potencias y logaritmos

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I Tabla de Contenidos Introducción ……………………………………………………………………………...1 Capítulo 1 Leyes de los exponentes.. ……………………………………………………..3 Definición de potencias enteras..........................3 Potencias con exponentes enteros y positivos. .........3 Ejemplos............................................... 4 Potencias con exponentes enteros y negativos. .........4 Ejemplos. ……………………….……………………………………………………4 Potencias con exponentes fraccionarios.................5 Ejemplos. ............................................. 5 Potencias con exponentes fraccionarios.................6 Propiedades de los exponentes............................6 Potencias de igual base. ............................6 Ejemplos. ............................................. 6 Productos de potencia con la misma base. ..............6 Ejemplos. ............................................. 6 Cocientes de potencias con la misma base. .............7 Ejemplos. ............................................. 7 Potencia de una potencia. .............................8 Ejemplos. ............................................. 8 Potencia de un producto................................9 Ejemplos. ............................................. 9 Potencia de un cociente. ..............................9 Ejemplos. ............................................. 9 Raíz enésima de un producto. .........................10 Ejemplos. ............................................ 10 Raíz enésima de un cociente. .........................10 Ejemplos. ............................................ 11 Capítulo 2 Leyes de los logaritmos......................12 Definición..............................................12 Propiedades de los logaritmos...........................13 Logaritmo de un producto. ............................13 Ejemplos. ............................................ 13 Logaritmo de un cociente. ............................13 Ejemplos. ............................................ 13 Logaritmo de una potencia. ...........................14 Ejemplos. ............................................ 14

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propiedades de las potencias y logaritmos

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Page 1: Potencias y Logaritmos

I

Tabla de ContenidosIntroducción ……………………………………………………………………………...1Capítulo 1 Leyes de los exponentes.. ……………………………………………………..3

Definición de potencias enteras.......................................................................................3Potencias con exponentes enteros y positivos. ...........................................................3Ejemplos......................................................................................................................4Potencias con exponentes enteros y negativos. ..........................................................4

Ejemplos. ……………………….……………………………………………………4Potencias con exponentes fraccionarios......................................................................5Ejemplos. ....................................................................................................................5Potencias con exponentes fraccionarios......................................................................6

Propiedades de los exponentes........................................................................................6Potencias de igual base. ............................................................................................6Ejemplos. ....................................................................................................................6Productos de potencia con la misma base. ..................................................................6Ejemplos. ....................................................................................................................6Cocientes de potencias con la misma base. ................................................................7Ejemplos. ....................................................................................................................7Potencia de una potencia. ...........................................................................................8Ejemplos. ....................................................................................................................8Potencia de un producto...............................................................................................9Ejemplos. ....................................................................................................................9Potencia de un cociente. .............................................................................................9Ejemplos. ....................................................................................................................9Raíz enésima de un producto. ...................................................................................10Ejemplos. ..................................................................................................................10Raíz enésima de un cociente. ....................................................................................10Ejemplos. ..................................................................................................................11

Capítulo 2 Leyes de los logaritmos..................................................................................12Definición......................................................................................................................12Propiedades de los logaritmos.......................................................................................13

Logaritmo de un producto. .......................................................................................13Ejemplos. ..................................................................................................................13Logaritmo de un cociente. ........................................................................................13Ejemplos. ..................................................................................................................13Logaritmo de una potencia. ......................................................................................14Ejemplos. ..................................................................................................................14Logaritmo de una raíz. ..............................................................................................14Ejemplos. ..................................................................................................................14

Conclusiones......................................................................................................................16Lista de referencias............................................................................................................17

Page 2: Potencias y Logaritmos

Lista de figuras

Figura 1. Clasificación de los exponentes.........................¡Error! Marcador no definido.

II

Page 3: Potencias y Logaritmos

Introducción

La Ingeniería Económica es una especialidad que integra los conocimientos de

ingeniería con los elementos básicos de la microeconomía. Su principal objetivo es la

toma de decisiones basada en las comparaciones económicas de las distintas alternativas

tecnológicas de inversión. Las técnicas empleadas abarcan desde la utilización de

planillas de cálculo estandarizadas para evaluaciones de flujo de caja, hasta

procedimientos más elaborados, tales como análisis de riesgo e incertidumbre, y pueden

aplicarse tanto a inversiones personales como industriales.

