logaritmos 2009
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LOGARITMOS
LOGARITMOS EN BASE 10
También llamados logaritmos decimales o vulgares.
Se suelen representar poniendo el logaritmo sin la base:
log x = log10 x
LOGARITMOS NATURALES
Al igual que = 3,14159... es un número importante dentro de las matemáticas, existe otro número muy importante, el número e cuyo valor es 2,71828182845904523536...
Los logaritmos en base e reciben el nombre de logaritmos naturales o neperianos. Se suelen representar poniendo el símbolo ln:
ln x = loge x
DEFINICIÓN # 1
El logaritmo de un número n en base a se define como el número al que hay que elevar a para obtener el número n.
loga n = x ax = n
Ejemplos:
El logaritmo es, por tanto, la operación inversa a la potencia, igual que la división es la operación inversa de la multiplicación.
DEFINICIÓN # 2
Se denomina logaritmo en base a del número an , al exponente n de la base a. Se escribe como:
log a an = n
Donde: a > 0
Ejemplos:
log2 16 = log2 24 = 4
log4 16 = log4 42 = 2
log16 16 = log16 161 = 1
log3 9 = log3 32 = 2
log10 100 = log10 102 = 2
log2 1/4 = log2 4-1 = log2 22(-1) = log2 2-2 = -2
log3 1/81 = log3 81-1 = log3 34(-1) = log3 3-4 = -4
CAMBIO DE BASE
CONCLUSIÓN: El cambio de base permite obtener rápidamente un
resultado con ayuda de la calculadora científica
log2 5 → ??Pero si……
log 5
log 2≈ 2.32
ln 5
ln 2≈ 2.32
Logaritmo de 1
log2 1 = log2 20 = 0
log4 1 = log4 40 = 0
log20 1 = log20 200 = 0
CONCLUSIÓN: El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a cero
a0=1
Logaritmo de 0
log2 0 = log2 ? → NO EXISTE
log4 0 = log4 ?
CONCLUSIÓN: El logaritmo de 0 NO EXISTE , pues a?≠ 0
→ NO EXISTE
EJERCICIOS:
Expresar el número 6 como un logaritmo de base 2
6=log2 ….. 6= log2 26 ó 6= log2 64
Expresar el número 2 como un logaritmo de base 12
2=log12 ….. 2= log12 122 ó 2= log12 144
EJERCICIOS:
Aplique logaritmos para llenar la tabla mostrada:
OTRAS PROPIEDADES
Los logaritmos tienen la propiedad de convertir las multiplicaciones en sumas, las divisiones en restas, las potencias en multiplicaciones y la raíces en divisiones.
EJERCICIOS:
yxa23log
yx
yxyx
aaa
aaaa
loglog23log
loglog3log3log 22
Desarrollar la expresión:
2
4log
y
xaDesarrollar la expresión:
yx
yxy
x
aaa
aaaa
log2log4log
loglog4log4
log 22
EJERCICIOS:
zyx
zyx
zyxz
yx
aaaa
aaaa
aaaaa
log2
1loglog33log
logloglog33log
logloglog3log3
log
2
1
33
Desarrollar la expresión: z
yxa
33log
EJERCICIOS:
dcb aaa loglog2log Agrupar en un solo logaritmo la expresión:
d
bc
dbc
dcb
a
aa
aaa
2
2
2
log
loglog
logloglog
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
7loglog x7x UNICIDAD
* Determinar el valor de X
3log x
3
3log
3log
10
1010
101010
x
x
x
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
* Determinar el valor de X
16loglog2 xx
* Determinar el valor de X
15log2log x
APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS
DECIBELIOS (DECIBELES)
ESCALA DE RICHTER (TERREMOTOS)
NIVELES DE PH
ESCALAS (LOGARITMICAS)
1.- DECIBELIO (dB)
Es una magnitud profusamente utilizada en Telecomunicaciones.
Expresa la relación entre dos cantidades homogéneas en forma logarítmica
Equivale a la décima parte del Bel, puesto que esta resulta ser demasiado grande para las magnitudes normalmente utilizadas
Preguntas y Conclusiones
¿Que pasa cuando la potencia de salida es el doble que la de entrada?
¿Que pasa cuando la potencia de salida es el igual que la de entrada?
¿Que pasa cuando la potencia de salida es la mitad que la de entrada?
Resultado positivo indica ganancia. Resultado negativo indica pérdidas.
Gp=3dB
Gp=0dB
Gp=-3dB
Ejercicios:
En cierto equipo, se especifica que la ganancia de potencia es de 40dB. Esto implica que si a la entrada aplicamos 4mW, en la salida obtendremos?
Mediante cables, desde un punto A se transmite 120V hasta un punto B. Si al medir el voltaje en el punto B, se obtienen 108V; determine la atenuación por concepto del cable.
