacion de proposiciones con parentesisSef ialar el ter rnino de enlace dominante en las proposiciones s iguientes. In-d icar despues c6mo se rla la proposici6n en s imbolos log icos y a fiad ir losparentesis donde sean necesarios.

a. No ocurre que, 0 Jaime es el mas alto 0 Juan es el mas alto.b. Tomas no es nuestro representante y Jose no es nuest ro cap itan .c . Obetaesta antes quegammay etas -e sta antes que theta 0 yono se griego.

d . Antonio se marcha ahora y 0 yo ire con el 0 Pedro ira con el .e . Si e l bai le empieza a las s ei s, entonces nosot ros l lega remos pronto yPilar Ilegara tarde.

1. simbolizaciÓn de proposiciones

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