En las economías emergentes, existen dificultades reales respecto al

entendimiento práctico y a la aplicación de conceptos claves como la depreciación

(amortización), la financiación y formación de costos, particularmente cuando se trata

con industrias pequeñas y medianas. Esta situación ciertamente impide la posibilidad de

actividades autosustentables, muy frecuentemente impide la introducción de las

necesarias mejoras técnicas y contribuye al desgaste de los recursos humanos y

financieros.

Principios de la ingeniería económica

El desarrollo, estudio y aplicación de cualquier disciplina debe comenzar con una

base fundamental; la cual en ingeniería económica se definirá como un conjunto de

principios, o conceptos fundamentales, que proporcionan una doctrina comprensiva para

llevar a cabo la metodología.

1

Page 4: Potencias y Logaritmos

La experiencia ha mostrado que la mayoría de los errores cometidos en esta

disciplina tienen su origen en transgresiones o en el seguimiento inadecuado de los siete

principios básicos, que a continuación se definen:

- Desarrollar las alternativas: La elección (decisión) se da entre las alternativas. Es

necesario identificar las alternativas y después definirlas para el análisis subsecuente.

- Enfocarse en las diferencias: Al comparar las alternativas debe considerarse solo

aquello que resulta relevante para la toma de decisiones, es decir, las diferencias en los

posibles resultados.

- Utilizar un punto de vista consistente: Los resultados probables de las alternativas,

económicas y de otro tipo, deben llevarse a cabo consistentemente desde un punto de

vista definido (perspectiva – punto de vista).

- Utilizar una unidad de medición común: Utilizar una unidad de medición común para

enumerar todos los resultados probables hará más fácil el análisis y comparación de las

alternativas.

- Considerar los criterios relevantes: La selección de una alternativa (toma de decisiones)

requiere del uso de un criterio (o de varios criterios). El proceso de decisión debe

considerar los resultados enumerados en la unidad monetaria y los expresados en alguna

otra unidad de medida o hechos explícitos de una manera descriptiva.

2

Page 5: Potencias y Logaritmos

Capítulo 1

Leyes de los Exponentes

Las potencias están formadas por una base y un exponente. El exponente nos

indicará cuántas veces debemos multiplicar la base por sí misma y se clasifica de la

siguiente manera.

Figura 1. Clasificación de los exponentes.

Definición de potencias enteras

Potencias Con Exponentes Enteros y Positivos.

Una potencia es una expresión de la forma:

an=a x a xa … x a

Donde a es cualquier número real y n es un entero positivo. Es decir, es un

número a multiplicado consigo mismo n veces.

Simbología y elementos de una potencia.

b=an

3

Page 6: Potencias y Logaritmos

Donde b es la potencia (resultado obtenido), a es la base (número que se

multiplica) y n es el exponente (número de veces que se multiplica la base).

Ejemplos.

a) (5)4=5x 5 x5 x5=625

b)(−3)2=(−3 ) (−3 )=9 c) ( 43)

2

=43

x43=1024

243

d) ¿

Potencias con exponentes enteros y negativos.

Para poder calcular potencias con exponentes negativos, se la usa la siguiente

expresión que realmente es una propiedad de los exponentes.

a−n= 1

an

Ejemplos.

a) 5−4= 1

54

5−4= 15 x5 x5 x5

5−4= 1625

5−4=0,0016

b) (−3)−2= 1

(−3)2

(−3)−2= 1(−3)(−3)

(−3)−2=19

4

Page 7: Potencias y Logaritmos

(−3)−2=0,11

c) (√3 )−6= 1

√36

(√3 )−6= 127

(√3 )−6=1,037

d) ¿

¿ La división entre cero no está definida, por lo tanto

¿

Entonces la expresión a−n= 1

an es válida si y solo si a ≠0.

Potencias con exponentes fraccionarios.

Encontrar una raíz enésima equivale realizar el proceso inverso de calcular una

potencia.

Decimos que a es una raíz enésima de b, si an=b , es decir “la base”, un número a

que multiplicado consigo mismo “n” veces dé el número b.