RELACIÓN ENTRE VOLTAJES Y CORRIENTES
La relación en dB entre las señales en el punto 1 y punto 2 puede darse tanto como relación de potencias, como relación de tensiones o corrientes.
RELACIONES
COMPARACIÓN ENTRE MAGNITUDES
SISTEMA LINEAL: La ganancia, es la proporción entre la tensión de salida y de entrada.
La ganancia total entre varias etapas, es el producto entre ellas:
Vi
VoV
.......** 21 VVVT
CIRCUITOS AMPLIFICADORES DE VOLTAJE
COMPARACIÓN ENTRE MAGNITUDES
SISTEMA LOGARÍTMICO: La ganancia, se expresa:
La ganancia total entre varias etapas, es la suma entre ellas:
dBVGv log20
dBGvGvGvT ...21
CIRCUITOS AMPLIFICADORES DE VOLTAJE
Ejercicio:
Dos bloques amplificadores se encuentran conectados en cascada. Calcular:
* La ganancia total magnitud lineal y logarítmica (dB)
* Calcular el voltaje Vo
Ejercicios:
Las características de cierto cable indican que atenúa la señal de voltaje a razón de 4dB/km. Entonces, si en un punto B se han medido 108V y la distancia entre la señal original y el punto B es de 650m. Cuántos voltios tiene la señal original?
Ejercicio (deber):
Tres bloques amplificadores están conectados en cascada. Calcular:
* GT y ΔV2
* Calcular el voltaje Vi y el voltaje en el punto x
Ejercicio (deber):
Para el siguiente circuito, considere que:Atenuación total en el cable: 5dBPérdidas en el elemento Z: 4dBGanancia del amplificador G: 40dBTensión en el punto A: 0.048mV
** Calcular la tensión en el punto C
3.- TERREMOTOS (ESCALA RICHTER)
La fuerza de un terremoto medida por la escala Richter está dada por la expresión:
R = log E/Io
donde E es la intensidad de las vibraciones del terremoto medido y Io es la intensidad de la unidad
de un terremoto estándar. La escala Richter es una medida
comparativa.
Magnitud / Efectos
Ejercicio:
El 14 de mayo de 1995, el Servicio de Información Nacional de Terremotos de los Estados Unidos informó un terremoto en el sur de California que midió 3.0 en la escala Richter, pero pocas personas se dieron cuenta de esto.Anteriormente, ese mismo año, el 17 de enero, un terremoto en Kobe, Japón, dejó 2000 muertos y billones de dólares en daños. Éste midió 7.2 en la escala Richter.¿Cuán más severo fue el terremoto de Kobe, que el del sur de California?
Respuesta y conclusión
El terremoto de Kobe tuvo una intensidad de 15,849 veces mayor que el terremoto de California.
Debido a que la escala Richter es una escala logarítmica, las diferencias pequeñas en los valores Richter (7.2 a 3.0, por ejemplo) se traducen en diferencias enormes en la intensidad de los terremotos.
Ejercicio (deber):
El terremoto de San Francisco en el año 1989, registró una magnitud de 6.9 en la escala Richter. El número de víctimas fatales fue de 62. En el año 1906, en esta misma ciudad, ocurrió un terremoto que midió 8.3 en la escala Richter. La cantidad de víctimas fatales fue de 503.
¿ Cuán más poderoso (intenso) fue el terremoto del año 1906, que el del año 1989?
Ejercicio (deber):
Suponga que un terremoto en la ciudad de Los Ángeles es la mitad de poderoso que el terremoto del año 2005 en Indonesia, el cuál midió 8.7 en la escala Richter.
¿Cuál hubiera sido la medida del terremoto de Los Ángeles en la escala Richter?
4.- ESCALAS LOGARÍTMICAS
Son utilizadas mayoritariamente para mostrar gráficamente fenómenos exponenciales, logarítmicos y potenciales; debido a que en una escala aritmética, no es posible ubicar valores demasiado grandes.
Las escalas logarítmicas típicamente son en base 10, pero es posible hacerlas de cualquier base.
Elaboración de escalas logarítmicas
Designar el espacio (cm) en la hoja donde se va a dibujar la escala logarítmica.
Establecer la base del logaritmo, y realizar cálculos básicos según el número de escalas. Por ejemplo:
Base 10: log 1…..log 10…..log 100…..log 1000
Base 4: log 1…..log 4…….log 16……log 64
Trazar proporcionalmente la escala con respecto al espacio destinado en la hoja.
Elaboración de escalas logarítmicas
BASE 10
BASE 4
TIPOS DE PAPEL
Si utilizamos un eje de coordenadas en escala logarítmica y en el otro eje una escala aritmética se dice que estamos en presencia de un papel semilogarítmico (logarítmico simple ó semi-log).
Si en ambos ejes utilizamos escalas logarítmicas, se trata de un papel logarítmico (logarítmico doble ó log-log)