La notación para la raíz enésima es: a=n√b si y solo si an=b.

Ejemplos.

a) 4√625=¿

4√625=(± 5)

b) 3√27=¿entonces

3√27=(3)

c) 3√45 ≈ 3,55683

5

Page 8: Potencias y Logaritmos

3,55683 ≈ 45

3√45 ≈ 3,5568

Otra forma de representar una raíz enésima es como potencia con exponente

fraccionario de la forma a=b1n.

Potencias con exponentes fraccionarios.

Una potencia con exponentes fraccionarios tiene la forma

n√am=amn =¿

Propiedades de los exponentes

Potencias de igual base.

“Todo Número (excepto el cero) elevado a la CERO es igual a UNO”.

a0=1

Ejemplos.

a) 20=1

b) (−4)0=1

c) ∏0=1

d) (∏¿¿√3e+x4+1)0=1¿

Producto de potencias con la misma base.

“Para multiplicar potencias que tienen la misma base se escribe la base y los

exponentes se SUMAN”.

an x am=an+m.

Ejemplos.

6

Page 9: Potencias y Logaritmos

a) y10∗y5= y15

b) z−7 * z3=z−7+3

z−7 * z3=z−4

z−7 * z3= 1

z4

c) b23∗b

47=b

(2x 7) +(3 x 4 )3x 7

b23∗b

47=b

14+1221

b23∗b

47=b

2621 aplicando la expresión de raíz de una potencia de exponentes

fraccionarios

b23∗b

47=b

2621

Cociente de Potencias Con la misma base.

“Para dividir potencias que tienen la misma base, se escribe la base y los

exponentes se restan”.

an

am =an−m

Ejemplos.

a)y5

y10= y5−10

y5

y10= y−5

y5

y10=1y5

7

Page 10: Potencias y Logaritmos

b)b−6

b−9= y−6−(−9¿)¿

b−6

b−9= y3

c)b

23

b47

=b23−4

7

b23

b47

=b(7 x2 )−(3 x 4 )

3 x7

b23

b47

=b221

b23

b47

=21√b

2

Potencia de una potencia.

“Para Elevar una potencia a otra potencia, se escribe la base y los exponentes se

multiplican”.

¿

Ejemplos.

a) ¿

¿

b) ¿

¿

8

Page 11: Potencias y Logaritmos

¿

c) ¿

¿

¿

Potencia de un producto.

“La Potencia De Un Producto es igual al Producto De Las Potencias”.

¿

Ejemplos.

a) ¿

b) ¿

¿

¿

c) ¿

¿

¿

Potencia de un cociente.

“La Potencia De Un Cociente es igual al Cociente De Las Potencias”.

¿

Ejemplos.

a) ¿

b) ¿

¿

9

Page 12: Potencias y Logaritmos

¿

Raíz enésima de un producto.

“La Raíz Enésima De Un Producto es igual al Producto De Las Raíces Enésimas”.

n√a . b=n√a . n√b

Ejemplos.

a) 5√r . s=5√r . 5√ s

b) 3√¿¿

3√¿¿

c) √9 . x=√9 .√ x

√9 . x=3√x

√9 . x=3 . x12

d) 4√¿¿

4√¿¿

4√¿¿

Raíz enésima de un cociente.

“La Raíz Enésima De Un Cociente es igual al Cociente De Las Raíces Enésimas”.

n√ ab=

n√an√b

,b ≠ 0

Ejemplos.

a) 3√¿¿

10

Page 13: Potencias y Logaritmos

3√¿¿

b) 9√¿¿

9√¿¿

9√¿¿

Capitulo dos

Leyes de los Logaritmos

Definición

El logaritmo es una función matemática inversa de una función exponencial o con

exponente.

11

Page 14: Potencias y Logaritmos

Se define el logaritmo de un número, al exponente (a) al cual es necesario elevar

otro número llamado base (b) para encontrar el número propuesto(N) inicialmente.

ba=N

a=log b N

Donde a es el logaritmo de N en base b.

Ejemplos.

a) 25=32

5=log232

b) 2−2= 14

−2=log214

c) log3 √243=x

√243=3x

24312=3x

¿

¿

x=52

Propiedades de los logaritmos

Logaritmo de un producto.

“Es igual a la suma de los logaritmos de los factores”.

12

Page 15: Potencias y Logaritmos

log (a )+ log (b )=log(a. b)

Ejemplos.

a) log3 (10. 5 )=log310+ log35

log3 (10. 5 )=2,096+1,465

log3 (10. 5 )=3,561

b) log5 (16. 4 )=log5 10+ log5 4

log5 (16. 4 )=1,723+0,861

log5 (16. 4 )=2,584

c) log a2+ loga7=loga(2 .7)

log a2+ loga7=loga(14)

Logaritmo de un cociente.

“Es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador”.

log (a )−log (b )=log ( ab)

Ejemplos.

a) 2 log (4 x)−log (2 x )=log (4 x)2−log (2 x)

2 log (4 x)−log (2 x )= log 42 x2

log 2 x

2 log(4 x)−log (2x )= log16 x2

log 2 x

2 log(4 x)−log (2x )=log(8 x¿¿¿)¿¿¿

b) log (2 z )−log ( z2)=log(2 z)log(z)2

13

Page 16: Potencias y Logaritmos

log (2 z )−log ( z2)=log2z

Logaritmo de una potencia.

“Es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia”.

log ab=b log (a)

Ejemplos.

a) log 284=4 log2 8

log 284=4(3)

log 284=12

b) log7 45=5 log7 4

log7 45=5 (0,7124)

log7 45=3,5621

Logaritmo de una raíz.

“El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el

índice de la raíz”.

log bn√a=

logb a

n

Ejemplos.

a) log 2√4=log2 4

2

log 2√4=22

log 2√4=1

14

Page 17: Potencias y Logaritmos

b) log 24√8=1

4log28

log 24√8=1

4(3)

log 24√8=3

4

Conclusiones

15

Page 18: Potencias y Logaritmos

Dentro de la ingeniería económica se utiliza varios conceptos matemáticos, tales

como las leyes de exponentes y logaritmos. Estos conocimientos son de importante

dominio por lo que se hace necesario su estudio a través del cual concluimos que las

potencias están formadas por una base y un exponente donde el exponente indica cuántas

veces se debe multiplicar la base por sí misma, que poseen una clasificación clara y

concisa y a su vez unas propiedades o leyes fundamentales que permiten la resolución de

los mismos de forma correcta.

De igual forma, los logaritmos desde su definición de función matemática

inversa de una función exponencial o con exponente, es decir un logaritmo es un

exponente (a) al cual es necesario elevar otro número llamado base (b) para encontrar el

número propuesto(N) inicialmente. Este proceso requiere el uso de las propiedades para

solucionar cálculos matemáticos que requieran la aplicación de logaritmos ya seas

decimales como naturales.

En definitiva, el manejo adecuado de conceptos básicos como los anteriormente

mencionados permiten tornar la ingeniería económica como una disciplina que se

preocupa de los aspectos económicos de la ingeniería; que implica la evaluación

sistemática de los costos y beneficios de los proyectos técnicos propuestos, y así sus

principios y metodología constituyen parte integral de la administración y operación

diaria de compañías y corporaciones del sector privado, servicios públicos regulados,

unidades o agencias gubernamentales, y organizaciones no lucrativas.

Lista de referencias

16

Page 19: Potencias y Logaritmos

Logaritmos. [En línea]. Perú: Universidad Peruana Cayetano Heredia. Disponible en:

http://www.upch.edu.pe/vracad/cfpu/pdf/logaritmos.pdf. [2015, 19 de enero].

Ruiz, M. Fundamentos de Matemáticas. [En línea]. Matemáticas financieras. Disponible

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19 de enero].

Logaritmos. [En línea]. Matemáticas a distancia. Disponible en:

https://elprofemates.files.wordpress.com/2008/11/logaritmos.pdf. [2015, 19 de

enero].

Chapuz, A. Como aprendo algebra…Fácil y rápido. [En línea]. Disponible en:

http://comoaprendomatematicas.com/blog/wp-content/uploads/2012/06/

leyes.exponentes.pdf. [2015, 19 de enero].

17